108 年 國立中山大學財務管理學系碩士班《微積分》

本題主要考驗學生對函數二階導數與反曲點（inflection points）的理解。反曲點發生在函數的二階導數改變符號的地方，而這通常發生在二階導數為零或不存在之處。

解題步驟：

1. 計算一階導數 $f'(x)$
   $f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} \right)$
   $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} \cdot \frac{d}{dx} \left( -\frac{x^2}{2} \right)$
   $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} \cdot (-x)$
   $f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$

2. 計算二階導數 $f''(x)$
   我們需要使用乘法定則對 $f'(x)$ 進行微分。
   $f''(x) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{x}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} \right)$
   $f''(x) = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{d}{dx} \left( x e^{-x^2/2} \right)$
   $f''(x) = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[ (1) \cdot e^{-x^2/2} + x \cdot \left( e^{-x^2/2} \cdot (-x) \right) \right]$
   $f''(x) = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[ e^{-x^2/2} - x^2 e^{-x^2/2} \right]$
   $f''(x) = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} (1 - x^2)$

3. 尋找二階導數為零之處
   令 $f''(x) = 0$。
   $-\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} (1 - x^2) = 0$
   由於 $e^{-x^2/2}$ 恆大於 0，且 $-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ 也是常數，所以我們只需要關注 $(1 - x^2)$。
   $1 - x^2 = 0$
   $x^2 = 1$
   $x = 1 \quad \text{或} \quad x = -1$

本題主要考驗學生對於多項式除法與不定積分的應用。當被積函數是分數形式，且分子次數大於或等於分母次數時，通常需要先進行多項式長除法或代數變換，將其化為多項式與真分數（分子次數小於分母次數）的和，再進行積分。

解題步驟：

1. 進行多項式長除法
   我們將分子 $x^2+x+1$ 除以分母 $x-1$。

         x + 2
       _______
   x-1 | x^2 + x + 1
         -(x^2 - x)
         _________
               2x + 1
             -(2x - 2)
             _________
                   3
   

   所以，$x^2+x+1 = (x-1)(x+2) + 3$。
   因此，被積函數可以改寫為：
   $\frac{x^2+x+1}{x-1} = x+2 + \frac{3}{x-1}$

本題主要考驗學生對不定積分的計算能力，特別是當被積函數是帶有二次多項式分母的有理函數時，常需要使用配方法和三角換元法（或反雙曲函數）來求解。

解題步驟：

1. 配方法處理分母
   首先，我們對分母 $x^2-4x+1$ 進行配方法：
   $x^2 - 4x + 1 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 1 = (x-2)^2 - 3$
   所以，積分變為：
   $\int \frac{1}{(x-2)^2 - 3} dx$

2. 三角換元法或反雙曲函數
   這個積分形式類似於 $\int \frac{1}{u^2 - a^2} du$ 或 $\int \frac{1}{a^2 - u^2} du$。在這裡，$u = x-2$，$du = dx$，而 $a^2 = 3$，所以 $a = \sqrt{3}$。
   我們可以使用以下兩種方法之一：

   方法一：使用部分分式分解（若分母可分解為線性因子）
   然而，$(x-2)^2 - 3$ 的根是 $x-2 = \pm \sqrt{3}$，即 $x = 2 \pm \sqrt{3}$，這不是整數，直接部分分式分解會產生根號，通常不如配方法後換元方便。

   方法二：三角換元法
   令 $u = x-2$，則 $du = dx$。積分變為 $\int \frac{1}{u^2 - 3} du$。
   我們知道 $\int \frac{1}{u^2 - a^2} du = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right| + C$。
   在這裡，$a = \sqrt{3}$。
   所以，
   $\int \frac{1}{u^2 - 3} du = \frac{1}{2\sqrt{3}} \ln\left|\frac{u-\sqrt{3}}{u+\sqrt{3}}\right| + C$
   將 $u = x-2$ 代回：
   $\int \frac{1}{x^2-4x+1} dx = \frac{1}{2\sqrt{3}} \ln\left|\frac{(x-2)-\sqrt{3}}{(x-2)+\sqrt{3}}\right| + C$
   $= \frac{1}{2\sqrt{3}} \ln\left|\frac{x-2-\sqrt{3}}{x-2+\sqrt{3}}\right| + C$

   方法三：直接套用積分公式（反雙曲函數）
   我們也可以將其視為 $\int \frac{1}{u^2 - a^2} du$ 的形式，其積分結果為 $\frac{1}{2a} \ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right| + C$。

本題主要考驗學生對三角函數積分的計算能力，特別是偶數次冪的三角函數積分。通常需要利用降冪公式（power-reduction formulas）來將高次方的三角函數降為一次方。

解題步驟：

1. 利用降冪公式
   我們需要計算 $\int_0^{\pi/4} \sin^4 x \, dx$。
   首先，我們知道 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$。
   因此，$\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = \left( \frac{1 - \cos(2x)}{2} \right)^2$。
   展開上式：
   $\sin^4 x = \frac{1}{4} (1 - \cos(2x))^2 = \frac{1}{4} (1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x))$

2. 再次利用降冪公式處理 $\cos^2(2x)$
   我們還需要處理 $\cos^2(2x)$。使用降冪公式 $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$。
   令 $\theta = 2x$，則 $2\theta = 4x$。
   所以，$\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$。

3. 代回原式並積分
   將 $\cos^2(2x)$ 的表達式代回 $\sin^4 x$ 的展開式：
   $\sin^4 x = \frac{1}{4} \left( 1 - 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2} \right)$
   $\sin^4 x = \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{2} - 2\cos(2x) + \frac{1}{2}\cos(4x) \right)$
   $\sin^4 x = \frac{1}{4} \left( \frac{3}{2} - 2\cos(2x) + \frac{1}{2}\cos(4x) \right)$
   $\sin^4 x = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)$

本題考驗學生對多元函數偏導數的理解與計算。曲面的斜率在某特定方向上，即為該方向上的偏導數。題目要求在點 $(3,0,4)$ 處，沿著 x 方向和 y 方向的斜率，分別對應著 $Z$ 對 $x$ 的偏導數 $\frac{\partial Z}{\partial x}$ 和 $Z$ 對 $y$ 的偏導數 $\frac{\partial Z}{\partial y}$。

解題步驟：

1. 確認函數與點
   函數為 $Z(x,y) = \sqrt{25-x^2-y^2}$。
   給定的點是 $(3,0,4)$。注意，這個點的 z 座標是 $Z(3,0) = \sqrt{25-3^2-0^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4$，所以點 $(3,0,4)$ 確實是在曲面上。我們需要計算偏導數在 $(x,y) = (3,0)$ 處的值。

2. 計算對 x 的偏導數 $\frac{\partial Z}{\partial x}$
   將 $Z$ 看作是關於 $x$ 的函數，而 $y$ 視為常數。
   $Z = (25-x^2-y^2)^{1/2}$
   $\frac{\partial Z}{\partial x} = \frac{1}{2} (25-x^2-y^2)^{-1/2} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(25-x^2-y^2)$
   $\frac{\partial Z}{\partial x} = \frac{1}{2} (25-x^2-y^2)^{-1/2} \cdot (-2x)$
   $\frac{\partial Z}{\partial x} = -x (25-x^2-y^2)^{-1/2} = \frac{-x}{\sqrt{25-x^2-y^2}}$

3. 在點 $(3,0)$ 處計算 $\frac{\partial Z}{\partial x}$
   將 $x=3$ 和 $y=0$ 代入 $\frac{\partial Z}{\partial x}$：

本題考驗學生對多元函數方向導數的計算。方向導數 $D_{\mathbf{u}}f(x,y)$ 表示函數 $f$ 在點 $(x,y)$ 處，沿著單位向量 $\mathbf{u}$ 方向變化的率。其計算公式為 $D_{\mathbf{u}}f(x,y) = \nabla f(x,y) \cdot \mathbf{u}$，其中 $\nabla f(x,y)$ 是函數 $f$ 的梯度。

解題步驟：

1. 計算函數 $f(x,y)$ 在點 $(4,-2)$ 的梯度 $\nabla f(4,-2)$
   首先，我們需要計算函數 $f(x,y) = xy^2+x^3y$ 的偏導數。

   • 對 $x$ 的偏導數：
     $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(xy^2+x^3y) = y^2 + 3x^2y$
   • 對 $y$ 的偏導數：
     $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(xy^2+x^3y) = 2xy + x^3$

   現在，我們將點 $(4,-2)$ 代入偏導數中：

   • 在 $(4,-2)$ 處的 $\frac{\partial f}{\partial x}$：
     $\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(4,-2)} = (-2)^2 + 3(4^2)(-2) = 4 + 3(16)(-2) = 4 - 96 = -92$
   • 在 $(4,-2)$ 處的 $\frac{\partial f}{\partial y}$：
     $\left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(4,-2)} = 2(4)(-2) + (4^3) = -16 + 64 = 48$

   所以，梯度向量在點 $(4,-2)$ 為：

本題考驗學生求解一階線性微分方程的能力。給定的方程 $\frac{dy}{dt} = y - t^2$ 可以改寫為標準形式 $\frac{dy}{dt} - y = -t^2$，這是一個一階線性非齊次微分方程。

解題步驟：

1. 將微分方程化為標準形式
   $\frac{dy}{dt} - y = -t^2$
   這個方程的形式是 $\frac{dy}{dt} + P(t)y = Q(t)$，其中 $P(t) = -1$ 且 $Q(t) = -t^2$。

2. 計算積分因子 (Integrating Factor)
   積分因子為 $e^{\int P(t) dt}$。
   $\int P(t) dt = \int (-1) dt = -t$
   所以，積分因子為 $e^{-t}$。

3. 將方程兩邊乘以積分因子
   $e^{-t} \left( \frac{dy}{dt} - y \right) = e^{-t} (-t^2)$
   方程的左邊現在是 $(e^{-t}y)$ 對 $t$ 的導數：
   $\frac{d}{dt}(e^{-t}y) = -t^2 e^{-t}$

4. 對兩邊進行積分
   我們需要計算右邊的積分 $\int -t^2 e^{-t} dt$。這需要使用分部積分法兩次。
   令 $I = \int t^2 e^{-t} dt$。
   第一次分部積分：令 $u = t^2$, $dv = e^{-t} dt$。則 $du = 2t \, dt$, $v = -e^{-t}$。
   $I = -t^2 e^{-t} - \int (-e^{-t})(2t \, dt) = -t^2 e^{-t} + 2 \int t e^{-t} dt$
   第二次分部積分（對 $\int t e^{-t} dt$）：令 $u = t$, $dv = e^{-t} dt$。則 $du = dt$, $v = -e^{-t}$。
   $\int t e^{-t} dt = -t e^{-t} - \int (-e^{-t}) dt = -t e^{-t} + \int e^{-t} dt = -t e^{-t} - e^{-t}$
   將第二次積分的結果代回第一次：
   $I = -t^2 e^{-t} + 2 (-t e^{-t} - e^{-t})$
   $I = -t^2 e^{-t} - 2t e^{-t} - 2e^{-t}$

核心觀念

本題考查二變數函數在矩形區域上的平均值。

若產品 1 銷售量 $x$ 均勻分布於 $[150,200]$，產品 2 銷售量 $y$ 均勻分布於 $[80,100]$，則平均每週利潤為利潤函數在矩形區域

$$R=\{(x,y):150\le x\le 200,\ 80\le y\le 100\}$$

上的平均值：

$$\overline{P} = \frac{1}{\text{Area}(R)} \iint_R P(x,y)\,dA$$

其中

$$P(x,y)=-(x-200)^2-(y-100)^2+5000$$

矩形面積為

$$\text{Area}(R)=(200-150)(100-80)=50\cdot20=1000$$

題目只說銷售量介於兩個數值之間，未明示機率分布；以下採用最合理的假設：$x,y$ 在各自區間內均勻分布，且彼此獨立。

解題方法

由於利潤函數可以拆成 $x$ 與 $y$ 的兩部分，分別計算平均值最有效率。

產品 1 的平均影響

在 $150\le x\le200$ 上，計算 $(x-200)^2$ 的平均值：

$$\frac{1}{200-150}\int_{150}^{200}(x-200)^2\,dx = \frac{1}{50}\int_{150}^{200}(x-200)^2\,dx$$

其積分為

$$\int (x-200)^2\,dx = \frac{(x-200)^3}{3}$$

因此

$$\frac{1}{50} \left[ \frac{(x-200)^3}{3} \right]_{150}^{200} = \frac{1}{50} \left( 0-\frac{(-50)^3}{3} \right)$$ $$= \frac{1}{50}\cdot\frac{125000}{3} = \frac{2500}{3}$$

所以產品 1 對平均利潤的扣除量為

$$\frac{2500}{3}$$

產品 2 的平均影響

在 $80\le y\le100$ 上，計算 $(y-100)^2$ 的平均值：

$$\frac{1}{100-80}\int_{80}^{100}(y-100)^2\,dy = \frac{1}{20}\int_{80}^{100}(y-100)^2\,dy$$

因此