114 年 國立中山大學財務管理學系碩士班甲組《微積分》

本題考查極限的計算，特別是當函數包含有界震盪函數（如 $\sin(1/x)$）時的處理方法。

核心觀念：夾擠定理 (Squeeze Theorem)。

解題過程：
我們知道對於任意實數 $x \neq 0$，$-1 \le \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le 1$。
由於我們考慮的是 $x \to 0^+$，所以 $x > 0$。
將不等式兩邊同乘以 $x$（因為 $x>0$，不等號方向不變）：

核心觀念

本題考查：

• 根式函數的連續性。
• 極限的直接代入法。
• 有理化公式

$$\sqrt{A}-\sqrt{B} =\frac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}.$$

當 $y\to 2$ 時，根式內的值分別趨近於 $5$ 與 $6$，皆為正數，因此函數在 $y=2$ 附近有定義，且根式函數連續。

解題方法

由根式函數的連續性，可直接將 $y=2$ 代入：

$$\begin{aligned} \lim_{y\to 2}\left(\sqrt{y^2+y-1}-\sqrt{y^2+y}\right) &=\sqrt{2^2+2-1}-\sqrt{2^2+2}\\ &=\sqrt{5}-\sqrt{6}. \end{aligned}$$

若要求將答案寫成分母含根式較少的形式，可進行有理化：

本題考查重積分的計算，其中積分區域的描述方式可能需要轉換。

核心觀念：積分次序的交換 (Changing the Order of Integration)。

解題過程：
給定的積分區域由 $0 \le y \le 1$ 和 $y^2 \le x \le 1$ 所定義。
我們可以將這個區域畫出來：

1. $0 \le y \le 1$ 表示區域在 $y$ 軸方向被限制在 0 到 1 之間。
2. $y^2 \le x \le 1$ 表示對於給定的 $y$， $x$ 的範圍從 $y^2$ 到 1。
   這表示曲線 $x = y^2$ (即 $y = \sqrt{x}$，因為 $y \ge 0$) 和直線 $x=1$ 構成區域的右邊界，而直線 $y=0$ (即 $x$ 軸) 和 $y=1$ 構成區域的上邊界。

這個區域的頂點為 $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$。
從圖形上來看，直接對 $x$ 積分， $y$ 的範圍是 $y^2$ 到 1，這表示 $x$ 的上限是 1，下限是 $y^2$。
如果我們交換積分次序，需要重新描述積分區域。
新的積分變數範圍：
$x$ 的範圍是從 0 到 1。
對於固定的 $x$， $y$ 的範圍是多少？
從圖形上看，當 $x$ 在 0 到 1 之間時，$y$ 的下限是 0，上限是 $\sqrt{x}$ (因為 $y^2 \le x \implies y \le \sqrt{x}$，且 $y \ge 0$)。
所以，交換積分次序後，積分變為：
$\int_0^1 \int_0^{\sqrt{x}} y e^y \, dy \, dx$

現在計算這個新的積分。
內部積分：$\int_0^{\sqrt{x}} y e^y \, dy$。
這裡我們需要使用分部積分法 (Integration by Parts)。設 $u = y$，$dv = e^y dy$。則 $du = dy$，$v = e^y$。
$\int y e^y \, dy = y e^y - \int e^y \, dy = y e^y - e^y = e^y(y-1)$
所以，內部積分的結果為：
$\left[ e^y(y-1) \right]_0^{\sqrt{x}} = e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1) - e^0(0-1) = e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1) - (-1) = e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1) + 1$

本題考查重積分的計算。與 Q3 類似，積分區域的描述可能需要轉換積分次序。

核心觀念：積分次序的交換 (Changing the Order of Integration)。

解題過程：
給定的積分區域由 $0 \le y \le 1$ 和 $y^2 \le x \le 1$ 所定義。
這與 Q3 的積分區域完全相同。
我們將積分次序交換，得到：
$\int_0^1 \int_0^{\sqrt{x}} e^{x^{1/2}} \, dy \, dx$

現在計算這個新的積分。
內部積分：$\int_0^{\sqrt{x}} e^{x^{1/2}} \, dy$。
注意，在這裡 $x$ 被視為常數。所以 $e^{x^{1/2}}$ 也是一個常數。
$\int_0^{\sqrt{x}} e^{x^{1/2}} \, dy = e^{x^{1/2}} \int_0^{\sqrt{x}} 1 \, dy = e^{x^{1/2}} [y]_0^{\sqrt{x}} = e^{x^{1/2}} (\sqrt{x} - 0) = \sqrt{x} e^{\sqrt{x}}$

現在計算外部積分：
$\int_0^1 \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} \, dx$
令 $u = \sqrt{x}$。

本題考查三角函數積分的計算，特別是當被積函數是 $\sin^m(ax) \cos^n(ax)$ 的形式時。

核心觀念：使用三角恆等式簡化積分。

解題過程：
我們有 $\int \sin^3(5x) \cos^2(5x) \, dx$。
由於 $\sin^3(5x)$ 的指數是奇數，我們可以將其拆開，並利用 $\sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta)$ 的恆等式。
$\sin^3(5x) = \sin^2(5x) \sin(5x) = (1 - \cos^2(5x)) \sin(5x)$
所以，積分變為：
$\int (1 - \cos^2(5x)) \sin(5x) \cos^2(5x) \, dx$
現在進行變數代換。令 $u = \cos(5x)$。
則 $du = -5 \sin(5x) \, dx$，所以 $\sin(5x) \, dx = -\frac{1}{5} du$。

本題考查一階線性微分方程的通解求解。

核心觀念：積分因子法 (Integrating Factor Method)。

解題過程：
該微分方程的形式為 $y' + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x) = 3$ 且 $Q(x) = e^{-x} \cos(x)$。

第一步：計算積分因子 $I(x)$。
$I(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int 3 \, dx} = e^{3x}$

第二步：將微分方程兩邊同乘以積分因子。
$e^{3x} (y' + 3y) = e^{3x} (e^{-x} \cos(x))$
$e^{3x} y' + 3e^{3x} y = e^{2x} \cos(x)$
左邊是 $(I(x)y)'$ 的展開式：
$\frac{d}{dx} (e^{3x} y) = e^{2x} \cos(x)$

第三步：對兩邊進行積分。
$\int \frac{d}{dx} (e^{3x} y) \, dx = \int e^{2x} \cos(x) \, dx$
$e^{3x} y = \int e^{2x} \cos(x) \, dx$

現在我們需要計算右側的積分 $\int e^{2x} \cos(x) \, dx$。
我們使用分部積分法兩次。
設 $I_1 = \int e^{2x} \cos(x) \, dx$。
第一次分部積分：令 $u = \cos(x)$，$dv = e^{2x} \, dx$。則 $du = -\sin(x) \, dx$，$v = \frac{1}{2} e^{2x}$。
$I_1 = \frac{1}{2} e^{2x} \cos(x) - \int \left(\frac{1}{2} e^{2x}\right) (-\sin(x)) \, dx$
$I_1 = \frac{1}{2} e^{2x} \cos(x) + \frac{1}{2} \int e^{2x} \sin(x) \, dx$
第二次分部積分（針對 $\int e^{2x} \sin(x) \, dx$）：令 $u = \sin(x)$，$dv = e^{2x} \, dx$。則 $du = \cos(x) \, dx$，$v = \frac{1}{2} e^{2x}$。

核心觀念

連續型隨機變數落在區間 $[a,b]$ 的機率，等於機率密度函數在該區間下的面積：

$$P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx.$$

題目中 $x$ 的單位是「千」，因此：

• $1000$ units $=1$；
• $3000$ units $=3$。

所以要求的是 $P(1\le X\le 3)$。

解題方法

直接將 $x=1$ 到 $x=3$ 代入密度函數積分：

$$P(1\le X\le 3) =\int_1^3\frac{-x^2+6x}{46}\,dx.$$

先求原函數：

$$\int\frac{-x^2+6x}{46}\,dx =\frac{1}{46}\left(-\frac{x^3}{3}+3x^2\right).$$

因此：

核心觀念

本題考查債券價格與市場利率之間的反向關係，以及利用二階 Taylor 展開式估計利率變動造成的債券價格變化。

債券價格 $P$ 是利率 $r$ 的函數：

$$P=P(r)$$

利率上升時，債券價格通常下跌；利率下降時，債券價格通常上升。價格對利率的一階導數通常為負，二階導數通常為正。

相關定義如下：

• 修正存續期間（Modified Duration）：

$$D_{\text{mod}} =-\frac{1}{P}\frac{dP}{dr}$$

• 凸性（Convexity）：

$$C=\frac{1}{P}\frac{d^2P}{dr^2}$$

因此：

$$\frac{dP}{dr}=-P D_{\text{mod}}$$

以及：

$$\frac{d^2P}{dr^2}=P C$$

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解題方法：二階 Taylor 展開

當利率由 $r$ 變為 $r+dr$ 時，對 $P(r+dr)$ 作二階 Taylor 展開：

$$P(r+dr) \approx P(r)+\frac{dP}{dr}dr+\frac{1}{2}\frac{d^2P}{dr^2}(dr)^2$$

因此價格變化 $dP$ 可估計為：

$$dP=P(r+dr)-P(r)$$ $$dP \approx \frac{dP}{dr}dr+ \frac{1}{2}\frac{d^2P}{dr^2}(dr)^2$$

代入修正存續期間與凸性的定義：

$$dP \approx -PD_{\text{mod}}dr +\frac{1}{2}PC(dr)^2$$

兩邊除以 $P$，得到常用的債券價格變動近似公式：

$$\boxed{ \frac{dP}{P} \approx -D_{\text{mod}}dr +\frac{1}{2}C(dr)^2 }$$

其中：

• $-D_{\text{mod}}dr$ 是存續期間效果；
• $\frac{1}{2}C(dr)^2$ 是凸性修正效果。

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（1）Taylor 展開式

題目要求建構二階 Taylor 展開式估計價格變化，因此答案為：

$$\boxed{ dP \approx \frac{dP}{dr}dr+ \frac{1}{2}\frac{d^2P}{dr^2}(dr)^2 }$$

若以修正存續期間與凸性表示，則：

本題考查獨占廠商在差別取價 (Price Discrimination) 下的產量決策，目標是最大化利潤。

核心觀念：利潤最大化條件、需求曲線、總收益、總成本。

解題過程：
假設廠商為兩類顧客分別生產 $A$ 和 $B$ 單位。

1. 定義需求函數與收益函數：

   • 顧客類型 1：
     • 廠商生產 $A$ 單位。
     • 顧客願意支付的價格 (需求價格) $P_1 = 100 - 10A$。
     • 總收益來自顧客 1：$TR_1 = P_1 \times A = (100 - 10A)A = 100A - 10A^2$。
   • 顧客類型 2：
     • 廠商生產 $B$ 單位。
     • 顧客願意支付的價格 (需求價格) $P_2 = 80 - 4B$。
     • 總收益來自顧客 2：$TR_2 = P_2 \times B = (80 - 4B)B = 80B - 4B^2$。

2. 定義總成本函數：

   • 總生產量為 $Q = A+B$。
   • 總成本 $TC = 100 + 10(A+B)$。

3. 定義總收益函數：

   • 總收益 $TR = TR_1 + TR_2 = (100A - 10A^2) + (80B - 4B^2)$。

4. 定義利潤函數：

   • 利潤 $\Pi = TR - TC$
   • $\Pi(A, B) = (100A - 10A^2 + 80B - 4B^2) - (100 + 10A + 10B)$
   • $\Pi(A, B) = 100A - 10A^2 + 80B - 4B^2 - 100 - 10A - 10B$
   • $\Pi(A, B) = -10A^2 + 90A - 4B^2 + 70B - 100$

5. 最大化利潤：
   為了找到最大化利潤的 $A$ 和 $B$，我們需要對利潤函數 $\Pi(A, B)$ 分別對 $A$ 和 $B$ 求偏導數，並令其等於零。

   • 對 $A$ 求偏導數：

本題考查投資組合的變異數計算，以及根據計算結果評估投資組合的風險。

核心觀念：投資組合變異數公式、向量與矩陣運算。

解題過程：

已知資訊：

• 股票 Goldman Sachs (GS) 的權重 $w_{GS} = 40\% = 0.4$
• 股票 American Express (AXP) 的權重 $w_{AXP} = 60\% = 0.6$
• 變異數-共變異數矩陣 (Variance-Covariance Matrix) $\Sigma$:
  $\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{GS}^2 & \text{Cov}(GS, AXP) \\ \text{Cov}(AXP, GS) & \sigma_{AXP}^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.06 & 0.03 \\ 0.03 & 0.04 \end{pmatrix}$
  注意：矩陣中的對角線元素是個別資產的變異數 ($\sigma^2$)，非對角線元素是資產之間的共變異數 (Cov)。

(1) Calculate the portfolio variance using the vector and square matrix.

投資組合的變異數 ($\sigma_p^2$) 可以用向量和矩陣表示為：
$\sigma_p^2 = \mathbf{w}^T \Sigma \mathbf{w}$
其中 $\mathbf{w}$ 是權重向量，$\mathbf{w}^T$ 是其轉置。

權重向量 $\mathbf{w}$ 為：
$\mathbf{w} = \begin{pmatrix} w_{GS} \\ w_{AXP} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.4 \\ 0.6 \end{pmatrix}$
權重向量的轉置 $\mathbf{w}^T$ 為：
$\mathbf{w}^T = \begin{pmatrix} 0.4 & 0.6 \end{pmatrix}$

現在計算 $\sigma_p^2$:
$\sigma_p^2 = \begin{pmatrix} 0.4 & 0.6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0.06 & 0.03 \\ 0.03 & 0.04 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0.4 \\ 0.6 \end{pmatrix}$

首先計算中間部分：$\Sigma \mathbf{w}$