109 年 國立中山大學財務管理學系碩士班《微積分》

核心觀念

本題考查數列遞迴關係的代數整理，以及由已知初始值檢查數列條件是否一致。關鍵是將遞迴式整理成可直接求出 $a_{n+1}$ 的形式。

解題方法

令

$$x=a_n,\qquad y=a_{n+1}.$$

題目給定

$$a_{n+1}+a_n+1=2(a_{n+1}a_n+a_{n+1}+a_n),$$

代入 $x,y$ 得

$$x+y+1=2(xy+y+x).$$

整理：

$$2xy+y+x-1=0.$$

將式子配成乘積：

$$4xy+2x+2y-2=0,$$

因此

$$4xy+2x+2y+1=3.$$

左側可因式分解為

$$(2x+1)(2y+1)=3.$$

故遞迴關係等價於

$$(2a_n+1)(2a_{n+1}+1)=3.$$

取 $n=1$，且 $a_1=1$：

$$(2a_1+1)(2a_2+1)=3,$$ $$3(2a_2+1)=3.$$

所以

$$2a_2+1=1, \qquad a_2=0.$$

然而題目同時要求數列嚴格遞增，即

$$a_2>a_1.$$

核心觀念

題目中的

$$\max\{x^2,y^2\}$$

必須依照 $x^2$ 與 $y^2$ 的大小分區：

• 當 $|x|\ge |y|$ 時，$\max\{x^2,y^2\}=x^2$；
• 當 $|y|\ge |x|$ 時，$\max\{x^2,y^2\}=y^2$。

積分區域 $D$ 是單位圓盤：

$$x^2+y^2\le 1.$$

由於被積函數及積分區域皆對稱，適合使用極座標，並利用八個對稱區域簡化計算。

極座標代換為

$$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dx\,dy=r\,dr\,d\theta.$$

解題方法

在第一象限中，當 $0\le \theta\le \frac{\pi}{4}$ 時，

$$\cos\theta\ge \sin\theta,$$

因此

$$x^2=r^2\cos^2\theta\ge r^2\sin^2\theta=y^2,$$

所以

$$\max\{x^2,y^2\}=r^2\cos^2\theta.$$

第一象限中 $\frac{\pi}{4}\le\theta\le\frac{\pi}{2}$ 的部分，與前一部分關於直線 $y=x$ 對稱，積分值相同。再考慮四個象限，故總積分等於八倍的區域

$$0\le r\le 1,\qquad 0\le\theta\le\frac{\pi}{4}$$

上的積分：

$$\begin{aligned} I &=\iint_D e^{\max\{x^2,y^2\}}\,dx\,dy\\ &=8\int_0^{\pi/4}\int_0^1 e^{r^2\cos^2\theta}\,r\,dr\,d\theta. \end{aligned}$$

先計算 $r$ 的積分。令

$$u=r^2\cos^2\theta, \qquad du=2r\cos^2\theta\,dr,$$

則

$$\int_0^1 e^{r^2\cos^2\theta}r\,dr = \frac{1}{2\cos^2\theta} \int_0^{\cos^2\theta}e^u\,du.$$

因此

$$\int_0^1 e^{r^2\cos^2\theta}r\,dr = \frac{e^{\cos^2\theta}-1}{2\cos^2\theta}.$$

代回原式：

本題的核心考題觀念為多變數函數的條件極值（Constrained Optimization）與拉格朗日乘子法（Lagrange Multipliers），並結合經濟學中常見的柯布－道格拉斯生產函數（Cobb-Douglas Production Function）。解題關鍵在於利用偏微分導出一階必要條件（First-Order Conditions, FOCs），藉由邊際產出與要素價格之間的比例關係，求解拉格朗日乘子，進而推導出參數 $\alpha$ 與勞動支出、資本支出及總產量之間的數量關係。

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解題過程

步驟一：建立拉格朗日函數（Lagrangian Function）

題目給定生產函數為 $P(L, K) = cL^\alpha K^{1-\alpha}$（其中 $c > 0, 0 < \alpha < 1$），且約束條件為 $mL + nK = P$。

為了求出極大化產量時的條件，我們將約束條件表示為 $g(L, K) = mL + nK - P = 0$，並建立拉格朗日函數：
$\mathcal{L}(L, K, \lambda) = cL^\alpha K^{1-\alpha} - \lambda(mL + nK - P)$
其中 $\lambda$ 代表拉格朗日乘子（Lagrange Multiplier）。

步驟二：求一階微分必要條件（First-Order Conditions, FOCs）

對自變數 $L$ 與 $K$ 分別求偏導數，並令其等於 $0$ 以尋找極值點：

1. 對勞動投入 $L$ 求偏微分：
   $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L} = c\alpha L^{\alpha-1} K^{1-\alpha} - \lambda m = 0$
   由於生產函數 $P = cL^\alpha K^{1-\alpha}$，勞動的邊際產出 $MP_L = \frac{\partial P}{\partial L} = c\alpha L^{\alpha-1} K^{1-\alpha} = \frac{\alpha P}{L}$。
   因此可得：

核心觀念

本題考查二變數函數在閉圓盤上的絕對極值，使用：

• 絕對極值定理：連續函數在閉且有界集合上必能取得絕對最大值與絕對最小值。
• 內部臨界點：求解 $f_x=f_y=0$。
• 邊界極值：使用拉格朗日乘數法處理 $x^2+y^2=1$。
• 二次型與特徵值判斷。

題目函數為

$$f(x,y)=5x^2+4xy+2y^2,$$

限制區域為

$$x^2+y^2\le 1.$$

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解題方法

一、求內部臨界點

先計算偏導數：

$$f_x=10x+4y,\qquad f_y=4x+4y.$$

令兩者同時為零：

$$10x+4y=0,$$ $$4x+4y=0.$$

由第二式得 $y=-x$，代入第一式：

$$10x-4x=0 \quad\Longrightarrow\quad 6x=0.$$

因此

$$x=0,\qquad y=0.$$

內部臨界點為 $(0,0)$，其函數值為

$$f(0,0)=0.$$

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二、求邊界上的極值

圓盤邊界為

$$g(x,y)=x^2+y^2=1.$$

利用拉格朗日乘數法：

$$\nabla f=\lambda \nabla g.$$

由

$$\nabla f=(10x+4y,\;4x+4y),$$ $$\nabla g=(2x,\;2y),$$

可得

$$10x+4y=2\lambda x,$$ $$4x+4y=2\lambda y.$$

兩式除以 $2$：

$$(5-\lambda)x+2y=0,$$ $$2x+(2-\lambda)y=0.$$

要有非零解，係數行列式必須為零：

$$\begin{vmatrix} 5-\lambda & 2\\ 2 & 2-\lambda \end{vmatrix}=0.$$

因此

$$(5-\lambda)(2-\lambda)-4=0,$$ $$\lambda^2-7\lambda+6=0,$$ $$(\lambda-1)(\lambda-6)=0.$$

所以

$$\lambda=1\quad\text{或}\quad\lambda=6.$$

情形一：$\lambda=6$

代入

$$(5-\lambda)x+2y=0,$$

得

$$-x+2y=0 \quad\Longrightarrow\quad x=2y.$$

配合 $x^2+y^2=1$：

$$(2y)^2+y^2=1 \quad\Longrightarrow\quad 5y^2=1.$$

因此

$$y=\pm\frac{1}{\sqrt5}, \qquad x=\pm\frac{2}{\sqrt5},$$

且兩者符號相同。位置為

$$\left(\frac{2}{\sqrt5},\frac{1}{\sqrt5}\right), \qquad \left(-\frac{2}{\sqrt5},-\frac{1}{\sqrt5}\right).$$

計算函數值：

本題考查經濟學中邊際效應 (marginal effect) 和彈性 (elasticity) 的概念, 並要求對給定的函數計算這些值。題目提供了定義, 我們只需按照定義進行微分和計算。

首先, 我們需要計算兩個函數的微分 $\frac{dy}{dx}$。

對於函數 ①: $y = 1 + 2x - e^{-x}$
對 $x$ 微分：
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(1 + 2x - e^{-x})$
$\frac{dy}{dx} = 0 + 2 - e^{-x} \cdot (-1)$
$\frac{dy}{dx} = 2 + e^{-x}$

現在計算邊際效應和彈性。
邊際效應 (Marginal Effect) = $\frac{dy}{dx} = 2 + e^{-x}$。

彈性 (Elasticity) = $\frac{x}{y} \frac{dy}{dx}$
將 $y$ 和 $\frac{dy}{dx}$ 代入公式：
彈性 = $\frac{x}{1 + 2x - e^{-x}} (2 + e^{-x})$
彈性 = $\frac{x(2 + e^{-x})}{1 + 2x - e^{-x}}$

對於函數 ②: $y = \ln(1+x^2)$
對 $x$ 微分：
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\ln(1+x^2))$
利用連鎖法則, $\frac{d}{du}(\ln u) = \frac{1}{u}$ 且 $\frac{du}{dx}$ 其中 $u = 1+x^2$, $\frac{du}{dx} = 2x$。

本題要求我們求函數 $f(x) = \ln(1+x)$ 在 $x=0$ 點的泰勒級數 (Taylor series)。泰勒級數的公式為：
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$
其中 $a$ 是展開點, $f^{(n)}(a)$ 是函數在 $a$ 點的 $n$ 階導數。

在本題中, $f(x) = \ln(1+x)$ 且展開點 $a=0$。我們需要計算函數及其各階導數在 $x=0$ 的值。

首先, 計算函數值：
$f(x) = \ln(1+x)$
$f(0) = \ln(1+0) = \ln(1) = 0$.

接下來, 計算各階導數：
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\ln(1+x)) = \frac{1}{1+x}$
$f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$.

$f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x}\right) = \frac{d}{dx}((1+x)^{-1}) = -1(1+x)^{-2} = -\frac{1}{(1+x)^2}$
$f''(0) = -\frac{1}{(1+0)^2} = -1$.

$f'''(x) = \frac{d}{dx}\left(-(1+x)^{-2}\right) = -(-2)(1+x)^{-3} = \frac{2}{(1+x)^3}$
$f'''(0) = \frac{2}{(1+0)^3} = 2$.

$f^{(4)}(x) = \frac{d}{dx}\left(2(1+x)^{-3}\right) = 2(-3)(1+x)^{-4} = -\frac{6}{(1+x)^4}$
$f^{(4)}(0) = -\frac{6}{(1+0)^4} = -6$.

$f^{(5)}(x) = \frac{d}{dx}\left(-6(1+x)^{-4}\right) = -6(-4)(1+x)^{-5} = \frac{24}{(1+x)^5}$
$f^{(5)}(0) = \frac{24}{(1+0)^5} = 24$.

本題要求計算一個二重積分。積分區域由 $x$ 的範圍 $[-1, 0]$ 和 $y$ 的範圍 $[0, \sqrt{1-x^2}]$ 所定義。觀察 $y$ 的範圍, $\sqrt{1-x^2}$ 表示一個上半圓的半徑。結合 $x$ 的範圍, 我們可以確定積分區域。

積分區域 $D$ 由以下不等式定義：
$-1 \le x \le 0$
$0 \le y \le \sqrt{1-x^2}$

從 $y \le \sqrt{1-x^2}$, 我們得到 $y^2 \le 1-x^2$ (因為 $y \ge 0$, 所以 $y$ 也是非負的), 即 $x^2 + y^2 \le 1$.
同時, $x$ 的範圍是 $[-1, 0]$, $y$ 的範圍是 $[0, \sqrt{1-x^2}]$。
這表示積分區域是單位圓盤 $x^2+y^2 \le 1$ 在 $x$ 軸負半軸和 $y$ 軸正半軸所夾的區域, 也就是單位圓盤在第二象限的部分。

被積分函數是 $(x^2+y^2)^2$。
這種情況下, 使用極座標轉換會非常方便。
令 $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$。
$x^2 + y^2 = r^2$.
$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$.

確定極座標下的積分範圍：
區域是單位圓盤在第二象限的部分。
$r$ 的範圍是從圓心到圓周的距離, 即 $0 \le r \le 1$.
$\theta$ 的範圍：在第二象限, $\theta$ 從 $y$ 軸正半軸 ($\theta = \pi/2$) 到 $x$ 軸負半軸 ($\theta = \pi$)。

本題考查供需模型中的均衡點計算以及生產者剩餘的計算。

首先, 我們需要理解均衡點的意義。均衡點是需求量等於供給量時的價格和數量。在圖形上, 這表示需求曲線和供給曲線的交點。

(1) 求解均衡價格 (Equilibrium Price)
均衡發生在需求量等於供給量時, 即 $D(x) = S(x)$。
$-0.1x^2 + 25 = 0.4x^2 - 3.5x + 10$
將所有項移到一邊, 整理成一個二次方程式：
$0 = (0.4x^2 + 0.1x^2) - 3.5x + (10 - 25)$
$0 = 0.5x^2 - 3.5x - 15$
為了簡化計算, 可以將整個方程式乘以 2：
$0 = x^2 - 7x - 30$

我們需要解這個二次方程式來找到均衡數量 $x$。可以使用因式分解法或公式法。
因式分解：我們尋找兩個數, 乘積為 -30, 和為 -7。這兩個數是 -10 和 3。
$0 = (x - 10)(x + 3)$
所以, 兩個可能的解是 $x = 10$ 或 $x = -3$。

由於 $x$ 代表需求量或供給量, 它必須是非負的。因此, 我們捨棄 $x = -3$。
均衡數量為 $x = 10$。

現在, 我們需要找到均衡價格 $p$。我們可以將均衡數量 $x=10$ 代入需求函數或供給函數。
使用需求函數 $D(x)$:
$p = D(10) = -0.1(10)^2 + 25 = -0.1(100) + 25 = -10 + 25 = 15$。
使用供給函數 $S(x)$:
$p = S(10) = 0.4(10)^2 - 3.5(10) + 10 = 0.4(100) - 35 + 10 = 40 - 35 + 10 = 5 + 10 = 15$。
兩種方法得到的價格相同, 這驗證了我們的計算是正確的。
所以, 均衡價格為 $p = 15$。

(2) 求解在均衡價格時的生產者剩餘 (Producer Surplus, PS)
生產者剩餘是指供給者願意接受的最低價格與實際市場價格之間的差額的總和。
在圖形上, 生產者剩餘是供給曲線 $p = S(x)$ 下方, 且低於均衡價格 $p=15$ 的區域。
生產者剩餘的計算公式為：
$PS = \int_0^{x_e} (p_e - S(x)) \, dx$
其中 $x_e$ 是均衡數量, $p_e$ 是均衡價格。

本題要求在單位圓 $x^2 + y^2 = 1$ 上尋找函數 $f(x, y) = x^2y$ 的最小值。這是一個在約束條件下的最值問題, 可以使用拉格朗日乘數法來解決。

設約束條件為 $g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$。
根據拉格朗日乘數法, 我們需要求解 $\nabla f = \lambda \nabla g$ 和約束條件 $g(x, y) = 0$。

$\nabla f = \left< \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right> = \left< 2xy, x^2 \right>$
$\nabla g = \left< \frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y} \right> = \left< 2x, 2y \right>$

拉格朗日乘數方程組為：

1. $2xy = \lambda (2x)$
2. $x^2 = \lambda (2y)$
3. $x^2 + y^2 = 1$

從方程 (1): $2xy = 2\lambda x$
如果 $x \neq 0$, 則 $2y = 2\lambda$, 即 $\lambda = y$。
如果 $x = 0$, 則從方程 (3) $y^2 = 1$, $y = \pm 1$.
如果 $x=0, y=1$: $f(0,1) = 0^2 \cdot 1 = 0$.
如果 $x=0, y=-1$: $f(0,-1) = 0^2 \cdot (-1) = 0$.
所以, 當 $x=0$ 時, 函數值為 0。

現在考慮 $x \neq 0$ 的情況, 此時 $\lambda = y$.
將 $\lambda = y$ 代入方程 (2):
$x^2 = y (2y) = 2y^2$。

我們有兩個方程：
$x^2 = 2y^2$
$x^2 + y^2 = 1$

將第一個方程代入第二個方程：
$2y^2 + y^2 = 1$
$3y^2 = 1$
$y^2 = \frac{1}{3}$
$y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$。

當 $y = \frac{1}{\sqrt{3}}$:
$x^2 = 2y^2 = 2(\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$
$x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$。
點為 $(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$ 和 $(-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$。
計算函數值：
$f(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}) = (\frac{2}{3})(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$。
$f(-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}) = (\frac{2}{3})(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$。

核心觀念

本題考查二變數函數在原點的二階 Taylor 展開。對於 $f(x,y)$，在 $(0,0)$ 附近的二次近似為

$$T_2(x,y) = f(0,0) +f_x(0,0)x +f_y(0,0)y +\frac{1}{2} \left[ f_{xx}(0,0)x^2 +2f_{xy}(0,0)xy +f_{yy}(0,0)y^2 \right].$$

因此需要計算函數值、兩個一階偏導數，以及三個二階偏導數在原點的值。

解題方法

已知

$$f(x,y)=\cos x\cos y.$$

首先計算函數在原點的值：

$$f(0,0)=\cos 0\cos 0=1.$$

一階偏導數為

$$f_x(x,y)=-\sin x\cos y,$$ $$f_y(x,y)=-\cos x\sin y.$$

代入原點：

$$f_x(0,0)=0,\qquad f_y(0,0)=0.$$

接著計算二階偏導數：

$$f_{xx}(x,y)=-\cos x\cos y,$$ $$f_{yy}(x,y)=-\cos x\cos y,$$ $$f_{xy}(x,y)=\sin x\sin y.$$

因此

$$f_{xx}(0,0)=-1,\qquad f_{yy}(0,0)=-1,\qquad f_{xy}(0,0)=0.$$

代入二階 Taylor 公式：

核心觀念

本題考查二重積分中的變數代換：

1. 由代換
   $u=x+y,\qquad v=y-x$
   將積分區域與被積函數改寫成 $u,v$ 的形式。
2. 使用雅可比行列式
   $\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|$
   進行面積元素轉換。
3. 變數代換後，再以極座標計算含有 $\sqrt{u^2+v^2}$ 的積分。

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解題方法

由
$u=x+y,\qquad v=y-x$

相加、相減可得反變換：
$x=\frac{u-v}{2},\qquad y=\frac{u+v}{2}.$

1. 改寫被積函數

$$x^2+y^2 =\left(\frac{u-v}{2}\right)^2+\left(\frac{u+v}{2}\right)^2 =\frac{u^2+v^2}{2}.$$

因此
$\sqrt{x^2+y^2}=\frac{\sqrt{u^2+v^2}}{\sqrt{2}}.$

2. 計算雅可比行列式

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\[4pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \dfrac12 & -\dfrac12\\[4pt] \dfrac12 & \dfrac12 \end{vmatrix} =\frac12.$$

所以
$dx\,dy=\frac12\,du\,dv.$

3. 改寫積分區域

原區域 $D$ 由三條直線圍成：

• $y=x$：
  $v=y-x=0.$
• $y=-x$：
  $u=x+y=0.$
• $x=1$：
  $\frac{u-v}{2}=1\quad\Longrightarrow\quad u-v=2.$

原區域是以 $(0,0)$、$(1,1)$、$(1,-1)$ 為頂點的三角形。轉換至 $uv$ 平面後，區域為
$u\ge 0,\qquad v\le 0,\qquad u-v\le 2.$

可表示為
$0\le u\le 2,\qquad u-2\le v\le 0.$

因此

$$\iint_D\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy = \frac{1}{2\sqrt2} \int_0^2\int_{u-2}^{0}\sqrt{u^2+v^2}\,dv\,du.$$

4. 在 $uv$ 平面使用極座標

令
$u=r\cos\theta,\qquad v=r\sin\theta.$

由於 $u\ge0$、$v\le0$，故
$-\frac{\pi}{2}\le\theta\le0.$

直線 $u-v=2$ 轉為
$r\cos\theta-r\sin\theta=2,$
所以
$0\le r\le\frac{2}{\cos\theta-\sin\theta}.$

又
$du\,dv=r\,dr\,d\theta,$
且
$\sqrt{u^2+v^2}=r.$

核心觀念

本題使用根式有理化與極限的階數比較。關鍵公式為

$$1-\sqrt{x} =\frac{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}{1+\sqrt{x}} =\frac{1-x}{1+\sqrt{x}}.$$

因此，原式中的 $1-\sqrt{x}$ 還可再提供一個 $1-x$ 因子。

解題方法

原極限為

$$\lim_{x\to 1}\frac{(1-\sqrt{x})(1-x)}{(1-x)^{n-1}}.$$

將根式有理化：

$$1-\sqrt{x}=\frac{1-x}{1+\sqrt{x}}.$$

代入得

$$\frac{(1-\sqrt{x})(1-x)}{(1-x)^{n-1}} = \frac{1-x}{1+\sqrt{x}}\cdot \frac{1-x}{(1-x)^{n-1}} = \frac{(1-x)^{3-n}}{1+\sqrt{x}}.$$

當 $x\to1$ 時，

$$1+\sqrt{x}\to2.$$

所以極限的結果取決於 $3-n$ 的值：

本題要求計算一個不定積分。積分函數是 $\sqrt{x}(1-\sqrt{x})^4$。
為了簡化積分, 我們可以進行變數代換。

令 $u = \sqrt{x}$。則 $u^2 = x$。
對 $u$ 微分, $2u \, du = dx$。

將 $x$ 和 $dx$ 用 $u$ 和 $du$ 表示：
$\sqrt{x} = u$
$dx = 2u \, du$

積分變為：
$\int u (1-u)^4 (2u \, du) = 2 \int u^2 (1-u)^4 \, du$.

現在我們需要展開 $(1-u)^4$。
使用二項式定理：$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
$(1-u)^4 = \binom{4}{0} 1^4 (-u)^0 + \binom{4}{1} 1^3 (-u)^1 + \binom{4}{2} 1^2 (-u)^2 + \binom{4}{3} 1^1 (-u)^3 + \binom{4}{4} 1^0 (-u)^4$
$(1-u)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1 \cdot (-u) + 6 \cdot 1 \cdot u^2 + 4 \cdot 1 \cdot (-u^3) + 1 \cdot 1 \cdot u^4$
$(1-u)^4 = 1 - 4u + 6u^2 - 4u^3 + u^4$.

現在將展開式代入積分：
$2 \int u^2 (1 - 4u + 6u^2 - 4u^3 + u^4) \, du$

核心觀念

本題考查圓錐的表面積、體積，以及「固定體積下使材料用量最少」的微分最佳化。

紙杯為上方開口的圓錐，因此所需紙張面積為側面積：

$$A=\pi r\ell$$

其中斜高

$$\ell=\sqrt{r^2+h^2}$$

圓錐體積為

$$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$$

在容量固定時，體積 $V$ 固定，目標是使紙張面積 $A$ 最小。

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解題方法

由體積固定，令

$$\frac{1}{3}\pi r^2h=V$$

整理得

$$r^2h=\frac{3V}{\pi}=k$$

其中 $k$ 為固定常數，因此

$$h=\frac{k}{r^2}$$

紙張面積為

$$A=\pi r\sqrt{r^2+h^2}$$

為避免根號，改最小化 $A^2$：

$$\frac{A^2}{\pi^2} =r^2(r^2+h^2) =r^4+r^2h^2$$

代入 $h=k/r^2$：

$$\frac{A^2}{\pi^2} =r^4+r^2\left(\frac{k}{r^2}\right)^2 =r^4+\frac{k^2}{r^2}$$

令

$$F(r)=r^4+\frac{k^2}{r^2}$$

微分得

$$F'(r)=4r^3-\frac{2k^2}{r^3}$$

令 $F'(r)=0$：

$$4r^3-\frac{2k^2}{r^3}=0$$

本題要求計算複合函數的偏導數。函數 $w$ 依賴於 $x$ 和 $y$, 而 $x$ 和 $y$ 又依賴於 $r$ 和 $\theta$。我們需要使用連鎖法則 (Chain Rule) 來計算 $\frac{\partial w}{\partial r}$ 和 $\frac{\partial w}{\partial \theta}$。

首先, 給定函數：
$w = e^{x+y} \sin(xy)$
變換關係：
$x = r \cos \theta$
$y = r \sin \theta$

我們需要計算 $\frac{\partial w}{\partial r}$ 和 $\frac{\partial w}{\partial \theta}$。

根據連鎖法則：
$\frac{\partial w}{\partial r} = \frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r}$
$\frac{\partial w}{\partial \theta} = \frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \theta}$

步驟一：計算 $w$ 對 $x$ 和 $y$ 的偏導數。
$\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(e^{x+y} \sin(xy))$
$= e^{x+y} \sin(xy) + e^{x+y} \cos(xy) \cdot y$
$= e^{x+y} (\sin(xy) + y \cos(xy))$

$\frac{\partial w}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^{x+y} \sin(xy))$
$= e^{x+y} \sin(xy) + e^{x+y} \cos(xy) \cdot x$
$= e^{x+y} (\sin(xy) + x \cos(xy))$

步驟二：計算 $x$ 和 $y$ 對 $r$ 和 $\theta$ 的偏導數。
$\frac{\partial x}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r}(r \cos \theta) = \cos \theta$
$\frac{\partial y}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r}(r \sin \theta) = \sin \theta$

$\frac{\partial x}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta}(r \cos \theta) = -r \sin \theta$
$\frac{\partial y}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta}(r \sin \theta) = r \cos \theta$

步驟三：計算 $\frac{\partial w}{\partial r}$。
$\frac{\partial w}{\partial r} = \frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r}$
$= [e^{x+y} (\sin(xy) + y \cos(xy))] (\cos \theta) + [e^{x+y} (\sin(xy) + x \cos(xy))] (\sin \theta)$
$= e^{x+y} [\cos \theta \sin(xy) + y \cos \theta \cos(xy) + \sin \theta \sin(xy) + x \sin \theta \cos(xy)]$
$= e^{x+y} [(\cos \theta + \sin \theta) \sin(xy) + (y \cos \theta + x \sin \theta) \cos(xy)]$

現在, 代入 $r=1$ 和 $\theta = \frac{\pi}{2}$。
首先, 計算此時的 $x$ 和 $y$ 值：
$x = r \cos \theta = 1 \cdot \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 \cdot 0 = 0$.
$y = r \sin \theta = 1 \cdot \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \cdot 1 = 1$.

計算 $x+y$ 和 $xy$：
$x+y = 0+1 = 1$.
$xy = 0 \cdot 1 = 0$.