114 年 國立高雄大學亞太工商管理學系碩士班乙組《統計學》

核心觀念

本題使用單因子變異數分析（One-way ANOVA）檢定：

• $H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4=\mu_5$
• $H_1:$ 並非所有母體平均數皆相等

$F$ 統計量服從自由度為

的 $F$ 分配，其中：

• $k$：群組數
• $N$：總樣本數

由於拒絕域為 $\{F>F_{\text{critical value}}\}$，且 $\alpha=0.05$，因此要找的是右尾面積為 $0.05$ 的 $F$ 臨界值。

解題方法

共有 $5$ 個母體，因此

總樣本數為

因此：

分子自由度

分母自由度

所以臨界值為

亦即查詢分子自由度 $4$、分母自由度 $24$，右尾機率為 $0.05$ 的 $F$ 分配表：

本題考驗對各種機率分佈適用情境的理解。我們要判斷在抽取樣本時，哪一種機率分佈最適合描述「缺陷品數量」這個隨機變數。

題目給定：

1. 母體總數 $N = 200$ (總零件數)
2. 母體中缺陷品的數量 $K = 40$
3. 抽樣方式為「隨機抽取」(at random)
4. 抽樣大小 $n = 30$ (抽取 30 個零件)
5. 隨機變數 $X$ 定義為「所選取的零件中，缺陷品的數量」。

我們需要分析抽樣的特性：

• 有放回 vs. 無放回抽樣： 題目說「抽取 30 個零件」，通常這表示「無放回抽樣」(sampling without replacement)。在無放回抽樣中，每次抽取後，母體的組成會改變，因此後續抽取的機率會受到影響。
• 母體大小與樣本大小的關係： 母體大小 (200) 相對於樣本大小 (30) 來說，並不算非常大。如果樣本大小佔母體大小的比例超過 5% 或 10%，則無放回抽樣的影響會比較顯著，不能輕易用有放回抽樣的近似來處理。在此例中，$30/200 = 0.15 = 15\%$，比例較高。

現在我們來評估各個選項：

(A) 二項分佈 (Binomial Distribution):
二項分佈適用於以下情況：
* 試驗次數固定 ($n$ 次)。
* 每次試驗只有兩種結果 (成功/失敗)。
* 每次試驗成功的機率固定 ($p$)。
* 各次試驗之間是獨立的。
二項分佈通常是基於「有放回抽樣」或「母體非常大，樣本比例很小，以至於每次抽樣的機率變化可以忽略」的情況。

本題考驗對卡方檢定 (Chi-square test) 的基本理解，特別是決定獨立性檢定或適合度檢定 (Goodness-of-fit test) 的臨界值。

題目給定：

1. 虛無假說 $H_0: \pi_1 = \pi_2 = \pi_3 = \pi_4 = \pi_5$
2. 對立假說 $H_1:$ Not all $\pi_i$ are equal
3. 檢定方法使用卡方統計量。
4. 顯著水準 $\alpha = 0.01$
5. 拒絕域為 $\{\chi^2 > \chi_{\text{critical value}}^2\}$

這種形式的虛無假說通常用於「適合度檢定」，用來檢定觀察到的比例是否符合某個理論比例。這裡有 5 個類別（對應 $\pi_1$ 到 $\pi_5$）。

卡方統計量 $\chi^2$ 的自由度 (degrees of freedom, df) 計算方式是：
$df = k - 1 - m$
其中：

• $k$ 是類別的數量。
• $m$ 是母體參數估計的數量（在 $H_0$ 中，如果比例都相等，例如都等於 $1/5$，則 $m=0$）。

本題考驗對迴歸分析中加入交互作用項的 F 檢定 (F-test for interaction terms) 的理解。當我們想檢定加入的某組新變數（在此例中是交互作用項）是否顯著增強模型的解釋能力時，會使用這種 F 檢定。

題目給定：

1. 樣本數 $n = 25$。
2. 原始模型 (Reduced Model, $M_R$)：$\hat{Y} = b_0 + b_1X_1 + b_2X_2 + b_3X_3$。這個模型有 4 個參數（$b_0, b_1, b_2, b_3$）。
3. 擴充模型 (Full Model, $M_F$)：$\hat{Y} = b_0 + b_1X_1 + b_2X_2 + b_3X_3 + b_4X_4 + b_5X_5$，其中 $X_4 = X_1X_2$、$X_5 = X_1X_3$。這個模型有 6 個參數（$b_0, b_1, b_2, b_3, b_4, b_5$）。
4. $F_1$ 是原始模型的 F 值（用於檢定 $b_1, b_2, b_3$ 是否顯著）。
5. $F_2$ 是擴充模型的 F 值（用於檢定 $b_1, b_2, b_3, b_4, b_5$ 是否顯著）。
6. $\Delta F = F_2 - F_1$。
7. 顯著水準 $\alpha = 0.05$。
8. 拒絕域為 $\{\Delta F > F_{\text{critical value}}\}$。

這裡的 $\Delta F$ 指的是由 $F_2$ 和 $F_1$ 計算出來的 F 檢定統計量，它用於檢定新增的變數（$X_4, X_5$，即交互作用項）是否顯著。這個檢定統計量通常表示為 $F_{\text{test}}$。
$F_{\text{test}} = \frac{(SSE_R - SSE_F) / (df_{R} - df_{F})}{SSE_F / df_{F}}$
其中 $SSE_R$ 是縮減模型的殘差平方和，$SSE_F$ 是擴充模型的殘差平方和。
$df_R$ 是縮減模型的殘差自由度，$df_F$ 是擴充模型的殘差自由度。

在迴歸分析中，殘差自由度是 $n - (\text{參數個數})$。

• 縮減模型 (Reduced Model, $M_R$) 的參數個數為 $p_R = 4$ ($b_0, b_1, b_2, b_3$)。
• 擴充模型 (Full Model, $M_F$) 的參數個數為 $p_F = 6$ ($b_0, b_1, b_2, b_3, b_4, b_5$)。
• 樣本數 $n = 25$。

本題考驗對變異膨脹因子 (Variance Inflationary Factor, VIF) 的計算與理解。VIF 是用來衡量迴歸模型中，某個自變數與其他自變數之間的多重共線性程度。

題目給定：

1. 一個迴歸模型，以 $X_1$ 為應變數， $X_2$ 和 $X_3$ 為自變數。
2. $SS(\text{Total}) = 1850$。這是 $X_1$ 的總平方和 (Total Sum of Squares)，代表 $X_1$ 的總變異。
3. $SSE = 680$。這是當 $X_1$ 為應變數， $X_2$ 和 $X_3$ 為自變數時，迴歸模型的殘差平方和 (Sum of Squared Errors)。

VIF 的計算公式是針對模型中的某一個自變數（例如 $X_j$）而定義的。
$VIF_j = \frac{1}{1 - R_j^2}$
其中 $R_j^2$ 是將自變數 $X_j$ 作為應變數，而將模型中的 其他所有 自變數作為預測變數，進行迴歸分析所得到的判定係數 (Coefficient of Determination)。

在本題中，我們要求的是 $VIF_1$。這表示我們要將 $X_1$ 作為應變數，而將模型中的「其他自變數」（即 $X_2$ 和 $X_3$）作為預測變數，進行迴歸分析。

此為單選題，題目內容與第一題相同，但選項位置不同。
題目：To test a hypothesis $(H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4 = \mu_5$ vs $H_1:$ Not all $\mu_i$ are equal$)$, a completely randomized design is used. The sample size from each of the populations are $n_1=5, n_2=4, n_3=7, n_4=6, n_5=7$. If $\alpha=0.05$, the rejection region =

此為單選題，題目內容與第二題相同，但選項位置不同。
題目：A lot of parts contains 200 items, 40 of which are defective. Suppose that 30 items are selected at random. Let $X$ be the number of selected items that are defective. What

此為單選題，題目內容與第三題相同，但選項位置不同。
題目：A chi-square is used to test the hypothesis $(H_0: \pi_1 = \pi_2 = \pi_3 = \pi_4 = \pi_5$ vs $H_1:$ Not all $\pi_i$ are equal$)$. Using $\alpha = 0.01$, the rejection region =

本題考驗對迴歸分析中加入交互作用項的 F 檢定 (F-test for interaction terms) 的理解。
樣本數 $n=25$。
原始模型 (Reduced Model, $M_R$) 參數個數 $p_R = 4$ ($b_0, b_1, b_2, b_3$)。

本題考驗變異膨脹因子 (Variance Inflationary Factor, VIF) 的計算。
題目給定以 $X_1$ 為應變數， $X_2$ 和 $X_3$ 為自變數的迴歸分析結果：
$SS(\text{Total}) = 1850$ (為 $X_1$ 的總平方和)
$SSE = 680$ (為殘差平方和)

核心觀念

母體平均數為 $\mu=80$，母體標準差為 $\sigma=20$。樣本數為 $n$ 時，樣本平均數的抽樣分配具有：

因此可標準化為：

本題各小題分別考查：

• 樣本平均數超過某數值的機率。
• 樣本平均數的第一四分位數。
• 由指定機率反推所需樣本數。

以下採用常態抽樣分配；即使母體未明確說明為常態分配，因樣本數達 $40$，也可依中央極限定理近似為常態分配。

（A）$P(\bar X>85)$

本題樣本數為 $n=40$，因此樣本平均數的標準誤為：

將 $\bar X=85$ 標準化：

所以：

查標準常態分配表：

因此：

故：

也就是約 $5.7\%$。

（B）樣本平均數 $\bar X$ 的第一四分位數 $Q_1$

第一四分位數 $Q_1$ 的定義是：

標準常態分配中，左側累積機率為 $0.25$ 的分位數為：

利用樣本平均數的反標準化公式：

代入 $\mu=80$、$\sigma=20$、$n=40$：

本題考驗 Type I error ($\alpha$) 和 Type II error ($\beta$) 的計算。

題目給定：

• 虛無假說 $H_0: \mu = 500$
• 對立假說 $H_1: \mu < 500$
• 母體標準差 $\sigma = 20$ (已知，所以使用 Z 檢定)
• 樣本大小 $n = 50$
• 拒絕域 (Rejection Region) 為 $\{\bar{X} < 495\}$

首先，計算樣本平均數的抽樣分佈參數：

• $\mu_{\bar{X}} = \mu_0 = 500$ (根據 $H_0$)
• $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{20}{\sqrt{50}} = \frac{20}{5\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \approx 2.8284$

(A) 請問這個檢定的 Type I error (a) = ? (5分)

Type I error ($\alpha$) 是指在虛無假說 $H_0$ 為真時，拒絕 $H_0$ 的機率。
在此題中，$H_0$ 為真時，我們有 $\mu = 500$。
拒絕域是 $\{\bar{X} < 495\}$。
所以，$\alpha = P(\text{Reject } H_0 | H_0 \text{ is true}) = P(\bar{X} < 495 | \mu = 500)$。

將 $\bar{X} = 495$ 標準化：
$Z = \frac{495 - \mu_{\bar{X}}}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{495 - 500}{2.8284} = \frac{-5}{2.8284} \approx -1.7678$

所以，$\alpha = P(Z < -1.7678)$。
查標準常態分佈表 (Z 表)：
$P(Z < -1.76) \approx 0.0392$
$P(Z < -1.77) \approx 0.0384$
我們取 $Z \approx -1.768$。
$P(Z < -1.7678) \approx 0.0385$。

本題考驗兩個獨立母體變異數檢定 (F-test for equality of variances) 和兩個獨立母體平均數檢定 (t-test for equality of means, 變異數相等時)。

給定資料：
母群體 1: $n_1=8$, $\bar{X}_1 = 81$, $s_1 = 14$
母群體 2: $n_2=16$, $\bar{X}_2 = 72$, $s_2 = 9$

(A) 檢定變異數是否相等 $(H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ vs $H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2)$, $\alpha=0.10$

此檢定使用 F 檢定。檢定統計量為兩樣本變異數的比值。
$F = \frac{s_1^2}{s_2^2}$ 或 $F = \frac{s_2^2}{s_1^2}$。
通常，為了使 F 值大於 1，我們將較大的樣本變異數放在分子。
$s_1^2 = 14^2 = 196$
$s_2^2 = 9^2 = 81$
所以，我們計算 $F = \frac{s_1^2}{s_2^2} = \frac{196}{81} \approx 2.4198$。

F 檢定的自由度為 $(df_1, df_2)$，其中 $df_1$ 是分子變異數的自由度，$df_2$ 是分母變異數的自由度。
在這裡，$df_1 = n_1 - 1 = 8 - 1 = 7$。
$df_2 = n_2 - 1 = 16 - 1 = 15$。

此為雙尾檢定 ($H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$)，顯著水準 $\alpha = 0.10$。
因此，我們需要在 F 分配表中查找兩個臨界值：

• 上尾臨界值：$F_{\alpha/2, df_1, df_2} = F_{0.05, 7, 15}$
• 下尾臨界值：$F_{1-\alpha/2, df_1, df_2} = F_{0.95, 7, 15}$

查閱 F 分配表 (試卷第 6 頁)：
查找 Upper-Tail Areas (a) = 0.05，Degrees of Freedom (numerator) = 7，Degrees of Freedom (denominator) = 15。
$F_{0.05, 7, 15} = 2.706$。
這個值是 $F_2$。

對於下尾臨界值 $F_{0.95, 7, 15}$，我們可以使用公式 $F_{1-\alpha/2, df_1, df_2} = \frac{1}{F_{\alpha/2, df_2, df_1}}$。
所以，$F_{0.95, 7, 15} = \frac{1}{F_{0.05, 15, 7}}$。
查 F 表，查找 Upper-Tail Areas (a) = 0.05，Degrees of Freedom (numerator) = 15，Degrees of Freedom (denominator) = 7。
$F_{0.05, 15, 7} = 3.450$。
所以，$F_{0.95, 7, 15} = \frac{1}{3.450} \approx 0.2899$。
這個值是 $F_1$。

拒絕域為 $\{F < 0.2899 \text{ 或 } F > 2.706\}$。
計算出的檢定統計量 $F = 2.4198$。
由於 $0.2899 < 2.4198 < 2.706$，所以我們無法拒絕 $H_0$。

題目要求：請問 $F = ?$ $F_1 = ?$ $F_2 = ?$
$F \approx 2.4198$ (注意，題目問 F 是指檢定統計量)
$F_1 \approx 0.2899$ (下尾臨界值)

本題包含兩個獨立的部分，分別考驗二項分佈的樣本比例和中央極限定理的應用。

(A) Binomial Population Sample Proportion (5分)

題目給定：

• 母體為二項分佈，母體比例 $p = 0.3$。
• 樣本大小 $n = 50$。
• 樣本比例 $\hat{p}$。
• 要求找到 $T$ 使得 $P(\hat{p} < T) = 0.80$。

當樣本大小 $n$ 足夠大時（通常 $np \ge 5$ 且 $n(1-p) \ge 5$），樣本比例 $\hat{p}$ 的抽樣分佈近似於常態分佈，其平均數為 $p$ 且標準差為 $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$。
在此題中：

• $np = 50 \times 0.3 = 15 \ge 5$
• $n(1-p) = 50 \times (1-0.3) = 50 \times 0.7 = 35 \ge 5$
  條件滿足，可以使用常態近似。

樣本比例 $\hat{p}$ 的近似抽樣分佈：

• 平均數 $\mu_{\hat{p}} = p = 0.3$
• 標準差 $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.3 \times (1-0.3)}{50}} = \sqrt{\frac{0.3 \times 0.7}{50}} = \sqrt{\frac{0.21}{50}} = \sqrt{0.0042}$
  $\sigma_{\hat{p}} \approx 0.0648$

我們要找 $T$ 使得 $P(\hat{p} < T) = 0.80$。
將 $\hat{p}$ 標準化為 Z 分數：$Z = \frac{\hat{p} - \mu_{\hat{p}}}{\sigma_{\hat{p}}}$。
所以，$P\left(Z < \frac{T - 0.3}{0.0648}\right) = 0.80$。

查找標準常態分佈表 (Z 表)，找到累積機率最接近 0.80 的 Z 值。
$P(Z \le 0.84) \approx 0.7995$
$P(Z \le 0.85) \approx 0.8023$
我們取 $Z \approx 0.84$。

現在，我們設定：
$\frac{T - 0.3}{0.0648} = 0.84$
$T - 0.3 = 0.84 \times 0.0648$
$T - 0.3 \approx 0.054432$

本題考驗線性組合隨機變數的期望值與變異數的計算，以及獨立性條件下的標準差計算。

首先，需要計算隨機變數 X 和 Y 的期望值 (Mean) 和變異數 (Variance)。

計算 X 的期望值 $E(X)$ 和變異數 $Var(X)$：
$E(X) = \sum x f(x) = (10 \times 0.1) + (15 \times 0.3) + (30 \times 0.4) + (50 \times 0.2)$
$E(X) = 1 + 4.5 + 12 + 10 = 27.5$

為了計算變異數，我們需要先計算 $E(X^2)$：
$E(X^2) = \sum x^2 f(x) = (10^2 \times 0.1) + (15^2 \times 0.3) + (30^2 \times 0.4) + (50^2 \times 0.2)$
$E(X^2) = (100 \times 0.1) + (225 \times 0.3) + (900 \times 0.4) + (2500 \times 0.2)$
$E(X^2) = 10 + 67.5 + 360 + 500 = 937.5$

$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 937.5 - (27.5)^2$
$Var(X) = 937.5 - 756.25 = 181.25$

計算 Y 的期望值 $E(Y)$ 和變異數 $Var(Y)$：
$E(Y) = \sum y f(y) = (20 \times 0.5) + (40 \times 0.3) + (60 \times 0.2)$
$E(Y) = 10 + 12 + 12 = 34$

為了計算變異數，我們需要先計算 $E(Y^2)$：

核心觀念

本題考查多元迴歸模型的整體顯著性檢定、估計標準誤，以及調整後決定係數。

模型中有兩個解釋變數，因此：

• 樣本數：$n=20$
• 解釋變數個數：$k=2$
• 迴歸平方和：$SSR=560$
• 多元相關係數：$r_{Y12}=0.75$

其中，模型寫成 $-\beta_2X_{2i}$ 不影響整體檢定，因為令 $\gamma_2=-\beta_2$ 後，仍是一般的多元迴歸模型。

多元相關係數平方即為決定係數：

解題方法

(A) 整體迴歸模型的 $F$ 檢定

檢定假設為：

這是檢定所有斜率係數是否同時為零，因此使用整體迴歸模型的 $F$ 檢定。

$F$ 統計量為：

目前尚未直接給出 $SSE$，先利用 $R^2$ 求總平方和 $SST$：

因此：

而：

自由度為：

• 分子自由度：$k=2$
• 分母自由度：$n-k-1=20-2-1=17$

所以：

在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下：

因為：

故拒絕 $H_0$，表示此迴歸模型具有整體顯著性，至少有一個解釋變數對 $Y$ 具有線性解釋能力。

(B) Standard error of estimate $S_{Y12}$

估計標準誤定義為：

核心觀念

本題考查有重複觀測值之二因子變異數分析（two-way ANOVA with replication）。設：

• 因子 A 有 $a=3$ 個水準；
• 因子 B 有 $b=4$ 個水準；
• 每個水準組合有 $n'=3$ 個重複觀測值；
• 總觀測數為 $N=abn'=3\times4\times3=36$。

各平方和的分解為

其中：

自由度為：

解題方法與資料說明

題目表格中的邊際平均數資料有排版矛盾：$3\times4$ 設計下，因子 A 的邊際平均數應有 $3$ 個，因子 B 的邊際平均數應有 $4$ 個，但題目同時列出 $72,66,67,75$ 兩次。

依其數值與總平均數

可確定 $72,66,67,75$ 是因子 B 的四個邊際平均數。因此，因子 B 的平方和可以計算；但因子 A 的三個邊際平均數未提供，所以 $F_A$ 與誤差平方和 $SS_E$ 無法由題面資料唯一決定。

(A) 計算 $F_A$ 與 $F_B$

1. 因子 B 的平方和

因子 B 的每一水準包含 $an'=3\times3=9$ 個觀測值，因此：

代入資料：

因此：

故：

由於 $SS_E$ 尚須知道 $SS_A$ 才能求得，因此題目現有資料無法給出唯一數值的 $F_B$。

2. 因子 A 的平方和

因子 A 的平方和為：

但是題目未提供三個 $\bar X_{i..}$，所以 $SS_A$ 無法計算。

又因為：

故：