114 年 國立中山大學國際資產管理研究所乙組《統計學》

本題考驗獨立重複試驗的機率計算。
一枚公正的硬幣投擲三次，每次投擲結果獨立，且出現正面 (H) 或反面 (T) 的機率皆為 1/2。
我們關心的是恰好出現兩次正面的情況。
可能的樣本空間共有 $2^3 = 8$ 種結果，分別為：
HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT

本題考驗對統計學基本名詞的理解。
標準差 (Standard Deviation) 是用來衡量數據集分散程度的指標。

• (A) Central Tendency (集中趨勢)：衡量數據的中心位置，例如平均數、中位數、眾數。

本題考驗對常態分佈特性的理解。
常態分佈 (Normal Distribution)，又稱高斯分佈，是一種機率分佈。其主要特性如下：

1. 對稱性 (Symmetry)：常態分佈的圖形是左右對稱的，對稱軸為平均數。
2. 中心位置：在對稱分佈中，平均數 (Mean)、中位數 (Median) 和眾數 (Mode) 必定相等，且都位於分佈的中心。
3. 偏度 (Skewness)：由於常態分佈是完全對稱的，因此其偏度係數為 0。

核心觀念

本題考查推論統計學中信賴區間（Confidence Interval, CI）的正確定義與古典統計學（Frequentist Approach）機率詮釋。

1. 頻率學派的觀點：
   母體參數（Population Parameter，如母體平均數 $\mu$）是一個未知但固定不變的常數，而非隨機變數。
2. 隨機性來自於樣本：
   信賴區間的兩端點 $[\hat{\theta}_L, \hat{\theta}_U]$ 是利用抽樣樣本計算出來的統計量，因此區間本身才是隨機的（Random Interval）。
3. $95\%$ 信賴水準（Confidence Level）的意義：
   若重複進行獨立抽樣 $100$ 次，並依照相同的建構程序各算出一組 $95\%$ 信賴區間，則長期而言約有 $95$ 次所建構的區間會涵蓋真實母體參數。
4. 單一特定區間的機率：
   當一組具體的樣本資料收集完成並計算出特定數值區間（例如 $[10, 20]$）後，真實母體參數要麼落在該區間內，要麼不落在該區間內，其機率只有 $1$ 或 $0$，不能再說「母體參數有 $95\%$ 的機率落在該特定區間內」。

解題方法

本題為經典的概念辨正選擇題。在商管研究所考題中，探討「何者為最佳描述」或「出題者認可的標準答案」時，常出現古典統計嚴謹定義與一般教科書直觀通俗陳述之間的取捨：

• 嚴謹的古典統計敘述應為：「有 $95\%$ 的信心該區間涵蓋真實母體參數」或「在重複抽樣下，有 $95\%$ 的區間會涵蓋母體參數」。
• 當題目選項未提供嚴格的「重複抽樣覆蓋率」陳述時，商管統計試題中常見將 (B)「母體參數有 $95\%$ 的機率落在此區間」視為通俗理解上的預期答案；其餘選項 (A)、(C)、(D)、(E) 則存在嚴重的基本概念錯誤。

選項分析

• (A) 錯誤：
  $95\%$ 信賴區間估計的是「母體參數」（如平均數），而非「個別原始資料的落點」。能涵蓋 $95\%$ 原始資料的區間稱為「預測區間」（Prediction Interval）或「容限區間」（Tolerance Interval）。

本題考驗對線性迴歸中判定係數 $R^2$ 的理解。
$R^2$，稱為判定係數 (Coefficient of Determination)，是衡量迴歸模型擬合優度的重要指標。
它表示依變數 (dependent variable) 的總變異中，有多少比例可以被自變數 (independent variables) 所解釋。
數學上，$R^2$ 的計算公式為：
$R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST}$
其中：

• $SSE$ (Sum of Squared Errors) 是殘差平方和，代表模型無法解釋的變異。
• $SST$ (Total Sum of Squares) 是總平方和，代表依變數的總變異。

本題考驗對抽樣分佈標準誤 (Standard Error, SE) 的理解。
抽樣分佈是指從母體中抽取所有可能樣本，計算樣本統計量 (例如樣本平均數) 後所形成的機率分佈。
標準誤是抽樣分佈的標準差，它衡量樣本統計量對母體參數的抽樣變異性。

本題考驗對期望值 (Expected Value) 的理解。
期望值，也稱為平均值或均值，是隨機變數在多次實驗中平均會出現的值。它是衡量隨機變數分佈的中心位置的指標。

• (A) Central Tendency (集中趨勢)：衡量數據的中心位置，期望值是衡量隨機變數集中趨勢的最重要指標之一。

本題考驗假設檢定 (Hypothesis Testing) 中 p-value 的判讀與決策規則。

在假設檢定中，我們設定一個顯著水準 $\alpha$ (significance level)。
p-value 是指在虛無假設 (Null Hypothesis, $H_0$) 為真的前提下，觀察到樣本統計量或更極端結果的機率。

決策規則如下：

• 如果 p-value $\le \alpha$：我們有足夠的證據拒絕虛無假設 $H_0$，而接受對立假設 $H_1$。
• 如果 p-value $> \alpha$：我們沒有足夠的證據拒絕虛無假設 $H_0$。

題目中提到 p-value 小於顯著水準 $\alpha$ (p-value $< \alpha$)，因此我們應該拒絕虛無假設。

本題考驗對不同統計檢定方法的用途的理解。題目問的是「多個變數之間」的關係，這通常指的是兩個或多個變數之間的相關性或聯合變異。

分析選項：
(A) t-test (t檢定)：主要用於比較兩組樣本的平均數是否有顯著差異，或檢定單一樣本平均數是否等於某特定值。它通常處理的是一個連續變數和一個類別變數（兩類）。
(B) Chi-Square Test (卡方檢定)：主要用於檢定類別變數之間的關聯性（獨立性檢定），或檢定觀察頻率與期望頻率是否一致（適合度檢定）。它處理的是類別變數。
(C) Correlation Analysis (相關分析)：用於衡量兩個連續變數之間線性關聯的強度與方向。例如皮爾森相關係數。如果考慮多個變數之間的線性關係，則可能涉及到多元相關分析。

本題考驗對常見機率分佈類型的區分：離散型 (Discrete) 與連續型 (Continuous)。

• 離散型機率分佈：隨機變數只能取一系列孤立的值（通常是整數），其機率質量函數 (Probability Mass Function, PMF) 定義在這些離散值上。
• 連續型機率分佈：隨機變數可以取某區間內的所有值，其機率由機率密度函數 (Probability Density Function, PDF) 定義。

本題考驗對假設檢定中第一類錯誤 (Type I Error) 的定義。

假設檢定有兩種可能的錯誤：

1. 第一類錯誤 (Type I Error)：當虛無假設 ($H_0$) 為真時，卻拒絕了虛無假設。其發生的機率以 $\alpha$ 表示，也就是顯著水準。
2. 第二類錯誤 (Type II Error)：當虛無假設 ($H_0$) 為偽時，卻未能拒絕虛無假設。其發生的機率以 $\beta$ 表示。

本題考驗中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的內容。

中央極限定理的核心內容是：
「不論母體分佈的形狀為何，當樣本大小 $n$ 足夠大時，由母體抽取之樣本平均數的抽樣分佈將近似於常態分佈。」

通常，「足夠大」的樣本大小定義為 $n \ge 30$。

分析選項：
(A) The population distribution must be normal. (母體分佈必須是常態)：這是 CLT 的前提之一，但 CLT 的強大之處在於即使母體不是常態，只要樣本夠大，樣本平均數的抽樣分佈也會趨近常態。所以這不是 CLT 適用的「情境」，而是 CLT 證明樣本平均數分佈近似常態的「條件」之一（如果母體就是常態，樣本平均數分佈永遠是常態，不論樣本大小）。
(B) The population sample size must be less than 30. (母體樣本大小必須小於 30)：這與 CLT 的要求完全相反。CLT 適用於「足夠大」的樣本，通常指 $n \ge 30$。

核心觀念

本題考查「母體標準差已知時，母體平均數的 $95\%$ 信賴區間」。

由於樣本數 $n=100$ 較大，且母體標準差 $\sigma=10$ 已知，因此使用標準常態分配的信賴區間公式：

其中：

• $\bar{x}=50$：樣本平均數
• $\sigma=10$：母體標準差
• $n=100$：樣本數
• $95\%$ 信賴水準對應 $z_{0.025}=1.96$
• $\frac{\sigma}{\sqrt n}$：樣本平均數的標準誤

解題方法

先計算樣本平均數的標準誤：

因此，母體平均數的 $95\%$ 信賴區間為：

也就是：

換算成區間：

選項分析

• (A) $50\pm1.96$：
  數值上正確，因為本題標準誤恰好為 $1$。但此選項未明確呈現標準誤 $\frac{\sigma}{\sqrt n}$ 的計算過程。

本題考驗在估計母體變異數時所使用的機率分佈。
當母體服從常態分佈時，樣本變異數 $S^2$ 的抽樣分佈與 $\chi^2$ 分佈 (卡方分佈) 有關。
具體來說，統計量 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 服從自由度為 $n-1$ 的卡方分佈，即：
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$
這個關係被用來建構母體變異數 $\sigma^2$ 的信賴區間。

分析選項：
(A) t distribution (t分佈)：用於母體標準差未知，且母體為常態分佈時，估計母體平均數的信賴區間或進行平均數檢定。

本題考驗對假設檢定中 p-value 的定義。

p-value 的嚴謹定義是：
「在虛無假設 ($H_0$) 為真的條件下，觀察到當前樣本統計量或比當前樣本統計量更極端（與對立假設 $H_1$ 所指示的方向一致）的結果的機率。」

分析選項：
(A) The probability of observing the test statistic or more extreme values under the null hypothesis (在虛無假設下，觀察到檢定統計量或更極端值的機率)：這完全符合 p-value 的定義。

本題考驗對二項分佈 (Binomial Distribution) 適用條件的理解。
二項分佈適用於以下條件：

1. 試驗由 $n$ 次獨立的重複試驗組成。
2. 每次試驗只有兩種可能結果：「成功」(success) 或「失敗」(failure)。
3. 每次試驗成功的機率 $p$ 是恆定的。
4. 我們關心的是 $n$ 次試驗中成功的總次數。

分析選項：
(A) Rolling a die and recording the outcome (擲骰子並記錄結果)：一次擲骰子有 6 種結果，不是只有兩種。如果定義「擲出 6 點」為成功，「非 6 點」為失敗，那麼一次試驗有兩種結果，但如果我們連續擲骰子 $n$ 次，並記錄每次的結果（例如 1, 2, 3, 4, 5, 6），則不是二項分佈。若只關心 $n$ 次內出現 6 點的次數，則符合二項分佈。但此選項描述比較模糊。

本題考驗對均勻分佈 (Uniform Distribution) 機率密度函數 (Probability Density Function, PDF) 的理解。
一個在區間 $[a, b]$ 上均勻分佈的連續隨機變數 $X$，其機率密度函數 $f(x)$ 的形式為：
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{for } a \le x \le b \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$
這個函數表示在區間 $[a, b]$ 內，任何值出現的機率密度都是相等的，且區間外的機率密度為零。
為了使 $f(x)$ 成為一個有效的機率密度函數，其積分必須等於 1：

本題考驗對盒狀圖 (Boxplot) 主要用途的理解。
盒狀圖是一種用於顯示數據分佈的圖形方法，它能直觀地展示數據的幾個關鍵特徵：

• 中位數 (Median)：盒狀圖的中線代表中位數，是集中趨勢的指標。
• 四分位數 (Quartiles)：盒子的上下邊分別代表第一四分位數 (Q1) 和第三四分位數 (Q3)。盒子的長度 (Q3 - Q1) 代表四分位距 (Interquartile Range, IQR)，是數據散佈程度（離散程度）的一種度量。
• 最小值與最大值 (Minimum and Maximum)：從箱子延伸出的「鬚」(whiskers) 通常延伸到數據範圍內的最大值和最小值（在排除離群值的情況下）。
• 離群值 (Outliers)：超出鬚範圍的點通常被標示為離群值。

因此，盒狀圖的主要目的是顯示數據的集中趨勢（中位數）和散佈程度（四分位距、極值範圍）。

本題考驗累積分佈函數 (Cumulative Distribution Function, CDF) 的基本性質。
CDF $F(x)$ 定義為隨機變數 $X$ 小於或等於 $x$ 的機率，即 $F(x) = P(X \le x)$。

我們要求的是 $P(a < X < b)$。
根據 CDF 的性質，我們可以將此機率表示為：
$P(a < X < b) = P(X < b) - P(X \le a)$
對於連續型隨機變數， $P(X < b) = P(X \le b) = F(b)$。
對於離散型隨機變數， $P(X < b)$ 可能不等於 $F(b)$。
但是，題目中給定 $F(a)$ 和 $F(b)$，並且通常在這種情況下，如果沒有特別說明，我們假設為連續型隨機變數，或者題目所問的機率形式是 $P(a < X \le b)$。

如果我們要求的是 $P(a < X \le b)$，則：
$P(a < X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a) = F(b) - F(a)$

如果題目問的是 $P(a < X < b)$，對於連續型變數， $P(a < X < b) = P(a \le X < b) = P(a < X \le b) = P(a \le X \le b)$，所以結果都是 $F(b) - F(a)$。
如果變數是離散的，則 $P(a < X < b) = P(X \le b-1) - P(X \le a)$ (假設 $X$ 只取整數)。
但題目給定 $F(a)$ 和 $F(b)$，且選項為 $F(b)-F(a)$，這強烈暗示了我們應該使用連續型變數的性質，或者題目實際上是指 $P(a < X \le b)$。

在標準的統計學問題中，如果 $F(x)$ 是 CDF，則 $P(a < X \le b) = F(b) - F(a)$。
若題目問的是 $P(a < X < b)$，且 $X$ 是連續隨機變數，則 $P(a < X < b) = P(a \le X \le b) = F(b) - F(a)$。

本題考驗貝氏定理 (Bayes' Theorem) 的應用場景。
貝氏定理是用來更新一個事件的機率，當我們獲得新的證據或資訊時。它描述了在已知某些條件下的機率，如何根據新的證據來計算這些條件下的更新機率。

貝氏定理的公式為：
$P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)}$
其中：

• $P(A|B)$ 是在事件 B 發生後，事件 A 發生的後驗機率 (posterior probability)。
• $P(A)$ 是事件 A 的先驗機率 (prior probability)。
• $P(B|A)$ 是在事件 A 發生時，事件 B 發生的機率。
• $P(B)$ 是事件 B 發生的機率。

這個公式的核心思想是「根據新證據 B 來更新對 A 的信念 (機率)」。

分析選項：
(A) Ensuring the sample mean approaches a normal distribution as the sample size increases (確保樣本平均數隨著樣本

本題要求計算簡單線性迴歸模型中的截距項 $\beta_0$。
迴歸線方程式為 $\hat{Y} = \beta_0 + \beta_1 X$。
其中 $\beta_0$ 是截距項，$\beta_1$ 是斜率。
我們已知以下統計量：

• 樣本數 $n = 25$
• $\sum X = 200$
• $\sum Y = 300$
• $\sum X^2 = 1660$
• $\sum Y^2 = 3696$
• $\sum XY = 2436$

首先，我們需要計算樣本平均數 $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$：
$\bar{X} = \frac{\sum X}{n} = \frac{200}{25} = 8$
$\bar{Y} = \frac{\sum Y}{n} = \frac{300}{25} = 12$

迴歸線的截距項 $\beta_0$ 可以通過以下公式計算：
$\beta_0 = \bar{Y} - \beta_1 \bar{X}$
因此，我們需要先計算斜率 $\beta_1$。
斜率 $\beta_1$ 的公式為：

本題要求計算簡單線性迴歸模型中的斜率項 $\beta_1$。
迴歸線方程式為 $\hat{Y} = \beta_0 + \beta_1 X$。
我們已知以下統計量：

• 樣本數 $n = 25$
• $\sum X = 200$
• $\sum Y = 300$
• $\sum X^2 = 1660$
• $\sum Y^2 = 3696$
• $\sum XY = 2436$

本題要求計算離散隨機變數的期望值 (Expected Value)。
期望值 $E(X)$ 的計算公式為：
$E(X) = \sum_{i} x_i P(X=x_i)$
其中 $x_i$ 是隨機變數 $X$ 可能取的值，而 $P(X=x_i)$ 是對應的機率。

給定的機率分佈表為：

本題要求計算離散隨機變數的變異數 (Variance)。
變異數 $V(X)$ 的計算公式有兩種常用形式：

1. $V(X) = E[(X - E(X))^2]$
2. $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

我們已經在前一題計算出期望值 $E(X) = 57$。
現在我們使用第二種公式，需要先計算 $E(X^2)$。
$E(X^2)$ 的計算公式為：
$E(X^2) = \sum_{i} x_i^2 P(X=x_i)$

給定的機率分佈表為：

本題要求計算預期收入 $E(Y)$。
題目給定：

• 每位乘客支付 15 NTD。
• $Y$ 代表每輛公車的總收入。
• $X$ 代表每輛公車的乘客數（如 Q2 所定義）。

我們知道，總收入 $Y$ 是由每位乘客的支付金額乘以乘客數 $X$ 得出的。
因此，$Y = 15 \times X$。

本題要求計算預期收入 $V(Y)$ 的變異數。
題目給定：

• 每位乘客支付 15 NTD。
• $Y$ 代表每輛公車的總收入。
• $X$ 代表每輛公車的乘客數（如 Q2 所定義）。

我們知道，總收入 $Y = 15 \times X$。

本題考驗獨立事件的機率計算。
題目給定 A 和 B 是獨立事件，且 $P(A) = 0.9$，$P(B) = 0.3$。
我們需要計算 $P(A \setminus B)$，這表示事件 A 發生但事件 B 不發生的機率。

由於 A 和 B 是獨立事件，這意味著：

• $P(A \cap B) = P(A) P(B)$
• $P(A | B) = P(A)$
• $P(B | A) = P(B)$
• 事件 A 與事件 $B^c$ (B 的補集，即 B 不發生) 也是獨立的。
• 事件 $A^c$ (A 的補集，即 A 不發生) 與事件 B 也是獨立的。
• 事件 $A^c$ 與事件 $B^c$ 也是獨立的。

事件 $A \setminus B$ 可以表示為 $A \cap B^c$ (A 發生且 B 不發生)。
因為 A 和 B 是獨立事件，所以 A 和 $B^c$ 也是獨立事件。
因此，

本題考驗獨立事件的交集機率計算。
題目給定 A 和 B 是獨立事件，且 $P(A) = 0.9$，$P(B) = 0.3$。
我們需要計算 $P(A \cap B)$，這表示事件 A 和事件 B 同時發生的機率。