108 年 國立中山大學財務管理學系碩士班《統計學》

本題主要在考驗假設檢定中，當母體變異數未知時，單一樣本平均數的檢定應使用何種統計分配，以及如何判斷臨界值。

核心觀念：
當母體變異數未知，且母體分配假設為常態時，單一樣本的平均數檢定應使用 t 分配。

解題步驟：

1. 確定檢定類型：題目要求檢定「整體而言平均分數是否顯著大於6分」，這是一個關於單一樣本平均數的檢定。
2. 判斷母體變異數情況：題目明確指出「假設母體變異數未知」。
3. 選擇統計分配：根據統計學原理，當母體變異數未知且母體假設為常態分配時，應使用 t 分配進行檢定。因此，選項 (A) 和 (B) 的 Z 分配被排除。
4. 確定自由度：對於單一樣本平均數的 t 檢定，自由度 (df) 等於樣本數減 1。此處樣本數為 100 位民眾，所以自由度為 $df = 100 - 1 = 99$。
5. 判斷臨界值：此為右尾檢定（檢定平均分數「是否顯著大於」6分），顯著水準 $\alpha$ 未特別說明，但根據題目開頭的注意事項 (1)：「本試卷關於假說檢定的題目,顯著水準皆為0.05」。

本題考驗雙樣本平均數比較的假設檢定，重點在於判斷應使用的統計分配及臨界值。

核心觀念：
當比較兩個獨立樣本的平均數，且母體變異數未知但假設相等時，應使用獨立樣本 t 檢定 (pooled t-test)。

解題步驟：

1. 確定檢定類型：題目要求比較「男生平均分數與女生平均分數是否有顯著差異」，這是關於兩個獨立樣本平均數的比較。
2. 判斷母體變異數情況：題目明確指出「假設男生與女生這兩類母體分數的變異數未知且相同」。
3. 選擇統計分配：根據統計學原理，當比較兩個獨立樣本的平均數，母體變異數未知但假設相等時，應使用合併變異數的獨立樣本 t 檢定 (pooled t-test)。因此，選項 (A) 和 (B) 的 Z 分配被排除。
4. 確定自由度：對於合併變異數的獨立樣本 t 檢定，自由度 (df) 的計算公式為 $df = n_1 + n_2 - 2$。
   • 男生樣本數 $n_1 = 55$。

本題考驗單一比例的假設檢定，重點在於判斷應使用的統計分配及臨界值。

核心觀念：
當樣本數足夠大時，比例的檢定可以使用 Z 分配。

解題步驟：

1. 確定檢定類型：題目要求檢定「民眾對於這首歌達到高熟悉度的比例是否大於30%」。這是一個關於單一比例的檢定。
2. 定義參數與統計量：
   • 母體比例 $p$：民眾對歌曲的高熟悉度比例。
   • 虛無假說 $H_0: p \le 0.30$。
   • 對立假說 $H_1: p > 0.30$。
   • 樣本比例 $\hat{p}$。

本題考驗兩個獨立樣本比例的比較檢定，重點在於判斷應使用的統計分配及臨界值。

核心觀念：
當兩個獨立樣本的比例檢定，且樣本數足夠大時，可以使用 Z 分配。

解題步驟：

1. 確定檢定類型：題目要求比較「男生與女生對於這首歌達到高熟悉度的比例是否顯著不同」。這是一個關於兩個獨立比例的比較檢定。
2. 定義參數與統計量：
   • 母體比例 $p_{male}$ (男性高熟悉度比例) 與 $p_{female}$ (女性高熟悉度比例)。
   • 虛無假說 $H_0: p_{male} = p_{female}$。
   • 對立假說 $H_1: p_{male} \neq p_{female}$。
   • 樣本比例 $\hat{p}_{male}$ 與 $\hat{p}_{female}$。
3. 判斷樣本數是否足夠大：
   • 男性樣本數 $n_{male} = 55$。
   • 女性樣本數 $n_{female} = 45$。
   • 我們需要知道「高熟悉度」的樣本數。題意是將分數 8 分以上定義為高熟悉度。

本題考驗三個（或以上）獨立樣本平均數比較的假設檢定，重點在於判斷應使用的統計分配。

核心觀念：
當比較三個或以上獨立樣本的平均數，且母體變異數未知但假設相等時，應使用單因子變異數分析 (One-way ANOVA)，其檢定統計量服從 F 分配。

解題步驟：

1. 確定檢定類型：題目要求比較「三個年齡層的平均分數是否有顯著差異」。這是關於三個獨立樣本平均數的比較。
2. 判斷母體變異數情況：題目明確指出「假設這三類母體分數的變異數未知且相同」。
3. 選擇統計分配：
   • 當比較三個或以上獨立樣本的平均數，且母體變異數未知但假設相等時，應使用單因子變異數分析 (One-way ANOVA)。
   • ANOVA 的檢定統計量服從 F 分配。

本題考驗三個（或以上）獨立樣本比例的比較檢定，重點在於判斷應使用的統計分配。

核心觀念：
當比較三個或以上獨立樣本的比例時，應使用卡方獨立性檢定 (Chi-square test of independence)，其檢定統計量近似服從卡方分配。

解題步驟：

1. 確定檢定類型：題目要求了解「這三個年齡層對於這首歌達到高熟悉度的比例是否一致」。這涉及到比較三個獨立群體（年齡層）的比例（高熟悉度比例）。
2. 選擇統計分配：
   • 當比較三個或以上獨立群體的比例時，通常使用卡方獨立性檢定。此檢定用於判斷兩個分類變數（在此為年齡層和高熟悉度）之間是否存在關聯性，或比例是否相等。
   • 卡方獨立性檢定的檢定統計量在適當條件下（樣本數足夠大）近似服從卡方分配。

本題考驗兩個分類變數之間獨立性或關聯性的檢定，重點在於判斷應使用的統計分配。

核心觀念：
當檢定兩個分類變數（在此為熟悉度等級和年齡層）之間是否存在關聯性時，應使用卡方獨立性檢定 (Chi-square test of independence)。

解題步驟：

1. 確定檢定類型：題目要求檢定「熟悉度與年齡層是否有關」。熟悉度可以有多個等級（如1-3分、4-7分、8-10分），年齡層也是分類變數（未滿25歲、25-40歲、40歲以上）。這是一個關於兩個分類變數之間關聯性的檢定。
2. 選擇統計分配：
   • 檢定兩個分類變數之間是否存在關聯性，最常用的方法是卡方獨立性檢定。
   • 卡方獨立性檢定的檢定統計量近似服從卡方分配。
   • 因此，選項 (D) 和 (E) 的 F 分配被排除，F 分配用於比較平均數。

本題考驗兩個相關樣本平均數的比較檢定，重點在於判斷應使用的統計分配及臨界值。

核心觀念：
當比較兩個相關樣本（例如同一受訪者對兩首歌的評分）的平均數時，應使用配對樣本 t 檢定 (Paired t-test)。

解題步驟：

1. 確定檢定類型：題目要求比較「民眾給予這兩首歌的分數是否有顯著差異」。由於是同一批 40 位受訪者對兩首歌評分，這是一個配對樣本的情況。
2. 選擇統計分配：對於配對樣本 t 檢定，我們計算兩分數之差的平均數，並檢定該差的平均數是否為零。若母體差值分配近似常態，則檢定統計量服從 t 分配。由於題目沒有提及母體變異數已知，且是比較平均數，應使用 t 分配。選項 (A) 的 Z 分配被排除。
3. 確定自由度：對於配對樣本 t 檢定，自由度 (df) 等於配對數減 1。

本題考驗相關係數是否顯著異於零的假設檢定，重點在於判斷應使用的統計分配及臨界值。

核心觀念：
當檢定母體相關係數 $\rho$ 是否顯著異於零時，可以使用 t 分配進行檢定。

解題步驟：

1. 確定檢定類型：題目要求檢定「這兩首歌的分數相關係數是否顯著異於0」。這是關於母體相關係數 $\rho$ 的檢定。
2. 選擇統計分配：
   • 當檢定母體相關係數 $\rho$ 是否顯著異於零時，檢定統計量服從 t 分配。
   • 在此情況下，樣本數為 $n=40$。
   • 自由度 $df = n - 2 = 40 - 2 = 38$。
   • 因此，選項 (A), (B), (D), (E) 被排除。
3. 判斷臨界值：

本題考驗母體相關係數是否顯著異於某特定值（非零）的假設檢定。

核心觀念：
當檢定母體相關係數 $\rho$ 是否顯著異於某特定值 $\rho_0$ (其中 $\rho_0 \neq 0$) 時，通常使用 Fisher's z-transformation 轉換後再進行 Z 檢定。

解題步驟：

1. 確定檢定類型：題目要求檢定「這兩首歌的分數相關係數是否顯著異於0.3」。這是一個關於母體相關係數 $\rho$ 是否顯著異於特定值 $\rho_0 = 0.3$ 的檢定。
2. 選擇統計分配：
   • 當檢定 $\rho = \rho_0$ (其中 $\rho_0 \neq 0$) 時，不能直接使用 t 分配。而是將樣本相關係數 $r$ 轉換為 Fisher's z' 轉換：$z' = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+r}{1-r}\right)$。
   • 其轉換後的母體平均值為 $\mu_{z'} = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+\rho}{1-\rho}\right)$，標準差為 $\sigma_{z'} = \frac{1}{\sqrt{n-3}}$。
   • 檢定統計量近似服從標準常態分配 Z：$Z = \frac{z' - \mu_{z'}}{\sigma_{z'}} = \frac{\frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+r}{1-r}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+\rho_0}{1-\rho_0}\right)}{\frac{1}{\sqrt{n-3}}}$。
   • 樣本數 $n=40$。
   • 自由度 $df = n - 2 = 38$。雖然轉換後使用 Z 分配，但選項中出現了 t 分配，這表示題目可能採用另一種近似方法，或者選項設定有誤。
   • 然而，如果題目是考直接的 t 檢定，那自由度會是 $n-2=38$。但檢定 $\rho \neq 0$ 時用 t 分配，檢定 $\rho \neq \rho_0$ (非零) 時用 Z 轉換。

本題考驗迴歸分析中，對迴歸係數進行假設檢定時應使用的統計分配。

核心觀念：
在線性迴歸模型中，當母體誤差項 $\epsilon_i$ 服從常態分配時，迴歸係數的估計量（如 $\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2$）的抽樣分配近似服從 t 分配。

解題步驟：

1. 確定檢定類型：題目要求對迴歸係數 $\beta_0$ 進行假設檢定，虛無假說為 $\beta_0=0$，對立假說為 $\beta_0 \neq 0$。
2. 選擇統計分配：
   • 在線性迴歸模型中，通常假設誤差項 $\epsilon_i$ 服從平均值為 0、變異數為 $\sigma^2$ 的常態分配。
   • 在此假設下，對於任何迴歸係數（包括截距項 $\beta_0$ 和斜率項 $\beta_1, \beta_2$），其估計量 $\hat{\beta}$ 的抽樣分配服從 t 分配。

本題考驗複迴歸分析中，對多個迴歸係數進行聯合假設檢定時，F 分配的自由度判斷。

核心觀念：
在複迴歸分析中，檢定兩個或多個斜率係數的聯合顯著性時，使用 F 檢定，其統計量服從 F 分配。

解題步驟：

1. 確定檢定類型：題目要求檢定虛無假說 $H_0: \beta_1 = \beta_2 = 0$。這是檢定模型中兩個斜率係數 $\beta_1$ 和 $\beta_2$ 是否同時為零，即它們是否對 $Y$ 有聯合的顯著影響。這種檢定通常使用 F 檢定。
2. 選擇統計分配：F 檢定統計量服從 F 分配。
3. 確定自由度：
   • F 分配的自由度有兩個：分子自由度 ($df_1$) 和分母自由度 ($df_2$)。
   • 分子自由度 ($df_1$)：等於被檢定的參數個數。

本題要求根據研究者 A 和研究者 B 的模型，推導出研究者 B 的迴歸係數估計值 $\hat{\beta}_0$。

核心觀念：
理解虛擬變數 (dummy variables) 在迴歸模型中的應用，特別是當類別變數有三個或以上時，如何設定虛擬變數以及它們與模型參數的關係。

解題步驟：

1. 理解研究者 A 的模型：

   • 研究者 A 的模型是 $Y_i = \alpha_1 D_{i1} + \alpha_2 D_{i2} + \alpha_3 D_{i3} + \epsilon_i$。
   • 此模型沒有截距項，且使用了三個虛擬變數 $D_{i1}, D_{i2}, D_{i3}$ 來代表三個居住地類別。
   • $D_{i1}=1$ 代表居住在第一區，否則為 0。
   • $D_{i2}=1$ 代表居住在第二區，否則為 0。
   • $D_{i3}=1$ 代表居住在第三區，否則為 0。
   • 這個模型假設所有類別（居住地）的平均投資金額都與一個基準值（在此為 0）有關，並且有三個獨立的係數 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 來代表各自的影響。
   • 然而，當有 $k$ 個類別時，如果我們使用 $k$ 個虛擬變數且沒有截距項，這會導致完全共線性 (perfect multicollinearity)，因為 $D_{i1} + D_{i2} + D_{i3} = 1$ 對於所有樣本都成立。這通常是不允許的。
   • 更常見的做法是使用 $k-1$ 個虛擬變數，並包含一個截距項。
   • 如果研究者 A 的模型是正確設定且可以估計（例如，可能存在某種約束或軟體自動處理），則 $\hat{\alpha}_1, \hat{\alpha}_2, \hat{\alpha}_3$ 是三個居住地類別的平均投資金額（相對某個基準，但在此模型中基準是 0）。
   • 給定的估計值是：$\hat{\alpha}_1 = 3.59$、$\hat{\alpha}_2 = 5.63$、$\hat{\alpha}_3 = 5.177$。

2. 理解研究者 B 的模型：

   • 研究者 B 的模型是 $Y_i = \beta_0 + \beta_1 D_{i1} + \beta_2 D_{i2} + \epsilon_i$。
   • 此模型包含截距項 $\beta_0$，以及兩個虛擬變數 $D_{i1}$ 和 $D_{i2}$。
   • 這種設定通常意味著：
     • $\beta_0$ 代表基底類別（未被虛擬變數代表的類別）的平均投資金額。
     • $\beta_1$ 代表第一區相對於基底類別的平均投資金額差異。
     • $\beta_2$ 代表第二區相對於基底類別的平均投資金額差異。
   • 由於只有 $D_{i1}$ 和 $D_{i2}$，那麼第三類居住地（即 $D_{i3}=1$）就是基底類別，因為當居住在第三區時，$D_{i1}=0$ 且 $D_{i2}=0$。

3. 建立兩個模型之間的聯繫：

   • 研究者 A 的模型有三個虛擬變數，代表三個類別。
   • 研究者 B 的模型有兩個虛擬變數，代表其中兩個類別，第三個類別是基底。
   • 這種情況下的轉換通常涉及：
     • 研究者 A 的模型，如果沒有截距項，且假設 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 分別代表三個類別的平均值（或與某個零點的差異）。
     • 研究者 B 的模型，$\beta_0$ 是基底類別（第三區）的平均值。$\beta_1$ 是第一區相較於第三區的平均投資額差異。$\beta_2$ 是第二區相較於第三區的平均投資額差異。
   • 因此，我們可以推斷：
     • $\beta_0$ (第三區的平均投資額) 應該與研究者 A 模型中的 $\alpha_3$ (第三區的係數) 有關。
     • $\beta_1$ (第一區相較於第三區的差異) 應該是 $\alpha_1 - \alpha_3$。
     • $\beta_2$ (第二區相較於第三區的差異) 應該是 $\alpha_2 - \alpha_3$。

4. 計算 $\hat{\beta}_0$：

   • 基底類別是第三區。研究者 B 的截距項 $\hat{\beta}_0$ 應該代表第三區的平均投資金額。
   • 在研究者 A 的模型中，如果 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 代表各自類別的平均值，那麼 $\hat{\beta}_0$ 應該等於 $\hat{\alpha}_3$。

本題要求根據研究者 A 和研究者 B 的模型，推導出研究者 B 的迴歸係數估計值 $\hat{\beta}_1$。

核心觀念：
理解虛擬變數 (dummy variables) 在迴歸模型中的應用，特別是當類別變數有三個或以上時，如何設定虛擬變數以及它們與模型參數的關係。

解題步驟：

1. 理解研究者 A 的模型：

   • $Y_i = \alpha_1 D_{i1} + \alpha_2 D_{i2} + \alpha_3 D_{i3} + \epsilon_i$。
   • $\hat{\alpha}_1 = 3.59$ (第一區的估計影響)。
   • $\hat{\alpha}_2 = 5.63$ (第二區的估計影響)。
   • $\hat{\alpha}_3 = 5.177$ (第三區的估計影響)。
   • 在此模型中，三個類別的平均值被估計為 $\hat{\alpha}_1, \hat{\alpha}_2, \hat{\alpha}_3$。

2. 理解研究者 B 的模型：

   • $Y_i = \beta_0 + \beta_1 D_{i1} + \beta_2 D_{i2} + \epsilon_i$。

本題要求根據研究者 A 和研究者 B 的模型，推導出研究者 B 的迴歸係數估計值 $\hat{\beta}_2$。

核心觀念：
理解虛擬變數 (dummy variables) 在迴歸模型中的應用，特別是當類別變數有三個或以上時，如何設定虛擬變數以及它們與模型參數的關係。

解題步驟：

1. 理解研究者 A 的模型：

   • $Y_i = \alpha_1 D_{i1} + \alpha_2 D_{i2} + \alpha_3 D_{i3} + \epsilon_i$。
   • $\hat{\alpha}_1 = 3.59$ (第一區的估計影響)。
   • $\hat{\alpha}_2 = 5.63$ (第二區的估計影響)。
   • $\hat{\alpha}_3 = 5.177$ (第三區的估計影響)。
   • 在此模型中，三個類別的平均值被估計為 $\hat{\alpha}_1, \hat{\alpha}_2, \hat{\alpha}_3$。

2. 理解研究者 B 的模型：

本題考驗聯合機率密度函數的性質，要求找出常數 k 使其滿足機率密度函數的定義。

核心觀念：
一個函數 $f(x,y)$ 若為聯合機率密度函數，則必須滿足兩個條件：

1. $f(x,y) \ge 0$ 對於所有 $x, y$。
2. $\iint f(x,y) \, dx \, dy = 1$，積分範圍為整個定義域。

解題步驟：

1. 確認條件：題目給定的函數 $f(x, y) = kxy$ 僅在 $0 < x < y < 1$ 的區域有值，其他地方為 0。為了使 $f(x,y) \ge 0$，我們需要 $k \ge 0$。
2. 計算積分：我們需要計算在定義域 $0 < x < y < 1$ 上的二重積分，並令其等於 1。
   • 積分區域為一個三角形，其頂點為 (0,0), (0,1), (1,1)。
   • 積分順序可以選擇 dx dy 或 dy dx。我們選擇 dx dy，因為 x 的上限 (y) 依賴於 y，而 y 的上限是常數 1。
   • 積分範圍：$0 < y < 1$ 且 $0 < x < y$。

核心觀念

本題考查二維連續型隨機變數的期望值，以及期望值的線性性質：

$$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$$

其中聯合密度函數為

$$f(x,y)=8xy,\qquad 0<x<y<1.$$

因此二重積分範圍為

$$0<y<1,\qquad 0<x<y.$$

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解題方法

先分別計算 $E(X)$ 與 $E(Y)$。

1. 計算 $E(X)$

由期望值定義：

$$E(X)=\int_0^1\int_0^y x f(x,y)\,dx\,dy$$

代入 $f(x,y)=8xy$：

$$\begin{aligned} E(X) &=\int_0^1\int_0^y x(8xy)\,dx\,dy\\ &=8\int_0^1 y\left(\int_0^y x^2\,dx\right)dy\\ &=8\int_0^1 y\left(\frac{y^3}{3}\right)dy\\ &=\frac{8}{3}\int_0^1 y^4\,dy\\ &=\frac{8}{3}\cdot\frac{1}{5} =\frac{8}{15}. \end{aligned}$$

2. 計算 $E(Y)$

同理：

$$E(Y)=\int_0^1\int_0^y y f(x,y)\,dx\,dy$$

因此：

核心觀念

本題考查共變異數的定義：

$$\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$$

因此須依序求出 $E(X)$、$E(Y)$ 與 $E(XY)$。聯合密度的積分範圍由條件 $0<x<y<1$ 決定，可寫成：

$$0<y<1,\qquad 0<x<y$$

解題方法

先確認聯合密度函數已正規化：

$$\int_0^1\int_0^y 8xy\,dx\,dy =8\int_0^1 y\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^y dy =4\int_0^1 y^3dy =1$$

所以可直接依聯合密度計算各期望值。

一、計算 $E(X)$

$$\begin{aligned} E(X) &=\int_0^1\int_0^y x(8xy)\,dx\,dy\\ &=8\int_0^1 y\int_0^y x^2\,dx\,dy\\ &=8\int_0^1 y\cdot\frac{y^3}{3}\,dy\\ &=\frac{8}{3}\int_0^1y^4dy\\ &=\frac{8}{15} \end{aligned}$$

二、計算 $E(Y)$

$$\begin{aligned} E(Y) &=\int_0^1\int_0^y y(8xy)\,dx\,dy\\ &=8\int_0^1 y^2\int_0^y x\,dx\,dy\\ &=8\int_0^1 y^2\cdot\frac{y^2}{2}\,dy\\ &=4\int_0^1y^4dy\\ &=\frac45 \end{aligned}$$

三、計算 $E(XY)$

$$\begin{aligned} E(XY) &=\int_0^1\int_0^y xy(8xy)\,dx\,dy\\ &=8\int_0^1 y^2\int_0^y x^2\,dx\,dy\\ &=8\int_0^1 y^2\cdot\frac{y^3}{3}\,dy\\ &=\frac83\int_0^1y^5dy\\ &=\frac49 \end{aligned}$$

因此：

本題考驗計算聯合機率分佈下的機率。

核心觀念：
機率 $P(a \le X \le b, c \le Y \le d) = \iint_{R'} f(x,y) \, dx \, dy$，其中 $R'$ 是滿足 $a \le x \le b$ 且 $c \le y \le d$ 的區域。

解題步驟：

1. 確定積分區域：

   • 我們需要計算 $P(X \le Y \le 2X)$。

   • 這個事件描述了 $Y$ 的範圍在 $X$ 和 $2X$ 之間。

   • 同時，我們也必須考慮聯合密度函數的定義域：$0 < x < y < 1$。

   • 所以，我們需要找到滿足以下所有條件的 $(x,y)$ 區域：

     1. $0 < x < y < 1$ (來自聯合密度函數的定義域)
     2. $y \le 2x$ (來自 $Y \le 2X$)
     3. $x \le y$ (來自 $X \le Y$) - 這一條件已經包含在 $0 < x < y < 1$ 中。

   • 綜合條件：$0 < x$ 且 $x < y$ 且 $y < 1$ 且 $y \le 2x$。

   • 這意味著 $x < y \le 2x$。

   • 同時，我們還需要 $y < 1$。

   • 所以，我們有 $x < y \le \min(2x, 1)$。

   • 而且 $x$ 的範圍也受限制。因為 $y < 1$，所以 $x < y < 1$ 意味著 $x$ 也必須小於 1。

   • 另外，因為 $y \le 2x$，若 $y$ 接近 1，則 $x$ 至少要接近 $1/2$。

   • 所以，我們需要考慮 $x$ 的範圍。

     • 由於 $x < y$ 且 $y < 1$，所以 $x < 1$。
     • 由於 $y \le 2x$，且 $y > x$，所以 $x < 2x$，這總是對的。
     • 我們還需要 $y < 1$。
     • 如果 $2x \ge 1$（即 $x \ge 1/2$），那麼 $y$ 的上限是 1。
     • 如果 $2x < 1$（即 $x < 1/2$），那麼 $y$ 的上限是 $2x$。

   • 因此，積分區域可以分解為兩部分：

     • 區域 1：$0 < x < 1/2$ 且 $x < y \le 2x$。
     • 區域 2：$1/2 \le x < 1$ 且 $x < y < 1$。

2. 設定積分：

   • $P(X \le Y \le 2X) = \iint_{R'} f(x,y) \, dx \, dy$

本題考驗計算條件機率。

核心觀念：
條件機率 $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$。
對於連續型隨機變數，條件機率 $P(X=x|Y=y)$ 的計算需要用到條件密度函數 $f(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$。
在這裡，我們要求 $P(\frac{1}{3} < X < 1 | Y = \frac{1}{2})$。由於 Y 是連續變數，嚴格來說 $P(Y=1/2)=0$，所以不能直接用上述公式。
然而，在這種情況下，題目通常是指當 $Y$ 恰好取值為 $1/2$ 時，對 $X$ 的機率分布進行積分。這可以通過計算條件密度函數 $f(x|y)$，然後在 $Y=1/2$ 的條件下積分 $X$ 的範圍來得到。

解題步驟：

1. 計算 Y 的邊際密度函數 $f_Y(y)$：

   • 我們在第 17 題中已經計算過：$f_Y(y) = 4y^3$，其中 $0 < y < 1$。

2. 計算條件密度函數 $f(x|y)$：

   • $f(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$。
   • $f(x,y) = 8xy$ 且 $0 < x < y < 1$。
   • $f_Y(y) = 4y^3$。
   • $f(x|y) = \frac{8xy}{4y^3} = \frac{2x}{y^2}$
   • 此條件密度函數適用於 $0 < x < y$。

3. 代入 Y 的值：

   • 題目給定 $Y = 1/2$。我們將 $y = 1/2$ 代入條件密度函數。

本題考驗對不同機率分配及其樣本平均值作為參數估計量之不偏性 (unbiasedness) 的理解。

核心觀念：
一個估計量 $\hat{\theta}$ 被稱為參數 $\theta$ 的不偏估計量，如果 $E(\hat{\theta}) = \theta$。
對於獨立同分配 (i.i.d.) 的隨機變數樣本 $\{X_1, \dots, X_m\}$，樣本平均值 $\bar{X} = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m X_i$ 的期望值為 $E(\bar{X}) = E(X_1) = \mu$ (母體平均值)。
因此，$\bar{X}$ 是母體平均值 $\mu$ 的不偏估計量。我們需要逐一檢驗每個選項。

解題步驟：

1. 檢驗選項 (A) 二項分配 B(n,p)：

   • 二項分配 B(n,p) 的母體平均值是 $E(X) = np$。
   • 樣本平均值 $\bar{X}$ 的期望值是 $E(\bar{X}) = E(X) = np$。
   • 題目說「參數 n 已知, p 為未知」。$\bar{X}$ 的期望值是 $np$。如果我們要估計的是 $p$，那麼 $\bar{X}$ 就不是 $p$ 的不偏估計量，因為 $E(\bar{X}) = np \neq p$ (除非 $n=1$)。
   • 若題目是問 $\bar{X}$ 是否為 $np$ 的不偏估計量，答案是肯定的。但題目問的是 $\bar{X}$ 是否為 $p$ 的不偏估計量。
   • 結論：(A) 錯誤。

2. 檢驗選項 (B) 幾何分配 Geo(p)：

   • 幾何分配 Geo(p) 的母體平均值是 $E(X) = 1/p$。
   • 樣本平均值 $\bar{X}$ 的期望值是 $E(\bar{X}) = E(X) = 1/p$。
   • 題目說「參數 p 為未知」。$\bar{X}$ 的期望值是 $1/p$。

本題考驗機率與統計中的重要不等式、期望值與變異數的性質。

核心觀念：
Markov 不等式、Chebyshev 不等式、變異數性質、協方差性質、全期望公式 (Law of Total Expectation) 和全變異數公式 (Law of Total Variance)。

解題步驟：

1. 檢驗選項 (A)：

   • 這是 Markov 不等式的推廣，稱為 Markov's Inequality for $E(|X|^\alpha)$。
   • Markov 不等式指出：若 $X$ 為一隨機變數且 $E(|X|^\alpha)$ 存在，對於任意 $a > 0$，有 $P(|X| \ge a) \le \frac{E(|X|^\alpha)}{a^\alpha}$。
   • 此處 $a$ 對應題目中的 $\epsilon$，$\alpha$ 對應題目中的 $\alpha$。
   • 所以，選項 (A) 的敘述是正確的。
   • 結論：(A) 正確。

2. 檢驗選項 (B)：

   • 這是 Chebyshev 不等式。
   • Chebyshev 不等式指出：若隨機變數 $X$ 的平均數 $\mu$ 和變異數 $\sigma^2$ 存在，對於任意 $k > 0$，有 $P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}$。
   • 此處題目中的 $\sigma$ 是標準差，所以 $k\sigma$ 就是標準差的 $k$ 倍。
   • 選項 (B) 的敘述與 Chebyshev 不等式一致。
   • 結論：(B) 正確。

3. 檢驗選項 (C)：

   • 對於兩個隨機變數 $X$ 和 $Y$，變異數的性質是 $Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)$。
   • 因此，$Var(X+Y) \ge Var(X) + Var(Y)$ 當且僅當 $Cov(X,Y) \ge 0$。