109 年 國立高雄大學亞太工商管理學系碩士班《統計學》

此題考驗聯合機率與條件機率的計算。

首先，我們將表格中的機率整理成聯合機率的型式：
$P(\text{國產車, 一次付清}) = 0.04$
$P(\text{國產車, 分期付款}) = 0.01$
$P(\text{進口車, 一次付清}) = 0.51$
$P(\text{進口車, 分期付款}) = 0.44$

(a)
此小題要求的是「購買進口車」且「使用分期付款」的機率。這可以直接從表格中讀取。
$P(\text{進口車, 分期付款}) = 0.44$

【答案】0.44

(b)
此小題要求的是「在已知顧客使用分期付款」的條件下，「他會購買進口車」的機率。這是一個條件機率的計算。
我們需要計算 $P(\text{進口車} | \text{分期付款})$。
根據條件機率的定義：

此題考驗離散型隨機變數的聯合機率分配、邊際機率分配以及隨機變數函數的機率分配。

(a)
首先，我們需要計算 $X$ 的邊際機率分配 $f_X(x)$，以及 $Y$ 的邊際機率分配 $f_Y(y)$。
$X$ 的可能取值為 $0$ 和 $1$。
$f_X(x) = \sum_{y} f_{XY}(x,y)$
$f_X(0) = f_{XY}(0,0) + f_{XY}(0,1) + f_{XY}(0,2) = 0.2 + 0.25 + 0.1 = 0.55$
$f_X(1) = f_{XY}(1,0) + f_{XY}(1,1) + f_{XY}(1,2) = 0.1 + 0.3 + 0.05 = 0.45$
檢查：$f_X(0) + f_X(1) = 0.55 + 0.45 = 1$。

$Y$ 的可能取值為 $0, 1, 2$。
$f_Y(y) = \sum_{x} f_{XY}(x,y)$
$f_Y(0) = f_{XY}(0,0) + f_{XY}(1,0) = 0.2 + 0.1 = 0.3$
$f_Y(1) = f_{XY}(0,1) + f_{XY}(1,1) = 0.25 + 0.3 = 0.55$
$f_Y(2) = f_{XY}(0,2) + f_{XY}(1,2) = 0.1 + 0.05 = 0.15$
檢查：$f_Y(0) + f_Y(1) + f_Y(2) = 0.3 + 0.55 + 0.15 = 1$。

$X$ 的機率分配為：
$P(X=0) = 0.55$
$P(X=1) = 0.45$

$Y$ 的機率分配為：
$P(Y=0) = 0.3$
$P(Y=1) = 0.55$
$P(Y=2) = 0.15$

此題考驗二項分配的近似應用，由於樣本數很大，我們可以使用常態分配來近似二項分配。

首先，定義隨機變數 $X$ 為寄回的問卷數。
根據題意，每一次問卷寄回的機率是 $p = 0.10$。
總共郵寄了 $n = 1500$ 份問卷。
因此，$X$ 服從二項分配 $B(n, p) = B(1500, 0.10)$。

我們要計算 $P(X \ge 250)$。
由於 $n$ 很大，我們可以使用常態分配來近似二項分配。
二項分配的平均值為 $\mu = np = 1500 \times 0.10 = 150$。
二項分配的變異數為 $\sigma^2 = np(1-p) = 1500 \times 0.10 \times (1-0.10) = 1500 \times 0.10 \times 0.90 = 150 \times 0.9 = 135$。
標準差為 $\sigma = \sqrt{135} \approx 11.619$。

此題考驗連續型隨機變數的機率密度函數性質以及期望值的計算。

(a)
對於機率密度函數 $f(y)$，其在整個定義域上的積分必須等於 1，即 $\int_{-\infty}^{\infty} f(y) dy = 1$。
在本題中，函數在 $0 \le y \le 2$ 區間為 $cy$，其他地方為 0。
所以，我們有：
$\int_{0}^{2} cy \, dy = 1$
$c \int_{0}^{2} y \, dy = 1$
$c \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{2} = 1$
$c \left( \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = 1$
$c \left( \frac{4}{2} - 0 \right) = 1$
$c \times 2 = 1$
$c = \frac{1}{2}$

所以，$f(y) = \frac{1}{2}y$ 對於 $0 \le y \le 2$。

【答案】$c = \frac{1}{2}$

此題考驗對變異數進行假設檢定，特別是單一樣本變異數的檢定。

我們需要檢定宣稱變異數小於 $2.56 \text{ kg/cm}^2$ 是否屬實。
虛無假設 $H_0$ 通常是我們想要反駁的陳述，對立假設 $H_1$ 是我們想要證實的陳述。
這裡，我們想檢定變異數是否「小於」2.56。
然而，假設檢定通常是針對「等於」和「大於/小於」來設定。
題目問的是「檢定該公司宣稱變異數小於 $2.56 \text{ kg/cm}^2$ 是否屬實」。這意味著我們要檢定的對象就是 $\sigma^2 < 2.56$。
在進行假設檢定時，我們通常設定虛無假設為「等於」，對立假設為「小於」或「大於」。
所以，我們將設定：
虛無假設 $H_0: \sigma^2 \ge 2.56$ (宣稱不實，或大於等於標準)
對立假設 $H_1: \sigma^2 < 2.56$ (宣稱屬實，小於標準)
這是左尾檢定。

顯著水準 $\alpha = 0.1$。
樣本數 $n=16$。
樣本平均數 $\bar{x} = 17.85 \text{ kg/cm}^2$ (這個資訊在檢定變異數時用不到)。
樣本標準差 $s = 1.7 \text{ kg/cm}^2$。
樣本變異數 $s^2 = (1.7)^2 = 2.89 \text{ kg/cm}^2$。
待檢定的標準變異數 $\sigma_0^2 = 2.56 \text{ kg/cm}^2$。

檢定統計量為卡方分配 $\chi^2$ 檢定：
$\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}$
自由度 $df = n-1 = 16-1 = 15$。

計算檢定統計量的值：
$\chi^2 = \frac{(16-1)(2.89)}{2.56} = \frac{15 \times 2.89}{2.56} = \frac{43.35}{2.56} \approx 16.9336$

此題考驗對兩個獨立樣本的比例進行假設檢定，目的是檢定兩家民調公司對服務滿意度的調查結果是否一致。這裡「一致」指的是滿意度的比例相同。

首先，我們需要定義檢定統計量。由於我們比較的是兩個獨立樣本的比例，可以使用 $z$-檢定或卡方檢定。這裡我們採用卡方檢定，因為數據是以列聯表的形式給出。

我們需要建立一個列聯表，包含「滿意」和「不滿意」的數據。對於「無意見」的部分，通常在比例檢定中會被排除，因為它不直接代表對服務的滿意或不滿意。然而，題目要求檢定「調查結果是否一致」，這可能包含所有類別。如果題目是指「滿意」的比例是否一致，則只考慮滿意和不滿意。但通常這種題目會要求檢定「整體分佈」是否一致。我們這裡假設檢定的是「滿意」與「不滿意」的比例是否一致。

樣本數：
甲公司：$n_A = 300$
乙公司：$n_B = 250$

甲公司數據：
滿意：$x_A = 158$
不滿意：$y_A = 105$
無意見：$z_A = 37$
$x_A + y_A + z_A = 158 + 105 + 37 = 300$

乙公司數據：
滿意：$x_B = 119$
不滿意：$y_B = 94$
無意見：$z_B = 37$
$x_B + y_B + z_B = 119 + 94 + 37 = 250$

檢定：甲、乙兩家公司對服務滿意度的比例是否一致。
虛無假設 $H_0$: 兩家公司的服務滿意度比例相同 (即兩組數據來自同一母體比例)。
對立假設 $H_1$: 兩家公司的服務滿意度比例不同。

我們將使用卡方適合度檢定 (Chi-squared goodness-of-fit test) 的概念，但這裡比較的是兩個樣本的比例。也可以看作是獨立性檢定，檢定「公司」和「滿意度類別」是否獨立。

首先，計算合併比例（pooled proportion）或預期頻率。
總樣本數 $N = n_A + n_B = 300 + 250 = 550$。

如果 $H_0$ 為真，則各類別的總比例為：
總滿意人數 $= 158 + 119 = 277$
總不滿意人數 $= 105 + 94 = 199$
總無意見人數 $= 37 + 37 = 74$
總人數 $= 277 + 199 + 74 = 550$

根據總人數計算預期頻率 (Expected frequency, $E$)：
$E(\text{甲, 滿意}) = N \times \frac{\text{總滿意人數}}{\text{總人數}} = 550 \times \frac{277}{550} = 277$
$E(\text{乙, 滿意}) = N \times \frac{\text{總滿意人數}}{\text{總人數}} = 550 \times \frac{277}{550} = 277$
$E(\text{甲, 不滿意}) = N \times \frac{\text{總不滿意人數}}{\text{總人數}} = 550 \times \frac{199}{550} = 199$

此題考驗單因子變異數分析 (One-way ANOVA)，包含完成 ANOVA 表以及進行假設檢定。

首先，我們需要理解 ANOVA 表的結構與計算關係。
$SS$: Sum of Squares (平方和)
$df$: Degree of Freedom (自由度)
$MS$: Mean Square (均方)
$F$: F-statistic (F統計量)

關係式：
$MS = SS / df$
$F = MS_{\text{組間}} / MS_{\text{組內}}$
$SS_{\text{總和}} = SS_{\text{組間}} + SS_{\text{組內}}$
$df_{\text{總和}} = df_{\text{組間}} + df_{\text{組內}}$

題目中給予了部分值，我們需要填補 (1) 到 (4)。

填補 ANOVA 表：

1. (1) 組內 SS (SS within):
   $SS_{\text{總和}} = SS_{\text{組間}} + SS_{\text{組內}}$
   $34.9537 = 12.6047 + SS_{\text{組內}}$
   $SS_{\text{組內}} = 34.9537 - 12.6047 = 22.349$
   所以 (1) = $22.349$。

2. (2) 組間自由度 (df between):
   題目已給出，組間自由度為 (2)。
   這裡有 3 個組別 (A, B, C)，所以 $df_{\text{組間}} = k-1 = 3-1 = 2$。這與題目給出的 (2) 相符。

3. (3) 組內 MS (MS within):
   $MS_{\text{組內}} = SS_{\text{組內}} / df_{\text{組內}}$
   我們需要先求 $df_{\text{組內}}$。
   $df_{\text{總和}} = df_{\text{組間}} + df_{\text{組內}}$
   $29 = 2 + df_{\text{組內}}$
   $df_{\text{組內}} = 29 - 2 = 27$。這與表格中組內的自由度 27 相符。
   現在計算 $MS_{\text{組內}}$：
   $MS_{\text{組內}} = \frac{22.349}{27} \approx 0.82774$
   所以 (3) = $0.82774$ (保留小數點後幾位，視題目精度要求，這裡保留五位)。

4. (4) F 統計量 (F-statistic):
   $F = \frac{MS_{\text{組間}}}{MS_{\text{組內}}}$
   $F = \frac{6.302333}{0.82774} \approx 7.614$
   所以 (4) = $7.614$。

完成的 ANOVA 表：