109 年 國立高雄大學亞太工商管理學系碩士班《經濟學》

此題考驗對 IS-LM-BP 模型中各曲線交會點所代表的意義的理解。IS 曲線代表產品市場均衡，LM 曲線代表貨幣市場均衡，而 BP 曲線代表國際收支均衡。

當 IS 與 LM 曲線的交點（代表國內總體經濟均衡）位於 BP 曲線之上時，表示在該總體經濟均衡點所對應的利率與所得水準下，國際收支處於赤字狀態。

此題同樣是關於 IS-LM-BP 模型。當 BP 曲線位於 IS-LM 交點的上方時，表示在 IS-LM 交點所代表的國內總體經濟均衡點，國際收支處於赤字狀態。反之，若 BP 曲線位於 IS-LM 交點的下方，則表示該點的國際收支為盈餘。

題目描述「BP curve sits above the intersection of IS and LM」，這與上一題的描述是相同的（「the intersection of the IS and LM schedules lies above the BP curve」）。因此，此情況代表國際收支處於赤字。

選項 A 提到「balance of payments surplus」，這與我們的分析相反。
選項 C 提到「real money demand is not equal to real income balances」，這與貨幣市場均衡（LM 曲線）或產品市場均衡（IS 曲線）的條件相關，但不是 BP 曲線與 IS-LM 交點關係的直接

此題考驗價格水準變動對 IS-LM 模型中曲線移動的影響。
IS 曲線代表產品市場均衡，其移動主要受政府支出 (G)、稅收 (T)、投資 (I) 和淨出口 (NX) 等因素影響。
LM 曲線代表貨幣市場均衡，其移動主要受貨幣供給 (M/P)、實質所得 (Y) 和利率 (i) 的影響。

當價格水準 (P) 下降時，實質貨幣供給 (M/P) 會增加（假設名目貨幣供給 M 不變）。
LM 曲線的方程式為 $M/P = L(Y, i)$。當 M/P 增加時，在相同的所得 (Y) 水準下，為了使貨幣市場達到均衡，利率 (i) 必須下降，或者在相同的利率 (i) 水準下，所得 (Y) 可以增加。這表示 LM 曲線會向右移動。

IS 曲線的移動則與總體經濟的總需求相關，價格水準的變動會影響實質財富和淨出口，進而影響總需求。然而，在標準的 IS-LM 模型中，通常將價格水準視為外生變數，或在短期內固定。

核心觀念

本題考「IS–LM–BP 模型」中各曲線所代表的市場均衡：

• IS 曲線：商品市場均衡，表示計畫支出等於所得，因此沒有非計畫存貨變動。
• LM 曲線：貨幣市場均衡，表示實質貨幣供給等於實質貨幣需求。
• BP 曲線：國際收支平衡。圖中 BP 為水平線，利率 $R_1$ 為外部均衡利率。

圖中的 B 點位於 $IS(S_1)$ 與 $LM(M_2/P_1)$ 的交點，其利率為 $R_2$，且：

$R_2<R_1$

同時 B 點位於 BP 線下方，表示經濟處於外部收支赤字狀態。

解題方法

由 A 點移至 B 點，是實質貨幣供給增加，使 LM 曲線由 $LM(M_1/P_1)$ 右移至 $LM(M_2/P_1)$。在 IS 曲線不變下：

$M/P\uparrow \Rightarrow R\downarrow,\quad Y\uparrow$

因此所得由 $Y_1$ 增加至 $Y_2$，利率由 $R_1$ 降至 $R_2$。

所得增加會使進口增加，經常帳惡化：

$Y\uparrow \Rightarrow IM\uparrow \Rightarrow CA\downarrow$

此題考驗對 Mundell-Fleming 模型中不同情境的理解，特別是面板 (a) 和 (b) 的差異。面板 (a) 和 (b) 都描繪了 IS-LM-BP 模型。

觀察面板 (a)：
IS 曲線向下傾斜。
LM 曲線向上傾斜。
BP 曲線向上傾斜。
在圖中，R 代表利率，Y 代表所得。
panel (a) 中，BP 曲線是向上傾斜的。這通常代表資本移動是有限的（imperfect capital mobility）。在這種情況下，國際收支均衡條件為 $CAB + KCF = 0$，其中 $CAB$ 是經常帳餘額，$KCF$ 是資本淨流入。BP 曲線斜率取決於資本移動的程度。斜率越大，表示資本移動越沒彈性。

觀察面板 (b)：
IS 曲線向下傾斜。
LM 曲線向上傾斜。
BP 曲線是水平的。
panel (b) 中，BP 曲線是一條水平線。這代表 BP 曲線上的任何一點，國際收支都是均衡的。水平的 BP 曲線表示資本移動是完全的（perfect capital mobility）。

此題考驗消費者選擇理論中的效用最大化條件。效用最大化條件為邊際效用比等於價格比：
$\frac{MU_A}{P_A} = \frac{MU_B}{P_B}$

題目給定：
$P_A = 20$
$P_B = 10$
$MU_A = 8$
$MU_B = 2$

計算邊際效用比與價格比：
$\frac{MU_A}{P_A} = \frac{8}{20} = 0.4$
$\frac{MU_B}{P_B} = \frac{2}{10} = 0.2$

由於 $\frac{MU_A}{P_A} > \frac{MU_B}{P_B}$ ($0.4 > 0.2$)，表示消費者從每花費一塊錢在商品 A 上所獲得的邊際效用，大於從每花費一塊錢在商品 B 上所獲得的邊際效用。

此題考驗具有固定比例（雷奧提夫）偏好的消費者如何進行效用最大化。對於 $U(x,y) = \min(ax, by)$ 類型的效用函數，消費者總是在 $ax = by$ 的線上進行消費，以達到效用最大化。

在此題中，效用函數為 $U(x,y) = \min(3x,y)$。因此，消費者最優選擇點的條件是 $3x = y$。

同時，消費者必須滿足預算限制式：$P_x x + P_y y = I$。
已知：
$P_x = 5$
$P_y = 10$
$I = 105$

將 $3x = y$ 代入預算限制式：
$5x + 10(3x) = 105$
$5x + 30x = 105$
$35x = 105$
$x = \frac{105}{35} = 3$

將 $x=3$ 代回 $y = 3x$：
$y = 3(3) = 9$

此題考驗消費者效用最大化問題。消費者在預算限制下最大化效用，其條件是邊際效用比等於價格比：
$\frac{MU_x}{P_x} = \frac{MU_y}{P_y}$

從預算限制式 $20x + 10y = 400$，我們可以推導出價格：
$P_x = 20$
$P_y = 10$

已知：
$MU_x = 10$
$MU_y = 20$

計算邊際效用比：
$\frac{MU_x}{MU_y} = \frac{10}{20} = 0.5$

計算價格比：
$\frac{P_x}{P_y} = \frac{20}{10} = 2$

比較邊際效用比和價格比：
$\frac{MU_x}{P_x} = \frac{10}{20} = 0.5$
$\frac{MU_y}{P_y} = \frac{20}{10} = 2$

由於 $\frac{MU_x}{P_x} < \frac{MU_y}{P_y}$ ($0.5 < 2$)，表示每花費一塊錢在商品 x 上所獲得的邊際效用，小於每花費一塊錢在商品 y 上所獲得的邊際效用。

因此，為了最大化效用，消費者應該將支出從商品 x 轉移到商品 y。這意味著消費者應該減少商品 x 的消費，並增加商品 y 的消費。

核心觀念

本題考查：

• 消費者效用極大化。
• 預算限制式。
• 邊角解（corner solution）。
• Marshallian demand（所得與價格給定下的需求量）。

效用函數為：

預算限制式為：

且題目給定 $I<P_x$。

解題方法

由預算限制式可得：

將其代入效用函數：

由於 $P_y>0$，最大化效用等同於最大化：

展開得：

對 $x$ 微分：

令一階導數等於零，可得內部解：

但是題目給定 $I<P_x$，因此：

消費量不能為負數，故內部解不具可行性，最適選擇為邊角解：

將 $x^d=0$ 代入預算限制式：

因此：

選項分析

此題考驗生產理論中的邊際技術替代率 (Marginal Rate of Technical Substitution, MRTS)。
生產函數為 $Q = K^{0.5}L^{0.5}$。
邊際技術替代率 (MRTS) 的定義是勞動對資本的邊際技術替代率，即：
$MRTS_{LK} = -\frac{dK}{dL} = \frac{MP_L}{MP_K}$

首先，我們需要計算勞動的邊際產量 ($MP_L$) 和資本的邊際產量 ($MP_K$)。
$MP_L = \frac{\partial Q}{\partial L} = \frac{\partial}{\partial L} (K^{0.5}L^{0.5}) = K^{0.5} \cdot 0.5 L^{-0.5} = 0.5 \left(\frac{K}{L}\right)^{0.5}$

此題考驗賽局理論中關於同時動態賽局的性質。

A) 「如果沒有玩家有主導策略，我們會依序消除每個玩家的次要策略。」這描述的是迭代排除劣勢策略 (Iterated Elimination of Dominated Strategies)，這是一種尋找納許均衡的方法，但前提是存在劣勢策略，而非主導策略。而且，如果沒有主導策略，也不一定能進行迭代排除。

B) 「玩家根據預先指定的機率在兩種或多種純粹策略之間進行選擇。」這描述的是混合策略 (Mixed Strategy)。在同時動態賽局中，玩家可能選擇混合策略，但這不是賽局本身的必然屬性，而是尋找納許均衡的一種方式。

C) 「如果一個玩家有主導策略而另一個沒有，你無法達到納許均衡。」這是不正確的。納許均衡是每個玩家都選擇了對其他玩家策略的最佳回應。即使一個玩家有主導策略，另一個玩家可能沒有，但只要他們都選擇了最佳回應，就可以形成納許均衡。

核心觀念

本題測驗賽局理論（Game Theory）中**動態賽局（Sequential-Move Games / Dynamic Games）**的核心求解方法——**逆向歸納法（Backward Induction）**的精確定義。

1. 動態賽局與擴張型式（Extensive Form）：
   動態賽局通常以「賽局樹（Game Tree）」呈現，包含決策節點（Decision Nodes）、行動分支（Action Branches）與最終報酬（Payoffs）。
2. 逆向歸納法（Backward Induction）：
   • 求解邏輯是由後往前推導：從賽局樹的**最末端決策節點（End of the game tree / Terminal decision nodes）**開始，分析最後行動者在該處的最優決策（Optimal Decision）。
   • 將該處的最優決策所對應之報酬折算回上一層節點，逐步倒推回賽局樹的起點（Beginning of the game tree / Initial node）。
   • 此方法用以找出動態賽局的子賽局完美奈許均衡（Subgame Perfect Nash Equilibrium, SPNE），排除不可置信的威脅或承諾（Non-credible Threats/Promises）。

解題方法

切入點在於精確檢驗逆向歸納法的兩大要素：

1. 起點位置：是由「賽局樹的最末端（End of the game tree）」開始往回推，而非由起點（Beginning）開始。
2. 求解標的：是在每一個決策點找出該參賽者的「最適決策（Optimal Decision）」，以使自身報酬極大化；而非推導連續反應函數（Best Response Function）或心理動機（Motives）。

綜合兩大要素，逆向歸納法即為「從賽局樹末端出發，在每個決策點找出參與者的最適決策」的求解程序。

此題為一個序言，說明後續的賽局描述中，報酬的順序。

此題考驗國際金融中的利率平價條件 (Interest Parity Condition)。
利率平價條件指出，兩種貨幣之間的匯率遠期差價應等於兩國的利率差，以消除套利機會。
數學表達式為：
$\frac{F_{t+1}}{S_t} = \frac{1+i_d}{1+i_f}$
其中：
$F_{t+1}$ 是未來某一時點的遠期匯率（例如，每單位外幣的本國貨幣價格）。
$S_t$ 是即期匯率（例如，每單位外幣的本國貨幣價格）。
$i_d$ 是本國的利率。
$i_f$ 是外國的利率。

另一種更常用的近似公式是：
$i_d - i_f \approx E(\Delta S) / S_t = \text{預期匯率變動百分比}$
其中 $E(\Delta S) / S_t$ 是預期匯率變動的百分比。

題目給定：
美國利率 ($i_{US}$) = 8% = 0.08
英國利率 ($i_{UK}$) = 6% = 0.06
我們假設美元是本國貨幣，英鎊是外國貨幣。
所以，$i_d = i_{US} = 0.08$
$i_f = i_{UK} = 0.06$

根據近似公式：
$i_{US} - i_{UK} \approx \text{預期英鎊貶值百分比}$
$0.08 - 0.06 \approx \text{預期英鎊貶值百分比}$
$0.02 \approx \text{預期英鎊貶值百分比}$

這表示市場預期英鎊將會貶值 2%。

我們也可以使用精確公式來驗證：
$\frac{F_{t+1}}{S_t} = \frac{1+i_{US}}{1+i_{UK}} = \frac{1+0.08}{1+0.06} = \frac{1.08}{1.06} \approx 1.01887$

如果我們將匯率定義為每單位英鎊的美元價格（例如 $S_t$ 是 1 英鎊值多少美元），那麼：
$S_t$ = 即期匯率 (USD/GBP)
$F_{t+1}$ = 預期未來匯率 (USD/GBP)
$i_{US}$ = 美國利率
$i_{UK}$ = 英國利率

利率平價條件：$\frac{F_{t+1}}{S_t} = \frac{1+i_{US}}{1+i_{UK}}$
$\frac{F_{t+1}}{S_t} = \frac{1.08}{1.06} \approx 1.01887$

這意味著，預期未來一單位英鎊可以兌換到約 1.01887 美元，而現在是 1 美元。
如果 $S_t$ 代表 1 英鎊值多少美元，那麼 $F_{t+1} / S_t > 1$，表示英鎊預期會升值。

然而，題目問的是「pound to...」。通常我們考慮的是英鎊相對於美元的貶值或升值。
讓我們換一個角度，使用近似公式：

此題考驗財政政策對 IS 曲線的影響。
IS 曲線代表產品市場均衡，其方程式為 $Y = C(Y-T) + I(i) + G$。
政府支出 (G) 和稅收 (T) 都是外生變數。

當政府支出 (G) 增加時，總需求 (AD) 增加，IS 曲線向右移動。
當稅收 (T) 增加時，可支配所得 (Y-T) 減少，消費 (C) 減少，總需求 (AD) 減少，IS 曲線向左移動。

題目說「government spending and taxes increase by the same amount」。
令政府支出增加 $\Delta G$ 且稅收增加 $\Delta T$，且 $\Delta G = \Delta T > 0$。
政府支出的增加會直接增加總需求，使 IS 曲線右移。
稅收的增加會減少可支配所得，進而減少消費。消費的減少量為 $\Delta C = MPC \cdot \Delta T$，其中 MPC 是邊際消費傾向。
IS 曲線的移動量由總需求變化量決定。
考慮 IS 曲線的移動：
$\Delta Y = \frac{1}{1 - MPC} (\Delta G - MPC \cdot \Delta T)$
由於 $\Delta G = \Delta T$，我們將其設為 $\Delta X$。

核心觀念

本題考查 IS–LM 模型中，貨幣政策與財政政策同時變動對利率與所得的影響。

• 中央銀行購買債券：屬於擴張性貨幣政策，使貨幣供給增加，LM 曲線右移。
• 稅收增加：屬於緊縮性財政政策，使可支配所得與消費支出下降，IS 曲線左移。

解題方法

先分別判斷兩項政策對利率 $i$ 與產出 $Y$ 的影響。

1. 中央銀行購買債券

中央銀行在公開市場購買債券，會將貨幣支付給民間，增加貨幣供給。貨幣市場均衡條件為：

在 $Y$ 不變下，貨幣供給增加會造成超額貨幣供給，利率下降，因而 LM 曲線右移：

2. 稅收增加

在簡單凱因斯模型中，消費函數可寫為：

其中 $c$ 為邊際消費傾向。當稅收 $T$ 增加時，可支配所得 $Y-T$ 減少，消費下降，總需求減少。因此 IS 曲線左移：

其效果為：

兩項政策對利率的影響方向相同：

核心觀念

本題考查「自然失業率假說」與「預期擴充的菲利普斯曲線」。

自然失業率 $u_n$ 是經濟在長期、通膨預期充分調整後的失業率。菲利普斯曲線可表示為：

其中：

• $u$：實際失業率
• $u_n$：自然失業率
• $\pi$：實際通貨膨脹率
• $\pi^e$：預期通貨膨脹率
• $\alpha$：失業率對未預期通膨的反應程度

當實際通膨率高於預期通膨率時，短期內失業率會低於自然失業率；當預期調整完成後，失業率會回到自然失業率。

解題方法

判斷本題的關鍵，在於區分短期與長期效果。

若聯準會採取擴張性貨幣政策，使實際通膨率上升，但人民尚未調高通膨預期，則：

代入菲利普斯曲線：

因此，失業率可以在短期內降至自然失業率以下。

然而，人民一旦觀察到較高的通膨，便會調高通膨預期，使：

此時：

所以，貨幣政策無法在長期持續將失業率壓低至自然失業率以下。聯準會即使具有降低失業率的能力，也只能透過製造未預期的通膨達成短期效果；當人民預期充分調整後，短期效果會消失。

選項分析

A) in both the short run and the long run.

此題考驗總體經濟學中關於「時間不一致性」(Time Inconsistency) 的問題。
時間不一致性問題是指，在某一時期做出的最佳政策決策，在後續時期可能會因為新的資訊和新的利益考量而不再是最優的，導致政府或央行有誘因偏離最初的承諾。這通常發生在政府或央行有權隨時改變政策以追求短期利益（例如降低失業率）時，即使這會損害長期的穩定性（例如引發高通膨）。

解決時間不一致性問題的方法通常是通過建立一個可信的承諾機制，限制未來政策的靈活性。

A) 「解除對未來政策行動的所有限制。」這會加劇時間不一致性問題。
B) 「限制現在採取某些未來的政策行動。」這句話可以理解為，在當前就對未來的政策行動進行約束，例如通過法律、規則或獨立的機構。例如，設定通膨目標並給予央行獨立性，就是一種限制未來政策靈活性的方式。這有助於建立可信度，解決時間不一致性。
C) 「例如，通過公投向公眾展示政策行動。

核心觀念

本題考「李嘉圖等價命題」（Ricardian Equivalence）：在政府支出不變、家庭具前瞻性且能借貸的假設下，政府以現在加稅或未來加稅融資，對家庭的終身財富與消費沒有影響。現在增加稅收形成預算盈餘，代表政府增加公共儲蓄；家庭則預期未來稅負下降，因而減少私人儲蓄，兩者互相抵銷。

解題方法

設政府支出為 $G$、稅收為 $T$、產出為 $Y$、消費為 $C$。私人儲蓄、公共儲蓄與國民儲蓄分別為：

加稅使公共儲蓄增加；依李嘉圖等價命題，家庭調整私人儲蓄，抵銷公共儲蓄的變化。因此國民儲蓄不變。消費與政府支出不變時，總需求不變，產出也不變，故選 B。

選項分析

此題考驗理性預期理論 (Rational Expectations Theory) 的含義。
理性預期理論的核心觀點是，經濟主體（個人、企業、政府）在做決策時，會充分利用所有可獲得的資訊，並對未來進行最優的預期。他們不會系統性地犯預期錯誤。

A) 「產出偏離自然率的程度可能嚴重且持久。」理性預期理論認為，由於人們能夠預期到政策的影響，因此由預期造成的產出偏差（例如，由於預期錯誤的貨幣政策）將是短暫的，並且會被快速糾正。這與 A 的說法相反。

B) 「經濟就像一台複雜的機器，需要通過適當的政策進行最佳控制。」理性預期理論傾向於認為，即使是政府試圖通過積極的宏觀經濟政策來「控制」經濟，也可能因為人們預期到政策的後果而抵消其效果（政策無效性命言論）。因此，經濟不一定能被「最佳控制」。

C) 「基於過去行為的宏觀計量經濟模型在制定政策時將不會非常有用。」這是理性預期理論的一個重要推論。傳統的宏觀計量經濟模型通常基於歷史數據來預測未來。

核心觀念

本題考查：

1. Cobb–Douglas 偏好下的消費者需求
2. 預算限制與效用最大化
3. 消費者剩餘（Consumer Surplus, CS）
4. 利用需求曲線計算價格變動造成的消費者剩餘變化。

效用函數為：

所得為：

而其他商品價格為：

設餅乾價格為 $P_x$。

解題方法

一、建立預算限制式

Tom 的預算限制為：

代入 $P_y=1$ 與 $M=20$：

二、求效用最大化條件

內部解下，消費者會使邊際替代率等於價格比：

由效用函數 $U(x,y)=xy$：

因此：

因為 $P_y=1$，所以：

整理得：

這表示在最適消費組合中，花費在餅乾上的金額與花費在其他商品上的金額相等。

代入預算限制式：

因此餅乾需求函數為：

同時：

(a) Tom 對餅乾 $x$ 的需求表

餅乾需求函數為：

因此，當 $P_y=1$ 時，Tom 的餅乾需求表如下：

一般形式即為：

若寫成反需求函數：

(b) 價格由 $1$ 上升至 $2$ 時的消費者剩餘變化

一、先求兩種價格下的需求量

當 $P_x=1$ 時：

核心觀念

1. 替代彈性（Elasticity of Substitution, $\sigma$）：
   衡量在維持產出不變下，兩要素比例的變動率對邊際技術替代率（$MRTS$）變動率的敏感程度，其定義式為：

   $$\sigma = \frac{\% \Delta (K/L)}{\% \Delta MRTS_{LK}} = \frac{d\ln(K/L)}{d\ln(MRTS_{LK})}$$

   CES 生產函數的一般形式為 $Q = A\left[\alpha K^\rho + (1-\alpha)L^\rho\right]^{\frac{\gamma}{\rho}}$，其替代彈性為固定常數：

   $$\sigma = \frac{1}{1-\rho}$$

2. 規模報酬（Returns to Scale, RTS）：
   探討當所有生產要素等比例增加 $\lambda$ 倍（$\lambda > 1$）時，產出變動的幅度：

   • 若 $Q(\lambda K, \lambda L) = \lambda Q(K, L)$，為規模報酬不變（CRS）。
   • 若 $Q(\lambda K, \lambda L) > \lambda Q(K, L)$，為規模報酬遞增（IRS）。
   • 若 $Q(\lambda K, \lambda L) < \lambda Q(K, L)$，為規模報酬遞減（DRS）。
     若生產函數具備齊次性質（Homogeneous of degree $r$），則當齊次階數 $r = 1$ 時為 CRS；$r > 1$ 時為 IRS；$r < 1$ 時為 DRS。

解題方法與詳細推導

(a) 計算生產函數 $Q = (K^{0.5} + L^{0.5})^2$ 的替代彈性

方法一：依定義推導

1. 先計算勞動邊際產量（$MP_L$）與資本邊際產量（$MP_K$）：

   $$MP_L = \frac{\partial Q}{\partial L} = 2(K^{0.5} + L^{0.5}) \cdot \left(0.5 L^{-0.5}\right) = (K^{0.5} + L^{0.5}) L^{-0.5}$$ $$MP_K = \frac{\partial Q}{\partial K} = 2(K^{0.5} + L^{0.5}) \cdot \left(0.5 K^{-0.5}\right) = (K^{0.5} + L^{0.5}) K^{-0.5}$$

2. 計算邊際技術替代率（$MRTS_{LK}$）：

   $$MRTS_{LK} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{(K^{0.5} + L^{0.5}) L^{-0.5}}{(K^{0.5} + L^{0.5}) K^{-0.5}} = \frac{K^{0.5}}{L^{0.5}} = \left(\frac{K}{L}\right)^{0.5}$$

3. 將要素比例 $\frac{K}{L}$ 表示為 $MRTS_{LK}$ 的函數：

   $$\frac{K}{L} = (MRTS_{LK})^2$$

   兩邊取自然對數：

   $$\ln\left(\frac{K}{L}\right) = 2 \ln(MRTS_{LK})$$

4. 代入替代彈性公式求解：

   $$\sigma = \frac{d\ln(K/L)}{d\ln(MRTS_{LK})} = 2$$

方法二：對照 CES 生產函數公式
本題生產函數可改寫為：

對照標準 CES 形式 $Q = A\left[\alpha K^\rho + (1-\alpha)L^\rho\right]^{\frac{\gamma}{\rho}}$，得替代參數 $\rho = 0.5$。
直接套用替代彈性公式：

(b) 判斷 $Q = (K^{0.5} + L^{0.5})^2$ 之規模報酬性質

核心觀念

本題考查差異化產品市場中的 Bertrand 價格競爭。兩家公司同時以價格作為策略，且一家公司的需求量會受到另一家公司價格影響。

使用的公式如下：

• 需求函數：
  $Q_i=a-bP_i+cP_j$
• 反需求函數：
  $P_i=P_i(Q_i)$
• 邊際收益：
  $MR_i=\frac{dTR_i}{dQ_i}$
• 利潤最大化條件：
  $MR_i=MC_i$
• 價格反應曲線：給定競爭者價格時，本公司的利潤最大化價格。
• Bertrand 均衡：兩家公司價格同時滿足彼此的價格反應曲線。

（一）公司 R 的需求曲線、邊際收益與最適價格

公司 R 的需求函數為：

$Q_R=500-2P_R+P_E$

題目設定公司 E 的價格為 $P_E=100$，因此：

$Q_R=500-2P_R+100$

$\boxed{Q_R=600-2P_R}$

當 $P_R=100$ 時，公司 R 的需求量為：

$Q_R=600-2(100)=400$

反需求函數

由：

$Q_R=600-2P_R$

解出 $P_R$：

$2P_R=600-Q_R$

$\boxed{P_R=300-\frac{1}{2}Q_R}$

總收益函數

$TR_R=P_RQ_R$

代入反需求函數：

$TR_R=\left(300-\frac{1}{2}Q_R\right)Q_R$

$TR_R=300Q_R-\frac{1}{2}Q_R^2$

因此邊際收益為：

$MR_R=\frac{dTR_R}{dQ_R}=300-Q_R$

所以：

$\boxed{MR_R=300-Q_R}$

公司 R 的邊際成本為：

$MC_R=10$

利潤最大化條件為：

$MR_R=MC_R$

$300-Q_R=10$

$Q_R=290$

代回反需求函數：

$P_R=300-\frac{1}{2}(290)$

$P_R=155$

因此，當公司 E 設定價格 $100$ 時，公司 R 的利潤最大化價格為：

$\boxed{P_R=155}$

（二）公司 R 與公司 E 的價格反應曲線

公司 R 的價格反應曲線

公司 R 的需求函數為：

$Q_R=500-2P_R+P_E$

解出 $P_R$：

$2P_R=500+P_E-Q_R$

$P_R=250+\frac{1}{2}P_E-\frac{1}{2}Q_R$

因此公司 R 的反需求函數為：

$P_R=250+\frac{1}{2}P_E-\frac{1}{2}Q_R$

總收益為：

$TR_R=P_RQ_R$

$TR_R=\left(250+\frac{1}{2}P_E-\frac{1}{2}Q_R\right)Q_R$

$TR_R=\left(250+\frac{1}{2}P_E\right)Q_R-\frac{1}{2}Q_R^2$

所以：

$MR_R=250+\frac{1}{2}P_E-Q_R$

令 $MR_R=MC_R=10$：

$250+\frac{1}{2}P_E-Q_R=10$

$Q_R=240+\frac{1}{2}P_E$

代回反需求函數：

核心觀念

本題考察「支配策略」與「Nash equilibrium」。

• 若某策略無論對手採取何種策略，都能帶來較高報酬，則稱為嚴格支配策略。
• 若雙方均採取自己的最佳回應，則形成 Nash equilibrium。
• 嚴格支配策略均衡具有唯一性：若雙方都有嚴格支配策略，Nash equilibrium 就是雙方同時採取各自的支配策略。

以下報酬排列為：

解題方法

分別固定對手的策略，比較每一方的兩個選擇：

1. 比較 Firm 1 採取 High Price 與 Low Price 的報酬。
2. 比較 Firm 2 採取 High Price 與 Low Price 的報酬。
3. 依照最佳回應判斷支配策略與 Nash equilibrium。

a) 兩家公司都有支配策略的情況

Firm 1 的策略比較

若 Firm 2 採取 High Price：

• Firm 1 採取 High Price：報酬為 $140$
• Firm 1 採取 Low Price：報酬為 $20$

因此：

Firm 1 偏好 High Price。

若 Firm 2 採取 Low Price：

• Firm 1 採取 High Price：報酬為 $90+x$
• Firm 1 採取 Low Price：報酬為 $50$

由於題目給定 $x>0$，所以：

Firm 1 仍偏好 High Price。

因此，對所有 $x>0$：

Firm 2 的策略比較

若 Firm 1 採取 High Price：

• Firm 2 採取 High Price：報酬為 $140$
• Firm 2 採取 Low Price：報酬為 $90-x$

由於 $x>0$：

因此：

Firm 2 偏好 High Price。

若 Firm 1 採取 Low Price：

• Firm 2 採取 High Price：報酬為 $160$
• Firm 2 採取 Low Price：報酬為 $50$

因此：

Firm 2 仍偏好 High Price。

因此，對所有 $x>0$：

Nash equilibrium

兩家公司都有嚴格支配策略 High Price，因此唯一 Nash equilibrium 為：

均衡報酬為：

所以本小題答案為：