108 年 國立高雄大學金融管理學系碩士班《統計學》

此題考驗機率與期望值的應用。題目要求找出樣本數 $n$，使得 18-34 歲年齡層中，預期使用線上報稅程式的人數至少為 25 人。

根據表格，18-34 歲年齡層使用線上報稅程式的比例為 16%。
設 $n$ 為需要抽樣的 18-34 歲人數。
設 $X$ 為這 $n$ 人中使用線上報稅程式的人數。
則 $X$ 服從二項分佈 $B(n, p)$，其中 $p = 0.16$。

此題考驗迴歸模型的預測應用。題目提供了一個多元迴歸模型的估計式，並給定自變數的特定值，要求預測應變數的值。

給定的迴歸模型估計式為：
$\hat{y} = 10.1 - 4.2x_1 + 6.8x_2 + 15.3x_3$

其中：
$x_1$ = 一英里內競爭者數量
$x_2$ = 一英里內人口數 (單位：千人)
$x_3$ = 1 若有得來速車道，0 則否
$y$ = 銷售額 (單位：千美元)

此題考驗簡單線性迴歸的最小平方法應用。題目提供廣告支出 ($x$) 與營收 ($y$) 的配對資料，要求建立一條直線來近似兩者之間的關係。

我們需要建立一個簡單線性迴歸模型：$y = \beta_0 + \beta_1x + \epsilon$。
使用最小平方法，我們需要計算迴歸線的斜率 $\beta_1$ 和截距 $\beta_0$。
計算公式如下：
$\beta_1 = \frac{n(\sum xy) - (\sum x)(\sum y)}{n(\sum x^2) - (\sum x)^2}$
$\beta_0 = \bar{y} - \beta_1\bar{x}$

首先，我們需要計算所需的總和：
$n = 7$ (資料筆數)

x	y	xy	x^2
1	19	19	1
2	32	64	4
4	44	176	16
6	40	240	36
10	52	520	100
14	53	742	196
20	54	1080	400

核心觀念

本題是在檢定「營收（revenue）」與「廣告支出（advertising expenditures）」是否具有線性關係，可使用簡單線性迴歸模型：

$$Y=\beta_0+\beta_1X+\varepsilon$$

其中：

• $Y$：營收
• $X$：廣告支出
• $\beta_1$：廣告支出對營收的線性影響
• 誤差自由度為 $5$，因此樣本數為 $n=7$

檢定假設為：

$$H_0:\beta_1=0$$ $$H_1:\beta_1\neq 0$$

若 $\beta_1=0$，表示廣告支出與營收之間沒有顯著的線性關係；若拒絕 $H_0$，則表示兩者具有顯著線性關係。

---

解題方法

在簡單線性迴歸中，利用迴歸分析的 $F$ 檢定：

$$F=\frac{MSR}{MSE}$$

其中：

• $MSR$：迴歸均方，代表模型所解釋的變異
• $MSE$：誤差均方，代表模型未解釋的變異

本題的自由度為：

$$df_1=1,\qquad df_2=5$$

顯著水準為 $\alpha=0.05$，題目給定：

$$F_{0.05;(1,5)}=6.61$$

因此拒絕域為：

$$F_{\text{calculated}}>6.61$$

決策規則如下：

• 若 $F_{\text{calculated}}>6.61$，拒絕 $H_0$，認為營收與廣告支出具有顯著線性關係。
• 若 $F_{\text{calculated}}\leq 6.61$，不拒絕 $H_0$，不足以認定兩者具有顯著線性關係。

題目未提供原始資料、迴歸分析表或計算出的 $F$ 值，因此無法進一步判定實際的拒絕與否；完整判斷所缺資料為 $F_{\text{calculated}}$。

---

與相關係數的等價判斷

此題考驗殘差圖的繪製與解釋。我們需要先計算每個數據點的預測值 $\hat{y}$，然後計算殘差 $e = y - \hat{y}$，最後繪製殘差圖，其中橫軸為 $\hat{y}$，縱軸為 $e$。

從問題 (1) 我們得到迴歸方程式：
$\hat{y} = 48.020 + 0.13798x$ (使用較精確的 $\beta_1$)

我們需要計算每個數據點的 $\hat{y}$ 值：

x	y	$\hat{y} = 48.020 + 0.13798x$	$e = y - \hat{y}$
1	19	$48.020 + 0.13798(1) = 48.158$	$19 - 48.158 = -29.158$
2	32	$48.020 + 0.13798(2) = 48.296$	$32 - 48.296 = -16.296$
4	44	$48.020 + 0.13798(4) = 48.572$	$44 - 48.572 = -4.572$
6	40	$48.020 + 0.13798(6) = 48.848$	$40 - 48.848 = -8.848$

此題考驗殘差分析的結果解釋，以及對模型選取的判斷。

從問題 (3) 我們繪製了殘差圖。現在需要根據殘差圖的模式來判斷模型的適當性。

在一個理想的線性迴歸模型中，殘差應該是隨機分佈在零線附近，沒有明顯的模式。常見的非隨機模式包括：

1. 扇形或喇叭形模式 (Funnel or Fan Shape)：表示殘差的變異性隨 $\hat{y}$ 的增加而增加（或減少），這違反了迴歸模型中殘差變異數恆定的假設（homoscedasticity）。
2. 曲線模式 (Curvilinear Pattern)：如果殘差圖顯示出一個 U 形或倒 U 形的曲線，表示線性模型可能無法捕捉到自變數和應變數之間的非線性關係。
3. 聚集或分組模式 (Clustering or Grouping)：殘差點明顯聚集在某些區域，可能表示有其他未被考慮的變數影響。

根據我們計算出的殘差值：
(48.158, -29.158)
(48.296, -16.296)
(48.572, -4.572)
(48.848, -8.848)
(49.400, 2.600)
(50.001, 2.999)
(50.780, 3.220)

我們可以觀察到：

• 殘差的絕對值在 $\hat{y}$ 值較小時（約 48-49），相對較大（-29.158, -16.296, -4.572, -8.848）。
• 殘差的絕對值在 $\hat{y}$ 值較小時（約 48-49），有較大的負值。
• 隨著 $\hat{y}$ 值增加到 49.400 以上，殘差變成了正值，且絕對值變小。

此題考驗平均數的信賴區間估計，特別是針對配對樣本的差值。我們需要計算每家公司股價在第一季度的變化量，然後對這些變化量的平均數建構信賴區間。

首先，計算每家公司的股價變化量 $d_i = \text{End of 1st Quarter}_i - \text{Beginning of Year}_i$。
$n = 25$ (公司數量)

Company	End of 1st Quarter	Beginning of Year	$d_i$
Bank of New York	24.13	19.91	4.22
Kraft Foods	38.01	37.36	0.65
Dupont	52.90	45.78	7.12
Consolidated Edison	58.42	62.03	-3.61
Johnson & Johnson	65.96	65.58	0.38
Union Pacific	107.48	105.94	1.54
Comcast	30.01	23.71	6.30
Applied Materials	12.45	10.71	1.74
Pfiser	43.41	41.22	2.19
General Electric	20.07	17.91	2.16
AT&T	31.23	30.24	0.99
Cisco Systems	21.15	18.08	3.07
Home Depot	50.31	42.04	8.27
JP Morgan Chase	45.98	33.25	12.73
Procter & Gamble	67.21	66.71	0.50
Verizon	38.23	40.12	-1.89
Devon Energy	71.12	62.00	9.12
Lilly	40.27	41.56	-1.29
Microsoft	32.26	25.96	6.30
Coco Cola	74.01	69.97	4.04
Qualcomm	68.06	54.70	13.36

此題考驗變異數比例的檢定，以判斷兩個總體變異數的大小關係。我們將比較 Fidelity Fund 和 American Century Fund 的月報酬率標準差。

設：
$s_1$ = Fidelity Fund 的樣本標準差 = 18.9% = 0.189
$s_2$ = American Century Fund 的樣本標準差 = 15.0% = 0.150
$n_1$ = Fidelity Fund 的樣本數 = 60
$n_2$ = American Century Fund 的樣本數 = 60
$\alpha = 0.05$

虛無假設 $H_0$: $\sigma_1^2 \le \sigma_2^2$ (Fidelity Fund 的總體變異數不大於 American Century Fund)
對立假設 $H_1$: $\sigma_1^2 > \sigma_2^2$ (Fidelity Fund 的總體變異數大於 American Century Fund)

由於我們關心的是 Fidelity Fund 是否「更大」，因此這是單尾檢定。
我們將使用 F 檢定來比較兩個總體變異數的比例。檢定統計量為：
$F = \frac{s_1^2}{s_2^2}$

計算檢定統計量：
$s_1^2 = (0.189)^2 = 0.035721$
$s_2^2 = (0.150)^2 = 0.022500$
$F = \frac{0.035721}{0.022500} \approx 1.5876$

自由度：
分子自由度 $df_1 = n_1 - 1 = 60 - 1 = 59$
分母自由度 $df_2 = n_2 - 1 = 60 - 1 = 59$

此題考驗迴歸模型中自變數顯著性的檢定。首先，我們需要檢定第一個模型中 $x_1$ 是否顯著。

第一部分：檢定 $x_1$ 在單一自變數模型中的顯著性
模型：$\hat{y} = 25.2 + 5.5x_1$
$n = 27$ (觀察值數量)
$SST = 1550$
$SSE = 520$

檢定：檢定 $x_1$ 是否顯著，即檢定 $\beta_1 \ne 0$。
我們可以使用 t 檢定或 F 檢定。對於簡單線性迴歸，兩者是等價的。

使用 F 檢定：
$k = 1$ (自變數個數)
$df_1 = k = 1$
$df_2 = n - k - 1 = 27 - 1 - 1 = 25$

SSR (迴歸平方和) $= SST - SSE = 1550 - 520 = 1030$
MSR (平均迴歸平方和) $= SSR / df_1 = 1030 / 1 = 1030$
MSE (平均殘差平方和) $= SSE / df_2 = 520 / 25 = 20.8$

F 統計量 $= \frac{MSR}{MSE} = \frac{1030}{20.8} \approx 49.519$

在 $\alpha = 0.05$ 下，我們需要找到臨界值 $F_{0.05, 1, 25}$。
題目提供了 $F_{(0.05, 1, 25)} = 4.24$。

此題考驗在已有的迴歸模型中，額外加入的自變數是否能顯著提升模型的解釋力。這是使用 F 檢定來比較兩個模型的適配度。

第一部分：舊模型 (只含 $x_1$)
$n = 27$
$SST = 1550$
$SSE_1 = 520$ (當 $k=1$)
$df_{E1} = n - k - 1 = 27 - 1 - 1 = 25$

第二部分：新模型 (含 $x_1, x_2, x_3$)
$\hat{y} = 16.3 + 2.3x_1 + 12.1x_2 - 5.8x_3$
$SST = 1550$ (SST 在兩個模型中應該是一樣的，因為應變數 $y$ 的總變異數不變)
$SSE_2 = 100$ (當 $k=3$)
$df_{E2} = n - k - 1 = 27 - 3 - 1 = 23$

檢定：
虛無假設 $H_0$: $\beta_2 = \beta_3 = 0$ (變數 $x_2$ 和 $x_3$ 對模型沒有顯著貢獻)
對立假設 $H_1$: $\beta_2$ 或 $\beta_3$ (或兩者) 不為 0 (變數 $x_2$ 和 $x_3$ 對模型有顯著貢獻)

我們使用 F 檢定來比較兩個模型的 SSE。
F 統計量公式為：
$F = \frac{(SSE_1 - SSE_2) / (df_{E1} - df_{E2})}{SSE_2 / df_{E2}}$

此題要求證明變異數的計算公式。這是機率論與數理統計中的一個基本公式。

證明 Var(X) = E{X²} - (E{X})²：

根據變異數的定義，Var(X) 是隨機變數 X 與其期望值 E{X} 之間差值的平方的期望值。
Var(X) = E{ (X - E{X})² }

展開 (X - E{X})²：
(X - E{X})² = X² - 2X E{X} + (E{X})²

現在，我們取這個展開式的期望值：
Var(X) = E{ X² - 2X E{X} + (E{X})² }

此題要求證明共變異數 (Covariance) 的計算公式。共變異數衡量兩個隨機變數之間的線性相關程度。

證明 Cov(X,Y) = E{XY} - E{X}E{Y}：

根據共變異數的定義，Cov(X,Y) 是隨機變數 X 與其期望值 E{X} 的差值，以及隨機變數 Y 與其期望值 E{Y} 的差值兩者乘積的期望值。
Cov(X,Y) = E{ (X - E{X}) (Y - E{Y}) }

展開 (X - E{X}) (Y - E{Y})：
(X - E{X}) (Y - E{Y}) = XY - X E{Y} - Y E{X} + E{X} E{Y}

現在，我們取這個展開式的期望值：
Cov(X,Y) = E{ XY - X E{Y} - Y E{X} + E{X} E{Y} }

根據期望值的線性性質，我們可以將期望值運算分配到每一項：
Cov(X,Y) = E{XY} - E{ X E{Y} } - E{ Y E{X} } + E{ E{X} E{Y}

此題考驗隨機變數轉換的機率密度函數 (PDF) 計算。我們需要找到隨機變數 $Z = a + bX$ 的 PDF，其中 $X$ 服從 $[0, 1]$ 上的均勻分佈。

已知：
$X \sim U(0, 1)$。其 PDF 為 $f_X(x) = 1$ for $0 \le x \le 1$，否則為 0。
$a, b$ 是實數，且 $b \ne 0$。
我們要求 $Z = a + bX$ 的 PDF，記為 $f_Z(z)$。

方法一：使用累積分佈函數 (CDF)
首先，找到 $Z$ 的 CDF，即 $F_Z(z) = P(Z \le z)$。
$F_Z(z) = P(a + bX \le z)$

我們需要考慮 $b$ 的正負情況。

情況 1：$b > 0$
$P(a + bX \le z) = P(bX \le z - a) = P(X \le \frac{z - a}{b})$
$F_Z(z) = F_X(\frac{z - a}{b})$

由於 $X \sim U(0, 1)$，其 CDF 為 $F_X(x) = x$ for $0 \le x \le 1$。
所以，$F_Z(z) = \frac{z - a}{b}$，當 $0 \le \frac{z - a}{b} \le 1$。

這個條件 $0 \le \frac{z - a}{b} \le 1$ 相當於：
$0 \le z - a \le b$ (因為 $b>0$)
$a \le z \le a + b$

因此，當 $a \le z \le a + b$ 時，$F_Z(z) = \frac{z - a}{b}$。
在區間外，$F_Z(z) = 0$ 或 $1$。

現在，我們對 $F_Z(z)$ 求導，得到 PDF $f_Z(z)$：
$f_Z(z) = \frac{d}{dz} F_Z(z) = \frac{d}{dz} (\frac{z - a}{b}) = \frac{1}{b}$，當 $a \le z \le a + b$。
否則，$f_Z(z) = 0$。

情況 2：$b < 0$
$P(a + bX \le z) = P(bX \le z - a)$
由於 $b < 0$，不等號方向改變：
$P(X \ge \frac{z - a}{b})$
$F_Z(z) = 1 - P(X < \frac{z - a}{b}) = 1 - F_X(\frac{z - a}{b})$ (假設 X 是連續的，P(X < x) = P(X <= x))

所以，$F_Z(z) = 1 - (\frac{z - a}{b})$，當 $0 \le \frac{z - a}{b} \le 1$。

這個條件 $0 \le \frac{z - a}{b} \le 1$ 相當於：
$0 \ge z - a \ge b$ (因為 $b<0$，乘以 $b$ 後不等號反向)
$b \le z - a \le 0$
$a + b \le z \le a$

因此，當 $a + b \le z \le a$ 時，$F_Z(z) = 1 - \frac{z - a}{b} = \frac{b - (z - a)}{b} = \frac{a + b - z}{b}$。
否則，$F_Z(z) = 0$ 或 $1$。

現在，我們對 $F_Z(z)$ 求導，得到 PDF $f_Z(z)$：
$f_Z(z) = \frac{d}{dz} F_Z(z) = \frac{d}{dz} (\frac{a + b - z}{b}) = \frac{-1}{b}$，當

此題考驗隨機變數轉換的機率密度函數 (PDF) 計算。我們需要找到隨機變數 $W = a + bY$ 的 PDF，其中 $Y$ 服從平均數為 0，變異數為 1 的標準常態分佈。

已知：
$Y \sim N(0, 1)$。其 PDF 為 $f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/2}$，對於所有實數 $y$。
$a, b$ 是實數，且 $b \ne 0$。
我們要求 $W = a + bY$ 的 PDF，記為 $f_W(w)$。

使用變換公式 (Transformation Method)：
對於 $W = g(Y) = a + bY$，若 $g$ 是單調函數，則 $f_W(w) = f_Y(g^{-1}(w)) |\frac{d}{dw} g^{-1}(w)|$。

首先，找到 $W$ 的反函數 $g^{-1}(W)$：
$w = a + bY$
$w - a = bY$
$Y = \frac{w - a}{b}$
所以，$g^{-1}(w) = \frac{w - a}{b}$。

接下來，計算反函數對 $w$ 的導數：
$\frac{d}{dw} g^{-1}(w) = \frac{d}{dw} (\frac{w - a}{b}) = \frac{1}{b}$。

然後，計算絕對值：
$|\frac{d}{dw} g^{-1}(w)| = |\frac{1}{b}| = \frac{1}{|b|}$。

現在，將反函數代入 $Y$ 的 PDF：
$f_Y(g^{-1}(w)) = f_Y(\frac{w - a}{b}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-(\frac{w - a}{b})^2 / 2}$

此題考驗隨機變數轉換的機率密度函數 (PDF) 計算。我們需要找到隨機變數 $V = e^{a+bY}$ 的 PDF，其中 $Y \sim N(0, 1)$。

已知：
$Y \sim N(0, 1)$。其 PDF 為 $f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/2}$，對於所有實數 $y$。
$a, b$ 是實數，且 $b \ne 0$。
我們要求 $V = e^{a+bY}$ 的 PDF，記為 $f_V(v)$。

首先，注意到 $V = e^{a+bY}$ 是一個指數函數。由於 $e^x$ 總是正的，所以 $V$ 的值域將是 $(0, \infty)$。
我們可以使用變換公式。令 $g(Y) = e^{a+bY}$。

方法一：使用 CDF
$F_V(v) = P(V \le v) = P(e^{a+bY} \le v)$

因為 $e^x > 0$，所以 $v$ 必須大於 0。如果 $v \le 0$，則 $F_V(v) = 0$。
假設 $v > 0$。
$e^{a+bY} \le v$
取自然對數：
$a + bY \le \ln v$

現在我們需要根據 $b$ 的符號來解這個不等式。

情況 1：$b > 0$
$bY \le \ln v - a$
$Y \le \frac{\ln v - a}{b}$

所以，$F_V(v) = P(Y \le \frac{\ln v - a}{b}) = F_Y(\frac{\ln v - a}{b})$。
由於 $Y \sim N(0, 1)$，其 CDF 為 $\Phi(y) = \int_{-\infty}^{y} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2} dt$。
$F_V(v) = \Phi(\frac{\ln v - a}{b})$，對於 $v > 0$。

對 $F_V(v)$ 求導得到 PDF $f_V(v)$：
$f_V(v) = \frac{d}{dv} \Phi(\frac{\ln v - a}{b})$
使用鏈式法則：
$f_V(v) = \phi(\frac{\ln v - a}{b}) \times \frac{d}{dv} (\frac{\ln v - a}{b})$
其中 $\phi(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/2}$ 是標準常態 PDF。

$\frac{d}{dv} (\frac{\ln v - a}{b}) = \frac{1}{b} \times \frac{d}{dv} (\ln v) = \frac{1}{b} \times \frac{1}{v} = \frac{1}{bv}$

所以，當 $b > 0$ 時：
$f_V(v) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-(\frac{\ln v - a}{b})^2 / 2} \times \frac{1}{bv}$, for $v > 0$.
$f_V(v) = \frac{1}{bv\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\ln v - a)^2}{2b^2}}$, for $v > 0$.

情況 2：$b < 0$
$a + bY \le \ln v$
$bY \le \ln v - a$
由於 $b < 0$，不等號方向改變：
$Y \ge \frac{\ln v - a}{b}$

所以，$F_V(v) = P(Y \ge \frac{\ln v - a}{b}) = 1 - P(Y < \frac{\ln v - a}{b}) = 1 - F_Y(\frac{\ln v - a}{b})$。

核心觀念

利用共變異數的線性性，以及獨立隨機變數的共變異數為 $0$。先把 $W_i$ 拆成「從 $j$ 到 $i$ 的增量」與 $W_j$：

$$W_i=(W_i-W_j)+W_j.$$

題目條件 iii 取 $k=0$，可知 $W_i-W_j$ 與 $W_j-W_0$ 獨立。由於 $W_0=0$，因此 $W_j-W_0=W_j$，也就是 $W_i-W_j$ 與 $W_j$ 獨立。

解題方法

依共變異數的線性性，

$$\operatorname{Cov}(W_i,W_j) =\operatorname{Cov}\bigl((W_i-W_j)+W_j,\;W_j\bigr)$$

核心觀念

由條件 ii，取 $j>0$ 且 $W_0=0$，可得

$$W_j=W_j-W_0\sim N(0,j).$$

因此本題要求計算對數常態隨機變數 $e^{W_j}$ 的歐式買權期望值：

$$E\left[(e^{W_j}-K)^+\right], \qquad (x)^+=\max\{x,0\}.$$

關鍵工具包括：

1. $W_j\sim N(0,j)$ 的密度函數。
2. 將積分區間依照 $e^{W_j}>K$ 分為 $W_j>\ln K$。
3. 配方將含有 $e^w$ 的常態密度轉換為平移後的標準常態分布函數 $N(\cdot)$。

---

解題方法與計算

因為 $e^{W_j}-K>0$ 當且僅當 $W_j>\ln K$，所以

$$E\left[\max\{e^{W_j}-K,0\}\right] = E\left[(e^{W_j}-K)\mathbf{1}_{\{W_j>\ln K\}}\right].$$

由 $W_j\sim N(0,j)$，其密度為

$$f_{W_j}(w) = \frac{1}{\sqrt{2\pi j}} \exp\left(-\frac{w^2}{2j}\right).$$

因此

$$E\left[(e^{W_j}-K)^+\right] = \int_{\ln K}^{\infty} (e^w-K) \frac{1}{\sqrt{2\pi j}} \exp\left(-\frac{w^2}{2j}\right)\,dw.$$

拆成兩項：

$$E\left[(e^{W_j}-K)^+\right] = \int_{\ln K}^{\infty} e^w \frac{1}{\sqrt{2\pi j}} e^{-w^2/(2j)}\,dw - K\int_{\ln K}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi j}} e^{-w^2/(2j)}\,dw.$$

先處理第一項。指數部分配方如下：

$$e^w e^{-w^2/(2j)} = \exp\left(w-\frac{w^2}{2j}\right).$$

而

$$w-\frac{w^2}{2j} = -\frac{(w-j)^2}{2j}+\frac{j}{2}.$$

所以

$$e^w e^{-w^2/(2j)} = e^{j/2} \exp\left(-\frac{(w-j)^2}{2j}\right).$$

令

$$z=\frac{w-j}{\sqrt j}, \qquad dw=\sqrt j\,dz.$$

當 $w=\ln K$ 時，

$$z=\frac{\ln K-j}{\sqrt j}.$$

因此第一項為

此題考驗機率與期望值的應用。題目要求找出樣本數 $n$，使得 18-34 歲年齡層中，預期使用線上報稅程式的人數至少為 25 人。

根據表格，18-34 歲年齡層使用線上報稅程式的比例為 16%。
設 $n$ 為需要抽樣的 18-34 歲人數。
設 $X$ 為這 $n$ 人中使用線上報稅程式的人數。
則 $X$ 服從二項分佈 $B(n, p)$，其中 $p = 0.16$。

此題考驗迴歸模型的預測應用。題目提供了一個多元迴歸模型的估計式，並給定自變數的特定值，要求預測應變數的值。

給定的迴歸模型估計式為：
$\hat{y} = 10.1 - 4.2x_1 + 6.8x_2 + 15.3x_3$

其中：
$x_1$ = 一英里內競爭者數量
$x_2$ = 一英里內人口數 (單位：千人)
$x_3$ = 1 若有得來速車道，0 則否
$y$ = 銷售額 (單位：千美元)

此題考驗簡單線性迴歸的最小平方法應用。題目提供廣告支出 ($x$) 與營收 ($y$) 的配對資料，要求建立一條直線來近似兩者之間的關係。

我們需要建立一個簡單線性迴歸模型：$y = \beta_0 + \beta_1x + \epsilon$。
使用最小平方法，我們需要計算迴歸線的斜率 $\beta_1$ 和截距 $\beta_0$。
計算公式如下：
$\beta_1 = \frac{n(\sum xy) - (\sum x)(\sum y)}{n(\sum x^2) - (\sum x)^2}$
$\beta_0 = \bar{y} - \beta_1\bar{x}$

首先，我們需要計算所需的總和：
$n = 7$ (資料筆數)

x	y	xy	x^2
1	19	19	1
2	32	64	4
4	44	176	16
6	40	240	36
10	52	520	100
14	53	742	196
20	54	1080	400

核心觀念

本題是在檢定「營收（revenue）」與「廣告支出（advertising expenditures）」是否具有線性關係，可使用簡單線性迴歸模型：

$$Y=\beta_0+\beta_1X+\varepsilon$$

其中：

• $Y$：營收
• $X$：廣告支出
• $\beta_1$：廣告支出對營收的線性影響
• 誤差自由度為 $5$，因此樣本數為 $n=7$

檢定假設為：

$$H_0:\beta_1=0$$ $$H_1:\beta_1\neq 0$$

若 $\beta_1=0$，表示廣告支出與營收之間沒有顯著的線性關係；若拒絕 $H_0$，則表示兩者具有顯著線性關係。

---

解題方法

在簡單線性迴歸中，利用迴歸分析的 $F$ 檢定：

$$F=\frac{MSR}{MSE}$$

其中：

• $MSR$：迴歸均方，代表模型所解釋的變異
• $MSE$：誤差均方，代表模型未解釋的變異

本題的自由度為：

$$df_1=1,\qquad df_2=5$$

顯著水準為 $\alpha=0.05$，題目給定：

$$F_{0.05;(1,5)}=6.61$$

因此拒絕域為：

$$F_{\text{calculated}}>6.61$$

決策規則如下：

• 若 $F_{\text{calculated}}>6.61$，拒絕 $H_0$，認為營收與廣告支出具有顯著線性關係。
• 若 $F_{\text{calculated}}\leq 6.61$，不拒絕 $H_0$，不足以認定兩者具有顯著線性關係。

題目未提供原始資料、迴歸分析表或計算出的 $F$ 值，因此無法進一步判定實際的拒絕與否；完整判斷所缺資料為 $F_{\text{calculated}}$。

---

與相關係數的等價判斷

此題考驗殘差圖的繪製與解釋。我們需要先計算每個數據點的預測值 $\hat{y}$，然後計算殘差 $e = y - \hat{y}$，最後繪製殘差圖，其中橫軸為 $\hat{y}$，縱軸為 $e$。

從問題 (1) 我們得到迴歸方程式：
$\hat{y} = 48.020 + 0.13798x$ (使用較精確的 $\beta_1$)

我們需要計算每個數據點的 $\hat{y}$ 值：

x	y	$\hat{y} = 48.020 + 0.13798x$	$e = y - \hat{y}$
1	19	$48.020 + 0.13798(1) = 48.158$	$19 - 48.158 = -29.158$
2	32	$48.020 + 0.13798(2) = 48.296$	$32 - 48.296 = -16.296$
4	44	$48.020 + 0.13798(4) = 48.572$	$44 - 48.572 = -4.572$
6	40	$48.020 + 0.13798(6) = 48.848$	$40 - 48.848 = -8.848$

此題考驗殘差分析的結果解釋，以及對模型選取的判斷。

從問題 (3) 我們繪製了殘差圖。現在需要根據殘差圖的模式來判斷模型的適當性。

在一個理想的線性迴歸模型中，殘差應該是隨機分佈在零線附近，沒有明顯的模式。常見的非隨機模式包括：

1. 扇形或喇叭形模式 (Funnel or Fan Shape)：表示殘差的變異性隨 $\hat{y}$ 的增加而增加（或減少），這違反了迴歸模型中殘差變異數恆定的假設（homoscedasticity）。
2. 曲線模式 (Curvilinear Pattern)：如果殘差圖顯示出一個 U 形或倒 U 形的曲線，表示線性模型可能無法捕捉到自變數和應變數之間的非線性關係。
3. 聚集或分組模式 (Clustering or Grouping)：殘差點明顯聚集在某些區域，可能表示有其他未被考慮的變數影響。

根據我們計算出的殘差值：
(48.158, -29.158)
(48.296, -16.296)
(48.572, -4.572)
(48.848, -8.848)
(49.400, 2.600)
(50.001, 2.999)
(50.780, 3.220)

我們可以觀察到：

• 殘差的絕對值在 $\hat{y}$ 值較小時（約 48-49），相對較大（-29.158, -16.296, -4.572, -8.848）。
• 殘差的絕對值在 $\hat{y}$ 值較小時（約 48-49），有較大的負值。
• 隨著 $\hat{y}$ 值增加到 49.400 以上，殘差變成了正值，且絕對值變小。

此題考驗平均數的信賴區間估計，特別是針對配對樣本的差值。我們需要計算每家公司股價在第一季度的變化量，然後對這些變化量的平均數建構信賴區間。

首先，計算每家公司的股價變化量 $d_i = \text{End of 1st Quarter}_i - \text{Beginning of Year}_i$。
$n = 25$ (公司數量)

Company	End of 1st Quarter	Beginning of Year	$d_i$
Bank of New York	24.13	19.91	4.22
Kraft Foods	38.01	37.36	0.65
Dupont	52.90	45.78	7.12
Consolidated Edison	58.42	62.03	-3.61
Johnson & Johnson	65.96	65.58	0.38
Union Pacific	107.48	105.94	1.54
Comcast	30.01	23.71	6.30
Applied Materials	12.45	10.71	1.74
Pfiser	43.41	41.22	2.19
General Electric	20.07	17.91	2.16
AT&T	31.23	30.24	0.99
Cisco Systems	21.15	18.08	3.07
Home Depot	50.31	42.04	8.27
JP Morgan Chase	45.98	33.25	12.73
Procter & Gamble	67.21	66.71	0.50
Verizon	38.23	40.12	-1.89
Devon Energy	71.12	62.00	9.12
Lilly	40.27	41.56	-1.29
Microsoft	32.26	25.96	6.30
Coco Cola	74.01	69.97	4.04
Qualcomm	68.06	54.70	13.36