109 年 國立中山大學財務管理學系碩士班《經濟學》

本題考驗消費者對自身價格變動的反應程度，即「自身價格彈性」。
需求函數為 $Q_1=8-2P_1+2P_2-P_3+I$。
自身價格彈性 ($\epsilon_{1,P_1}$) 的定義為：
$\epsilon_{1,P_1} = \frac{\partial Q_1}{\partial P_1} \times \frac{P_1}{Q_1}$

首先，計算需求函數對 $P_1$ 的偏導數：
$\frac{\partial Q_1}{\partial P_1} = -2$

本題考驗消費者對所得變動的反應程度，即「所得彈性」。
需求函數為 $Q_1=8-2P_1+2P_2-P_3+I$。
所得彈性 ($E_I$) 的定義為：
$E_I = \frac{\partial Q_1}{\partial I} \times \frac{I}{Q_1}$

首先，計算需求函數對 $I$ 的偏導數：
$\frac{\partial Q_1}{\partial I} = 1$

本題考驗對賽局理論中「預期利潤最大化」的理解，特別是結合「斷折需求曲線 (kinked demand curve)」與機率的概念。

賽局的結構是一個重複出現的賽局 (repeated game) 的單次賽局，兩家公司同時決定是否調漲價格。每家公司預期另一家公司調漲價格的機率為 50%。

我們需要計算每一種策略組合下的預期利潤。

策略組合 1：兩家公司都調漲價格 (A. Both firms will increase price)

• Firm A 的預期利潤：$0.5 \times 40 + 0.5 \times 26 = 20 + 13 = 33$
• Firm B 的預期利潤：$0.5 \times 20 + 0.5 \times 6 = 10 + 3 = 13$

策略組合 2：兩家公司都不調漲價格 (B. Both firms will not increase price)

• Firm A 的預期利潤：$0.5 \times 8 + 0.5 \times 20 = 4 + 10 = 14$
• Firm B 的預期利潤：$0.5 \times 30 + 0.5 \times 10 = 15 + 5 = 20$

策略組合 3：Firm A 調漲，Firm B 不調漲 (C. Firm A will crease price but Firm B will not)

本題考驗對賽局理論中「風險規避 (risk aversion)」以及「規避最壞情況 (maximin criterion)」的理解。風險規避的管理者會選擇能夠使其在最壞情況下損失最小的策略。

我們需要為每一種策略組合找出該公司在另一家公司做出相反決策時所面臨的「最壞情況」，並選擇能使這個最壞情況結果最好的策略。

Firm A 的策略分析：

• 如果 Firm A 選擇調漲價格 (Increase price)：
  • 若 Firm B 也調漲，A 的利潤為 40。
  • 若 Firm B 不調漲，A 的利潤為 8。
  • Firm A 的最壞情況利潤是 8。
• 如果 Firm A 選擇不調漲價格 (Not increase price)：
  • 若 Firm B 調漲，A 的利潤為 26。
  • 若 Firm B 不調漲，A 的利潤為 20。
  • Firm A 的最壞情況利潤是 20。

本題考驗對資產定價模型 (CAPM) 中，資產與市場組合相關係數為 -1 的意義及其對整體經濟風險與變異的影響。

在現代投資組合理論 (Modern Portfolio Theory, MPT) 中，市場組合 (market portfolio) 代表了所有可投資資產的組合，其風險被視為系統性風險的總和。單一資產的風險可以透過其與市場組合的相關係數 ($\rho$) 來衡量，特別是透過 Beta ($\beta$) 值。Beta 的計算公式為：
$\beta_i = \rho_{i,m} \frac{\sigma_i}{\sigma_m}$
其中 $\rho_{i,m}$ 是資產 i 與市場組合 m 的相關係數，$\sigma_i$ 是資產 i 的標準差 (風險)，$\sigma_m$ 是市場組合的標準差。

當一個資產與市場組合的相關係數為 -1 ($\rho = -1$) 時，這意味著該資產的價格走勢與市場組合的走勢完全負相關。也就是說，當市場組合上漲時，該資產會下跌；當市場組合下跌時，該資產會上漲。

對單一資產的風險影響：
如果 $\rho = -1$，則 $\beta = -1 \times \frac{\sigma_i}{\sigma_m}$。
由於 $\sigma_i$ 和 $\sigma_m$ 都是正值，因此 $\beta$ 會是負值。
在 CAPM 模型中，資產的預期報酬為 $E(R_i) = R_f + \beta_i (E(R_m) - R_f)$，其中 $R_f$ 是無風險利率，$E(R_m)$ 是市場組合的預期報酬。
一個 $\beta$ 值為 -1 的資產，其預期報酬會隨著市場組合的變動而反向變動。

對整體經濟風險與變異的影響：
如果存在一個與市場組合完美負相關的資產，投資者可以透過將該資產納入投資組合，來有效降低整個投資組合的風險。理論上，可以建構出一個組合，其風險（標準差）趨近於零，甚至為負（儘管實際操作中，風險為負的組合不太可能實現）。
這種完美的負相關資產，可以完全對沖市場風險。

對經濟社會的整體影響：

1. 風險承擔 (Risk Undertaken)： 由於投資者可以透過持有這種資產來大幅降低風險，他們可能會更願意承擔風險，因為他們有一個完美的避險工具。這意味著整體經濟系統中「可被對沖的風險」的承擔量可能會增加，但對於不可對沖的風險，因為有完美的對沖工具，所以總體而言，對沖後的總體風險承擔可能會減少，或者說，投資者能夠以更低的總體風險水平，獲得原有的預期報酬。然而，題目問的是「overall risk undertaken」，這通常指經濟體系中總體而言人們願意承擔的風險。若有完美的避險工具，人們可以更自由地承擔風險。
2. 變異 (Variation)： 由於該資產與市場的走勢相反，它會抵銷市場的變異。如果市場劇烈波動，該資產也會劇烈波動，但方向相反。當這種資產被納入投資組合時，它可以平滑整個投資組合的波動，減少變異。

核心觀念

本題考查 Cobb-Douglas 生產函數：

$$Q=AL^{\alpha}K^{\beta}$$

其中 $A>0$，$L,K>0$，通常假設 $\alpha,\beta>0$。

需要區分三種概念：

1. 勞動的邊際報酬

$$MPL=\frac{\partial Q}{\partial L} =A\alpha L^{\alpha-1}K^\beta$$

再對 $L$ 微分：

$$\frac{\partial MPL}{\partial L} =A\alpha(\alpha-1)L^{\alpha-2}K^\beta$$

因此：

• $\alpha<1$：勞動的邊際報酬遞減
• $\alpha>1$：勞動的邊際報酬遞增

2. 資本的邊際報酬

$$MPK=\frac{\partial Q}{\partial K} =A\beta L^\alpha K^{\beta-1}$$

再對 $K$ 微分：

$$\frac{\partial MPK}{\partial K} =A\beta(\beta-1)L^\alpha K^{\beta-2}$$

因此：

• $\beta<1$：資本的邊際報酬遞減
• $\beta>1$：資本的邊際報酬遞增

3. 規模報酬

   同時將 $L,K$ 放大 $t$ 倍：

$$Q(tL,tK) =A(tL)^\alpha(tK)^\beta =t^{\alpha+\beta}Q(L,K)$$

因此：

• $\alpha+\beta<1$：規模報酬遞減
• $\alpha+\beta=1$：規模報酬固定
• $\alpha+\beta>1$：規模報酬遞增

解題方法

將每個選項的文字敘述轉換成對 $\alpha$、$\beta$ 及 $\alpha+\beta$ 的限制，再檢查這些限制能否同時成立。

選項分析

(A) 規模報酬遞減、勞動邊際報酬遞減、資本邊際報酬遞增

條件為：

核心觀念

本題同時考查：

• 獨占廠商的利潤極大化：$MR=MC$
• 需求曲線與邊際收益的推導
• 生產函數 $Q=L$ 所代表的投入與產出一一對應
• 勞動工資隨僱用量上升時，總勞動成本與邊際成本的計算

由於 $Q=L$，每增加一單位產出，就必須增加一單位勞動，因此可直接將勞動成本寫成產量 $Q$ 的函數。

解題方法

需求曲線為：

$$P=2-0.3Q$$

總收益為價格乘以產量：

$$TR=P\cdot Q=(2-0.3Q)Q=2Q-0.3Q^2$$

因此邊際收益為：

$$MR=\frac{dTR}{dQ}=2-0.6Q$$

每單位勞動的工資為：

$$w=1+0.2L$$

題目所述的工資是每單位勞動的價格，因此總勞動成本為：

$$TC=wL=(1+0.2L)L=L+0.2L^2$$

因為 $Q=L$，可將總成本改寫為產量的函數：

$$TC=Q+0.2Q^2$$

所以邊際成本為：

$$MC=\frac{dTC}{dQ}=1+0.4Q$$

獨占廠商利潤極大化的條件為：

$$MR=MC$$

代入可得：

$$2-0.6Q=1+0.4Q$$ $$1=Q$$

利潤函數亦可直接驗證：

$$\pi=TR-TC$$ $$\pi=(2Q-0.3Q^2)-(Q+0.2Q^2) =Q-0.5Q^2$$

其二階導數為：

本題考驗對壟斷市場下，社會福利最大化 (即總剩餘最大化) 和廠商利潤最大化條件的理解，並計算對應的產量。

部分一：計算最大化總剩餘的產量 ($\alpha$)
總剩餘 (Total Surplus) = 消費者剩餘 (Consumer Surplus, CS) + 生產者剩餘 (Producer Surplus, PS)。
總剩餘最大化發生在社會福利最大化的點，這通常發生在邊際成本 (MC) 等於需求曲線價格 (P) 的地方，也就是一個完全競爭市場的均衡點。
需求曲線：$P = 120 - Q$
邊際成本曲線：$MC = Q$

令 $P = MC$ 來找到最大化總剩餘的產量 ($\alpha$)：
$120 - Q = Q$
$120 = 2Q$
$Q = 60$

所以，最大化總剩餘的產量 $\alpha = 60$。

本題考驗對壟斷市場造成的無謂損失 (deadweight loss, DWL) 的計算。無謂損失代表了因市場未能達到社會福利最大化點 (完全競爭均衡點) 而造成的總剩餘損失。

步驟 1：確定利潤最大化產量和價格
從上一題我們知道，利潤最大化產量是 $\beta = 40$。
對應的價格是將此產量代入需求曲線：
$P = 120 - Q = 120 - 40 = 80$。
因此，壟斷廠商的產量為 40，價格為 80。

步驟 2：確定社會福利最大化產量和價格
社會福利最大化 (或稱完全競爭均衡) 發生在需求曲線與邊際成本曲線相交處。
需求曲線：$P = 120 - Q$
邊際成本曲線：$MC = Q$
令 $P = MC$：
$120 - Q = Q$
$120 = 2Q$
$Q = 60$。
此時的價格為 $P = 120 - 60 = 60$。
社會福利最大化的產量為 60，價格為 60。

核心觀念

本題考查**交易成本理論（Transaction Cost Theory）與契約理論（Contract Theory）**中的核心概念：

1. 專屬性投資（Relationship-Specific Investment / Specific Investment）：指資產在特定交易或特定用途下的價值，遠高於在次佳用途（Next-best alternative）下的價值。
   • 專屬性資產具有高沉沒成本與高度不可移轉性（Immobility）。
   • 一旦進行專屬性投資，投資方容易面臨交易對手在事後的套牢／敲竹槓（Hold-up problem）與機會主義行為（Opportunism）。
2. 資產移轉性（Asset Mobility）與場址專屬性（Site Specificity）：
   • 陸上建築物具有極高的「場址專屬性」，無法遷移，一旦地主國政局生變或單方面毀約，資產價值將大幅貶損或面臨被沒收的風險。
   • 水上漂浮設施（如海上漂浮飯店）具備物理上的可移動性，能有效降低「場址專屬性」，進而降低特定關係下的專屬性投資風險。

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解題方法

從制度經濟學與跨國投資的角度切入：

1. 情境脈絡：投資人在政經風險極高、產權保護機制薄弱的北韓（North Korea）投資觀光業。
2. 比較兩種投資型態：
   • 陸上飯店（Land-based hotel）：屬於不可移動資產（Immobile asset），具備極高的場址專屬性（Site specificity）。投資完成後，北韓政府隨時能藉由關閉邊境、國有化或修改規範來進行「套牢（Hold-up）」，投資方毫無討價還價能力（Bargaining power）。
   • 漂浮飯店（Floating hotel）：本質上類似船舶或大型浮動平台，具備可移動性（Mobility）。若當地政局惡化或履約失敗，投資人可將飯店拖離北韓水域轉移至其他市場營運。

本題考驗對拍賣類型 (auction types) 的理解，特別是多單位拍賣 (multi-unit auction) 的情況。

拍賣的關鍵在於買家支付的價格如何確定。

• 歧視性拍賣 (Discriminatory auction): 在這種拍賣中，每個買家支付的價格可能不同，通常是根據他們各自的最高出價來確定的。例如，在許多線上拍賣平台（如 eBay 的傳統單一物品拍賣）中，出價最高者贏得物品，但他支付的價格是第二高的出價（或略高於第二高），而其他出價者則不贏得物品。如果有多個物品，每個贏家可能支付的價格不同。
• 非歧視性拍賣 (Non-discriminatory auction): 在這種拍賣中，所有贏家支付相同的價格。最常見的例子是「統一價格拍賣」(uniform-price auction)，也稱為「荷蘭式拍賣」(Dutch auction) 的變種或「英式拍賣」(English auction) 的變種。

本題考驗對價格歧視 (price discrimination) 機制的理解，以及貿易信貸 (trade credit) 的相關概念。題目要求選出與價格歧視機制相關的敘述。

首先，我們需要理解價格歧視的定義：指同一商品或服務，對不同的消費者收取不同的價格，而這種價格差異並非源於成本差異。價格歧視的關鍵在於賣方能夠區分消費者群體，並阻止套利行為。

接著，我們分析各個選項：

(A) Trade credit serves to facilitate the exchange of goods.
貿易信貸（例如，賣方允許買方延期付款）確實有助於促進商品交換，因為它降低了買方的即時支付壓力，並為買賣雙方提供了更大的靈活性。然而，這本身並不是價格歧視的機制。它是一種融資工具或交易便利。

(B) Holding cash will cause insufficient investment of agency problem between managers and stockholders.
這是關於代理問題 (agency problem) 的敘述，與價格歧視無關。代理問題源於經理人（代理人）與股東（委託人）之間的利益衝突。

(C) Trade credit can allow firms to reduce their precautionary cash.
貿易信貸是賣方給予買方的信貸。從賣方的角度看，提供貿易信貸意味著他們在收到貨款前承擔了應收帳款。這並不直接幫助賣方減少其自身的預防性現金持有量。反而，如果買方拖欠付款，賣方可能會面臨現金流壓力。

(D) Since trade credit exposes the seller to default risk, offering trade credit reduces the effective price to low-quality borrowers.
這個敘述是關鍵。

核心觀念

本題考「商業信用（trade credit）」與「道德危險（moral hazard）」的關係。

商業信用是指賣方先交付商品，買方在未來某一日期付款。其基本形式為：

$$\text{先取得商品或服務} \;\longrightarrow\; \text{日後付款}$$

道德危險是指契約成立、資金或商品取得後，交易一方因行為不易被觀察，而改採較高風險或不利於另一方的行動。核心在於：

$$\text{事後行為誘因改變}$$

在商業信用中，賣方將商品交給買方並承擔延後收款的風險；買方取得商品後，可能將資金投入較高風險的活動，甚至降低流動性保留，以追求較高報酬。這種取得信用後的風險承擔行為，與道德危險最相關。

解題方法

判斷各選項是否屬於道德危險，可依下列標準：

1. 是否描述信用契約成立後的行為？
2. 是否涉及資金使用、流動性保留或風險承擔的改變？
3. 是否因資訊不對稱，使一方承擔另一方行為的後果？

若選項只是說明融資替代、資金成本差異或供應鏈位置，則屬於融資結構或風險分配問題，並非道德危險。

選項分析

(A) Firms not paying dividends are more likely to substitute bank credit with trade credit.

不選。

不發放股利的公司通常保留較多內部資金，或反映公司具有較高的融資需求與財務限制。此敘述主要是在說明公司會以商業信用取代銀行信用，屬於：

• 融資來源替代；
• 股利政策與融資限制；
• 銀行信用與商業信用的選擇。

它沒有描述公司取得商業信用後，如何改變資金使用方式或承擔更高風險，因此不是道德危險的直接表現。

(B) Firms that can obtain funds at low cost tend to extend credit to firms that are credit constrained.

不選。

此選項說明資金成本低的公司會將信用提供給受融資限制的公司，反映供應商在融資市場具有比較優勢，能以較低成本取得資金，再透過商業信用轉供給其他企業。

其重點是：

$$\text{資金成本差異} \;\longrightarrow\; \text{信用重新分配}$$

這屬於商業信用的融資優勢或信用中介功能，並未指出取得信用後的隱藏行為與風險移轉，所以不是道德危險。

本題考驗消費者理論中，效用函數為寇布-道格拉斯形式時，如何計算最大化效用下的消費組合與最大化效用值。

步驟 1：設定效用最大化問題
消費者 Tina 的目標是最大化其效用函數 $U(X, Y) = X^{0.5}Y^{0.5}$，同時滿足預算約束。

步驟 2：寫出預算約束式
預算約束式為：$P_X X + P_Y Y = M$
其中：
$P_X = 1$ (X 的價格)
$P_Y = 2$ (Y 的價格)
$M = 100$ (所得)

代入數值：$1X + 2Y = 100$

步驟 3：運用效用最大化的一階條件
對於寇布-道格拉斯效用函數 $U(X, Y) = X^a Y^b$，其效用最大化的一階條件是：
$\frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{P_X}{P_Y}$
其中 $MU_X$ 是 X 的邊際效用，$MU_Y$ 是 Y 的邊際效用。

計算邊際效用：
$MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = 0.5 X^{0.5-1} Y^{0.5} = 0.5 X^{-0.5} Y^{0.5}$
$MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = 0.5 X^{0.5} Y^{0.5-1} = 0.5 X^{0.5} Y^{-0.5}$

計算邊際效用比：
$\frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{0.5 X^{-0.5} Y^{0.5}}{0.5 X^{0.5} Y^{-0.5}} = \frac{Y^{0.5} Y^{0.5}}{X^{0.5} X^{0.5}} = \frac{Y}{X}$

價格比：
$\frac{P_X}{P_Y} = \frac{1}{2}$

設定邊際效用比等於價格比：
$\frac{Y}{X} = \frac{1}{2}$
$2Y = X$

步驟 4：將一階條件的結果代入預算約束式
我們得到 $X = 2Y$。將其代入預算約束式 $X + 2Y = 100$：
$(2Y) + 2Y = 100$
$4Y = 100$
$Y = 25$

現在計算 X 的消費量：
$X = 2Y = 2(25) = 50$

所以，Tina 最大化效用下的消費組合是 $X=50, Y=25$。

本題考驗馬歇爾需求函數 (Marshallian demand function) 的推導，特別是對於對數形式的效用函數。

步驟 1：設定效用最大化問題
消費者目標是最大化效用函數 $u(x_1, x_2) = a \ln x_1 + b \ln x_2$，同時滿足預算約束 $p_1x_1 + p_2x_2 = m$。

步驟 2：運用效用最大化的一階條件
對於一般的效用函數 $u(x_1, x_2)$ 和預算約束 $p_1x_1 + p_2x_2 = m$，效用最大化的一階條件是：
$\frac{MU_1}{MU_2} = \frac{p_1}{p_2}$
其中 $MU_1 = \frac{\partial u}{\partial x_1}$ 且 $MU_2 = \frac{\partial u}{\partial x_2}$。

計算邊際效用：
$MU_1 = \frac{\partial}{\partial x_1} (a \ln x_1 + b \ln x_2) = a \frac{1}{x_1}$
$MU_2 = \frac{\partial}{\partial x_2} (a \ln x_1 + b \ln x_2) = b \frac{1}{x_2}$

計算邊際效用比：
$\frac{MU_1}{MU_2} = \frac{a/x_1}{b/x_2} = \frac{a x_2}{b x_1}$

設定邊際效用比等於價格比：
$\frac{a x_2}{b x_1} = \frac{p_1}{p_2}$
$a p_2 x_2 = b p_1 x_1$
$x_2 = \frac{b p_1}{a p_2} x_1$

本題考驗馬歇爾需求函數 (Marshallian demand function) 的推導，特別是對於對數形式的效用函數。這是上一題的延續。

步驟 1：利用之前推導的關係
從上一題，我們得到效用最大化的一階條件為：
$\frac{a x_2}{b x_1} = \frac{p_1}{p_2}$
$a p_2 x_2 = b p_1 x_1$

我們也知道預算約束式：
$p_1x_1 + p_2x_2 = m$

步驟 2：計算 $x_2$ 的馬歇爾需求函數
我們有兩種方法：
方法一：從 $a p_2 x_2 = b p_1 x_1$ 解出 $x_1$ 並代入預算約束。
$x_1 = \frac{a p_2}{b p_1} x_2$
代入預算約束：
$p_1 \left( \frac{a p_2}{b p_1} x_2 \right) + p_2x_2 = m$
$\frac{a p_2}{b} x_2 + p_2x_2 = m$
$x_2 \left( \frac{a p_2}{b} + p_2 \right) = m$
$x_2 \left( \frac{a p_2 + b p_2}{b} \right) = m$

核心觀念

本題考的是「間接效用函數」（indirect utility function）的求法。間接效用函數定義為：

$$v(p_1,p_2,m)=\max_{x_1,x_2} u(x_1,x_2)$$

也就是在價格 $p_1,p_2$ 與所得 $m$ 給定下，消費者選擇最適消費組合後所能達到的最大效用。

由選項形式可知，原效用函數應為 Cobb-Douglas 型：

$$u(x_1,x_2)=a\ln x_1+b\ln x_2$$

其中 $a>0$、$b>0$，預算限制為：

$$p_1x_1+p_2x_2=m$$

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解題方法與推導

以拉格朗日函數求解：

$$\mathcal{L} =a\ln x_1+b\ln x_2 +\lambda(m-p_1x_1-p_2x_2)$$

一階條件為：

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_1} =\frac{a}{x_1}-\lambda p_1=0$$ $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_2} =\frac{b}{x_2}-\lambda p_2=0$$

因此：

$$\lambda=\frac{a}{p_1x_1} =\frac{b}{p_2x_2}$$

整理得：

$$p_1x_1:p_2x_2=a:b$$

也就是所得在兩種財貨上的支出比例分別為：

$$p_1x_1=\frac{a}{a+b}m$$ $$p_2x_2=\frac{b}{a+b}m$$

因此最適消費量為：

$$x_1^*=\frac{am}{(a+b)p_1}$$ $$x_2^*=\frac{bm}{(a+b)p_2}$$

將最適消費量代回原效用函數：

$$v(p_1,p_2,m) =a\ln\left(\frac{am}{(a+b)p_1}\right) +b\ln\left(\frac{bm}{(a+b)p_2}\right)$$

這就是正確的間接效用函數。

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選項分析

(A)

$$a \ln\left(\frac{am}{a+b p_1}\right) +b \ln\left(\frac{bm}{a+b p_2}\right)$$

本題考驗消費者理論中，馬歇爾需求函數的推導。消費者具有柯布-道格拉斯 (Cobb-Douglas) 形式的效用函數 $u = x_1^{\alpha}x_2^{\beta}$，且 $\alpha+\beta=1$ (這表示規模報酬為常數，是標準的柯布-道格拉斯形式)。預算約束為 $P_1x_1 + P_2x_2 = m$。

步驟 1：確定效用函數形式
效用函數為 $u(x_1, x_2) = x_1^{\alpha}x_2^{\beta}$，其中 $\alpha+\beta=1$。

步驟 2：寫出預算約束式
$P_1x_1 + P_2x_2 = m$

步驟 3：運用效用最大化的一階條件
對於柯布-道格拉斯效用函數，效用最大化的一階條件為：
$\frac{MU_1}{MU_2} = \frac{P_1}{P_2}$

計算邊際效用：
$MU_1 = \frac{\partial u}{\partial x_1} = \alpha x_1^{\alpha-1}x_2^{\beta}$
$MU_2 = \frac{\partial u}{\partial x_2} = \beta x_1^{\alpha}x_2^{\beta-1}$

計算邊際效用比：
$\frac{MU_1}{MU_2} = \frac{\alpha x_1^{\alpha-1}x_2^{\beta}}{\beta x_1^{\alpha}x_2^{\beta-1}} = \frac{\alpha}{\beta} \frac{x_2}{x_1}$

設定邊際效用比等於價格比：
$\frac{\alpha}{\beta} \frac{x_2}{x_1} = \frac{P_1}{P_2}$
$\alpha P_2 x_2 = \beta P_1 x_1$
$x_2 = \frac{\beta P_1}{\alpha P_2} x_1$

本題考驗消費者理論中，馬歇爾需求函數的推導。這是對上一題的延續，要求推導商品 2 的馬歇爾需求函數。

方法一：利用對稱性與預算約束
我們已經從上一題得到商品 1 的馬歇爾需求函數為：
$x_1^*(P_1, P_2, m) = \alpha \frac{m}{P_1}$

柯布-道格拉斯效用函數的一個重要特性是，消費者在商品 1 上的支出比例為 $\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$，在商品 2 上的支出比例為 $\frac{\beta}{\alpha+\beta}$。
由於 $\alpha+\beta=1$，這意味著：
消費者在商品 1 上的支出為 $\alpha m$。
消費者在商品 2 上的支出為 $\beta m$。

因此，商品 1 的需求為：
$P_1 x_1 = \alpha m \implies x_1 = \frac{\alpha m}{P_1}$ (這與上一題的結果一致)

商品 2 的需求為：
$P_2 x_2 = \beta m \implies x_2 = \frac{\beta m}{P_2}$

方法二：利用一階條件推導
從上一題，我們得到一階條件推導出的關係為：
$\alpha P_2 x_2 = \beta P_1 x_1$

核心觀念

本題考的是 Cobb–Douglas 偏好下的間接效用函數。間接效用函數定義為：

$$v(p_1,p_2,m)=\max_{x_1,x_2} \left\{x_1^\alpha x_2^\beta: p_1x_1+p_2x_2\le m\right\}.$$

其中 $p_1,p_2$ 為兩商品價格，$m$ 為消費者所得。題目所述的所得來源不影響計算，只要將其視為總所得 $m$ 即可。

解題方法與推導

Cobb–Douglas 效用函數

$$u=x_1^\alpha x_2^\beta,\qquad \alpha+\beta=1$$

下，最適消費組合為：

$$x_1^*=\frac{\alpha m}{p_1},\qquad x_2^*=\frac{\beta m}{p_2}.$$

將最適消費量代回效用函數：

$$\begin{aligned} v(p_1,p_2,m) &=(x_1^*)^\alpha(x_2^*)^\beta\\ &=\left(\frac{\alpha m}{p_1}\right)^\alpha \left(\frac{\beta m}{p_2}\right)^\beta\\ &=\alpha^\alpha\beta^\beta p_1^{-\alpha}p_2^{-\beta} m^{\alpha+\beta}. \end{aligned}$$

因此，完整的間接效用函數為：

$$\boxed{ v(p_1,p_2,m) =\alpha^\alpha\beta^\beta p_1^{-\alpha}p_2^{-\beta} m^{\alpha+\beta} }$$

由於 $\alpha$、$\beta$ 是固定參數，選項通常省略不影響比較的正乘數 $\alpha^\alpha\beta^\beta$，所以主要形式為：

$$v(p_1,p_2,m) \propto p_1^{-\alpha}p_2^{-\beta}m^{\alpha+\beta}.$$

又因為 $\alpha+\beta=1$，也可寫成：

$$v(p_1,p_2,m) \propto p_1^{-\alpha}p_2^{-\beta}m.$$

選項分析

本題考驗台灣中央銀行在外匯市場操作對匯率、利率和貨幣供給的影響。

情境：台灣中央銀行購買美元 (US$)。 這意味著中央銀行賣出新台幣 (NT$)，同時買入美元。

影響分析：

1. 匯率影響：
   • 中央銀行賣出新台幣，增加了新台幣的供給。
   • 中央銀行買入美元，增加了對美元的需求。
   • 當一種貨幣的供給增加或需求減少時，其價值會下跌。當另一種貨幣的需求增加或供給減少時，其價值會上漲。
   • 因此，新台幣的供給增加，美元的需求增加。這將導致新台幣相對美元貶值（depreciate），美元相對新台幣升值（appreciate）。
   • 選項 (A) NT$depreciates against U.S.$ (新台幣對美元貶值) - 這會發生。
   • 選項 (B) U.S.$appreciates against NT$ (美元對新台幣升值) - 這與 (A) 是同一回事，也會發生。

本題考驗對台灣近期失業率的了解。這類題目通常依賴於考生對當前經濟數據的掌握，並非純粹的經濟理論計算。由於題目是 109 年 (2020 年) 的考試，我們需要查找 2019 年底至 2020 年初的台灣失業率數據。

根據中華民國行政院主計總處的統計資料：

• 2019 年台灣的平均失業率約在 3.6% 左右。
• 2020 年初，受 COVID-19 疫情影響，失業率有所波動，但整體維持在 3% 至 4% 的區間。
  • 例如，2020 年第一季平均失業率為 3.70%。

核心觀念

本題考查「通貨膨脹率」的通常計算方式。

通貨膨脹率是一般物價水準在一段期間內的百分比變動率，通常以消費者物價指數（Consumer Price Index, CPI）衡量。若以月資料計算，最常見的通貨膨脹率是「與去年同月相比的物價上漲率」，公式為：

$$\text{通貨膨脹率} = \frac{\text{本月CPI}-\text{去年同月CPI}} {\text{去年同月CPI}} \times 100\%$$

此種計算方式稱為「年增率」或「同比增長率」（year-over-year growth rate）。

例如，今年 5 月 CPI 為 108，去年 5 月 CPI 為 105，則通貨膨脹率為：

$$\frac{108-105}{105}\times 100\% = 2.86\%$$

解題方法

題目問的是「通常所報告的通貨膨脹率」，關鍵在於辨認一般新聞、政府統計與經濟報告所採用的標準衡量方式。

月通貨膨脹率通常不是單純比較本月與上月，因為月與月之間容易受到季節性因素影響，例如春節、旅遊旺季或能源價格短期波動。因此，實務上通常將本月物價指數與去年同月比較，以降低季節性因素的干擾。

所以正確描述為：

「一個月的物價指數，相對於前一年同月的百分比變化。」

選項分析

(A) the month-to-month percentage change

錯誤。

這是「月增率」，計算本月 CPI 與上月 CPI 的百分比變化：

$$\frac{\text{本月CPI}-\text{上月CPI}} {\text{上月CPI}} \times 100\%$$

月增率可以反映短期物價變化，但容易受到季節性因素影響，因此不是通常所稱的通貨膨脹率。

本題考驗對 GDP 國際比較方法以及購買力平價 (Purchasing Power Parity, PPP) 基礎上的 GDP 排名。這類題目需要考生對國際經濟數據有一定的了解。

GDP 國際比較的方法：

1. 市場匯率法 (Market Exchange Rate Method): 將各國 GDP 折算成統一貨幣（如美元），使用當前的市場匯率。這種方法簡單，但可能無法準確反映各國人民的實際購買力，因為市場匯率受金融市場波動、資本流動等因素影響，不一定能反映商品和服務的相對價格水平。
2. 購買力平價法 (Purchasing Power Parity, PPP Method): 根據一籃子商品和服務在不同國家之間的相對價格水平，來計算 PPP 匯率。PPP 匯率旨在反映各國貨幣的實際購買力。使用 PPP 調整後的 GDP 進行比較，更能反映各國經濟規模和人民生活水平的真實差異。

本題考驗對國內生產總值 (Gross Domestic Product, GDP) 的定義與計算方式的理解。GDP 衡量的是一個國家在一定時期內所生產的「最終」商品和服務的市場價值。

讓我們逐一分析各個選項：

(A) **You find

本題考驗總合需求 (Aggregate Demand, AD) 曲線的移動，特別是當財政政策（稅收 T）發生變化時，AD 曲線的移動距離。這是一個 IS-LM 模型的一部分。

首先，我們需要建立 IS 曲線，它描述了產品市場的均衡，即 $Y = C + I + G$。
然後，我們需要建立 LM 曲線，它描述了貨幣市場的均衡，即 $M/P = L$。
最後，我們需要找出 IS 和 LM 曲線的交點，這代表了總合支出 Y。

步驟 1：推導 IS 曲線
IS 曲線是產品市場的均衡。
$Y = C + I + G$
$C = 140 + 0.8Y_d$
$Y_d = Y - T$
$I = 200 - 500r$
$G = 120$

將 C 代入 Y 的等式：
$Y = (140 + 0.8Y_d) + I + G$
$Y = 140 + 0.8(Y-T) + (200 - 500r) + 120$
$Y = 140 + 0.8Y - 0.8T + 200 - 500r + 120$
$Y = 460 + 0.8Y - 0.8T - 500r$

將含有 Y 的項移到左邊：
$Y - 0.8Y = 460 - 0.8T - 500r$
$0.2Y = 460 - 0.8T - 500r$

現在，我們需要知道 T 和 r 的具體數值。題目中給了 $M/P = 100$ 和 $L = 50 +0.3Y-500r$。
LM 曲線是貨幣市場的均衡：$M/P = L$。
$100 = 50 + 0.3Y - 500r$
$50 = 0.3Y - 500r$
$500r = 0.3Y - 50$
$r = \frac{0.3Y - 50}{500} = 0.0006Y - 0.1$

將 r 代入 IS 曲線的方程：
$0.2Y = 460 - 0.8T - 500r$
$0.2Y = 460 - 0.8T - 500(0.0006Y - 0.1)$
$0.2Y = 460 - 0.8T - 0.3Y + 50$

核心觀念

本題考查「自主消費」變動對 IS-LM 模型與 Keynesian AS-AD 模型的影響。

消費函數通常表示為：

$$C=C_0+c(Y-T)$$

其中：

• $C_0$：自主消費，不受所得影響的消費；
• $c$：邊際消費傾向；
• $Y$：所得；
• $T$：租稅。

商品市場均衡條件為：

$$Y=C+I+G$$

自主消費 $C_0$ 減少，表示在每一個所得水準下，消費支出都降低，因而商品總需求下降。

解題方法

將自主消費函數代入商品市場均衡式：

$$Y=C_0+c(Y-T)+I(r)+G$$

整理可得：

$$Y-cY=C_0-cT+I(r)+G$$ $$(1-c)Y=C_0-cT+I(r)+G$$

當 $C_0$ 減少時，在相同利率 $r$ 下，右側的自主支出下降，因此均衡所得 $Y$ 降低。這代表 IS 曲線向左移。

由於 IS-LM 模型所決定的利率與所得組合會形成 AD 曲線，IS 曲線左移會使每一個物價水準下的均衡所得下降，因此 AD 曲線也向左移。

所以，正確的因果關係是：

$$C_0\downarrow \Rightarrow IS\text{ 左移} \Rightarrow AD\text{ 左移}$$

選項分析

（A）AS 曲線向右移

核心觀念

本題考查「貨幣供給增加對所得的影響」，也就是 IS-LM 模型中的貨幣政策效果。

貨幣供給增加會使 LM 曲線右移，利率下降，進而刺激投資增加，使均衡所得上升。貨幣政策效果的大小，取決於：

• LM 曲線對所得變動的敏感程度；
• LM 曲線對利率變動的敏感程度；
• 投資對利率變動的敏感程度；
• 消費乘數所造成的所得回饋效果。

假設可支配所得中的稅收為外生固定，則 $dY_d=dY$。

解題方法與推導

由商品市場均衡：

$$Y=C+I+G$$

代入題目中的消費與投資函數：

$$Y=C_0+\beta Y_d+I_0-\rho r+G$$

因為 $dY_d=dY$，考慮均衡變動時有：

$$dY=\beta dY-\rho dr$$

整理得 IS 曲線的變動關係：

$$(1-\beta)dY=-\rho dr$$

因此：

$$dr=-\frac{1-\beta}{\rho}dY$$

貨幣市場均衡為：

$$\frac{M}{P}=L+\phi Y-\mu r$$

在物價固定下，實質貨幣供給增加 $d(M/P)$，因此：

$$d\left(\frac{M}{P}\right)=\phi dY-\mu dr$$

將 IS 曲線的關係代入：

$$d\left(\frac{M}{P}\right) =\phi dY-\mu\left(-\frac{1-\beta}{\rho}dY\right)$$ $$d\left(\frac{M}{P}\right) = \left[ \phi+\frac{\mu(1-\beta)}{\rho} \right]dY$$

所以貨幣供給對所得的影響為：

$$\frac{dY}{d(M/P)} = \frac{1}{ \phi+\frac{\mu(1-\beta)}{\rho} }$$

也可寫成：

$$\frac{dY}{d(M/P)} = \frac{\rho}{\rho\phi+\mu(1-\beta)}$$

要使貨幣供給增加所帶來的所得效果變大，就要使上述乘數變大，也就是使分母變小。

選項分析

(A) lower $\beta$

本題考驗中央銀行在實施利率目標 (interest rate targeting) 時，其操作工具和應對的經濟衝擊。

利率目標政策 (Interest Rate Targeting):
當中央銀行設定一個目標利率時，它承諾會透過公開市場操作 (open market operations) 等方式，來調節銀行體系的準備金，以維持市場利率在目標水平附近。

• 操作工具： 中央銀行最主要的公開市場操作工具是買賣政府債券，這直接影響銀行體系的貨幣供給。當銀行體系準備金不足，利率可能上升時，央行會買入債券（注入準備金，增加貨幣供給）。當銀行體系準備金過剩，利率可能下降時，央行會賣出債券（回籠準備金，減少貨幣供給）。因此，央行透過調節「貨幣供給」來影響利率。
• 應對的衝擊： 經濟體系中存在各種衝擊，會影響貨幣市場的均衡。最常見的是「貨幣需求衝擊」(money demand shocks)，例如當人們對現金的需求突然增加或減少時。如果貨幣需求突然增加，在貨幣供給不變的情況下，利率會上升。為了維持目標利率，央行需要增加貨幣供給。反之，如果貨幣需求突然下降，央行需要減少貨幣供給。其他衝擊，如「稅收變動」或「貨幣供給衝擊」，也會影響經濟，但當央行以利率為目標時，它主要關注的是維持利率穩定，而貨幣供給的調整是為了達成這個利率目標，並應對影響利率的其他因素，其中貨幣需求的變動是最直接的。

分析選項：

本題考驗對現金需求 (demand for cash) 或流動性偏好 (liquidity preference) 的影響因素的理解。

現金需求，或者說持有現金的偏好，主要受到以下幾個因素的影響：

1. 交易性動機 (Transactions Motive): 人們需要持有現金來進行日常的交易。這部分現金需求與人們的所得水平 (income) 和物價水平 (price level) 成正相關。所得越高，交易越多；物價越高，完成相同交易所需的現金越多。
2. 預警性動機 (Precautionary Motive): 人們持有現金以應對未來不確定的開支。這也與所得和物價水平相關。
3. 投機性動機 (Speculative Motive): 人們持有現金作為一種資產，並與其他資產（如債券）進行比較。持有現金的機會成本是持有其他生息資產所能獲得的利息。因此，現金需求與利率（或債券價格，與利率負相關）成負相關。此外，人們對未來利率變動的預期也會影響投機性現金需求。

現在我們來分析選項：

(A) income (所得)
交易性現金需求與所得正相關。所得越高，人們越傾向於持有更多現金來進行交易。因此，現金需求與所得是正相關，而不是負相關。

本題考驗對物價彈性 (price flexibility)、古典經濟學理論 (classical dichotomy) 和貨幣供給影響的理解。題目要求選出「不正確」的敘述。

讓我們逐一分析各個選項：

(A) Menu costs lead to price stickiness.

• Menu costs (菜單成本): 指的是企業為了改變產品價格而必須付出的成本，例如重新印刷菜單、廣告、更新價目表等。
• Price stickiness (價格黏性): 指的是價格不願意或不能夠迅速調整以回應市場供需變動的現象。
• 關聯性： 由於存在菜單成本，企業在價格變動不大的情況下，可能不願意頻繁調整價格，即使市場條件有所變化。這導致價格變得「黏性」。因此，菜單成本是導致價格黏性的原因之一。
• 結論： 這個敘述是正確的。

(B) In the classical dichotomy, all prices are flexible.

• Classical dichotomy (古典二分法): 古典經濟學理論的一個核心觀點，認為名目變數（如貨幣、物價、名目工資）和實質變數（如實質產出、實質工資、實質利率、就業量）可以分開分析。古典經濟學假設所有價格（包括商品價格、工資等）都是完全彈性的，能夠迅速地根據供需進行調整，以確保經濟總是處於充分就業的均衡狀態。
• 結論： 在古典二分法的假設下，所有價格都是靈活的，能夠迅速調整。這個敘述是正確的。

(C) Imperfect competition may lead to price inflexibility.

• Imperfect competition (不完全競爭): 包括壟斷 (monopoly)、寡頭壟斷 (oligopoly) 和壟斷競爭 (monopolistic competition)。在這些市場結構下，企業面臨一定的市場勢力，可以影響價格。
• Price inflexibility (價格不靈活): 與 (A) 中的 price stickiness 類似，指價格調整緩慢。

核心觀念

本題考查「潛在產出誤判」與貨幣政策的效果。

• 實際產出高於潛在產出：經濟處於繁榮（boom），有通貨膨脹壓力。
• 實際產出低於潛在產出：經濟處於衰退（recession），失業增加。
• 繁榮時，中央銀行通常採取緊縮性貨幣政策，提高利率以抑制總合需求。
• 衰退時，中央銀行通常降低利率，以刺激投資、消費與總合需求。

解題方法

由圖可知，1995 年的實際產出位於「True potential output」與「Perceived potential output」兩條線之間，因此：

$$Y^p_{\text{perceived}}<Y_{\text{actual}}<Y^p_{\text{true}}$$

主席誤以為虛線所代表的「認知潛在產出」是真正的潛在產出。由於：

$$Y_{\text{actual}}>Y^p_{\text{perceived}}$$

主席會判斷經濟產出超過潛在產出，處於繁榮狀態，因而提高利率。

然而，實際情況是：

核心觀念

本題考查**國民所得會計帳（National Income Accounting）中國內生產毛額（GDP）的支出面法（Expenditure Approach）**對「政府支出（Government Purchases / Government Spending, $G$）」的定義。

在支出面法中，GDP 的基本恆等式為：
$Y = C + I + G + NX$

其中，政府支出（$G$）的全名為政府對商品與勞務的購買（Government Purchases of Goods and Services），必須滿足以下兩個核心條件：

1. 當期生產：所支付的款項必須對應於當期新創造的最終財貨或勞務。
2. 對價交換：政府支付款項後，確實換取了相應的實體財貨或公共勞務服務。

相反地，政府的**移轉性支付（Transfer Payments）**是單向的所得重分配，並未換取任何當期生產的財貨或勞務，因此不計入 GDP 中的政府購買（$G$）。

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解題方法

判定一筆政府支出是否計入國民所得會計帳的 $G$，切入點在於判斷**「是否有當期的實質財貨或勞務交換」**：

• 若政府付費取得商品或勞務（如購買武器、興建公共建設、支付公立學校教師薪資），計入 $G$。
• 若政府僅為所得重分配或無償移轉資金（如社會救濟、失業給付、老年津貼），不涉及實質生產，不計入 $G$。

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選項分析

• (A) transfer payments（移轉性支付）：不包含（正確選項）

本題考驗生命週期假說 (Life-Cycle Hypothesis, LCH) 的核心觀點。

生命週期假說由 Franco Modigliani 提出，旨在解釋消費行為。該假說認為，個人在生命週期的不同階段（年輕時、中年時、退休時）的儲蓄和消費模式不同。

• 年輕時： 通常收入較低，可能借款消費，或僅靠少量儲蓄消費。
• 中年時： 收入達到高峰，儲蓄用於退休和子女教育。
• 退休時： 收入減少，開始動用儲蓄和退休金消費。

LCH 的核心觀點是，個人會試圖在整個生命週期中，將其「預期」的總所得（或稱「生命週期總所得」）在消費和儲蓄之間進行最適當的分配，以達到在生命週期內平滑消費的目的。
換句話說，人們在做消費決策時，不會僅僅基於當期的所得，而是會考慮到他們整個一生預期能獲得的所得總量，以及他們預計的壽命。

分析選項：
(A) current incomes (當期所得): 凱因斯消費函數的主要觀點，LCH 認為這過於短視。