112 年國立中山大學財務管理學系碩士班丙組《統計學》考古題與詳解

Question 1

【題組:包括第1-4題。再次提醒:第1-4題為單選題。】 令$\{Z1, Z2, Z3, Z4\}$ 為一組連續型隨機樣本,其中每一個隨機變數皆服從標準常態分配,期望值皆為0,變異數皆為1。 1. $Z1^2 + Z2^2 + Z3^2 + Z4^2$ 的變異數是以下何者? (A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 12 (E) 16

Accepted Answer

本題考驗對隨機變數線性組合變異數性質以及卡方分配的理解。
標準常態分配隨機變數 $Z \sim N(0, 1)$ 。
若 $Z_1, Z_2, Z_3, Z_4$ 為獨立的標準常態隨機變數,則 $Z_i^2$ 服從自由度為 1 的卡方分配,即 $Z_i^2 \sim \chi^2(1)$ 。
卡方分配 $\chi^2(k)$ 的期望值為 $k$ ,變異數為 $2k$ 。
因此,對於 $Z_i^2$ :
$E(Z_i^2) = 1$
$Var(Z_i^2) = 2 \times 1 = 2$

令 $W = Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2 + Z_4^2$ 。

Question 2

【題組:包括第1-4題。再次提醒:第1-4題為單選題。】 令$\{Z1, Z2, Z3, Z4\}$ 為一組連續型隨機樣本,其中每一個隨機變數皆服從標準常態分配,期望值皆為0,變異數皆為1。 2. $\frac{Z1^2}{Z2^2}$ 的變異數是以下何者? (A) 1 (B) $\pi$ (C) 2 (D) $\frac{1}{\pi}$ (E) 以上皆非

Accepted Answer

本題考驗對隨機變數比率變異數的理解,以及 F 分配的相關知識。 $Z1$ 和 $Z2$ 是獨立的標準常態隨機變數,所以 $Z1^2 \sim \chi^2(1)$ 且 $Z2^2 \sim \chi^2(1)$。 我們知道 $\frac{Z1^2}{Z2^2}$ 服從自由度為 (1, 1) 的 F 分配,即 $\frac{Z1^2}{Z2^2} \sim F(1, 1)$。

Question 3

【題組:包括第1-4題。再次提醒:第1-4題為單選題。】 令$\{Z1, Z2, Z3, Z4\}$ 為一組連續型隨機樣本,其中每一個隨機變數皆服從標準常態分配,期望值皆為0,變異數皆為1。 3. 令隨機變數 $Y = \frac{Z1}{Z2+Z3}$, $Y$ 的變異數是以下何者? (A) $\frac{1}{4}$ (B) $\frac{1}{8}$ (C) $\frac{1}{16}$ (D) $\frac{1}{24}$ (E) 以上皆非

Accepted Answer

本題考驗對隨機變數比率變異數的理解。 $Z1, Z2, Z3$ 是獨立的標準常態隨機變數。 $Z2+Z3$ 服從平均值為 $0+0=0$,變異數為 $Var(Z2)+Var(Z3) = 1+1=2$ 的常態分配。 令 $W = Z2+Z3$,則 $W \sim N(0, 2)$。 $Y = \frac{Z1}{W}$。 $Z1$ 和 $W$ 是獨立的,因為 $Z1$ 與 $Z2, Z3$ 獨立。 $E(Z1)=0$, $Var(Z1)=1$。 $E(W)=0$, $Var(W)=2$。 計算 $Var(Y) = Var(\frac{Z1}{W})$。 這是一個複雜的計算,通常不會直接計算這種比率的變異數,除非有特殊結構。 由於 $E(W)=0$,直接使用 $Var(\frac{X}{Y}) = E[(\frac{X}{Y})^2] - [E(\frac{X}{Y})]^2$ 會遇到除以零的期望值問題。 然而,我們可以利用期望值的性質來思考。 $E(Y) = E(\frac{Z1}{Z2+Z3})$。

Question 4

【題組:包括第1-4題。再次提醒:第1-4題為單選題。】 令$\{Z1, Z2, Z3, Z4\}$ 為一組連續型隨機樣本,其中每一個隨機變數皆服從標準常態分配,期望值皆為0,變異數皆為1。 4. 令隨機變數 $T = \frac{2(Z1^2+Z2^2)}{Z1^2+Z2^2+Z3^2+Z4^2}$, $T$ 的變異數是以下何者? (A) $\frac{1}{3}$ (B) $\frac{1}{6}$ (C) $\frac{1}{12}$ (D) $\frac{1}{18}$ (E) 以上皆非

Accepted Answer

本題考驗對卡方分配及其比率變異數的理解。 $Z1, Z2, Z3, Z4$ 是獨立的標準常態隨機變數。 根據第一題的分析,我們知道: $Z1^2+Z2^2 \sim \chi^2(2)$ $Z1^2+Z2^2+Z3^2+Z4^2 \sim \chi^2(4)$ 令 $A = Z1^2+Z2^2$ 且 $B = Z3^2+Z4^2$。 則 $A \sim \chi^2(2)$ 且 $B \sim \chi^2(2)$。 $A$ 和 $B$ 是獨立的,因為它們由不同的 $Zi$ 組成。 $T = \frac{2A}{A+B}$。 $A+B \sim \chi^2(4)$。 我們可以將 $T$ 改寫成 $T = \frac{2A}{A+B} = \frac{2}{1 + \frac{B}{A}}$。 $\frac{A}{B}$ 服從自由度為 $(2, 2)$ 的 F 分配。

Question 5

5. 研究者想了解成年人對於金融知識的了解程度,設計測驗問卷請受測者回答並予以評分。 這次的研究共有16位受測者,得分由小至大排列如下: 32 35 37 45 46 56 58 61 65 70 72 77 79 85 88 90 研究者運用R語言進行統計分析,將以上16個數據存放在fgrade變數中,並且想了解以下 內容: (i) 這16個數據的敘述統計; (ii) 金融知識測驗分數的母體平均數是否為60分,使用指令 t.test(fgrade, mu=60, alternative="two.sided", conf.level=0.95),得到表一; (iii)及格標準若為60分,母體及格比例是否大於0.5,使用指令 prop.test(9,16,0.5,alternative="greater", correct=F),得到表二。 以下敘述哪些或哪一項正確? (A) 使用 summary(fgrade)指令,得到的第一四分位數是45.5。 (B) 表一(甲)這格數字大於72.5。 (C) 如果信心水準改為90%,則表一雙尾信賴區間的寬度會變窄。 (D) 表二(乙)這格數字等於0.25。 (E) 表二(丙)這格數字小於0.8。 One Sample t-test data: fgrade 表一:用於回答第5題 t = 0.46886, df = (??), p-value = 0.6459 alternative hypothesis: true mean is not equal to 60 95 percent confidence interval: 52.02145 (甲) sample estimates: mean of x 62.25 1-sample proportions test without continuity correction dat…

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. R 語言 summary() 的四分位數計算。 2. 單一母體平均數的 $t$ 檢定與信賴區間。 3. 單一母體比例的卡方檢定與信賴區間。 4. 信心水準對信賴區間寬度的影響。 --- 解題方法 資料共有 $n=16$ 筆，總和為 $996$，因此樣本平均數為 $$ \bar{x}=\frac{996}{16}=62.25 $$ 一、第一四分位數 R 的 summary() 預設使用第 7 型四分位數。第一四分位數的位置為 $$ h=(n-1)(0.25)+1=15(0.25)+1=4.75 $$ 第 4 筆與第 5 筆資料分別為 $45$、$46$，所以 $$ Q1=45+0.75(46-45)=45.75 $$ --- 二、表一：單一母體平均數的 $t$ 檢定 檢定統計量為 $$ t=\frac{\bar{x}-\mu0}{s/\sqrt{n}} $$ 其中 $\mu0=60$，自由度為 $$ df=n-1=15 $$ 由資料可得樣本標準差約為 $$ s=19.1955 $$ 因此標準誤為 $$ \frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{19.1955}{4}=4.7989 $$ 在 95% 信賴水準下， $$ \bar{x}\pm t{0.975,15}\frac{s}{\sqrt{n}} $$ $$ =62.25\pm 2.13145(4.7989) $$ 故信賴區間為 $$ [52.02145,\;72.47855] $$ 所以表一中的 $$ 	ext{甲}=72.47855 $$ --- 三、表二：單一母體比例檢定 樣本中及格者有 $9$ 人，總人數為 $16$ 人，樣本比例為

Question 6

6. 考慮下列迴歸模型: $Yi = \beta0 + \beta1x{i1} + \beta2x{i2} + \beta3x{i3} + \epsiloni$, 其中 $i$ 表示第 $i$ 組樣本,誤差項 $\epsiloni$ 為 i.i.d. 且 $\epsiloni \sim N(0, \sigma^2)$, $i = 1,2,...,n$。研究者取得的 $Y$、$X1$、$X2$、$X3$ 資料數據皆為正數,而且自變數之間沒有線性重合。如果樣本數 $n = 200$,以下敘述哪些或哪一項正確? (A) 考慮假設檢定:虛無假設是 $\beta0=0$,對立假設是 $\beta0 
eq 0$,如果得到不拒絕虛無假設的結論,最好是重跑另一個無截距模型(自變數仍為 $X1, X2, X3$,應變數仍為 $Y$),用無截距模型對 $\beta1, \beta2, \beta3$ 進行推論。 (B) 考慮兩組假設檢定: (i) 虛無假設是 $\beta1 = \beta2 = \beta3 = 0$,對立假設是 $\beta1, \beta2, \beta3$ 不全為 0; (ii) 虛無假設是 $\beta1 = 0$,對立假設是 $\beta1 
eq 0$。在顯著水準為 0.05 的前提下如果在第 (ii) 組得到拒絕虛無假設的結論,則第 (i) 組也會得到拒絕虛無假設的結論。 (C) 考慮假設檢定:虛無假設是 $\beta2=0$,對立假設是 $\beta2 
eq 0$。在顯著水準為 0.05 的前提下如果得到不拒絕虛無假設的結論,我們將第二個自變數由 $x2$ 改為 $\ln(x2)$ 並且同時考慮自變數 $X1$ 與 $X3$,重跑迴歸後,同樣會得到不拒絕虛無假設的結論。 (D) 考慮假設檢定:虛無假設是 $\beta3 = 0$,對立假設是 $\be…

Accepted Answer

本題考驗對迴歸分析中假設檢定、模型設定、變數轉換以及檢定結果解釋的理解。 模型: $Yi = \beta0 + \beta1x{i1} + \beta2x{i2} + \beta3x{i3} + \epsiloni$, 其中 $\epsiloni \sim N(0, \sigma^2)$ 獨立同分布, $n=200$。自變數無共線性。 分析選項 (A): 若檢定 $\beta0=0$ 時不拒絕虛無假設,這表示在顯著水準 $\alpha$ 下,我們沒有足夠證據顯示 $\beta0 
eq 0$。然而,這並不意味著 $\beta0$ 確實為 0。 如果我們不拒絕 $\beta0=0$,這表示模型中包含截距項 $\beta0$ 可能不是必須的。 但是,直接重跑一個無截距模型並不能保證對 $\beta1, \beta2, \beta3$ 的推論會更好。 一個常見的做法是,如果 $\beta0$ 不顯著,可以考慮移除截距項。然而,是否移除截距項也需要根據理論或模型的目的來決定。 即使不拒絕 $\beta0=0$,這並不代表 $\beta0$ 真的為 0, 移除截距項可能會改變對其他係數的估計和推論。 而且,移除截距項與保留截距項是兩種不同的模型設定,它們的係數估計值和推論結果可能會有差異。 通常,如果理論上認為截距項應該存在,即使其統計檢定不顯著,也應保留。 因此,「最好是重跑另一個無截距模型」的說法不一定正確。 此外,如果我們不拒絕 $\beta0=0$,且模型的擬合優度 (如 $R^2$) 仍然很高,則可以考慮移除截距項。 但這並非絕對,且「最好」的說法過於絕對。 因此,選項 (A) 可能不正確。 分析選項 (B): (i) 檢定 $H0: \beta1 = \beta2 = \beta3 = 0$ (整體迴歸的顯著性檢定)。 (ii) 檢定 $H0: \beta1 = 0$ (對 $\beta1$ 的個別檢定)。 在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下,如果在 (ii) 中拒絕 $H0: \beta1=0$, 表示 $\beta1$ 顯著不為 0。 這意味著至少有一個自變數對 $Y$ 有顯著影響。 然而,這並不保證 (i) 的虛無假設 $H0: \beta1 = \beta2 = \beta3 = 0$ 一定會被拒絕。 因為 (i) 是檢定所有自變數是否同時為 0。如果 $\beta1$ 顯著,但 $\beta2$ 和 $\beta3$ 都非常接近 0,則 (i) 的檢定結果可能是不拒絕。 例如,如果 $F$ 檢定統計量 (對應 (i)) 的 p-value 大於 0.05,則我們不拒絕 $H0$。 而 (ii) 的 t 檢定統計量 (對應 $\beta1$) 的 p-value 小於 0.05,則我們拒絕 $H0$。 因此,從 (ii) 拒絕 $H0$…

Question 7

7. 研究者想要了解某產業的產出(Y)、勞動投入(L)、資本投入(K)三者間的關係,設計下列迴歸模型: $lnYi = \beta0 + \beta1lnLi + \beta2lnKi + \epsiloni$ 其中 $i$ 表示第 $i$ 個公司, $\epsiloni$ 表示誤差項。研究者收集該產業 61家公司於去年年底的財務資 料,以適當的代理變數衡量 $Y$、$L$、$K$,其中產出 $Y$ 與資本投入 $K$ 的衡量單位皆為千元,勞動 投入 $L$ 的衡量單位為人數。使用 R 語言進行迴歸分析,報表部份內容如表三所示(有些數字 經四捨五入處理)。 以下敘述哪些或哪一項正確? (A) 在 R 語言若要對於某個數據取自然對數,可運用函數 ln。 (B) 表三(丁)這格數字大於(戊)這格數字。 (C) $\beta1$ 的係數估計值意義是:在其他條件不變的前提下,當勞動投入增加 1%,產出將增加 0.57%。 (D) 如果 $Y$、$L$ 的數據不變,但是將資本投入(K)的數據單位調整成以「元」為單位,新的分 析結果 $\beta2$ 的估計值仍為 0.278。 (E) 考慮假設檢定:虛無假設是 $\beta1 + \beta2 = 1$,對立假設是 $\beta1 + \beta2 
eq 1$,由表三可推得拒絕 虛無假設的結論。 Call: lm(formula = lny ~ InL + InK) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -2.3969 -0.6511 0.1407 0.7615 1.6871 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(|t|) (Intercept) 8.091 (??) (??) (??) InL 0.570 (??) (??) (??) InK 0.27…

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - R 語言自然對數函數。 - 對數—對數迴歸模型中的彈性解釋。 - $R^2$ 與調整後 $R^2$。 - 迴歸變數測量單位改變對係數的影響。 - 線性限制假設檢定。 模型為： $$ \ln Yi=\beta0+\beta1\ln Li+\beta2\ln Ki+\varepsiloni $$ 樣本數 $n=61$，解釋變數個數 $k=2$，因此殘差自由度為： $$ n-k-1=61-2-1=58 $$ 解題方法 由表中 $F=59.78$，可利用： $$ F=\frac{R^2/k}{(1-R^2)/(n-k-1)} $$ 求得： $$ R^2=\frac{kF}{kF+(n-k-1)} =\frac{2(59.78)}{2(59.78)+58} \approx 0.6736 $$ 調整後 $R^2$ 為： $$ \bar R^2 =1-(1-R^2)\frac{n-1}{n-k-1} $$ $$ \bar R^2 =1-(1-0.6736)\frac{60}{58} \approx 0.6623 $$ 因此 Multiple $R$-squared（丁）大於 Adjusted $R$-squared（戊）。 選項分析 (A) 錯誤 R 語言計算自然對數使用： R 並沒有內建的 ln() 函數，因此此敘述錯誤。 (B) 正確 由計算結果： $$ 	ext{丁}=R^2\approx 0.6736 $$ $$ 	ext{戊}=\bar R^2\approx 0.6623 $$ 所以： $$ 	ext{丁}	ext{戊} $$ 此敘述正確。 (C) 正確 在對數—對數模型中： $$ \beta1=\frac{\partial \ln Y}{\partial \ln L} $$ 表示在其他條件不變下，$L$ 增加 $1\%$ 時，$Y$ 約增加 $\beta1\%$。

Question 8

8. 某金融機構一年前在網路銀行推出某項理財功能(稱為 N 功能),現在想要了解什麼特質的 客戶會在網路銀行使用 N 功能。研究部門抽樣取得 1000 位客戶資料並進行羅吉斯迴歸 分析,模型如下: $E(Y) = \frac{e^{\beta0 + \beta1x1 + \beta2x2 + \beta3x3}}{1 + e^{\beta0 + \beta1x1 + \beta2x2 + \beta3x3}}$ 就第 $i$ 位客戶而言, $Y=1$ 表示曾使用 N 功能, $Y=0$ 表示從未使用 N 功能。此外考慮三個自 變數: $x1$ 為表示客戶性別的虛擬變數, $x1 = 1$ 代表女客戶, $x1 = 0$ 代表男客戶; $x2$ 為客戶過 去一年內曾到實體銀行財富管理部門現場洽詢的次數; $x3$ 為客戶年收入(單位為百萬元)。 使用 R 語言進行羅吉斯迴歸分析,報表部份內容如表四所示(有些數字經四捨五入處理)。 以下敘述哪些或哪一項正確? (A) 表四(己)這格數字為介於-1.96與+1.96之間。 (B) 表四(庚)這格數字為999。 (C) 表四(辛)這格數字為997。 (D) 如果調整 $X3$ 的數據單位,年收入改用「千萬元」為單位,而且 $Y$、$X1$、$X2$ 的數據不變, 則新的分析結果 $\beta3$ 的估計值為 0.0575。 (E) 「是否曾使用網路銀行的N功能」這件事與性別無關。 Call: lm(formula = lny ~ InL + InK) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -2.3969 -0.6511 0.1407 0.7615 1.6871 Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(|z|) (Intercept) -1.621 (??)…

Accepted Answer

核心觀念 本題考查羅吉斯迴歸的三項觀念： 1. Wald 統計量與顯著性代碼： $$z=\frac{\hat{\beta}j}{SE(\hat{\beta}j)}$$ 2. 廣義線性模型的自由度： $$df=n-	ext{估計參數個數}$$ 3. 自變數單位改變時，迴歸係數會按相反比例調整。 羅吉斯迴歸模型可寫成： $$ \log\left(\frac{p}{1-p}ight) =\beta0+\beta1x1+\beta2x2+\beta3x3 $$ 其中 $p=P(Y=1)$。 解題方法 （一）判斷 $z$ 值 表中 $x2$ 的顯著性代碼為 ，代表雙尾檢定的 $p$ 值小於 $0.05$，因此： $$ |z|1.96 $$ 又因為 $x2$ 的估計係數為 $-0.130$，其 $z$ 值必為負數，所以： $$ z<-1.96 $$ （二）計算自由度 樣本數為 $n=1000$。 - Null model 只有截距項，共估計 1 個參數： $$ df{	ext{null}}=1000-1=999 $$ - 完整模型包含截距、$x1$、$x2$、$x3$，共 4 個參數： $$ df{	ext{residual}}=1000-4=996 $$ （三）調整 $x3$ 的單位 原本 $x3$ 以「百萬元」為單位；改成「千萬元」後，新的變數為： $$ x3^=\frac{x3}{10} $$ 因此： $$ x3=10x3^ $$ 原本的線性項為： $$ 0.575x3=0.575(10x3^)=5.75x3^ $$

Question 9

9. 令$\{X1, X2, ..., Xn\}$ 為一組連續型隨機樣本,樣本數 $n$ 固定且有限,其中每一個隨機變數皆服從常態分配,期望值皆為 $\mu$,變異數皆為 $\sigma^2$,而且 $\mu$ 與 $\sigma^2$ 皆未知。令 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum{i=1}^{n}Xi$, $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum{i=1}^{n}(Xi-\bar{X})^2$,以下敘述哪些或哪一項正確? (A) $\bar{X}$ 與 $(X1-\bar{X})$ 之間彼此獨立。 (B) $\bar{X}$ 與 $S^2$ 之間彼此獨立。 (C) $S^2$ 的變異數為 $\frac{2\sigma^4}{n}$。 (D) $S^2$ 為 $\sigma^2$ 的充分統計量。 (E) $S^4$ 為 $\mu$ 的不偏估計量。 【參考公式】 ● 若 $X$ 服從自由度為 $r$ 的卡方分配,機率密度函數如下: $$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\Gamma(r/2) 2^{r/2}} x^{r/2-1} e^{-x/2} & 	ext{if } x 0 \ 0 & 	ext{otherwise} \end{cases}$$ ● 若 $X$ 服從自由度為 $r$ 的 $t$ 分配,機率密度函數如下: $$f(x) = \frac{\Gamma(\frac{r+1}{2})}{\Gamma(r/2)\sqrt{\pi r}} \left(1+\frac{x^2}{r}ight)^{-\frac{r+1}{2}} \quad -\infty < x < \infty$$ ● 若 $X$ 服從自由度為 $(m,n)$ 的 $F$ 分配,機率密度函數如下: $$f(x) = \begin{case…

Accepted Answer

本題考驗對樣本平均數、樣本變異數性質,卡方分配、獨立性、充分統計量及不偏估計量的理解。

背景: $X_1, ..., X_n$ 為來自 $N(\mu, \sigma^2)$ 的隨機樣本。
$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ 。
$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2$ 。

分析選項 (A):
$\bar{X}$ 和 $(X_i - \bar{X})$ 之間的獨立性。
由於 $\bar{X}$ 是所有 $X_i$ 的線性組合,而 $X_i - \bar{X}$ 也是 $X_i$ 的線性組合。
對於來自常態分配的樣本,樣本平均數 $\bar{X}$ 與樣本中任何一個觀測值 $X_i$ 的離差 $(X_i - \bar{X})$ 之間不是獨立的。
例如,考慮 $n=2$ 。 $\bar{X} = \frac{X_1+X_2}{2}$ 。 $X_1 - \bar{X} = X_1 - \frac{X_1+X_2}{2} = \frac{X_1-X_2}{2}$ 。
$X_1$ 和 $X_2$ 是相關的 (因為它們來自同一個樣本)。
因此, $\bar{X}$ 和 $(X_1-\bar{X})$ 之間不獨立。
選項 (A) 敘述不正確。

分析選項 (B):
$\bar{X}$ 與 $S^2$ 之間的獨立性。
根據 Cochran's Theorem, 如果 $X_1, ..., X_n$ 是來自 $N(\mu, \sigma^2)$ 的獨立同分布隨機變數,則 $\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$ 。
我們可以將 $\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$ 分解為兩部分:
$\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2 = \sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2 + n(\bar{X}-\mu)^2$ 。
其中 $\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2 = (n-1)S^2$ 。
所以, $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$ 且 $\frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)$ 。
Cochran's Theorem 指出, 這兩部分是獨立的。
即, $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 和 $\frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}$ 是獨立的。
由於 $\sigma^2$ 是常數,這意味著 $(n-1)S^2$ 和 $n(\bar{X}-\mu)^2$ 是獨立的。
進一步推論, $S^2$ 和 $(\bar{X}-\mu)^2$ 是獨立的。
由於 $\bar{X}$ 和 $(\bar{X}-\mu)^2$ 之間存在函數關係,且 $\mu$ 是常數,這並不直接意味著 $\bar{X}$ 和 $S^2$ 獨立。
然而,對於常態分配樣本, $\bar{X}$ 和 $S^2$ 是統計獨立的。
這是一個重要的統計性質。

112 年國立中山大學財務管理學系碩士班丙組《統計學》

第 1 題5 分

第 2 題5 分

第 3 題5 分

第 4 題5 分

第 5 題16 分

一、第一四分位數

二、表一：單一母體平均數的 $t$ 檢定

三、表二：單一母體比例檢定

第 6 題16 分

第 7 題16 分

第 8 題16 分

核心觀念

解題方法

（一）判斷 $z$ 值

（二）計算自由度

（三）調整 $x_3$ 的單位

第 9 題16 分

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