109 年 國立中山大學企業管理學系碩士甲班甲組《商用統計學》

本題考驗對機率密度函數 (p.d.f.) 的理解，以及變數轉換與變異數的性質。

首先，我們需要辨識給定的機率密度函數 $f(x) = e^{-\pi x^2}$ 所對應的機率分佈。這個函數的形式與常態分佈 (Normal Distribution) 的機率密度函數非常相似。標準常態分佈的 p.d.f. 為 $\phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}$。

觀察 $f(x) = e^{-\pi x^2}$，我們可以將其與標準常態分佈的 p.d.f. 進行比較。
若令 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，則其 p.d.f. 為 $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$。
將 $f(x) = e^{-\pi x^2}$ 與標準常態分佈的 p.d.f. $\phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}$ 比較，若忽略常數項 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$，則 $e^{-\pi x^2}$ 類似於 $e^{-\frac{z^2}{2}}$。
我們可以令 $\frac{z^2}{2} = \pi x^2$，則 $z^2 = 2\pi x^2$。這表示 $z = \sqrt{2\pi} x$。
如果 $X$ 是一個隨機變數，且 $Z = aX + b$ 是一個標準常態分佈的隨機變數，那麼 $X$ 也是一個常態分佈的隨機變數。
在這裡，我們看到 $e^{-\pi x^2}$ 的形式，如果我們令 $Y = \sqrt{2\pi} X$，則 $Y^2 = 2\pi X^2$。
若令 $f(x) = C e^{-\pi x^2}$，則此 p.d.f. 是常態分佈 $N(0, \frac{1}{2})$ 的形式，因為標準差的平方是 $\sigma^2 = \frac{1}{2}$，所以 $\sigma = \frac{1}{\sqrt{2}}$。
其 p.d.f. 為 $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-0)^2}{2(\frac{1}{2})}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}$。

本題考驗對超幾何分佈 (Hypergeometric Distribution) 的期望值和變異數公式的記憶與應用。

超幾何分佈描述了在不放回抽樣的情況下，從一個包含 N 個物件的總體中抽取 n 個物件，其中有 r 個是我們感興趣的（成功）物件，抽取到 k 個成功物件的機率。
其參數為：
N：總體大小 (population size)
r：總體中成功物件的數量 (number of success states in the population)
n：樣本大小 (number of draws, i.e., quantity drawn in each trial)

對於一個服從超幾何分佈的隨機變數 X，其期望值和變異數的公式如下：
期望值 (Expected Value):
$E(X) = n \frac{r}{N}$

本題考驗對 Poisson 分佈及其相關的指數分佈 (Exponential Distribution) 的理解，以及 Poisson 分佈的期望值與變異數的性質。

題目指出，隨機變數 X 代表在固定時間長度內到達的事件數量，且 X 服從 Poisson 分佈，其變異數 Var(X) = 4。

對於 Poisson 分佈，其期望值和變異數是相等的。設 Poisson 分佈的參數為 $\lambda$，則：
$E(X) = \lambda$
$Var(X) = \lambda$

根據題目給定 Var(X) = 4，我們可以推斷出 Poisson 分佈的參數 $\lambda = 4$。
因此，在固定時間長度內到達的事件數量的期望值也是 $E(X) = 4$。

接著，題目要求我們判斷「到達間隔時間」(inter-arrival time) 所遵循的分佈，以及其期望值和標準差。
在 Poisson 過程中，事件到達的數量服從 Poisson 分佈，而事件之間的時間間隔則服從指數分佈。
指數分佈的參數通常定義為事件發生的平均速率 (rate)。

如果 Poisson 分佈的參數 $\lambda$ 代表在一個單位時間內平均到達的事件數，那麼事件之間的平均時間間隔就是 $1/\lambda$。
在這裡，$\lambda = 4$ 代表在一個單位時間內平均有 4 個事件到達。

本題考驗對 F 分佈 (F-distribution) 的前提條件的理解。F 分佈是用來比較兩個獨立變異數的統計檢定。

$\frac{s_1^2}{s_2^2}$ 的抽樣分佈服從 F 分佈，其中 $s_1^2$ 和 $s_2^2$ 分別是來自兩個獨立母體樣本的樣本變異數。為了使這個抽樣分佈正確地服從 F 分佈，需要滿足以下三個關鍵條件：

(8) 兩個母體必須是常態分佈 (Normal Distributions)。這是 F 分佈和 t 分佈等許多參數檢定的基本假設。
$X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$
$X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$

本題考驗對假設檢定 (Hypothesis Testing) 基本流程的理解。在假設檢定中，我們利用樣本資料來判斷是否有足夠的證據推翻虛無假設 ($H_0$)。

在假設檢定中，我們計算一個統計量，用來衡量樣本資料與虛無假設之間的不一致程度。這個統計量稱為檢定統計量 (test statistic)。
(11) 檢定統計量 (Test Statistic)。檢定統計量的值越大，表示樣本證據與虛無假設的差異越大，即樣本證據越不利於 $H_0$。

接著，我們將計算出的檢定統計量與一個臨界值 (critical value) 或直接與 P 值 (p-value) 進行比較，以決定是否拒絕虛無假設。
(12) 臨界值 (Critical Value) 或 P 值 (p-value)。

• 若使用臨界值法：將檢定統計量與由顯著水準 $\alpha$ 所決定的臨界值進行比較。例如，在右尾檢定中，若檢定統計量大於臨界值，則拒絕 $H_0$。
• 若使用 P 值法：計算 P 值，即在虛無假設為真的情況下，觀察到樣本統計量或更極端結果的機率。若 P 值小於或等於顯著水準 $\alpha$，則拒絕 $H_0$。

核心觀念

本題考查「樣本平均數的抽樣分配」。

若母體平均數為 $\mu$、母體標準差為 $\sigma$，樣本數為 $n=49$，則樣本平均數 $\bar X$ 的平均數與標準差為

題目指出長期觀察下：

• $5\%$ 的 $\bar X$ 大於 $2.1$ 公斤，因此 $2.1$ 是 $\bar X$ 的第 $95$ 百分位數。
• $5\%$ 的 $\bar X$ 小於 $1.9$ 公斤，因此 $1.9$ 是 $\bar X$ 的第 $5$ 百分位數。

假設樣本平均數的抽樣分配為常態分配，則

解題方法

設樣本平均數的平均數為 $\mu_{\bar X}=\mu$，標準差為 $\sigma_{\bar X}=\dfrac{\sigma}{7}$。

由 $2.1$ 公斤以上占 $5\%$：

因此

由 $1.9$ 公斤以下占 $5\%$：

因此

將兩式相加：

再將兩式相減：

本題考驗對年複合成長率 (Compound Annual Growth Rate, CAGR) 的計算。

CAGR 的公式是：
$CAGR = (\frac{\text{Ending Value}}{\text{Beginning Value}})^{\frac{1}{\text{Number of Years}}} - 1$

在這裡：

• 結束價值 (Ending Value) = 320 百萬美元
• 開始價值 (Beginning Value) = 10 百萬美元
• 年數 (Number of Years) = 5 年

將這些值代入公式：
$CAGR = (\frac{320}{10})^{\frac{1}{5}} - 1$
$CAGR = (32)^{\frac{1}{5}} - 1$

本題考驗對抽樣誤差 (Margin of Error) 在民意調查中的常見值的理解。

在進行民意調查時，我們通常會計算一個樣本比例來估計母體比例。抽樣誤差代表了樣本比例與真實母體比例之間可能的最大差異。
這個誤差的大小取決於幾個因素，包括：

1. 顯著水準 (confidence level)，通常是 95% 或 99%。
2. 母體比例的估計值 (p)。
3. 樣本大小 (n)。

公式為：Margin of Error $= z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

為了最大化抽樣誤差（即在給定樣本大小和信賴水準下，產生最保守的誤差估計），通常會假設母體比例 $\hat{p}$ 為 0.5。因為當 $\hat{p} = 0.5$ 時，$\hat{p}(1-\hat{p})$ 的值最大。

對於 95% 的信賴水準，對應的 $z_{\alpha/2}$ 值約為 1.96。
對於 99% 的信賴水準，對應的 $z_{\alpha/2}$ 值約為 2.576。

在全國性的民意調查中，為了獲得足夠的精確度，通常會選擇一個較小的抽樣誤差。常見的抽樣誤差範圍是 ±3% 到 ±5%。
如果我們假設 95% 的信賴水準和 $\hat{p} = 0.5$，並希望誤差在 ±3% (0.03) 左右，那麼：
$0.03 = 1.96 \sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{n}}$

本題考驗對統計學中異常數據的術語。

核心觀念

此題考查羅吉斯迴歸中，迴歸係數與「勝算比」的關係。

羅吉斯迴歸模型為：

其中：

• $p$：事件發生的機率
• $\dfrac{p}{1-p}$：勝算（odds）
• $\beta_j$：第 $j$ 個自變數的迴歸係數

當 $X_j$ 增加一單位，且其他自變數維持不變時，勝算會乘上：

因此，$e^{\beta_j}$ 即為勝算比（odds ratio, OR）。

解題方法

原模型的勝算為：

若僅將 $X_j$ 增加一單位，新的勝算為：

因此，新舊勝算的比值為：

本題考驗對逐步迴歸 (Stepwise Regression) 程序中，變數進入或移除準則的理解。

逐步迴歸是一種自動化的迴歸模型建立方法，它透過迭代地加入或移除自變數來尋找最佳模型。在這個過程中，會設定一些準則來決定哪些變數應該被納入模型，或者哪些變數應該被移除。

題目中提到「p-value for any independent variable」和「$\alpha$-to-leave」。這表明我們正在討論移除變數的準則。
逐步迴歸通常有兩個主要的準則：

1. $\alpha$-to-enter (進入準則)：當一個自變數的 P 值小於某個預設的顯著水準（例如 $\alpha_{enter}$）時，該變數才有可能被加入模型。
2. $\alpha$-to-leave (移除準則)：當一個自變數的 P 值大於某個預設的顯著水準（例如 $\alpha_{leave}$）時，該變數才有可能被移除出模型。

題目描述的是移除變數的過程：
「if the p-value for any independent variable is ( ) than an $\alpha$-to-leave ... the independent variable with the ( ) p-value is removed from the model」

本題考驗對迴歸分析中 F 檢定的解釋。F 檢定用於判斷一個迴歸模型是否整體顯著，即是否至少有一個自變數對應的迴歸係數不為零。

核心觀念：
F 檢定基於變異數的分解與比較。它比較模型解釋的變異數 (MSR) 與模型未能解釋的變異數 (MSE)。如果模型能解釋的變異數遠大於模型未能解釋的變異數，則認為迴歸模型整體是顯著的。

虛無假設與對立假設：

• $H_0: \beta_1 = \beta_2 = ... = \beta_p = 0$ (所有自變數的迴歸係數均為零，表示所有自變數對因變數 Y 都沒有線性影響，模型不顯著)。
• $H_a$: 至少有一個 $\beta_i \neq 0$ (至少有一個自變數對因變數 Y 有線性影響，模型顯著)。

變異數的分解：
在迴歸分析中，總變異數 (SST, Total Sum of Squares) 可以分解為：
$SST = SSR + SSE$
其中：

• $SST = \sum (y_i - \bar{y})^2$：因變數 Y 的總變異數，衡量 Y 的總體離散程度。
• $SSR = \sum (\hat{y}_i - \bar{y})^2$：迴歸變異數 (Regression Sum of Squares)，衡量由迴歸模型解釋的 Y 的變異數。
• $SSE = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2$：殘差變異數 (Error Sum of Squares) 或殘差平方和，衡量模型未能解釋的 Y 的變異數，即隨機誤差。

平均平方和 (Mean Squares)：
為了消除樣本大小的影響，我們將平方和除以其自由度，得到平均平方和：

• $MSR = \frac{SSR}{p}$：平均迴歸平方和 (Mean Square Regression)。其中 $p$ 是自變數的個數。
• $MSE = \frac{SSE}{n-p-1}$：平均殘差平方和 (Mean Square Error) 或殘差均方。其中 $n$ 是樣本大小，$p+1$ 是模型參數的個數（包括截距項 $\beta_0$）。MSE 是母體誤差變異數 $\sigma^2$ 的一個不偏估計量。

F 檢定統計量的構建：
F 檢定統計量為：
$F = \frac{MSR}{MSE}$

為什麼這個 F 統計量有效？

1. 在 $H_0$ 為真的情況下：
   如果虛無假設 $H_0$ 為真，則所有自變數對 Y 都沒有線性影響，即 $\beta_1 = ... = \beta_p = 0$。
   此時，SSR 應該很小，因為模型沒有捕捉到任何系統性變異。
   MSE ($=\frac{SSE}{n-p-1}$) 則是母體誤差變異數 $\sigma^2$ 的一個良好估計。
   因此，若 $H_0$ 為真，MSR ($=\frac{SSR}{p}$) 的期望值應該接近於 $\sigma^2$（因為 SSR 的變異是由隨機因素引起的），而 MSE 的期望值也為 $\sigma^2$。

本題考驗對隨機化區集設計 (Randomized Block Design, RBD) 的理解及其與完全隨機設計 (Completely Randomized Design, CRD) 的比較。

1. 隨機化區集設計 (Randomized Block Design, RBD)

隨機化區集設計是一種實驗設計方法，用於在實驗中控制來自一個或多個已知來源的額外變異。在這種設計中，實驗單元首先被分成若干個「區集」(blocks)，每個區集內包含相同數量的實驗單元，並且區集內的單元在某個或某些方面是相似的。然後，在每個區集內部，將不同的處理 (treatments) 隨機分配給區集內的實驗單元。

關鍵特點：

• 區集 (Blocks)： 實驗單元被分成同質性較高的群組。區集內的變異性小於區集之間的變異性。
• 隨機化 (Randomization)： 在每個區集內部，處理被隨機分配給實驗單元，以確保公平性並減少偏誤。
• 控制變異： 區集的作用是將變異來源分成「區集間的變異」和「區集內的變異」。區集間的變異被視為已知且可控的，而區集內的變異則被視為隨機誤差。

常見的區集例子：

• 農業實驗：區集可以是同一塊田地的不同區域，因為同一區域的土壤、光照等條件較為相似。
• 醫學實驗：區集可以是同一批次的病人，或者同一醫生的病人，因為他們的生理特徵或治療環境可能相似。
• 心理學實驗：區集可以是同一班級的學生，或者同一性別的參與者。
• 生產過程：區集可以是同一天生產的產品，或者同一台機器生產的產品。

2. 與完全隨機設計 (Completely Randomized Design, CRD) 的比較

完全隨機設計是最簡單的實驗設計。在 CRD 中，所有的實驗單元都被視為同質的，並且所有的處理都被隨機分配給所有的實驗單元，而不進行分組。

3. 隨機化區集設計的優勢 (Advantage of RBD over CRD)

隨機化區集設計的主要優勢在於 提高實驗的效率和檢定力 (Power)，尤其是在存在一個或多個重要且可識別的變異來源時。

解釋：

• 控制變異： 在 CRD 中，所有實驗單元之間的變異都歸於隨機誤差。然而，如果存在一個已知的、會顯著影響結果的因子（例如，不同批次的原材料，不同時間的實驗條件，不同批次的動物），那麼這個因子造成的變異將被包含在隨機誤差項中，從而增加了誤差的總體大小。
• 區集的作用： RBD 通過將相似的實驗單元分到同一個區集，然後在區集內部進行隨機化，有效地將實驗單元間的系統性變異（即區集效應）從隨機誤差中分離出來。

本題考驗對時間序列分析中移動平均法 (Moving Average Method) 的應用，特別是計算四期移動平均值和中心化移動平均值。

核心觀念：
移動平均法是一種平滑時間序列數據的方法，用於減少短期波動（季節性、隨機性），以更清楚地顯示長期趨勢。

• 移動平均值 (Moving Average, MA)： 計算一系列數據點的平均值，這些數據點在時間序列中是連續的。
• 四期移動平均 (4-period MA)： 計算每四個連續時間點的平均值。
• 中心化移動平均 (Centered Moving Average, CMA)： 對於偶數期的移動平均（如四期），直接計算的移動平均值會落在兩個時間點之間，而不是落在一個具體的時間點上。為了將平均值與一個具體的時間點對齊，我們需要進行「中心化」處理，即對兩個連續的移動平均值再取一次平均。

數據：
我們有四年的季度銷售數據，共 16 個時間點 (t=1 到 t=16)。

步驟 (a)：計算四期移動平均值 (4-period MA) 和中心化移動平均值 (Centered MA)

1. 計算四期移動平均值 (4-MA)：
我們將連續四期的銷售數據相加，然後除以 4。
第一個四期移動平均值將對應到第 2.5 期（通常表示為 t=2.5 或 T2.5）。
$MA_{2.5} = \frac{Y_1 + Y_2 + Y_3 + Y_4}{4} = \frac{4.8 + 4.1 + 6.0 + 6.5}{4} = \frac{21.4}{4} = 5.35$ (對應時間點 t=2.5)
$MA_{3.5} = \frac{Y_2 + Y_3 + Y_4 + Y_5}{4} = \frac{4.1 + 6.0 + 6.5 + 5.8}{4} = \frac{22.4}{4} = 5.60$ (對應時間點 t=3.5)
$MA_{4.5} = \frac{Y_3 + Y_4 + Y_5 + Y_6}{4} = \frac{6.0 + 6.5 + 5.8 + 5.2}{4} = \frac{23.5}{4} = 5.875$ (對應時間點 t=4.5)
$MA_{5.5} = \frac{Y_4 + Y_5 + Y_6 + Y_7}{4} = \frac{6.5 + 5.8 + 5.2 + 6.0}{4} = \frac{23.5}{4} = 5.875$ (對應時間點 t=5.5)
$MA_{6.5} = \frac{Y_5 + Y_6 + Y_7 + Y_8}{4} = \frac{5.8 + 5.2 + 6.0 + 5.6}{4} = \frac{22.6}{4} = 5.65$ (對應時間點 t=6.5)
$MA_{7.5} = \frac{Y_6 + Y_7 + Y_8 + Y_9}{4} = \frac{5.2 + 6.0 + 5.6 + 7.5}{4} = \frac{24.3}{4} = 6.075$ (對應時間點 t=7.5)
$MA_{8.5} = \frac{Y_7 + Y_8 + Y_9 + Y_{10}}{4} = \frac{6.0 + 5.6 + 7.5 + 7.8}{4} = \frac{26.9}{4} = 6.725$ (對應時間點 t=8.5)
$MA_{9.5} = \frac{Y_8 + Y_9 + Y_{10} + Y_{11}}{4} = \frac{5.6 + 7.5 + 7.8 + 6.3}{4} = \frac{27.2}{4} = 6.80$ (對應時間點 t=9.5)
$MA_{10.5} = \frac{Y_9 + Y_{10} + Y_{11} + Y_{12}}{4} = \frac{7.5 + 7.8 + 6.3 + 5.9}{4} = \frac{27.5}{4} = 6.875$ (對應時間點 t=10.5)
$MA_{11.5} = \frac{Y_{10} + Y_{11} + Y_{12} + Y_{13}}{4} = \frac{7.8 + 6.3 + 5.9 + 8.0}{4} = \frac{28.0}{4} = 7.00$ (對應時間點 t=11.5)
$MA_{12.5} = \frac{Y_{11} + Y_{12} + Y_{13} + Y_{14}}{4} = \frac{6.3 + 5.9 + 8.0 + 8.4}{4} = \frac{28.6}{4} = 7.15$ (對應時間點 t=12.5)

本題考驗對時間序列分析中季節指數 (Seasonal Index) 的計算。季節指數衡量一個特定季節（在此為季度）相對於平均季節的表現。

核心觀念：
季節指數的計算通常基於「比例法」(Ratio-to-Moving Average Method)。此方法的步驟如下：

1. 計算移動平均值，以平滑掉季節性成分和隨機波動。
2. 將原始數據除以對應的移動平均值，得到「季節調整後的數據」(seasonally adjusted data)，這些數據包含季節性和隨機成分。
3. 對每個季節（例如，第一季度、第二季度等）的季節調整後數據取平均值，得到該季節的「平均季節調整數據」。
4. 將每個季節的平均季節調整數據除以所有季節的平均值（或所有季節調整數據的總平均值），即可得到該季節的季節指數。

步驟：

1. 計算四期移動平均值 (4-MA)：
此步驟已在上題 (a) 中完成。我們需要對應到每個時間點的 4-MA 值。
請注意，4-MA 值是落在兩個時間點之間，例如 $MA_{t+0.5}$。

2. 計算季節調整後的數據 (Seasonally Adjusted Data)：
將原始數據 $Y_t$ 除以對應時間點的移動平均值。然而，由於 4-MA 落在時間點之間，通常我們需要將原始數據與「中心化移動平均值」(CMA) 來計算季節成分。
但此處題目要求的是季節指數，並且已經計算了 4-MA。
更常見的做法是：

• 對偶數期的移動平均，先計算 4-MA，然後計算 CMA。
• CMA 會落在一個具體的時間點上。
• 季節調整數據 = $Y_t$ / $CMA_t$ (如果 CMA 已經在時間點 t 上)。

在實際應用中，如果使用 4-MA，其值對應時間點 $t+0.5$。為了將季節性指標與具體的時間點對齊，我們計算 CMA。
$CMA_t = \frac{MA_{t-0.5} + MA_{t+0.5}}{2}$。
這個 $CMA_t$ 落在時間點 $t$。
那麼，季節成分的估計值可以用 $Y_t / CMA_t$ 來計算。

我們已經計算了 CMA，它對應到時間點 t=3 到 t=14。

3. 計算每個季度的平均季節調整數據：
我們需要計算每個季度 (Q1, Q2, Q3, Q4) 的季節成分估計值（原始數據除以 CMA）。
請注意，CMA 的時間點是 t=3, 4, 5, ..., 14。
原始數據 $Y_t$ 對應的時間點是 t=1, 2, ..., 16。

我們需要計算 $Y_t / CMA_t$ 的值。
請注意，CMA 的計算，使得 $CMA_t$ 對應的是時間點 $t$。
例如：
$CMA_3$ 對應時間點 3 (Q3, Year 1)。原始數據 $Y_3 = 6.0$。
$CMA_4$ 對應時間點 4 (Q4, Year 1)。原始數據 $Y_4 = 6.5$。
$CMA_5$ 對應時間點 5 (Q1, Year 2)。原始數據 $Y_5 = 5.8$。
$CMA_6$ 對應時間點 6 (Q2, Year 2)。原始數據 $Y_6 = 5.2$。
...
$CMA_{14}$ 對應時間點 14 (Q2, Year 4)。原始數據 $Y_{14} = 5.9$。

我們需要計算 $Y_t / CMA_t$ 的值，其中 $t$ 從 3 到 14。
這些值屬於不同的季度。

本題考驗對時間序列去季節化 (De-seasonalization) 的計算。去季節化是將時間序列中的季節性成分移除，以便更清晰地觀察趨勢和隨機波動。

核心觀念：
去季節化是季節指數計算的逆過程。如果時間序列模型為加法模型 ($Y_t = T_t + S_t + I_t$) 或乘法模型 ($Y_t = T_t \times S_t \times I_t$)，其中 $Y_t$ 是原始數據，$T_t$ 是趨勢，$S_t$ 是季節性，$I_t$ 是隨機誤差。

• 加法模型： 去季節化數據 $= Y_t - S_t$
• 乘法模型： 去季節化數據 $= Y_t / S_t$

在我們計算季節指數時，我們實際上是假設了一個乘法模型，因為季節指數是乘性因子。季節指數衡量的是某個季節相對於平均水平的「倍數」。因此，我們使用除法來去季節化。

步驟：

1. 使用計算出的季節指數：
從上題 (b) 中，我們計算了四個季度的季節指數：

• Q1 季節指數：$SI_{Q1} \approx 0.915$
• Q2 季節指數：$SI_{Q2} \approx 0.828$
• Q3 季節指數：$SI_{Q3} \approx 1.119$
• Q4 季節指數：$SI_{Q4} \approx 1.138$

2. 去季節化計算：
去季節化數據 (Deseasonalized Data) $= Y_t / SI_{\text{Quarter of } t}$

我們將對原始數據表中的每一個值進行去季節化計算。
原始數據 (Y) 和對應的季節指數 (SI) 如下：

本題考驗對線性趨勢模型預測的應用。題目已經給出了去季節化後的線性趨勢方程式，並要求我們預測未來（第五年）的去季節化銷售額。

核心觀念：
線性趨勢模型的形式為 $\hat{y} = b_0 + b_1 t$，其中：

• $\hat{y}$ 是預測值（在此為去季節化銷售額）。
• $t$ 是時間變數（季度編號）。
• $b_0$ 是截距。
• $b_1$ 是趨勢斜率，表示每經過一個時間單位（在此為一個季度），去季節化銷售額平均增加的量。

已知資訊：

• 線性趨勢方程式：$\hat{y} = 5.104 + 0.1476t$
• $t$ 代表季度編號，歷史數據的 $t$ 範圍是 $t=1, ..., 16$。
• 我們需要預測第五年的去季節化季度銷售額。

步驟：

1. 確定未來時間點 (t 值)：
歷史數據涵蓋了 4 年，共 16 個季度 ($t=1$ 到 $t=16$)。
第五年包含 4 個季度：

• 第一季度 (Year 5, Q1) 對應的時間點是 $t = 16 + 1 = 17$。
• 第二季度 (Year 5, Q2) 對應的時間點是 $t = 16 + 2 = 18$。
• 第三季度 (Year 5, Q3) 對應的時間點是 $t = 16 + 3 = 19$。
• 第四季度 (Year 5, Q4) 對應的時間點是 $t = 16 + 4 = 20$。

本題考驗如何將去季節化的預測值，根據季節指數重新調整，以得到最終的總預測值。

核心觀念：
在時間序列分析中，通常假設原始數據是趨勢 (T)、季節性 (S) 和隨機誤差 (I) 的組合。

• 乘法模型： $Y_t = T_t \times S_t \times I_t$
• 加法模型： $Y_t = T_t + S_t + I_t$

在前面的步驟中：

• 我們計算了去季節化的趨勢預測值 ($\hat{y}_t$)，這代表了 $T_t$ 的估計。
• 我們計算了季節指數 ($SI$)，這代表了 $S_t$ 的乘法因子。

題目要求我們使用季節指數來調整去季節化的趨勢預測值。這意味著我們假設一個乘法模型：
最終預測值 = (去季節化的趨勢預測值) $\times$ (季節指數)
$\hat{Y}_t = \hat{y}_t \times SI_{\text{Quarter of } t}$

已知資訊：

1. 第五年四個季度的去季節化趨勢預測值 (來自上題 (d))：

   • Q1 (t=17): $\hat{y}_{17} = 7.6132$
   • Q2 (t=18): $\hat{y}_{18} = 7.7608$
   • Q3 (t=19): $\hat{y}_{19} = 7.8984$
   • Q4 (t=20): $\hat{y}_{20} = 8.0560$

2. 第四年的季節指數 (來自題 (b))：

   • Q1 季節指數 ($SI_{Q1}$): 0.915
   • Q2 季節指數 ($SI_{Q2}$): 0.828
   • Q3 季節指數 ($SI_{Q3}$): 1.119
   • Q4 季節指數 ($SI_{Q4}$): 1.138

本題考驗對多元迴歸模型整體顯著性檢定的應用，即 F 檢定。

核心觀念：
整體顯著性檢定用於判斷迴歸模型中的所有自變數是否能夠共同顯著地解釋因變數的變異。檢定統計量是 F 值，它比較了模型解釋的變異 (SSR) 與模型未解釋的變異 (SSE)。

已知資訊：

• 樣本大小 $n = 30$。
• 迴歸方程式：$\hat{y} = 17.6 + 3.8x_1 - 2.3x_2 + 7.6x_3 + 2.7x_4$
• 自變數個數 $p = 4$ (即 $x_1, x_2, x_3, x_4$)。
• 總平方和 $SST = 1805$。
• 迴歸平方和 $SSR = 1760$。
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$。

步驟：

1. 建立虛無假設與對立假設：

• $H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = \beta_4 = 0$ (所有自變數的迴歸係數均為零，模型不顯著)。
• $H_a:$ 至少有一個 $\beta_i \neq 0$ (至少有一個自變數對因變數有顯著影響，模型顯著)。

2. 計算殘差平方和 (SSE)：
總平方和 $SST$ 等於迴歸平方和 $SSR$ 加上殘差平方和 $SSE$。
$SST = SSR + SSE$
$1805 = 1760 + SSE$
$SSE = 1805 - 1760 = 45$

3. 計算平均平方和 (MSR 和 MSE)：

• 平均迴歸平方和 $MSR = \frac{SSR}{p}$
  $MSR = \frac{1760}{4} = 440$

• 平均殘差平方和 $MSE = \frac{SSE}{n-p-1}$
  $MSE = \frac{45}{30 - 4 - 1} = \frac{45}{25} = 1.8$

4. 計算 F 檢定統計量：
$F = \frac{MSR}{MSE}$
$F = \frac{440}{1.8} \approx 244.44$

5. 確定臨界值或計算 P 值：
我們需要找到自由度為 $(p, n-p-1) = (4, 25)$ 在 $\alpha = 0.05$ 下的臨界 F 值。
查閱 F 分佈表，對於 $F_{4, 25; 0.05}$，臨界值為 3.39。

本題考驗對殘差平方和 (SSE) 的理解，以及在不同迴歸模型下的 SSE 計算。

核心觀念：

• $SSE$ (Sum of Squared Errors) 是模型未能解釋的變異的總和。
• $SSE = SST - SSR$。
• $SSE(x_1, x_2, x_3, x_4)$ 表示包含自變數 $x_1, x_2, x_3, x_4$ 的模型所計算出的 SSE。
• $SSE(x_2, x_3)$ 表示僅包含自變數 $x_2, x_3$ 的模型所計算出的 SSE。

已知資訊：

1. 原始模型 (包含 $x_1, x_2, x_3, x_4$)：

   • $n = 30$
   • $SST = 1805$
   • $SSR_{full} = 1760$ (這裡的 SSR 是指包含所有自變數的模型)
   • 該模型對應的 SSE 是 $SSE(x_1, x_2, x_3, x_4)$。

2. 縮減模型 (僅包含 $x_2, x_3$)：

   • $\hat{y} = 11.1 - 3.6x_2 + 8.1x_3$
   • $SST = 1805$ (SST 在不同模型下應保持不變，因為它僅取決於因變數 Y)
   • $SSR_{reduced} = 1705$ (這裡的 SSR 是指僅包含 $x_2, x_3$ 的模型)
   • 該模型對應的 SSE 是 $SSE(x_2, x_3)$。

步驟：

計算 $SSE(x_1, x_2, x_3, x_4)$：
這是包含所有自變數的模型所對應的 SSE。

本題考驗對迴歸模型中新增變數顯著性檢定的應用，通常使用 F 檢定（也稱為聯合顯著性檢定或增量 F 檢定）。

核心觀念：
當我們有一個較大的模型（包含所有自變數）和一個較小的、嵌套在其內的模型（省略部分自變數）時，我們可以透過比較這兩個模型的 SSE 或 SSR，來檢定被省略的自變數是否對模型有顯著的貢獻。

• 較大的模型 (Full Model)：包含 $x_1, x_2, x_3, x_4$。
• 較小的模型 (Reduced Model)：包含 $x_2, x_3$ (即省略了 $x_1$ 和 $x_4$)。

我們要檢定的是 $x_1$ 和 $x_4$ 是否對模型有顯著貢獻。

虛無假設與對立假設：

• $H_0$: $x_1$ 和 $x_4$ 都對模型沒有顯著貢獻，即 $\beta_1 = 0$ 且 $\beta_4 = 0$ (在已經考慮 $x_2$ 和 $x_3$ 的情況下)。
• $H_a$: $x_1$ 和 $x_4$ 中至少有一個對模型有顯著貢獻，即 $\beta_1 \neq 0$ 或 $\beta_4 \neq 0$。

F 檢定統計量公式：
$F = \frac{(SSE_{reduced} - SSE_{full}) / (p_{full} - p_{reduced})}{SSE_{full} / (n - p_{full} - 1)}$
其中：

• $SSE_{reduced}$: 較小模型 (Reduced Model) 的殘差平方和。
• $SSE_{full}$: 較大模型 (Full Model) 的殘差平方和。
• $p_{full}$: 較大模型中自變數的個數。
• $p_{reduced}$: 較小模型中自變數的個數。
• $n$: 樣本大小。

已知資訊 (來自前兩小題)：

• $n = 30$
• $SST = 1805$
• Full Model: 包含 $x_1, x_2, x_3, x_4$。
  • $p_{full} = 4$
  • $SSR_{full} = 1760$
  • $SSE_{full} = SSE(x_1, x_2, x_3, x_4) = 45$
• Reduced Model: 包含 $x_2, x_3$。
  • $p_{reduced} = 2$
  • $SSR_{reduced} = 1705$
  • $SSE_{reduced} = SSE(x_2, x_3) = 100$
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$。

步驟：

1. 計算 F 檢定統計量：
$F = \frac{(SSE_{reduced} - SSE_{full}) / (p_{full} - p_{reduced})}{SSE_{full} / (n - p_{full} - 1)}$
$F = \frac{(100 - 45) / (4 - 2)}{45 / (30 - 4 - 1)}$