114 年 國立中山大學財務管理學系碩士班甲組《統計學》

本題考查協方差 (Covariance) 與相關係數 (Correlation) 的基本性質。

首先我們來逐一檢視各個選項：

A. $Cov(aX + b, cY + d)$ 的性質是：
$Cov(aX + b, cY + d) = Cov(aX, cY) + Cov(aX, d) + Cov(b, cY) + Cov(b, d)$
由於常數的協方差為 0，且 $Cov(kX, lY) = kl Cov(X,Y)$，因此：
$Cov(aX + b, cY + d) = ac Cov(X,Y) + 0 + 0 + 0 = ac Cov(X,Y)$。
選項 A 錯誤，因為多加了 $+bd$。

核心觀念

Chebyshev 不等式適用於具有有限平均數 $\mu$ 與有限變異數 $\sigma^2$ 的隨機變數，不要求變數服從常態分配。對任意 $k>0$：

$$P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le \frac{1}{k^2}$$

因此，距離平均數小於 $k$ 個標準差的比例至少為 $1-\frac{1}{k^2}$；距離平均數達到或超過 $k$ 個標準差的比例至多為 $\frac{1}{k^2}$。

本題平均使用時間為 $4$ 小時，標準差為 $40$ 分鐘，即：

$$\sigma=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}\text{ 小時}$$

解題方法

先將各選項的時間範圍換算成距離平均數的標準差倍數，再套用 Chebyshev 不等式，將比例換算為 900 位學生的人數。

對於 $3$ 至 $5$ 小時的範圍，距離平均數 $4$ 小時最多為 $1$ 小時，也就是：

$$k=\frac{1}{2/3}=\frac{3}{2}$$

因此，使用時間落在 $3$ 至 $5$ 小時內的比例至少為：

$$1-\frac{1}{(3/2)^2} =1-\frac{4}{9} =\frac{5}{9}$$

換算為人數：

本題考查相關係數、協方差和標準差之間的關係。

我們已知以下資訊：
相關係數 $Corr(X,Y) = 0.40$
協方差 $Cov(X,Y) = 0.0064$
股票 X 的標準差 $S.D.(X) = 32\% = 0.32$

相關係數的定義是：
$Corr(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{S.D.(X) \cdot S.D.(Y)}$

我們可以利用這個公式來求解股票 Y 的標準差 $S.D.(Y)$。
將已知數值代入公式：
$0.40 = \frac{0.0064}{0.32 \cdot S.D.(Y)}$

首先，計算分母中的 $0.32 \cdot S.D.(Y)$：
$0.32 \cdot S.D.(Y) = \frac{0.0064}{0.40}$
$0.32 \cdot S.D.(Y) = 0.016$

核心觀念

本題考查各種連續機率分配的圖形特徵，主要判斷：

1. 是否為單峰（uni-modal）。
2. 是否具有右偏（right-skewed），亦即右尾較長。

偏態可由第三階標準化動差衡量：

$$\gamma_1=\frac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3}$$

其中：

• $\gamma_1=0$：對稱。
• $\gamma_1>0$：右偏。
• $\gamma_1<0$：左偏。

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解題方法

逐一比較各分配的對稱性、偏態與眾數位置：

• 對稱分配不屬於右偏。
• 具有正偏態且只有一個峰值者，符合題意。
• 必須注意 Gamma 分配的形狀參數會影響眾數是否存在於正數範圍內。

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選項分析

A. Normal Distribution：錯誤

常態分配的機率密度函數為：

$$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]$$

常態分配以 $\mu$ 為中心，左右完全對稱，因此：

$$\text{偏態係數}=0$$

雖然常態分配是單峰，但不是右偏分配。

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B. Gamma Distribution：條件成立，題目文字不足以判定為唯一答案

若 $X\sim\operatorname{Gamma}(\alpha,\theta)$，其偏態係數為：

$$\gamma_1=\frac{2}{\sqrt{\alpha}}>0$$

因此 Gamma 分配必為右偏。

其密度函數的峰值位置為：

$$x_{\text{mode}}=(\alpha-1)\theta,\qquad \alpha\geq 1$$

當 $\alpha>1$ 時，Gamma 分配在正數範圍內具有一個內部眾數，且右偏。

當 $0<\alpha<1$ 時，密度函數在 $x=0$ 附近最高，並且隨 $x$ 增加而遞減。若將 $x=0$ 視為邊界眾數，可稱為單峰；若嚴格要求眾數必須位於支持集內部，則不能稱為具有內部單峰。

本題考查聯合機率的計算，以及條件機率與邊際機率的關係。

題目給出了一個聯合機率分佈表，其中包含經濟景氣 (經濟景氣) 和匯率表現 (匯率表現) 這兩個變數。
我們需要計算「經濟景氣為衰退」與「匯率為貶值」這兩個事件的聯合機率，記為 $P(\text{衰退} \cap \text{貶值})$。

從表格中，我們可以找到「經濟景氣為衰退」的邊際機率 $P(\text{衰退}) = 0.22$。
同時，我們也看到在經濟景氣為「衰退」的條件下，匯率表現為「貶值」的條件機率 $P(\text{貶值} | \text{衰退}) = 0.45$。

聯合機率的計算公式為：
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$
或者
$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$

在此題中，我們可以將 A 設定為「經濟景氣為衰退」，B 設定為「匯率為貶值」。
所以，我們需要計算 $P(\text{衰退} \cap \text{貶值})$。
根據公式：

本題考查邊際機率的計算。

題目要求計算「匯率貶值」這個事件的機率，記為 $P(\text{貶值})$。
匯率貶值是一個邊際事件，它可能發生在任何經濟景氣的狀況下。
根據全機率法則 (Law of Total Probability)，一個事件的機率可以透過將其在所有可能條件下的條件機率加權平均來計算。
在本題中，經濟景氣有三種情況：「良好」、「衰退」、「持平」。這三種情況是互斥且窮盡的。
所以，我們可以將 $P(\text{貶值})$ 表示為：
$P(\text{貶值}) = P(\text{貶值} | \text{良好}) P(\text{良好}) + P(\text{貶值} | \text{衰退}) P(\text{衰退}) + P(\text{貶值} | \text{持平}) P(\text{持平})$

從表格中讀取所需的數值：

1. 經濟景氣為「良好」的機率：$P(\text{良好}) = 0.46$
   在經濟景氣為「良好」時，匯率貶值的條件機率：$P(\text{貶值} | \text{良好}) = 0.30$
2. 經濟景氣為「衰退」的機率：$P(\text{衰退}) = 0.22$

本題考查條件機率的計算，利用貝氏定理 (Bayes' Theorem) 或條件機率的定義來求解。

題目要求計算「給定匯率為升值，請問經濟景氣持平的機率」，這是一個條件機率，記為 $P(\text{持平} | \text{升值})$。

根據條件機率的定義：
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

在本題中，A 是「經濟景氣為持平」，B 是「匯率為升值」。
所以，我們需要計算：
$P(\text{持平} | \text{升值}) = \frac{P(\text{持平} \cap \text{升值})}{P(\text{升值})}$

首先，我們需要計算分子 $P(\text{持平} \cap \text{升值})$ 和分母 $P(\text{升值})$。

計算分子 $P(\text{持平} \cap \text{升值})$：
這是「經濟景氣為持平」且「匯率為升值」的聯合機率。
從表格中，我們可以直接讀取：
$P(\text{持平}) = 0.32$
$P(\text{升值} | \text{持平}) = 0.35$
所以，聯合機率為：
$P(\text{持平} \cap \text{升值}) = P(\text{持平}) \cdot P(\text{升值} | \text{持平}) = 0.32 \times 0.35$
$0.32 \times 0.35 = (32 \times 10^{-2}) \times (35 \times 10^{-2}) = (32 \times 35) \times 10^{-4}$
$32 \times 35 = 32 \times (30 + 5) = 960 + 160 = 1120$
$P(\text{持平} \cap \text{升值}) = 1120 \times 10^{-4} = 0.1120$。

計算分母 $P(\text{升值})$：
這是「匯率為升值」的邊際機率。我們需要使用全機率法則，考慮所有經濟景氣的狀況。

核心觀念

每次打擊只有兩種結果：

• 安打：成功，機率 $p=0.625$
• 非安打：失敗，機率 $q=1-p=0.375$

共打擊 $n=6$ 次，且各次打擊彼此獨立，因此安打數 $X$ 服從二項分配：

$$X\sim\operatorname{Binomial}(n=6,p=0.625)$$

二項分配的期望值與標準差公式為：

$$E(X)=np$$ $$\sigma_X=\sqrt{npq}$$

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解題方法

安打數的期待值：

$$E(X)=np=6(0.625)=3.75$$

安打數的標準差：

$$\sigma_X=\sqrt{npq} =\sqrt{6(0.625)(0.375)}$$ $$=\sqrt{1.40625}\approx 1.186$$

因此，這場比賽的安打數期待值為 $3.75$，標準差約為 $1.186$。

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選項分析

• A. 期待值 $=3.75$，標準差 $=1.406$

  期待值 $3.75$ 正確，但 $1.406$ 是變異數：

  $$\operatorname{Var}(X)=npq=1.40625$$

本題考查金融報酬率 (financial returns) 的統計特性，特別是常態分配的偏離。

我們逐一檢視各個選項：

A. Daily stock returns usually have kurtosis value equal or close to 3.
Kurtosis (峰態) 是衡量機率分佈的尾部厚度或尖峰程度的指標。
對於常態分配，其峰態值 (excess kurtosis) 為 0，總峰態 (kurtosis) 為 3。
然而，金融報酬率通常表現出 厚尾 (fat tails) 和 尖峰 (leptokurtosis) 的特徵，這意味著它們的峰態值 (excess kurtosis) 通常 大於 0，因此總峰態值會 大於 3。
所以，選項 A 說「等於或接近 3」是錯誤的。

B. It is easy to see that financial returns have normal distribution.
金融報酬率的經驗分佈通常 不服從常態分配。

本題考查母體平均數的信賴區間估計，其中母體標準差已知。

我們有以下資訊：
樣本大小 $n = 36$ 場比賽。
樣本平均數 $\bar{x} = \frac{342 \text{ 次三振}}{36 \text{ 場}} = 9.5$ 次三振/場。
母體標準差 $\sigma = 4.20$ 次三振/場。
信賴水準為 95%，對應的顯著水準 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。

由於母體標準差 $\sigma$ 已知，我們可以使用 Z 分配來建構信賴區間。
信賴區間的公式為：
$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

首先，我們需要找到 $z_{\alpha/2}$。
對於 95% 的信賴水準，$\alpha = 0.05$，所以 $\alpha/2 = 0.025$。
查 Z 分配表，與 0.025 對應的 $z$ 值是 1.96。
$z_{0.025} = 1.96$。

核心觀念

本題考查估計量的三項重要性質：

1. 不偏性（unbiasedness）

若估計量 $\hat{\theta}$ 用來估計參數 $\theta$，且

$$E(\hat{\theta})=\theta,$$

則稱 $\hat{\theta}$ 為 $\theta$ 的不偏估計量。

2. 一致性（consistency）

若樣本數 $n\to\infty$ 時，估計量 $\hat{\theta}_n$ 以機率收斂至 $\theta$：

$$\hat{\theta}_n \xrightarrow{p} \theta,$$

則稱其為一致估計量。常見充分條件為

$$\operatorname{Bias}(\hat{\theta}_n)\to 0, \qquad \operatorname{Var}(\hat{\theta}_n)\to 0.$$

3. 效率（efficiency）

在所有不偏估計量中，若某估計量具有最小變異數，則稱其為有效率的估計量。亦即對任一其他不偏估計量 $\tilde{\theta}$，皆有

$$\operatorname{Var}(\hat{\theta}) \leq \operatorname{Var}(\tilde{\theta}).$$

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解題方法

逐一檢查各選項是否符合上述定義。關鍵在於樣本變異數通常定義為

$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2.$$

若母體變異數為 $\sigma^2$，則有

$$E(S^2)=\sigma^2.$$

因此，標準定義下的樣本變異數是不偏估計量；此外，當 $n$ 增加時，$S^2$ 也會一致收斂至 $\sigma^2$。

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選項分析

A. An unbiased estimator has an expected value equal to the parameter it tries to estimate

不偏估計量的定義正是其期望值等於所估計的母體參數：

$$E(\hat{\theta})=\theta.$$

因此 A 正確。

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B. The sample variance is an unbiased estimator of population variance

標準樣本變異數使用分母 $n-1$：

$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2.$$

其期望值為

本題考查學生 t 分配 (Student's t-distribution) 的性質。

我們逐一檢視各個選項：

A. 當自由度越大, t分配越接近常態分配
這是學生 t 分配的一個重要性質。當自由度 $v$ 趨近於無窮大時，t 分配的機率密度函數會趨近於標準常態分配的機率密度函數。
這個敘述是正確的。

B. 相較常態分配, t分配具有厚尾
「厚尾」(fat tails) 指的是機率分佈在尾部的值比常態分配更大。
學生 t 分配的機率密度函數在尾部的值比常態分配更大，這表示它具有厚尾的特性。
這也是為什麼在樣本大小較小時，使用 t 分配比 Z 分配來建構信賴區間或進行假設檢定更為合適，因為它能更好地捕捉極端值的可能性。
這個敘述是正確的。

C. 若自由度>3但<4,則t分配的峰態係數不存在
學生 t 分配的峰態係數 (kurtosis) 的公式為：
$Kurtosis = \frac{6}{v-4}$ (excess kurtosis)
或者
$Kurtosis = 3 + \frac{6}{v-4}$ (total kurtosis)
其中 $v$ 是自由度。

核心觀念

母體平均數 $\mu$ 的信賴區間，依母體變異數 $\sigma^2$ 是否已知，以及樣本是否來自常態母體，選擇使用 $z$ 統計量或 $t$ 統計量。

當母體變異數未知，須以樣本標準差 $s$ 估計 $\sigma$。若樣本來自常態母體，則統計量

$$T=\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt{n}}$$

服從自由度為 $n-1$ 的 $t$ 分配。因此，母體平均數的信賴區間為

$$\bar X \pm t_{\alpha/2,\;n-1}\frac{S}{\sqrt{n}}$$

其中 $\bar X$ 是樣本平均數，$S$ 是樣本標準差，$t_{\alpha/2,\;n-1}$ 是自由度 $n-1$ 的 $t$ 分配臨界值。

解題方法

判斷應使用 $t$ 統計量時，先檢查兩項條件：

1. 母體變異數未知：以樣本標準差 $S$ 代替母體標準差 $\sigma$。
2. 母體為常態分配：使上述統計量具有精確的 $t_{n-1}$ 分配；小樣本時尤其需要此條件。

核心觀念

本題測驗統計假說檢定（Hypothesis Testing）中虛無假說（$H_0$）與對立假說（$H_1$ 或 $H_a$）的建立原則。

1. 研究假說（Research Hypothesis）與對立假說：
   研究者通常希望透過樣本資料尋求顯著證據來支持自己的主張或懷疑。在統計假說檢定架構中，研究者意圖證明、宣稱或支持的命題，應設定在對立假說（$H_1$）。
2. 虛無假說（Null Hypothesis）的等號原則：
   虛無假說代表現狀、無效應或懷疑之相反狀態。在古典 Neyman-Pearson 檢定架構下，為了能夠在特定的虛無母數點上建立抽樣分配並計算顯著水準 $\alpha$（第一型錯誤率），等號（$=$、$\le$ 或 $\ge$）必須一律落在虛無假說 $H_0$ 中，對立假說 $H_1$ 則一律為嚴格不等號（$<$, $>$, $\neq$）。

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解題方法

1. 鎖定研究者的主張：
   題目敘述：「他認為此部位金額應小於50萬元」。
   令客戶未投資資產金額的母體平均數為 $\mu$（單位：萬元）。理專的主張為：

   $$\mu < 50$$

   此為研究者想要證明的主張，因此設定為對立假說：

   $$H_1: \mu < 50$$

2. 建立對應的虛無假說：
   虛無假說 $H_0$ 為對立假說之補集，且必須包含等號：

   $$H_0: \mu \ge 50$$

本題考查檢定統計量 (test statistic) 的計算。

我們已經設定了虛無假設 $H_0: \mu \ge 50$ 萬元，以及對立假設 $H_1: \mu < 50$ 萬元。
這是一個單尾檢定 (left-tailed test)。

我們有以下資訊：
樣本大小 $n = 100$ 位客戶。
樣本平均數 $\bar{x} = 488,000$ 元。
母體標準差 $\sigma = 38,600$ 元。
虛無假設中的母體平均數 $\mu_0 = 500,000$ 元。

由於母體標準差 $\sigma$ 已知，我們使用 Z 檢定統計量。
檢定統計量的公式為：
$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$

首先，計算標準誤 (standard error)：

本題考查根據檢定統計量和顯著水準來做決策。

我們已經計算出檢定統計量 $Z \approx -3.11$ (來自上一題)。
顯著水準 $\alpha = 5\% = 0.05$。
我們設定的檢定是單尾左側檢定：
虛無假設 $H_0: \mu \ge 50$ 萬元
對立假設 $H_1: \mu < 50$ 萬元

方法一：比較檢定統計量與臨界值
對於單尾左側檢定，我們需要找到對應於 $\alpha = 0.05$ 的臨界值 (critical value)。
查 Z 分配表，與 0.05 累積機率對應的 Z 值是 -1.645。
臨界值 $Z_{critical} = -1.645$。
決策規則是：如果檢定統計量 $Z < Z_{critical}$，則拒絕虛無假設 $H_0$。
我們的計算結果是 $Z \approx -3.11$。
由於 $-3.11 < -1.645$，我們 拒絕 虛無假設 $H_0$。

方法二：比較 P 值與顯著水準
P 值是觀察到樣本結果或更極端結果的機率，假設虛無假設為真。
對於左側檢定，P 值是 $P(Z < -3.11)$。
查 Z 分配表，$P(Z < -3.11)$ 非常小，遠小於 0.001。
例如，$P(Z < -3.09) \approx 0.001$。
所以，P 值 $\ll 0.05$。
決策規則是：如果 P 值 $< \alpha$，則拒絕虛無假設 $H_0$。
由於 P 值 $< 0.05$，我們 拒絕 虛無假設 $H_0$。

核心觀念

本題考「兩獨立母體平均數差的 pooled t 檢定」。此檢定適用於兩組獨立樣本，並假設兩母體變異數相等；將兩組樣本變異數合併，估計共同的母體變異數。

合併變異數為：

$$s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$$

其自由度為 $n_1+n_2-2$。檢定統計量通常寫成：

$$t = \frac{\bar X_1-\bar X_2} {s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$$

其中 $s_1^2$、$s_2^2$ 分別是兩組樣本變異數。此方法的關鍵前提是兩母體變異數相等。

解題方法

由題目中的合併變異數形式，以及自由度 $n_1+n_2-2$，可判斷它使用的是 pooled t 檢定。接著檢查選項是否符合此檢定的假設與公式：

• 合併變異數是依自由度加權的兩組樣本變異數平均。
• 使用合併變異數時，假設兩母體變異數相等。
• 自由度是兩組樣本自由度相加，即 $(n_1-1)+(n_2-1)=n_1+n_2-2$。

因此，宣稱「不能假設兩母體變異數相等」的選項不正確。

選項分析

核心觀念

題目考查「以水平線 $f(x)=b$ 預測 $Y$ 時，何者能使平方誤差總和最小」。

在簡單線性迴歸中，若模型限制為

$$\hat{Y}=b$$

則不論 $X$ 為何，所有觀測值的預測值都相同，皆為常數 $b$。依最小平方法，最佳的 $b$ 應使殘差平方和最小：

$$S(b)=\sum_{i=1}^{n}(Y_i-b)^2$$

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解題方法與推導

對 $b$ 微分：

$$\frac{dS(b)}{db} = \frac{d}{db}\sum_{i=1}^{n}(Y_i-b)^2 = -2\sum_{i=1}^{n}(Y_i-b)$$

令一階導數等於 $0$：

$$-2\sum_{i=1}^{n}(Y_i-b)=0$$

整理得：

$$\sum_{i=1}^{n}Y_i-nb=0$$

因此：

$$b=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i=\bar{Y}$$

再確認二階導數：

$$\frac{d^2S(b)}{db^2}=2n>0$$

所以此 $b$ 確實使平方誤差總和達到最小值。

因此，使用平方誤差標準時，水平線的最佳高度是 $Y$ 的算術平均數。

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選項分析

A. A.M. (Y)，$Y$ 變量的平均數

正確。A.M. 是算術平均數（Arithmetic Mean），其公式為

核心觀念

本題考查「非奇異矩陣」與其等價條件。

對於 $n\times n$ 方陣 $A$，下列敘述彼此等價：

$$A\text{ 為非奇異矩陣} \Longleftrightarrow A^{-1}\text{ 存在} \Longleftrightarrow \det(A)\neq 0.$$

其中，矩陣的行列式 $\det(A)$「存在」只代表 $A$ 是方陣；這不代表行列式必須不等於 $0$。

解題方法

直接比較各選項與上述等價條件：

• 非奇異矩陣 $\Longleftrightarrow$ 有反矩陣；
• 非奇異矩陣 $\Longleftrightarrow$ 行列式不等於 $0$；
• 「行列式存在」僅是方陣的基本要求，並未要求 $\det(A)\neq 0$。

因此，關鍵差異在於「行列式存在」與「行列式不為零」不能混為一談。

選項分析

A. Matrix A is non-singular

矩陣 $A$ 為非奇異矩陣，表示：

$$\det(A)\neq 0.$$

因此 $A$ 可逆，與「$A$ 有反矩陣」等價。

B. Matrix A has an inverse

矩陣 $A$ 有反矩陣 $A^{-1}$，表示：

$$AA^{-1}=A^{-1}A=I.$$

方陣可逆的充要條件為：

本題考查矩陣的秩 (rank)、線性相依性 (linear dependence)、奇異性 (singularity) 和可逆性 (invertibility) 之間的關係。

我們逐一分析各選項的含義：

A. 矩陣 A 的所有欄具有滿秩 (full column rank)
對於一個 $m \times n$ 的矩陣 A：

• 滿秩 (full rank) 表示 rank(A) 等於其維度中較小者，即 $rank(A) = min(m, n)$。
• 如果 A 是一個 $n \times n$ 的方陣，那麼滿秩意味著 $rank(A) = n$。
• 如果 A 的所有欄具有滿秩，則表示 $rank(A) = n$ (假設 A 是 $m \times n$ 矩陣，且 $m \ge n$)。
• 對於方陣 A ($n \times n$)，如果 $rank(A) = n$，則表示 A 的所有欄向量是線性獨立的，且 A 是非奇異矩陣 (non-singular)，即 A 可逆 ($A^{-1}$ 存在)。

B. 矩陣 A 的所有欄為線性相依 (linearly dependent)
如果矩陣 A 的所有欄向量是線性相依的，則表示 A 不是滿秩矩陣 (對於方陣而言)。
對於一個 $n \times n$ 的方陣 A，如果其欄向量是線性相依的，則 $rank(A) < n$。
這意味著 A 是奇異矩陣 (singular)，即 A 不可逆 ($A^{-1}$ 不存在)。

C. 矩陣 A 為非奇異矩陣 (non-singular matrix)
非奇異矩陣是指其行列式 (determinant) 不為零。

本題考查多元迴歸 (multiple regression) 在何種情況下會導致迴歸係數估計式無解 (no solution)。

在多元迴歸中，迴歸係數向量 $\beta$ 的普通最小平方法 (Ordinary Least Squares, OLS) 估計量為：
$\hat{\beta} = (X^T X)^{-1} X^T y$
其中 $X$ 是自變數矩陣 (包含截距項)，$y$ 是應變數向量。
要使 $\hat{\beta}$ 有解，關鍵在於矩陣 $(X^T X)$ 是否可逆，即 $det(X^T X) \neq 0$。

我們逐一分析各個選項：

A. Serial-correlation in the residuals (殘差的序列相關)
序列相關 (autocorrelation) 指的是殘差之間存在相關性，例如 $Cov(e_i, e_j) \neq 0$ for $i \neq j$。
序列相關違反了 OLS 的一個基本假設 (殘差之間獨立同分佈)。
然而，序列相關 不會 導致 $(X^T X)^{-1}$ 不存在，因此 OLS 估計量 $\hat{\beta}$ 仍然有解。
序列相關主要影響估計量的效率 (efficiency) 和標準誤的正確性，但不會導致無解。

B. Heteroskedastic residuals (殘差的異質變異數)
異質變異數 (heteroskedasticity) 指的是殘差的變異數不是常數，即 $Var(e_i) = \sigma_i^2$ 而非 $\sigma^2$。
異質變異數也違反了 OLS 的假設。

本題考查不同迴歸分析類型的定義。

我們逐一檢視各個選項：

A. 從100家公司選取在某一交易日之資料進行迴歸,此為縱橫迴歸分析(panel regression)

• ** panel regression (縱橫迴歸)**：同時包含時間維度和個體維度。它會追蹤相同個體（例如公司、個人）在不同時間點的數據。
• 這裡的描述是：在 某一交易日 (單一時點)，對 100家公司 (多個個體) 進行迴歸。這只涵蓋了多個個體在同一時間點的數據，沒有時間序列的追蹤。
• 這種數據結構稱為 橫截面數據 (cross-sectional data)。
• 因此，選項 A 的定義是錯誤的。

B. 從一家公司選取過去十年之歷史資料進行迴歸,此為時間序列迴歸(time-series regression)

• ** time-series regression (時間序列迴歸)**：分析單一變數或多個變數隨時間變化的數據。

本題考查簡單線性迴歸 (simple linear regression) 中迴歸係數估計量 $\hat{\beta}$ 的統計性質。

簡單線性迴歸模型為 $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i$，其中 $\epsilon_i$ 是誤差項。
迴歸係數 $\beta_1$ 的 OLS 估計量是 $\hat{\beta}_1$ (題目中簡寫為 $\beta$)。

我們逐一檢視各個選項：

A. $\beta$ is an unbiased estimator of the true parameter $\beta$
OLS 估計量 $\hat{\beta}_1$ 是母體真實參數 $\beta_1$ 的 不偏估計量。
這意味著 $E[\hat{\beta}_1] = \beta_1$。
這個敘述是正確的。

B. $E[\hat{\beta}] = \beta$
這個選項與選項 A 相同，只是符號表示不同。它同樣指出了 $\hat{\beta}$ 是 $\beta$ 的不偏估計量。

核心觀念

本題考查迴歸分析中的決定係數 $R^2$。其定義為：

$$R^2=\frac{\text{迴歸平方和}}{\text{總平方和}} =\frac{SSR}{TSS} =1-\frac{SSE}{TSS}$$

其中：

• $TSS=\sum (Y_i-\bar Y)^2$：總平方和
• $SSR=\sum (\hat Y_i-\bar Y)^2$：迴歸平方和
• $SSE=\sum (Y_i-\hat Y_i)^2$：殘差平方和

本題為含截距的一元線性迴歸，因此決定係數也可由 $X$ 與 $Y$ 的樣本相關係數 $r_{XY}$ 求得：

$$R^2=r_{XY}^2$$

表中的「R 的倍數」即為相關程度的平方根，因此也可直接計算：

$$R^2=(0.1562)^2\approx 0.0244$$

由 ANOVA 表驗算：

$$R^2=\frac{SSR}{TSS} =\frac{0.2371}{9.7219} \approx 0.0244$$

所以本模型約能解釋 $2.44\%$ 的 $Y$ 變異。

解題方法

本題詢問「求出 $R^2$ 的方法」，最直接的判斷方式是檢查各選項是否符合決定係數的定義。

在一元線性迴歸且模型含截距時：

$$R^2=r_{XY}^2$$

因此只要取得 $X$ 與 $Y$ 的樣本相關係數，再將其平方，即可得到 $R^2$。

此外，也可利用迴歸表中的平方和：

$$R^2=\frac{SSR}{TSS} =\frac{0.2371}{9.7219} \approx 0.0244$$

或利用：

$$R^2=1-\frac{SSE}{TSS} =1-\frac{9.4848}{9.7219} \approx 0.0244$$

選項分析

A. 由殘差值的樣本變異數

錯誤。

殘差的樣本變異數主要用來估計誤差變異，即迴歸表中的殘差均方：

$$MSE=\frac{SSE}{n-k-1}$$

核心觀念

本題考查線性迴歸摘要表中「標準誤」的意義，以及殘差平方和、自由度與殘差標準差的關係。

在含有截距與一個自變數的簡單線性迴歸模型中：

• 觀察值個數：$n=252$
• 迴歸自由度：$df_R=1$
• 總自由度：$df_T=n-1=251$
• 殘差自由度：

$$df_E=n-2=252-2=250$$

迴歸表中的標準誤，是殘差的估計標準差：

$$s=\sqrt{MS_E} =\sqrt{\frac{SSE}{df_E}}$$

其中 $SSE$ 為殘差平方和。

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解題方法

由表中資料：

$$SSE=9.4848$$

且殘差自由度為：

$$df_E=250$$

因此迴歸摘要表中的標準誤為：

$$s=\sqrt{\frac{9.4848}{250}} \approx \sqrt{0.0379392} \approx 0.1948$$

這就是殘差項標準差的估計值。

另外，總平方和 $SST=9.7219$，除以總自由度或觀察值個數所得到的量，代表的是應變數本身變異程度的相關計算，並非迴歸模型的殘差標準誤。

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選項分析

A. 表格這裡的標準誤指的是殘差項的標準差

正確。

迴歸結果表中的「標準誤」是：

$$\sqrt{MS_E} =\sqrt{\frac{SSE}{df_E}}$$

其意義是殘差項標準差的估計值，因此 A 正確。

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B. 表格這裡的標準誤$=\sqrt{9.7219/252}$

錯誤。

本題考查對迴歸分析 ANOVA 表中自由度 (Degrees of Freedom, df) 的理解。

ANOVA 表中的自由度通常有三項：

1. 迴歸自由度 (Regression df)：等於自變數的個數 $k$。
2. 殘差自由度 (Residual df)：等於 $n - k - 1$，其中 $n$ 是觀察值個數。
3. 總和自由度 (Total df)：等於 $n - 1$。

根據表格資訊：

• 觀察值個數 $n = 252$。
• 迴歸模型中只有一個自變數「X 變數 1」，所以自變數個數 $k = 1$。

現在我們來計算三個自由度的值：

1. 迴歸自由度 (Regression df) = $k = 1$。
2. 殘差自由度 (Residual df) = $n - k - 1 = 252 - 1 - 1 = 250$。

本題考查對迴歸分析 ANOVA 表中 MS (Mean Square) 的計算與理解。

ANOVA 表中的 MS (Mean Square) 是由 SS (Sum of Squares) 除以其對應的自由度 (df) 計算而得。
MS = SS / df。

表格中的空白欄位是：

1. 迴歸 MS (Regression MS)，位於 ANOVA 表第一行，F 欄位右側的空白 (27)。
2. 殘差 MS (Residual MS)，位於 ANOVA 表第二行，MS 欄位右側的空白 (27)。

我們需要利用已知的 SS 和 df 值來計算 MS。

1. 計算迴歸 MS (Regression MS)：
SS (迴歸) = 0.2371
df (迴歸) = 1 (根據上一題計算，迴歸自由度為 k=1)
Regression MS = SS (迴歸) / df (迴歸) = 0.2371 / 1 = 0.2371。

核心觀念

本題考查迴歸模型中，對斜率參數 $\beta$ 進行假設檢定的方法。

對 $X$ 變數的迴歸係數 $\beta$：

$$H_0:\beta=0$$ $$H_1:\beta\neq 0$$

檢定統計量為：

$$t=\frac{\hat{\beta}-\beta_0}{SE(\hat{\beta})}$$

其中：

• $\hat{\beta}=-0.6959$：樣本迴歸係數
• $\beta_0=0$：虛無假設指定的母體係數
• $SE(\hat{\beta})=0.2784$：迴歸係數的標準誤

本題觀察值為 $n=252$，若為簡單線性迴歸，估計一個截距與一個斜率，因此殘差自由度為：

$$df=n-2=252-2=250$$

解題方法

將題目所給的迴歸係數與標準誤代入 $t$ 檢定公式：

$$t=\frac{-0.6959-0}{0.2784}$$ $$t\approx -2.4996$$

因此，檢定統計量約為：

$$t\approx -2.50$$

在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，雙尾檢定且自由度為 $250$，臨界值約為：

$$\pm t_{0.025,250}\approx \pm 1.969$$

因為：

$$|t|=2.50>1.969$$

所以拒絕虛無假設 $H_0:\beta=0$。此外，題目直接提供雙尾檢定的 $p$ 值為 $0.0131$：

$$p\text{-value}=0.0131<0.05$$

結論是：$X$ 變數的迴歸係數在 5% 顯著水準下顯著異於 0，且估計係數為負，表示在其他條件不變下，$X$ 增加與應變數呈負向線性關係。

選項分析

A. 在5%的水準為顯著,因為t-statistic為正數且大於2

錯誤。

本題的 $t$ 統計量為：

$$t\approx -2.50$$