114 年 國立中山大學企業管理學系碩士甲班乙組《微積分》

本題考查多元函數的極值問題，主要步驟為：

1. 求一階偏導函數，並令其等於零，解出臨界點。
2. 求二階偏導函數，計算海森矩陣（Hessian matrix）的行列式 $D$。
3. 利用二階偏導函數判別法（Second Derivative Test）判斷臨界點的性質（局部極大、局部極小或鞍點）。
4. 若為局部極大或極小，則計算該極值。

【步驟一：求解臨界點】
首先，我們計算函數 $f(x, y)$ 的一階偏導函數：
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$

本題為一階微分方程的求解問題，給定一階導函數的表達式以及通過某一點的條件，要求出原函數。

【步驟一：分離變數法求解微分方程】
給定的微分方程為 $y' = -\frac{4xy}{x^2+1}$。
這是一個可分離變數的微分方程。我們將含有 $y$ 的項移至一邊，含有 $x$ 的項移至另一邊：
$\frac{dy}{y} = -\frac{4x}{x^2+1} dx$

接著，對兩邊進行積分：
$\int \frac{dy}{y} = \int -\frac{4x}{x^2+1} dx$

左邊積分為 $\ln|y|$。
右邊積分，令 $u = x^2+1$，則 $du = 2x dx$。所以 $-\frac{4x}{x^2+1} dx = -2 \frac{2x dx}{x^2+1} = -2 \frac{du}{u}$。
右邊積分為 $\int -2 \frac{du}{u} = -2 \ln|u| + C = -2 \ln(x^2+1) + C$ (因為 $x^2+1 > 0$)。

所以，我們得到：
$\ln|y| = -2 \ln(x^2+1) + C$

本題考查體積分，計算由曲面 $z = 2x^2y$ 和平面區域 $R$ 所圍成的立體體積。區域 $R$ 由曲線 $y=x^2$ 和 $y=x^3$ 在第一象限所界定。

【步驟一：確定積分區域 $R$】
首先，我們需要找出曲線 $y=x^2$ 和 $y=x^3$ 在第一象限的交點。
令 $x^2 = x^3$
$x^3 - x^2 = 0$
$x^2(x-1) = 0$
解得 $x=0$ 或 $x=1$。
當 $x=0$ 時，$y=0$。
當 $x=1$ 時，$y=1$。
因此，交點為 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。

在第一象限，我們需要比較 $x^2$ 和 $x^3$ 的大小。
對於 $0 < x < 1$，我們有 $x^3 < x^2$。
例如，取 $x=0.5$，則 $x^2 = 0.25$， $x^3 = 0.125$。
所以，在 $0 \le x \le 1$ 的區間內，曲線 $y=x^2$ 在曲線 $y=x^3$ 的上方。
因此，積分區域 $R$ 可以描述為：
$R = \{ (x, y) \mid 0 \le x \le 1, x^3 \le y \le x^2 \}$

【步驟二：設定體積分】
體積 $V$ 可以通過對區域 $R$ 上的函數 $z = f(x, y) = 2x^2y$ 進行二重積分來計算：
$V = \iint_R 2x^2y \, dA$

本題考查不定積分的計算，積分式中包含指數函數和複合函數，可以考慮使用換元積分法。

【核心觀念】
換元積分法 (Substitution Rule)。

【解題步驟】
觀察積分式 $\int x^{-5} (x^{-2} + 1)^{1.5} dx$，發現 $(x^{-2} + 1)$ 的導數與 $x^{-5}$ 相關。
令 $u = x^{-2} + 1$。
則 $du = -2x^{-3} dx$。
我們可以將 $du$ 改寫成 $dx = \frac{du}{-2x^{-3}} = -\frac{1}{2} x^3 du$。

然而，積分式中是 $x^{-5} dx$，我們需要將其也用 $u$ 和 $du$ 表示。
從 $u = x^{-2} + 1$ 可以得到 $x^{-2} = u - 1$。
那麼 $x^{-5} = x^{-2} \cdot x^{-3} = (u-1) \cdot x^{-3}$。
這似乎有點複雜。我們再仔細觀察。

我們有 $du = -2x^{-3} dx$。
積分式是 $x^{-5} dx = x^{-2} \cdot x^{-3} dx$。
我們可以將 $x^{-3} dx$ 寫成 $du$ 的一部分：$x^{-3} dx = -\frac{1}{2} du$。
所以，積分式可以寫成：
$\int x^{-2} \cdot (x^{-3} dx) \cdot (x^{-2} + 1)^{1.5}$
$= \int x^{-2} \cdot (-\frac{1}{2} du) \cdot u^{1.5}$

現在我們需要將 $x^{-2}$ 也用 $u$ 表示。
由 $u = x^{-2} + 1$，我們得到 $x^{-2} = u - 1$。

將這些代入積分式：
$\int (u-1) \cdot (-\frac{1}{2} du) \cdot u^{1.5}$
$= -\frac{1}{2} \int (u-1) u^{1.5} du$
$= -\frac{1}{2} \int (u^{2.5} - u^{1.5}) du$

現在進行積分：
$= -\frac{1}{2} \left( \frac{u^{2.5+1}}{2.5+1} - \frac{u^{1.5+1}}{1.5+1} \right) + C$

核心觀念

本題考查定積分與分部積分法。被積分函數含有多項式因子 $x$ 與指數函數 $e^{-3x}$ 的乘積，適合使用分部積分公式：

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du$$

其中取 $u=x$，可使微分後的代數式變得簡單；取 $dv=e^{-3x}dx$，則可直接積分。

解題方法

原式為

$$I=\int_0^{\ln 2}\frac{x}{3}e^{-3x}\,dx =\frac{1}{3}\int_0^{\ln 2}xe^{-3x}\,dx$$

對 $\int xe^{-3x}\,dx$ 使用分部積分，令

$$u=x,\qquad dv=e^{-3x}dx$$

因此

$$du=dx,\qquad v=-\frac{1}{3}e^{-3x}$$

由分部積分公式，

$$\int xe^{-3x}\,dx =x\left(-\frac{1}{3}e^{-3x}\right) -\int\left(-\frac{1}{3}e^{-3x}\right)dx$$ $$=-\frac{x}{3}e^{-3x}-\frac{1}{9}e^{-3x}$$

乘回前面的 $\frac{1}{3}$：

$$\frac{1}{3}\int xe^{-3x}\,dx =-\frac{x}{9}e^{-3x}-\frac{1}{27}e^{-3x}$$

所以

$$I=\left[-\frac{x}{9}e^{-3x}-\frac{1}{27}e^{-3x}\right]_0^{\ln 2}$$

因為

$$e^{-3\ln 2}=e^{\ln 2^{-3}}=\frac{1}{8}$$

本題要求繪製函數 $f(x) = \frac{x^2-9}{x^2-4}$ 的圖形。繪製圖形前，需要分析函數的各種性質，包括定義域、漸近線、截距、對稱性、奇偶性、臨界點、極值、凹性等。

【步驟一：定義域】
函數的分母為 $x^2-4$，令 $x^2-4 = 0$，得 $x^2 = 4$，所以 $x = \pm 2$。
因此，函數的定義域為所有實數，除了 $x=2$ 和 $x=-2$。
$D = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq -2, x \neq 2 \}$

【步驟二：漸近線】

1. 垂直漸近線 (Vertical Asymptotes)：
   出現在使分母為零但分子不為零的點。
   當 $x \to 2^+$ 或 $x \to 2^-$，分子 $x^2-9 \to 4-9 = -5$。
   當 $x \to 2^+$, $x^2-4 \to 0^+$, $f(x) \to \frac{-5}{0^+} \to -\infty$。
   當 $x \to 2^-$, $x^2-4 \to 0^-$, $f(x) \to \frac{-5}{0^-} \to +\infty$。
   所以，$x=2$ 是垂直漸近線。
   當 $x \to -2^+$ 或 $x \to -2^-$，分子 $x^2-9 \to 4-9 = -5$。
   當 $x \to -2^+$, $x^2-4 \to 0^-$, $f(x) \to \frac{-5}{0^-} \to +\infty$。
   當 $x \to -2^-$, $x^2-4 \to 0^+$, $f(x) \to \frac{-5}{0^+} \to -\infty$。
   所以，$x=-2$ 是垂直漸近線。

2. 水平漸近線 (Horizontal Asymptotes)：
   計算 $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$。
   $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2-9}{x^2-4} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 - 9/x^2}{1 - 4/x^2} = \frac{1-0}{1-0} = 1$。
   所以，$y=1$ 是水平漸近線。

3. 斜漸近線 (Slant Asymptotes)：
   因為存在水平漸近線，所以不存在斜漸近線。

【步驟三：截距】

1. y-截距 (y-intercept)：
   令 $x=0$，則 $f(0) = \frac{0^2-9}{0^2-4} = \frac{-9}{-4} = \frac{9}{4}$。
   y-截距點為 $(0, \frac{9}{4})$。

2. x-截距 (x-intercepts)：
   令 $f(x)=0$，則 $x^2-9 = 0$，得 $x^2=9$，所以 $x = \pm 3$。
   x-截距點為 $(3, 0)$ 和 $(-3, 0)$。

【步驟四：對稱性與奇偶性】
$f(-x) = \frac{(-x)^2-9}{(-x)^2-4} = \frac{x^2-9}{x^2-4} = f(x)$。
函數是偶函數，圖形關於 y 軸對稱。

【步驟五：一階導數與臨界點】
計算一階導數 $f'(x)$。
$f'(x) = \frac{(2x)(x^2-4) - (x^2-9)(2x)}{(x^2-4)^2}$
$f'(x) = \frac{2x^3 - 8x - (2x^3 - 18x)}{(x^2-4)^2}$
$f'(x) = \frac{2x^3 - 8x - 2x^3 + 18x}{(x^2-4)^2}$
$f'(x) = \frac{10x}{(x^2-4)^2}$

令 $f'(x) = 0$ 求解臨界點。
$10x = 0 \implies x = 0$。
臨界點為 $x=0$。
在 $x=0$ 處，函數值為 $f(0) = \frac{9}{4}$。

本題考查不定積分的計算，積分式中包含 $x$ 和 $(\ln x)^2$，這是一個典型的可以使用分部積分法來解決的問題。

【核心觀念】
分部積分法：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

【解題步驟】
我們需要計算積分 $\int x (\ln x)^2 dx$。
為了方便使用分部積分法，我們選擇 $u$ 為較容易微分的項，而 $dv$ 為較容易積分的項。
令 $u = (\ln x)^2$ 和 $dv = x \, dx$。

則：
$du = 2 (\ln x) \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{2 \ln x}{x} dx$
$v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2}$

應用分部積分公式：
$\int x (\ln x)^2 dx = uv - \int v \, du$
$= (\ln x)^2 \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{2 \ln x}{x} dx$
$= \frac{x^2 (\ln x)^2}{2} - \int x \ln x \, dx$

現在我們需要計算積分 $\int x \ln x \, dx$。這也需要再次使用分部積分法。
令 $u_1 = \ln x$ 和 $dv_1 = x \, dx$。
則：
$du_1 = \frac{1}{x} dx$

本題要求計算函數 $f(x) = \frac{1}{2x-1}$ 在 $x=0$ 點的泰勒級數，並求其收斂區間。

【核心觀念】

1. 幾何級數求和公式：$\frac{1}{1-r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n$, 當 $|r| < 1$ 時。
2. 泰勒級數的定義：函數 $f(x)$ 在點 $a$ 的泰勒級數為 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$。
3. 收斂區間的判斷：通常使用 ratio test 或 root test。

【步驟一：將函數轉換為幾何級數的形式】
我們希望將 $f(x) = \frac{1}{2x-1}$ 轉換成 $\frac{c}{1-r}$ 的形式，以便利用幾何級數求和公式。
$f(x) = \frac{1}{2x-1} = \frac{1}{-(1-2x)} = -\frac{1}{1-2x}$。
現在，我們可以將 $r = 2x$ 代入幾何級數求和公式 $\frac{1}{1-r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n$。
所以，$-\frac{1}{1-2x} = -\sum_{n=0}^{\infty} (2x)^n = -\sum_{n=0}^{\infty} 2^n x^n$。

【步驟二：寫出泰勒級數】
函數 $f(x)$ 在 $x=0$ 的泰勒級數就是其 Maclaurin 級數。
由步驟一得到的級數：
$f(x) = -\sum_{n=0}^{\infty} 2^n x^n = -\left( 2^0 x^0 + 2^1 x^1 + 2^2 x^2 + 2^3 x^3 + \cdots \right)$
$f(x) = -(1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \cdots)$

本題要求將循環小數 $1.424242...$ 表示為一個有理數（分數）。

【核心觀念】
循環小數可以通過代數方法轉換為分數。

【解題步驟】
設 $x = 1.424242...$。
由於小數點後重複的部分是 "42"，其長度為 2，我們將等式乘以 $10^2 = 100$。
$100x = 142.424242...$

現在，我們用 $100x$ 減去 $x$ 來消去循環部分：
$100x - x = 142.424242... - 1.424242...$
$99x = 141$

本題要求解一個一階微分方程，並給定了初始條件。這是一個可分離變數的微分方程。

【核心觀念】
可分離變數的微分方程求解。

【解題步驟】
給定的微分方程為 $y' = x^2 (1 - y)$。
為了分離變數，我們將含有 $y$ 的項移到一邊，含有 $x$ 的項移到另一邊。
$\frac{dy}{dx} = x^2 (1 - y)$
$\frac{dy}{1-y} = x^2 dx$ (假設 $1-y \neq 0$，即 $y \neq 1$)

對兩邊進行積分：
$\int \frac{dy}{1-y} = \int x^2 dx$

左邊積分：令 $u = 1-y$，則 $du = -dy$。
$\int \frac{-du}{u} = -\int \frac{du}{u} = -\ln|u| = -\ln|1-y|$。

右邊積分：
$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$。

所以，我們得到：
$-\ln|1-y| = \frac{x^3}{3} + C_1$
$\ln|1-y| = -\frac{x^3}{3} - C_1$

取指數，得到：
$|1-y| = e^{-\frac{x^3}{3} - C_1} = e^{-C_1} e^{-\frac{x^3}{3}}$