108 年 國立高雄大學亞太工商管理學系碩士班《經濟學》

此題考驗對人均實質 GDP（Per Capita Real GDP）成長率定義的理解。人均實質 GDP 的成長率等於實質 GDP 的成長率減去人口的成長率。

設實質 GDP 為 $Y$，人口為 $L$。
人均實質 GDP 為 $\frac{Y}{L}$。
若 $Y$ 以 $g_Y$ 的成長率成長， $L$ 以 $g_L$ 的成長率成長，則人均實質 GDP 的成長率約為 $g_Y - g_L$。

此題考驗對美元升值（appreciation）的影響。美元升值意味著一單位美元可以兌換更多其他國家的貨幣，反之，其他國家的貨幣可以兌換較少美元。這使得外國商品對於美國消費者來說變得更便宜，而美國商品對於外國消費者來說變得更昂貴。

選項分析：
a. 「所有居住在美國的人」是一個過於籠統的說法。美元升值對不同群體有不同影響，有些可能受益，有些可能受損。

核心觀念

本題考查「匯率、國民所得與國際資本流動對貿易收支的影響」。

貿易餘額為：

$$NX=X-M$$

其中 $X$ 為出口、$M$ 為進口。當 $NX<0$ 時稱為貿易赤字；貿易赤字「擴大」表示 $NX$ 進一步下降。

在開放經濟體中，貿易餘額也可表示為：

$$NX=S-I$$

亦即，國內儲蓄減去國內投資。影響匯率與進出口的因素，最終會反映在貿易餘額上。

解題方法

逐一判斷各因素對出口與進口的影響：

• 出口增加會使 $NX$ 上升，貿易赤字縮小。
• 進口增加會使 $NX$ 下降，貿易赤字擴大。
• 本國貨幣升值通常使出口減少、進口增加，因此會使 $NX$ 下降。

因此，只要某選項能使出口減少或進口增加，即可能造成貿易赤字擴大。

選項分析

a. currency appreciates（貨幣升值）

正確。

本國貨幣升值後，本國商品以外幣計價變得較昂貴，外國對本國商品的需求下降，出口減少；同時，外國商品以本幣計價變得較便宜，國內對進口品的需求增加，進口上升。

因此：

$$X\downarrow,\qquad M\uparrow$$

使得：

$$NX=X-M\downarrow$$

貿易赤字因而擴大。

b. economy is shrinking（經濟規模縮小）

錯誤。

經濟衰退通常會使國民所得下降，消費與投資減少，對進口商品的需求也隨之下降。由於進口 $M$ 減少，貿易餘額通常上升，貿易赤字反而縮小。

此題考驗對經常帳戶餘額（current account balance）與國內儲蓄（domestic savings, S）和國內投資（domestic investment, I）之間關係的理解。

在一個開放經濟體中，經常帳戶餘額（NX）與國內儲蓄（S）和國內投資（I）之間的關係可以用以下恆等式表示：
$NX = S - I$

經常帳戶餘額（NX）代表一國的出口減去進口，也代表對外淨貸出（net lending abroad）。
$S$ 代表一國的總儲蓄，包括個人儲蓄、企業儲蓄和政府儲蓄。
$I$ 代表一國的總投資。

根據恆等式 $NX = S - I$：

1. 如果 $S > I$，則 $NX > 0$，表示經常帳戶有順差（surplus）。
2. 如果 $S < I$，則 $NX < 0$，表示經常帳戶有逆差（deficit）。
3. 如果 $S = I$，則 $NX = 0$，表示經常帳戶平衡。

題目中提到「國內儲蓄正在比國內投資更快地增長」（domestic savings is growing faster than domestic investment）。這意味著 $S$ 的增長率高於 $I$ 的增長率。
假設初始狀態下，我們無法確定 $S$ 和 $I$ 的絕對大小關係，但可以確定的是，由於 $S$ 的增長速度快於 $I$，那麼 $S - I$ 的差值會越來越大。

核心觀念

本題考查外匯匯率變動與投機交易的關係。

「日圓相對於歐元的價值即將下跌」表示日圓貶值、歐元相對升值。以「1 歐元可兌換多少日圓」表示匯率：

$$E=\frac{\text{日圓}}{\text{歐元}}$$

日圓貶值時，$E$ 上升，亦即未來購買 1 歐元需要更多日圓。

投資人應採取的策略是：

• 先買進歐元，或先賣出日圓；
• 待日圓貶值、歐元升值後，再賣出歐元換回更多日圓；
• 若使用遠期契約，則應在今日鎖定未來買進歐元的價格。

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解題方法

假設目前匯率為：

$$1\text{ 歐元}=130\text{ 日圓}$$

投資人預期日圓貶值，未來匯率上升至：

$$1\text{ 歐元}=140\text{ 日圓}$$

若投資人現在以 $130$ 日圓買進 1 歐元，日圓貶值後以 1 歐元換回 $140$ 日圓，則每 1 歐元獲利：

$$140-130=10\text{ 日圓}$$

因此，現貨市場上應買進歐元、賣出日圓；遠期市場上則應買進歐元的遠期契約。

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選項分析

a. buy a forward contract for euros

正確。

此題考驗對購買力平價理論（Purchasing Power Parity, PPP）以及匯率變動與通貨膨脹率之間關係的理解。

購買力平價理論指出，長期來看，兩國之間的匯率應該調整，以使一籃子商品在兩國的價格相同（以同一種貨幣計價）。更精確地說，匯率的變動應該反映兩國之間的通貨膨脹差異。

相對購買力平價（Relative PPP）認為，匯率的變動率約等於兩國通貨膨脹率之差。
設 $E$ 為本國貨幣對外國貨幣的匯率（例如，美元/韓元，表示 1 美元能兌換多少韓元）。
設 $P^*$ 為外國價格水平， $P$ 為本國價格水平。
根據 PPP，長期均衡匯率 $E$ 滿足 $E = \frac{P}{P^*}$。
若考慮匯率變動，則 $(1+e)E = \frac{(1+\pi)(P)}{(1+\pi^*)(P^*)}$, 其中 $e$ 是匯率的變動率，$\pi$ 是本國通貨膨脹率，$\pi^*$ 是外國通貨膨脹率。
若 $(1+e)E = \frac{P}{P^*}$, 則 $E \approx P$ (以本國貨幣計價的外國商品價格)
若 $E_{t+1}/E_t = (P_{t+1}/P_t) / (P^*_{t+1}/P^*_t)$
則 $(1+e) \approx (1+\pi) / (1+\pi^*)$

這裡的匯率是 Dollar/Won，即 1 美元兌多少韓元。
美國是外國，韓國是本國。
美國通貨膨脹率 $\pi_{US} = 3.2\%$。
韓國通貨膨脹率 $\pi_{KR} = 5.4\%$。

根據相對購買力平價，匯率的變動率 $e$ 約等於本國通貨膨脹率減去外國通貨膨脹率。
$e \approx \pi_{KR} - \pi_{US}$
$e \approx 5.4\% - 3.2\% = 2.2\%$

匯率是 Dollar/Won，即 1 美元能兌多少韓元。
如果韓國的通貨膨脹率高於美國，那麼韓元的購買力下降得更快。
為了維持購買力平價，美元相對於韓元應該升值，或者說，1 美元應該可以兌換更多的韓元。
這意味著 Dollar/Won 的匯率應該上升。
上升的幅度約為兩國通膨率之差。

Dollar/Won 匯率的變動率 $e \approx \pi_{KR} - \pi_{US} = 5.4\% - 3.2\% = 2.2\%$。

此題考驗對古典總合供給曲線（Classical Aggregate Supply Curve）的理解。
古典經濟學模型假設生產要素（勞動、資本）充分利用，經濟體始終處於充分就業狀態。在這種情況下，總合供給曲線（AS）是一條垂直線，位於充分就業產出水平（$Y_f$）。

古典 AS 曲線的特徵：

• 總合供給量由生產要素的數量和生產技術決定，與價格水平無關。
• 總合供給曲線是垂直的，表示無論價格水平如何，產出水平都固定在充分就業產出水平 $Y_f$。

當消費和投資支出增加時，這會導致總合需求（AD）曲線右移。
在古典模型中，AD 曲線的移動只會影響價格水平，而不會影響產出水平。
AD 右移會導致價格水平上升，但產出仍然保持在 $Y_f$。

此題考驗對古典經濟學理論中，經濟如何自我修正以恢復充分就業的理解。
古典經濟學認為，市場機制具有自我調整的能力，能夠使經濟體自動回到充分就業的均衡狀態。

題目情境：總合需求（AD）曲線下降，導致經濟出現失業。
在古典模型中，當 AD 下降時，會導致總產出下降和價格水平下降。
如果經濟出現失業，這意味著勞動市場供過於求。
根據古典理論，工資（wages）和價格（prices）具有足夠的彈性，能夠快速調整。
當出現失業時，勞動市場的供大於求會導致工資下降。
同時，商品市場的總體需求下降也會導致商品價格下降。
工資和價格的下降會降低生產成本，從而使總合供給（AS）曲線向右移動（或更準確地說，是企業願意在更低的價格水平上提供原來的產出）。
工資和價格的下降會降低企業的生產成本，進而刺激企業增加生產。
同時，價格的下降也會刺激消費者的購買意願。
這種工資和價格的下降會持續進行，直到勞動市場恢復充分就業，經濟體回到充分就業產出水平。

此題考驗對古典經濟學中「供給創造自身需求」（Supply creates its own demand）這一論點的理解，以及其在總合供給曲線（Aggregate Supply, AS）圖示上的表現。

「供給創造自身需求」是薩伊定律（Say's Law）的核心思想，由法國經濟學家讓-巴蒂斯特·薩伊（Jean-Baptiste Say）提出。其基本含義是，生產商品本身就會創造出足夠的收入（工資、利潤、租金等），這些收入將被用於購買其他商品。因此，總體經濟中不會出現普遍的生產過剩或需求不足。

在古典經濟學模型中，經濟體總是處於充分就業狀態。這意味著，無論總合需求（AD）如何變動，總合供給（AS）的水平都是固定的，等於充分就業產出水平（$Y_f$）。
因此，古典總合供給曲線是一條垂直線，位於充分就業產出水平 $Y_f$。

此題考驗對 GDP 的支出法（expenditure approach）及其組成部分的理解。
GDP 的支出法計算公式為：
$GDP = C + I + G + (X - M)$
其中：

• $C$ 是個人消費支出（Personal Consumption Expenditures）
• $I$ 是總投資（Gross Investment）
• $G$ 是政府購買（Government Purchases）
• $(X - M)$ 是淨出口（Net Exports），即出口減進口。

這五個選項中，有三個是 GDP 的組成部分（a, d, e），而 b 和 c 屬於 GDP 的收入法（income approach）中的要素所得。

• $a.$ government spending (G)
• $d.$ personal consumption expenditures (C)
• $e.$ compensation of employees (屬於要素所得，是 C 的一個組成部分)
• $b.$ proprietor's income (屬於要素所得)
• $c.$ net interest (屬於要素所得)

此題考驗對總合支出模型（Aggregate Expenditures Model）中，政府支出乘數（government spending multiplier）的應用。

在總合支出模型中，政府支出變動對 GDP 變動的影響，由政府支出乘數決定。
政府支出乘數的公式為：
Multiplier = $\frac{1}{1 - MPC}$

其中，MPC 是邊際消費傾向（Marginal Propensity to Consume）。
題目中給定 MPC = 0.80。
所以，政府支出乘數 = $\frac{1}{1 - 0.80} = \frac{1}{0.20} = 5$。

乘數的含義是，政府支出每增加（或減少）一個單位，GDP 就會同方向增加（或減少）乘數倍的單位。

此題考驗對總合支出模型中，如何透過政府支出調整來彌補產出缺口的應用。

首先，我們需要確定經濟體當前與充分就業 GDP 之間的產出缺口（output gap）。
題目中，經濟體目前處於均衡狀態，GDP 為 $6$ 兆美元（$6$ trillion）。
這個均衡 GDP 比充分就業 GDP 高出 $5000$ 億美元（$0.5$ trillion）。
這意味著，經濟體目前處於「過熱」狀態，實際 GDP 高於充分就業 GDP。
通常，我們需要政府支出來填補「產出缺口」，但這裡的產出缺口是「正的」（實際 GDP > 充分就業 GDP）。
這意味著經濟體需要減少總合需求，以使 GDP 回落到充分就業水平。
減少總合需求最直接的方式是減少政府支出。

我們需要計算政府支出需要減少多少，才能使 GDP 從 $6$ 兆美元下降到充分就業 GDP。
充分就業 GDP = $6$ 兆美元 - $5000$ 億美元 = $5.5$ 兆美元。
所以，GDP 需要從 $6$ 兆美元減少到 $5.5$ 兆美元，減少的量是 $5000$ 億美元。
$\Delta Y = -500$ billion dollars。

核心觀念

本題考的是「影響消費函數位置的因素」。

短期消費函數通常表示為：

$$C = \overline{C} + bY_d$$

其中：

• $C$：消費支出
• $\overline{C}$：自主消費，與當期所得無關
• $b$：邊際消費傾向，表示可支配所得增加一單位時，消費增加的比例
• $Y_d$：可支配所得

消費函數圖形以可支配所得 $Y_d$ 為橫軸、消費 $C$ 為縱軸，通常呈現向右上方傾斜。

「對未來經濟成長有強烈預期」代表家庭預期未來所得、財富或就業機會增加，因此在相同的當期可支配所得下，家庭願意增加目前消費。這會使自主消費 $\overline{C}$ 上升，造成整條消費函數向上移動。

解題方法

判斷本題的關鍵，在於區分「沿著既有消費函數移動」與「消費函數本身移動」。

若是當期可支配所得 $Y_d$ 改變，消費者會沿著既有消費函數移動：

$$\Delta Y_d \neq 0 \quad\Rightarrow\quad \text{沿既有消費函數移動}$$

若是消費者對未來所得、財富或經濟情況的預期改變，則在相同的 $Y_d$ 下，消費意願改變，消費函數本身移動：

$$\Delta \overline{C} > 0 \quad\Rightarrow\quad C' = (\overline{C}+\Delta\overline{C}) + bY_d$$

因此，強烈的未來經濟成長預期會使消費函數向上移動，正確選項為 d。

選項分析

a. economy will move to the right along the existing consumption function.

錯誤。

沿著既有消費函數向右移動，必須是當期可支配所得增加所造成。題目只說對未來經濟成長有強烈預期，重點是預期改變消費意願，並非當期所得已經增加。

此題考驗對邊際消費傾向（Marginal Propensity to Consume, MPC）的計算。
邊際消費傾向（MPC）定義為，當可支配所得（Disposable Income）每增加一個單位時，消費（Consumption）所增加的比例。
計算公式為：
$MPC = \frac{\Delta C}{\Delta Y_d}$
其中，$\Delta C$ 是消費的變動量，$\Delta Y_d$ 是可支配所得的變動量。

題目中，所得（Income）的增加，我們通常假設這就是可支配所得的增加（除非題目另有說明）。

此題考驗對不同類型企業合併（merger）的定義。

企業合併主要可以分為以下幾種類型：

1. 水平合併（Horizontal Merger）：指在同一產業中，生產相同或相似產品的競爭者之間的合併。例如，兩家汽車製造商合併，或兩家連鎖超市合併。
2. 垂直合併（Vertical Merger）：指在同一產業鏈中，處於不同生產階段的企業之間的合併。例如，一家汽車製造商與一家輪胎供應商合併，或者一家電影製片公司與一家電影院線合併。
3. 多元化合併（Conglomerate Merger）：指來自不同產業、生產不同產品的企業之間的合併。例如，一家科技公司與一家食品公司合併。

題目問的是水平合併的定義。

核心觀念

企業合併可依兩家公司在生產與市場中的關係，分為三類：

• 水平合併：兩家公司在同一產業、同一生產階段競爭，例如兩家鋼鐵公司合併。
• 垂直合併：兩家公司位於同一產品供應鏈的不同階段，例如原料供應商與製造商合併。
• 混合合併：兩家公司從事的業務彼此無直接供應鏈關係，也不在同一市場競爭。

解題方法

先辨認兩家公司的產業位置：鋼鐵是製造鍋具可能使用的原料；鍋具公司則將原料加工為成品。鋼鐵公司位於上游，鍋具公司位於下游，兩者處於同一供應鏈的不同階段，因此此合併屬於垂直合併。

選項分析

此題考驗對羅倫茲曲線（Lorenz Curve）的理解。

羅倫茲曲線是一種圖形化的工具，用於展示一個國家或地區的收入分配情況，或者其他變量的分配情況（例如財富分配）。
它繪製的是：

• 橫軸代表累積的人口百分比（從最貧窮到最富有）。
• 縱軸代表累積的收入百分比。

在一個完全平等的收入分配情況下，人口的 $10\%$ 應該擁有 $10\%$ 的收入，人口的 $20\%$ 應該擁有 $20\%$ 的收入，以此類推。這條線稱為「完全平等線」（line of perfect equality），是一條從原點出發的 $45$ 度直線。

羅倫茲曲線則顯示了實際的收入分配情況。它通常位於完全平等線的下方，表示收入分配是不均等的。例如， $10\%$ 的人口可能只擁有 $2\%$ 的收入，而 $50\%$ 的人口可能只擁有 $20\%$ 的收入。

此題考驗對勞動市場需求曲線變動的理解。
勞動需求曲線（Demand for Labor Curve）表示在給定的工資率下，企業願意僱傭的勞動數量。這條曲線通常向下傾斜，因為工資率越高，企業僱傭的勞動越少。

勞動需求曲線的移動（shift）是由非工資因素引起的，例如：

• 勞動的邊際生產力（Marginal Product of Labor, MPL）的變化。
• 產品的價格（Price of the product）的變化。
• 其他生產要素的價格（Price of other factors of production）的變化。

題目中提到「技術變革增加了勞動的邊際生產力」（a change in technology increases the marginal product of labor）。
根據邊際生產力理論，企業僱傭勞動的決策是基於勞動的邊際產出（MPL）和其產出的市場價格（P），以及工資率（w）。
企業會僱傭勞動直到勞動的邊際產值（Value of Marginal Product, VMP）等於工資率。
$VMP_L = MPL \times P$
在完全競爭市場下，企業僱傭勞動直到 $VMP_L = w$。

此題考驗對卡特爾（Cartel）利潤最大化行為的理解。
卡特爾是一個由獨立企業組成的協議，旨在限制競爭，以提高價格和利潤。卡特爾的目標是像一個壟斷者一樣運作，以最大化整個行業的總利潤。

在卡特爾模型中，成員企業通常會協商一個總產量限制（配額，quotas），並設定一個壟斷價格。然後，他們會將總產量分配給各個成員企業。

卡特爾的利潤最大化條件與壟斷者相同：

• 總產量決定在邊際收益（MR）等於邊際成本（MC）的點。
• 然後，根據總需求曲線，確定最高價格。

選項分析：
a. eliminating quotas.：消除配額意味著成員企業可以自由生產，這會導致產量增加，價格下降，從而損害卡特爾的整體利潤，因為它會破壞壟斷行為。

此題考驗對價格領導（Price Leadership）寡占模型（oligopoly model）的理解。
在價格領導寡占市場中，市場上存在一個或幾個較大的、具有領導地位的企業（價格領導者），它們率先制定價格，而其他較小的企業（追隨者）則接受這個價格，並根據這個價格來決定自己的產量。

這種模式是一種非正式的協調方式，用於避免價格戰，並在一定程度上模擬壟斷利潤。價格領導者通常會考慮整個行業的總需求和總成本（如果它能估計的話），從而設定一個有利於行業整體利潤最大化的價格。

選項分析：
a. a cartel of leading firms determines price and industry output.：這描述的是一個卡特爾，而不是價格領導模型。價格領導是企業間的一種默認協調，而非正式的卡特爾協議。

此題考驗對「拐折需求曲線理論」（Kinked Demand Curve Theory）的理解。
拐折需求曲線理論是由保羅·斯威齊（Paul Sweezy）提出的，用來解釋寡占市場中價格的穩定性。

該理論的核心假設是：

1. 如果一個寡占企業提高價格，它的競爭對手（其他寡占企業）不會跟隨，因為它們會擔心失去市場份額。這將導致該企業的需求曲線變得相對有彈性（elastic）。
2. 如果一個寡占企業降低價格，它的競爭對手為了避免失去市場份額，也會跟隨降價。這將導致該企業的需求曲線變得相對缺乏彈性（inelastic）。

由於上述假設，該企業的需求曲線在當前價格點會出現一個「拐折」（kink）。
在拐折處，邊際收益曲線（MR）會出現一個不連續的跳躍（discontinuity）。
這意味著，即使企業的邊際成本（MC）發生一定範圍內的變動，只要 MC 仍然落在 MR 曲線的跳躍區間內，企業都不會改變其產量和價格，因為這樣做對其利潤沒有影響。

核心觀念

完全競爭廠商是價格接受者，因此產品價格等於邊際收益：$P=MR$。廠商在利潤最大化時，選擇產量使價格等於短期邊際成本：

$$P=MR=SMC$$

在長期均衡中，廠商可自由進出市場。若廠商有正經濟利潤，新廠商會進入；若有負經濟利潤，部分廠商會退出。進出市場使經濟利潤趨近於零，因此：

$$P=LRAC$$

長期均衡下，廠商也在其所選廠房規模的短期平均總成本最低點生產，故價格等於短期平均總成本。

解題方法

依序套用完全競爭廠商的利潤最大化條件與長期零利潤條件：

1. 利潤最大化：$P=SMC$。
2. 長期自由進出使經濟利潤為零，因此 $P=SATC$。
3. 長期均衡產量位於長期平均成本最低點，因此 $P=LRAC$。

所以三項價格相等，選擇「以上皆是」。

選項分析

核心觀念

本題考的是「技術進步的類型」，判斷重點在於技術變革後，勞動與資本的邊際生產力是否以相同比例增加，以及邊際技術替代率是否改變。

生產函數可寫為：

$$Q=F(K,L)$$

其中：

• $K$：資本投入
• $L$：勞動投入
• $MP_L$：勞動邊際產量
• $MP_K$：資本邊際產量

若技術進步使 $MP_L$ 與 $MP_K$ 以相同比例增加，且不改變兩要素的相對生產力，稱為「中性技術進步」（neutral technological change）。

判斷中性與否的重要公式是邊際技術替代率：

$$MRTS_{LK}=\frac{MP_L}{MP_K}$$

若技術變革前後的 $MRTS$ 不變，表示技術進步是中性的。

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解題方法

1. 技術變革前

原本的等產量線為：

$$100=KL$$

因此生產函數可視為：

$$Q=KL$$

題目給定：

$$MP_L=K,\qquad MP_K=L$$

所以原本的邊際技術替代率為：

$$MRTS_{LK} =\frac{MP_L}{MP_K} =\frac{K}{L}$$

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2. 技術變革後

新技術下的等產量線為：

$$100=2KL$$

新的生產函數為：

$$Q=2KL$$

題目給定：

$$MP_L=2K,\qquad MP_K=2L$$

因此新的邊際技術替代率為：

$$MRTS_{LK}' =\frac{2K}{2L} =\frac{K}{L}$$

比較前後：

$$MRTS_{LK}'=MRTS_{LK}$$

可見，勞動與資本的邊際生產力都增加為原來的 $2$ 倍，但兩者的相對比例不變。因此，這是中性技術進步。

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選項分析

a. Neutral：正確

技術變革後：

$$MP_L:K\rightarrow 2K$$ $$MP_K:L\rightarrow 2L$$

勞動與資本的邊際生產力皆增加 $2$ 倍，且：

此題考驗對完全競爭企業短期供給曲線（short-run supply curve）的理解。

在完全競爭市場中，企業的短期供給曲線是其邊際成本曲線（Marginal Cost, MC）的一部分。
原因如下：

1. 利潤最大化條件：企業在短期內通過選擇產量 $q$ 來最大化利潤，使得價格 $P$ 等於邊際成本 $MC$。即 $P = MC$。
2. 停止生產點（Shutdown Point）：企業在短期內決定是否生產的條件是，價格 $P$ 必須至少能夠覆蓋其平均可變成本（Average Variable Cost, AVC）。如果 $P < AVC$，則企業應該停止生產，因為每生產一單位產品都會虧損，且固定成本是沉沒成本。

此題考驗在完全競爭市場下，企業如何根據價格、平均總成本（ATC）和邊際成本（MC）來做出利潤最大化決策。

題目給出以下信息：

• 市場價格 $P =$$20。
• 在最有效率的生產點，平均總成本 $ATC =$$2.50。
• 經理報告「平均成本正在上升」。

首先，我們需要理解「最有效率的生產點」通常是指平均總成本（ATC）最低的點。在這個點，ATC = MC。
然而，題目提到「平均成本正在上升」，這意味著當前的生產點（或者經理所觀察到的點）的 ATC 正在增加。

在完全競爭市場中，企業的利潤最大化條件是 $P = MC$。
企業的決策取決於價格 $P$ 與邊際成本 $MC$ 以及平均成本（ATC）的關係。

1. 利潤最大化條件：企業應該在 $P = MC$ 的點上生產。
2. 獲利與否的判斷：
   • 如果 $P > ATC$，則企業獲取經濟利潤。
   • 如果 $P = ATC$，則企業的經濟利潤為零。
   • 如果 $P < ATC$，則企業遭受經濟損失。

在題目中，我們知道 $P =$$20。
在最有效率的生產點，$ATC =$$2.50。
由於 $P =$\

核心觀念

本題的核心考點為需求所得彈性（Income Elasticity of Demand）與恩格爾加總法則（Engel Aggregation / Engel's Law of Aggregation）。

1. 需求所得彈性定義：
   衡量消費者所得變動百分之一時，對某財貨需求量變動的百分比。設財貨 $X$ 的價格為 $P_X$、需求量為 $X$、消費者總所得為 $I$，則 $X$ 的所得彈性 $\varepsilon_{X, I}$ 為：

   $$\varepsilon_{X, I} = \frac{\partial X}{\partial I} \frac{I}{X}$$
   • 當 $\varepsilon_{X, I} > 1$ 時，定義為奢侈品（Luxury Goods）。
   • 當 $0 < \varepsilon_{X, I} \le 1$ 時，定義為必需品（Necessity Goods）。
   • 當 $\varepsilon_{X, I} < 0$ 時，定義為劣等品（Inferior Goods）。

2. 恩格爾加總法則（Engel Aggregation）：
   在消費者預算用盡（滿意不飽和性 / Local Nonsatiation）的前提下，各財貨的需求所得彈性以其「支出份額（Expenditure Share）」為權數所計算出的加權平均值，恆等於 $1$。

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解題方法

1. 數學推導證明

假設消費者僅消費兩種財貨 $X$ 與 $Y$，市場價格分別為 $P_X$ 與 $P_Y$，所得為 $I$。若消費者將所得全數用盡，其預算限制式為：

$$P_X X + P_Y Y = I$$

將預算限制式兩邊同時對所得 $I$ 進行全微分（或偏微分）：

$$P_X \frac{\partial X}{\partial I} + P_Y \frac{\partial Y}{\partial I} = 1$$

為轉換為所得彈性形式，將第一項乘上 $\frac{X}{I} \cdot \frac{I}{X}$，第二項乘上 $\frac{Y}{I} \cdot \frac{I}{Y}$：

$$\left( \frac{P_X X}{I} \right) \left( \frac{\partial X}{\partial I} \frac{I}{X} \right) + \left( \frac{P_Y Y}{I} \right) \left( \frac{\partial Y}{\partial I} \frac{I}{Y} \right) = 1$$

此題考驗消費者如何透過最大化效用來決定對商品 x 和 y 的需求量，並推導出需求函數。
消費者面臨的效用函數為 $U(x, y) = xy + 10y$。
預算約束為 $P_x x + P_y y = I$。
其中，$P_x, P_y > 0$ 且 $I > 0$。

內部最適點（Interior Optimum）的條件：
在內部最適點，消費者同時滿足以下兩個條件：

1. 預算約束：$P_x x + P_y y = I$。
2. 邊際效用相等（或邊際效用之比等於價格之比）：$\frac{MU_x}{MU_y} = \frac{P_x}{P_y}$。

步驟 1：計算邊際效用
對效用函數 $U(x, y) = xy + 10y$ 求偏導數，得到邊際效用：

• 對 x 的邊際效用：$MU_x = \frac{\partial U}{\partial x} = y$
• 對 y 的邊際效用：$MU_y = \frac{\partial U}{\partial y} = x + 10$

步驟 2：應用邊際效用相等條件
$\frac{MU_x}{MU_y} = \frac{y}{x + 10} = \frac{P_x}{P_y}$

步驟 3：求解需求函數
我們需要求解商品 x 的需求函數，即 $x$ 作為 $P_x, P_y, I$ 的函數。

核心觀念

本題考察消費者效用極大化與角點解判斷。

效用函數為：

$$U(x,y)=xy+10y=y(x+10)$$

預算限制式為：

$$P_xx+P_yy=100$$

因為 $x$、$y$ 的價格皆為正，且消費者不能購買負的 $x$，所以必須判斷最適消費量 $x^*$ 何時大於零。

解題方法

由預算限制式解出 $y$：

$$y=\frac{100-P_xx}{P_y}$$

代回效用函數：

$$U(x)=\frac{(x+10)(100-P_xx)}{P_y}$$

由於 $P_y>0$，不影響極大化結果，因此對 $x$ 微分：

$$\frac{dU}{dx} = \frac{100-2P_xx-10P_x}{P_y}$$

若最適解為內部解，令一階導數等於零：

$$100-2P_xx-10P_x=0$$

因此：

$$x^*=\frac{100-10P_x}{2P_x} =\frac{100/P_x-10}{2}$$

消費者會購買正數的 $x$，必須滿足：

$$x^*>0$$

由於 $P_x>0$，可得：

$$100-10P_x>0$$ $$P_x<10$$

當 $P_x=10$ 時：

$$x^*=0$$

此題要求在特定價格和所得下，繪製圖形並說明消費者選擇只購買商品 y 的情況。
我們已經知道：

• 效用函數：$U(x, y) = xy + 10y$
• 內部最適點下 x 的需求函數：$x = \frac{I - 10 P_x}{2 P_x}$
• 內部最適點下 y 的需求函數：$y = \frac{I + 10 P_x}{2 P_y}$
• 內部最適點的條件是 $x > 0$ 且 $y > 0$。
• $x > 0$ 要求 $I > 10 P_x$。

題目給定：

• 所得 $I = 100$。
• $P_y = 20$。
• $P_x = 20$。

首先，我們檢查 $P_x = 20$ 是否滿足內部最適點的條件 $I > 10 P_x$。
$I = 100$, $10 P_x = 10 \times 20 = 200$。
$100 \ngtr 200$。
所以，$I < 10 P_x$。
這意味著，在 $P_x = 20$ 的情況下，消費者不會選擇內部最適點，而是會選擇一個角落解（corner solution）。

根據 $x$ 的需求函數公式 $x = \frac{I - 10 P_x}{2 P_x}$，當 $I < 10 P_x$ 時，分子 $I - 10 P_x$ 會是負值。
由於 $x$ 的數量不能為負，消費者會選擇 $x=0$。

計算角落解：
當 $x=0$ 時，消費者將所有所得用於購買商品 y。
預算約束：$P_x x + P_y y = I$。
代入 $x=0, I=100, P_x=20, P_y=20$:
$20 \times 0 + 20 \times y = 100$
$20 y = 100$
$y = \frac{100}{20} = 5$。

因此，當 $P_x = 20, P_y = 20, I = 100$ 時，消費者的選擇是 $(x, y) = (0, 5)$。
這是一個角落解，表示消費者只購買商品 y，而不購買商品 x。

繪製圖形說明：

1. 座標軸：橫軸為商品 x 的數量，縱軸為商品 y 的數量。
2. 預算線（Budget Line）：
   • 預算線方程為 $P_x x + P_y y = I$。
   • 在 $P_x = 20, P_y = 20, I = 100$ 時，預算線方程為 $20x + 20y = 100$，簡化為 $x + y = 5$。
   • 預算線的截距點：
     • 若 $x=0$，則 $y=5$。縱截距為 $(0, 5)$。
     • 若 $y=0$，則 $x=5$。橫截距為 $(5, 0)$。
   • 預算線是一條連接 $(0, 5)$ 和 $(5, 0)$ 的直線。
3. 無差異曲線（Indifference Curve）：
   • 效用函數為 $U(x, y) = xy + 10y = y(x+10)$。
   • 無差異曲線的斜率（MRS, Marginal Rate of Substitution）為 $\frac{MU_x}{MU_y} = \frac{y}{x+10}$。
   • 當 $x=0$ 時，MRS = $\frac{y}{10}$。
   • 為了繪製無差異曲線，我們需要考慮幾個效用水平。
   • 在角落解 $(0, 5)$ 處，消費者購買的效用為 $U(0, 5) = 0 \times 5 + 10 \times 5 = 50$。
   • 我們需要繪製一條通過 $(0, 5)$ 且該點的斜率（MRS）等於預算線斜率（$P_x/P_y$）的無差異曲線。
   • 預算線的斜率是 $-P_x/P_y = -20/20 = -1$。
   • 在角落解 $(0, 5)$ 處，MRS = $\frac{y}{x+10} = \frac{5}{0+10} = \frac{5}{10} = 0.5$。
   • 在 $(0, 5)$ 點，MRS ($0.5$) 小於預算線的斜率絕對值 ($1$)。這表示在 $(0, 5)$ 點，無差異曲線比預算線更平坦。

此題要求比較在 part (3) 的最適點，邊際替代率（MRS）與價格比率 ($P_x/P_y$)，並驗證消費者購買正數量的 x 是否會降低效用。

在 part (3) 中，我們確定了最適點是 $(x, y) = (0, 5)$，當 $I=100, P_x=20, P_y=20$。
這是一個角落解。

1. 計算 MRS 和價格比率：

• 邊際替代率（MRS）定義為在相同效用水平下，消費者願意用多少單位的 y 來交換一單位的 x。

• $MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y}$。

• 我們已經計算出 $MU_x = y$ 且 $MU_y = x + 10$。

• 在最適點 $(x, y) = (0, 5)$ 處，
  $MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{y}{x+10} = \frac{5}{0+10} = \frac{5}{10} = 0.5$。

• 價格比率為 $\frac{P_x}{P_y}$。

• 在 part (3) 的條件下，$P_x = 20$ 且 $P_y = 20$。

• 所以，$\frac{P_x}{P_y} = \frac{20}{20} = 1$。

2. 比較 MRS 和價格比率：
在最適點 $(0, 5)$ 處，$MRS_{xy} = 0.5$。
價格比率 $\frac{P_x}{P_y} = 1$。
比較結果：$MRS_{xy} < \frac{P_x}{P_y}$ ($0.5 < 1$)。

3. 驗證消費者購買正數量的 x 是否會降低效用：
內部最適點的條件是 $MRS_{xy} = \frac{P_x}{P_y}$。
如果在最適點處，$MRS_{xy} < \frac{P_x}{P_y}$，這意味著消費者願意用 0.5 單位的 y 來交換 1 單位的 x（在 $(0, 5)$ 點的邊際效用評估下），但市場要求他用 1 單位的 y 來交換 1 單位的 x。
換句話說，相對於市場價格，消費者認為 x 的邊際效用相對較低，而 y 的邊際效用相對較高。
他更偏好 y。

由於在 $(0, 5)$ 點，$MRS_{xy} < \frac{P_x}{P_y}$，這表明消費者已經達到了角落解，即他應該盡可能多地消費 y，而少消費 x。
如果他從 $(0, 5)$ 點稍微增加 x 的購買量（例如，從 $x=0$ 增加到 $x=\epsilon > 0$），他必須相應地減少 y 的購買量，以保持在預算線上。
假設他增加購買 $\Delta x > 0$ 單位的 x，則他必須減少 $\Delta y = \frac{P_x}{P_y} \Delta x = 1 \times \Delta x = \Delta x$ 單位的 y。

核心觀念

本題評量**不確定性下的經濟決策（Decision Making under Uncertainty）中關於期望所得（Expected Income / Expected Salary）**的基本定義與計算。

1. 期望值（Expected Value）：在面臨風險或不確定性情境時，各可能狀態之結果變數（此處為薪資所得 $I$），乘上其對應發生機率後的加權總和。
2. 期望薪資公式： $$E(I) = \sum_{i=1}^{n} p_i \cdot I_i$$ 其中 $p_i$ 為情境 $i$ 出現的機率（$\sum p_i = 1$），$I_i$ 為情境 $i$ 下的實際薪資所得。

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解題方法

分別針對兩份工作機會（First Offer 與 Second Offer），解析其可能的情境所得與機率分配：

1. 第一份工作（First Offer）

• 情境分析：薪資為確定給付（for sure），無任何不確定性（發生機率 $p = 1.0$）。
• 薪資所得：$I_1 = 40,000$。
• 期望薪資計算： $$E(I_1) = 1.0 \times 40,000 = 40,000$$ 即第一份工作的期望薪資為 $40,000。

2. 第二份工作（Second Offer）

• 情境分析：

核心觀念

1. 期望效用理論（Expected Utility Theory, EUT）：
   在面臨不確定性（風險）決策時，決策者的目標是極大化「期望效用」（Expected Utility），而非單純極大化期望所得。若一方案在狀態 $i$ 下獲得所得 $I_i$ 的機率為 $p_i$，則其期望效用為：
   $E[U(I)] = \sum_{i} p_i U(I_i)$

2. 風險態度與效用函數的曲度（Risk Preferences & Curvature）：

   • 一階導數代表邊際效用（Marginal Utility）：
     $U'(I) = 2 + 5I^{-1/2} > 0 \quad (\text{滿足非飽和性，所得越多效用越高})$
   • 二階導數代表邊際效用遞減／遞增特性：
     $U''(I) = -\frac{5}{2}I^{-3/2} < 0 \quad (\text{嚴格凹函數，Strictly Concave})$
   • 由於 $U''(I) < 0$，決策者屬於風險趨避者（Risk Averse），具有邊際效用遞減的特徵。

3. 詹森不等式（Jensen's Inequality）：
   對於嚴格凹（Concave）的效用函數，隨機變數之函數期望值小於期望值之函數值，即：
   $E[U(I)] < U(E[I])$
   這意味著對於期望值相同的兩個方案，風險趨避者必然偏好「確定性獲得」大於「承擔風險的公平賭局（Actuarially Fair Gamble）」。

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解題方法

步驟一：計算第一個工作（Offer 1）的期望效用

• 情境描述：確定獲得年薪 $40,000（機率 $p = 1.0$）。
• 將所得 $I_1 = 40000$ 代入效用函數 $U(I) = 2I + 10\sqrt{I}$：
  $U(40000) = 2(40000) + 10\sqrt{40000}$
  由於 $\sqrt{40000} = 200$：
  $U(40000) = 80000 + 10(200) = 80000 + 2000 = 82000$
• 因此，Offer 1 的期望效用為：
  $E[U(\text{Offer 1})] = 82000$

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步驟二：計算第二個工作（Offer 2）的期望效用

• 情境描述：

  • 狀態 A（獲得獎金）：機率 $p = 0.50$，總所得 $I_{2A} = 20000 + 40000 = 60000$。
  • 狀態 B（未獲獎金）：機率 $1-p = 0.50$，總所得 $I_{2B} = 20000$。

• 計算各狀態下的效用值：

  • 狀態 A 的效用：
    $U(60000) = 2(60000) + 10\sqrt{60000} = 120000 + 10(100\sqrt{6}) = 120000 + 1000\sqrt{6}$
  • 狀態 B 的效用：
    $U(20000) = 2(20000) + 10\sqrt{20000} = 40000 + 10(100\sqrt{2}) = 40000 + 1000\sqrt{2}$

• 計算 Offer 2 的期望效用 $E[U(\text{Offer 2})]$：
  $E[U(\text{Offer 2})] = 0.50 \times U(60000) + 0.50 \times U(20000)$

此題考驗根據期望薪資和期望效用，判斷消費者是風險趨避（risk averse）、風險愛好（risk loving）還是風險中立（risk neutral）。

判斷標準：

• 風險趨避（Risk Averse）：對於相同的期望薪資，風險趨避者會選擇確定的薪資，而不是有風險的薪資。也就是說，期望效用 $E(U_{\text{確定}}) > E(U_{\text{風險}})$。
• 風險愛好（Risk Loving）：對於相同的期望薪資，風險愛好者會選擇有風險的薪資，而不是確定的薪資。也就是說，期望效用 $E(U_{\text{風險}}) > E(U_{\text{確定}})$。
• 風險中立（Risk Neutral）：對於相同的期望薪資，風險中立者對確定的薪資和有風險的薪資沒有偏好，即期望效用 $E(U_{\text{確定}}) = E(U_{\text{風險}})$。

從 Part (1) 和 Part (2) 的結果：

• 期望薪資：

  • 機會一（確定薪資）：$E(\text{Salary}_1) =$$40,000。
  • 機會二（不確定薪資）：$E(\text{Salary}_2) =$$40,000。
    兩種機會的期望薪資相同。

• 期望效用：

  • 機會一（確定薪資）：$E(U_1) = 82000$。
  • 機會二（不確定薪資）：$E(U_2) \approx 81931.85$。