112 年 國立高雄大學金融管理學系碩士班《經濟學》

此題考查邊際成本 (MC) 與平均總成本 (ATC) 曲線之間的關係。
核心觀念：邊際成本與平均成本的關係由邊際量與平均量的基本邏輯決定。當邊際量高於平均量時，平均量會上升；當邊際量低於平均量時，平均量會下降。

解題步驟：

1. 理解 ATC 的定義：ATC = TC / Q，其中 TC 是總成本，Q 是產量。
2. 理解 MC 的定義：MC = ΔTC / ΔQ。在離散情況下，MC 是增加一單位產量所增加的總成本；在連續情況下，MC 是總成本函數對產量的導數。
3. 分析 ATC 的變化：ATC 上升意味著 ATC 對 Q 的導數為正，即 $\frac{d(TC/Q)}{dQ} > 0$。
   $\frac{d(TC/Q)}{dQ} = \frac{TC' \cdot Q - TC \cdot 1}{Q^2} = \frac{MC \cdot Q - TC}{Q^2}$
   令上式大於零，則 $MC \cdot Q - TC > 0$。
   由於 $TC = ATC \cdot Q$，代入上式得 $MC \cdot Q - ATC \cdot Q > 0$。

核心觀念

本題考查「預算限制」與「熱量限制」的聯立分析。

設每天食用：

• $x$ 袋 Doritos
• $y$ 份 seafood salad

預算限制為：

$$1x+2y\le 11$$

題目又說每天花完整筆預算，因此：

$$x+2y=11$$

熱量限制為：

$$1500x+500y\le 6500$$

題目要求的是在同時滿足兩項限制下，Doritos 每天最多能吃幾袋。

解題方法

由預算方程式：

$$x+2y=11$$

解出 seafood salad 的數量：

$$y=\frac{11-x}{2}$$

代入熱量限制：

$$1500x+500\left(\frac{11-x}{2}\right)\le 6500$$

整理得：

$$1500x+2750-250x\le 6500$$ $$1250x+2750\le 6500$$ $$1250x\le 3750$$ $$x\le 3$$

因此，Doritos 每天最多可食用 $3$ 袋。

檢查此時的 seafood salad 數量：

$$y=\frac{11-3}{2}=4$$

花費為：

$$3(1)+4(2)=11$$

熱量為：

$$3(1500)+4(500)=4500+2000=6500$$

恰好符合預算與熱量限制。

選項分析

• a. 3 bags of Doritos per day but no more.

  正確。由聯立限制可得 $x\le 3$，且 $x=3$ 時可搭配 $4$ 份 seafood salad，符合所有條件。

• b. 1 bag of Doritos per day but no more.

核心觀念

本題考查「顯示偏好」（revealed preference）與其傳遞性。

若消費者在價格向量 $p$ 下選擇消費組合 $x$，所得為 $p\cdot x$，而另一組合 $y$ 滿足：

$$p\cdot y\leq p\cdot x$$

表示 $y$ 在當時也是負擔得起的，卻選擇了 $x$，因此稱為：

$$x R^D y$$

即 $x$ 對 $y$ 具有「直接顯示偏好」。

若存在中間組合，使得：

$$x R^D z,\qquad z R^D y$$

則依顯示偏好的傳遞性，可稱為 $x$ 對 $y$ 具有「間接顯示偏好」：

$$x R^I y$$

本題的關鍵是逐一比較其他消費組合在各地價格下是否負擔得起。

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資料整理與支出計算

令：

• 阿根廷消費組合為 $A=(6,7)$，價格為 $p_A=(9,3)$
• 玻利維亞消費組合為 $B=(9,2)$
• 哥倫比亞消費組合為 $C=(6,5)$，價格為 $p_C=(3,3)$

阿根廷的所得為：

$$p_A\cdot A=9(6)+3(7)=54+21=75$$

在阿根廷價格下購買玻利維亞組合 $B$ 所需支出為：

$$p_A\cdot B=9(9)+3(2)=81+6=87$$

在阿根廷價格下購買哥倫比亞組合 $C$ 所需支出為：

$$p_A\cdot C=9(6)+3(5)=54+15=69$$

哥倫比亞的所得為：

$$p_C\cdot C=3(6)+3(5)=18+15=33$$

在哥倫比亞價格下購買阿根廷組合 $A$ 所需支出為：

$$p_C\cdot A=3(6)+3(7)=18+21=39$$

在哥倫比亞價格下購買玻利維亞組合 $B$ 所需支出為：

$$p_C\cdot B=3(9)+3(2)=27+6=33$$

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選項分析

a. The Argentine bundle is directly revealed preferred to the Bolivian bundle.

阿根廷消費者選擇 $A$ 時所得為 $75$，但購買 $B$ 需要 $87$：

$$p_A\cdot B=87>75=p_A\cdot A$$

因此，$B$ 在阿根廷當時並不負擔得起，無法由選擇 $A$ 推論出 $A$ 直接顯示偏好於 $B$。

所以選項 a 錯誤。

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b. The Argentine bundle is indirectly revealed preferred to the Bolivian bundle.

在阿根廷價格下，哥倫比亞組合 $C$ 負擔得起：

核心觀念

本題考查「價格變動下的禀賦效果」與「淨交易者」概念。

• 淨賣者：原先擁有的數量大於最適消費量，會出售部分禀賦。
• 淨買者：原先擁有的數量小於最適消費量，須購買不足部分。
• 若某商品是淨賣者，該商品相對價格上升，禀賦價值增加，消費者通常會變得較富裕。
• 若某商品是淨買者，該商品相對價格上升，購買成本增加，消費者通常會變得較貧窮。

效用函數為：

$$U(A,B)=\min\{A,2B\}$$

這是完全互補偏好，最適消費比例必須滿足：

$$A=2B$$

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解題方法

設原價格為 $p_A,p_B$，禀賦為 $(w_A,w_B)$。

禀賦所得為：

$$M=p_Aw_A+p_Bw_B$$

由於效用最大化時必須位於折點 $A=2B$，令效用水準為 $u$，則：

$$A=u,\qquad B=\frac{u}{2}$$

購買此組合所需支出為：

$$p_Au+p_B\frac{u}{2} = \left(p_A+\frac{p_B}{2}\right)u$$

因此原先的最適效用為：

$$u_0= \frac{p_Aw_A+p_Bw_B} {p_A+\frac{p_B}{2}}$$

原先最適消費量為：

$$A_0=u_0,\qquad B_0=\frac{u_0}{2}$$

接著，Miss R 已經購買 $(A_0,B_0)$。價格變動後，她所持有的商品價值為：

$$M_1=p_A'A_0+p_B'B_0$$

其中 $p_A',p_B'$ 是新價格。她可以依新價格重新交易，因此新效用為：

$$u_1= \frac{p_A'A_0+p_B'B_0} {p_A'+\frac{p_B'}{2}}$$

判斷新舊效用差異，可比較「原先購買組合」與「原始禀賦」在新價格下的價值。

原先因為 $(A_0,B_0)$ 是預算可行且最適的組合，所以：

$$p_A(A_0-w_A)+p_B(B_0-w_B)=0$$

若 Miss R 是蘋果的淨賣者，則：

$$w_A>A_0$$

她持有多餘蘋果，且相對而言缺乏香蕉。當蘋果相對價格上升時，她所持有的禀賦價值增加，因此新價格下的購買力上升，效用提高。

若她是香蕉的淨賣者，則香蕉相對價格上升時，理由完全相同，效用提高。

因此，價格上升的商品若是淨賣者所出售的商品，Miss R 會變得較富裕、效用提高。

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選項分析

核心觀念

本題考古典消費者理論中的「所得效果」與「替代效果」，並以 Slutsky 分解計算蘋果消費量因相對價格改變所產生的替代效果。

效用函數為：

$$U=X_A X_B$$

其中 $X_A$ 為蘋果消費量，$X_B$ 為香蕉消費量。此為 Cobb-Douglas 效用函數，兩種商品各占所得的一半。

原價格與所得為：

$$P_A=1,\qquad P_B=2,\qquad I=40$$

蘋果價格上升後：

$$P_A'=5,\qquad P_B'=2$$

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解題方法

1. 求原先的蘋果消費量

Cobb-Douglas 效用函數 $U=X_A X_B$ 下，消費者將一半所得用於蘋果：

$$P_A X_A=\frac{I}{2}$$

因此：

$$X_A^0=\frac{I}{2P_A} =\frac{40}{2(1)} =20$$

原先消費 20 顆蘋果。

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2. 進行 Slutsky 補償

價格改變後，若要使 Miss R 仍然能夠購買原先的消費組合，必須以新價格計算原先消費組合的成本。

先求原先的香蕉消費量：

$$X_B^0=\frac{I}{2P_B} =\frac{40}{2(2)} =10$$

原先消費組合為：

$$(X_A^0,X_B^0)=(20,10)$$

在新價格下購買此組合所需的補償所得為：

$$I^c=P_A'X_A^0+P_B'X_B^0$$ $$I^c=5(20)+2(10)=100+20=120$$

因此，Slutsky 補償後的所得為 $120$。

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3. 求補償後的蘋果消費量

在新價格與補償所得下，蘋果仍占所得的一半：

此題考查生產函數的規模報酬 (Returns to Scale, RTS)。
核心觀念：判斷規模報酬需要檢查當所有投入要素同比例增加時，產出的增加比例。
具體方法是計算生產函數的規模報酬指數。對於生產函數 $f(X, Y)$，如果 $f(tX, tY) = t^k f(X, Y)$，其中 $t > 1$：

• 若 $k > 1$，則為規模報酬遞增 (Increasing RTS)。
• 若 $k = 1$，則為規模報酬固定 (Constant RTS)。
• 若 $k < 1$，則為規模報酬遞減 (Decreasing RTS)。

本題的生產函數為 $f(X, Y) = 1.80(X^{0.80} + Y^{0.80})^3$。
我們需要計算 $f(tX, tY)$：
$f(tX, tY) = 1.80((tX)^{0.80} + (tY)^{0.80})^3$
$f(tX, tY) = 1.80(t^{0.80}X^{0.80} + t^{0.80}Y^{0.80})^3$
$f(tX, tY) = 1.80(t^{0.80}(X^{0.80} + Y^{0.80}))^3$
$f(tX, tY) = 1.80 (t^{0.80})^3 (X^{0.80} + Y^{0.80})^3$
$f(tX, tY) = 1.80 t^{0.80 \times 3} (X^{0.80} + Y^{0.80})^3$
$f(tX, tY) = 1.80 t^{2.4} (X^{0.80} + Y^{0.80})^3$

核心觀念

本題考查：

• 生產函數與規模報酬；
• 長期成本最小化；
• 完全競爭廠商的長期供給；
• 常數規模報酬下的產業長期供給曲線。

長期中，所有生產要素皆可調整，因此短期「每家廠商固定使用 100 單位要素 2」的條件不影響長期供給分析。

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解題方法

每家廠商的生產函數為：

$$q=f(X_1,X_2)=X_1^{1/2}X_2^{1/2}$$

兩項生產要素價格皆為 $1$，因此廠商成本為：

$$C=X_1+X_2$$

在長期成本最小化下，令兩要素的邊際產量價格相等：

$$\frac{MP_1}{1}=\frac{MP_2}{1}$$

其中：

$$MP_1=\frac{1}{2}X_1^{-1/2}X_2^{1/2}$$ $$MP_2=\frac{1}{2}X_1^{1/2}X_2^{-1/2}$$

因此：

$$MP_1=MP_2$$

可得：

$$X_1=X_2$$

將 $X_1=X_2=X$ 代入生產函數：

$$q=X^{1/2}X^{1/2}=X$$

所以：

$$X_1=X_2=q$$

每家廠商生產 $q$ 單位時的長期成本為：

$$C(q)=q+q=2q$$

因此平均成本與邊際成本皆為：

$$AC(q)=\frac{C(q)}{q}=2$$ $$MC(q)=\frac{dC(q)}{dq}=2$$

這表示此產業具有常數規模報酬，長期平均成本固定為 $2$。

在完全競爭市場中：

• 若市場價格 $p<2$，廠商無法支付長期平均成本，因此供給量為 $0$；
• 若 $p=2$，廠商可在固定單位成本下生產；
• 若 $p>2$，生產每一單位都能獲得正利潤，供給可無限擴張。

因此長期產業供給曲線為價格 $2$ 的水平線。

雖然產業有 1,000 家廠商，但家數不改變長期均衡價格；每家廠商都具有常數規模報酬，總供給仍呈現水平供給的特性。

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選項分析

(a) upward sloping with zero supply if the price is less than $10.

錯誤。

$10$ 是短期固定使用 $X_2=100

此題考查徵稅對壟斷者定價策略和價格的影響。
核心觀念：

1. 壟斷者的利潤最大化條件：邊際收益 (MR) 等於邊際成本 (MC)。
2. 需求曲線與邊際收益曲線：對於線性需求曲線 $q = a - bp$，其邊際收益曲線為 $MR = a - 2bp$。
3. 稅收對成本的影響：當對壟斷者的產品徵收單位數量稅時，相當於其邊際成本的增加。

初始情況 (徵稅前)：
需求曲線：$q = 100 - 3p$。
反需求曲線 (Inverse Demand)：$3p = 100 - q \implies p = \frac{100}{3} - \frac{1}{3}q$。
邊際收益 (MR)：$MR = \frac{d(pq)}{dq} = \frac{d((\frac{100}{3} - \frac{1}{3}q)q)}{dq} = \frac{d(\frac{100}{3}q - \frac{1}{3}q^2)}{dq} = \frac{100}{3} - \frac{2}{3}q$。
邊際成本 (MC)：$MC = 20$ (常數)。

壟斷者利潤最大化：$MR = MC$。
$\frac{100}{3} - \frac{2}{3}q = 20$
$\frac{100}{3} - 20 = \frac{2}{3}q$
$\frac{100 - 60}{3} = \frac{2}{3}q$
$\frac{40}{3} = \frac{2}{3}q$
$q = \frac{40}{2} = 20$。

初始價格 $p$：將 $q=20$ 代入反需求曲線。
$p = \frac{100}{3} - \frac{1}{3}(20) = \frac{100 - 20}{3} = \frac{80}{3} \approx 26.67$。

此題考查在史特克爾伯領導模型 (Stackelberg Model) 下，追隨者廠商的產量。
核心觀念：

1. 史特克爾伯模型：一個市場上有兩個廠商，其中一個廠商 (領導者) 先決定其產量，另一個廠商 (追隨者) 在觀察到領導者的產量後，再決定自己的產量，以最大化自身利潤。
2. 追隨者的反應函數：追隨者會根據領導者的產量來決定自己的產量，以最大化其利潤。
3. 領導者的決策：領導者在決定自己的產量時，會預期到追隨者會如何反應，並將追隨者的反應函數納入考量，以最大化自己的利潤。

基本設定：

• 市場需求曲線 (反需求)：$p = 110 - 0.5q$，其中 $q = q_1 + q_2$ ($q_1$ 是廠商 1 的產量，$q_2$ 是廠商 2 的產量)。
• 單位生產成本 (對兩個廠商都是常數)：$c = 10$。
• 廠商 1 是領導者，廠商 2 是追隨者。

步驟 1：求追隨者 (廠商 2) 的反應函數。
廠商 2 的利潤函數為：
$\pi_2 = (p - c) q_2 = ( (110 - 0.5(q_1 + q_2)) - 10 ) q_2$
$\pi_2 = (100 - 0.5q_1 - 0.5q_2) q_2$
$\pi_2 = 100q_2 - 0.5q_1 q_2 - 0.5q_2^2$

廠商 2 的利潤最大化條件是其邊際收益等於邊際成本。
對 $\pi_2$ 對 $q_2$ 微分，並令其等於 0 (假設 $p > c$)：
$\frac{\partial \pi_2}{\partial q_2} = 100 - 0.5q_1 - q_2 = 0$
這給出了廠商 2 的反應函數：

此題考查利潤最大化條件下的價格彈性。
核心觀念：在利潤最大化點，壟斷者或有市場勢力的廠商會使邊際收益等於邊際成本。邊際收益與價格彈性之間存在一個特定的關係。

公式：
邊際收益 (MR) 與價格彈性 ($\epsilon_d$) 的關係是：
$MR = P(1 + \frac{1}{\epsilon_d})$
其中，$\epsilon_d = \frac{dq/q}{dp/p}$。需求彈性通常是負值。

已知條件：

• 邊際成本 (MC) = 40 美元。
• 利潤最大化價格 (P) = 90 美元。
• 在利潤最大化點，MR = MC。所以 MR = 40。

將已知條件代入 MR 公式：
$40 = 90 (1 + \frac{1}{\epsilon_d})$

現在解出 $\epsilon_d$：
$\frac{40}{90} = 1 + \frac{1}{\epsilon_d}$
$\frac{4}{9} = 1 + \frac{1}{\epsilon_d}$

此題考查自然失業率 (Natural Rate of Unemployment) 的計算。
核心觀念：自然失業率是勞動力市場中，由於結構性或摩擦性原因導致的失業率，即使在經濟繁榮時期也無法完全消除。它是由於人們在不同工作之間轉換、尋找新工作而產生的。

自然失業率的計算公式為：
$u^* = \frac{s}{s+f}$
其中：

• $u^*$ 是自然失業率 (Natural Rate of Unemployment)。
• $s$ 是職位分離率 (Rate of Job Separation)，即每月離職或被解僱的就業人數佔就業總人數的比例。
• $f$ 是職位尋找率 (Rate of Job Findings)，即每月失業人數找到工作的比例。

已知條件：

• 職位分離率 $s = 0.01$ (表示每月有 1% 的就業人口失業)。
• 職位尋找率 $f = 0.09$ (表示每月有 9% 的失業人口找到工作)。

此題考查索洛成長模型 (Solow Growth Model) 中，資本存量與產出的動態變化。
核心觀念：

1. 索洛成長模型的資本累積方程：資本存量的變動率由投資 (Investment, I) 和折舊 (Depreciation, δ) 決定。
   $\Delta K = I - \delta K$
   在沒有政府和國際貿易的簡單索洛模型中，投資等於儲蓄，即 $I = sY$，其中 $s$ 是儲蓄率，$Y$ 是產出。
   $\Delta K = sY - \delta K$
2. 穩態 (Steady State)：穩態是指資本存量 $K$ 和產出 $Y$ 不再變化的狀態。在穩態下，資本存量的變動率為零，即 $\Delta K = 0$。
   $sY = \delta K$
   或者，如果以人均資本 $k$ 來分析，$\Delta k = sy - (n+\delta)k$，其中 $y=f(k)$ 是人均產出，$n$ 是人口增長率。
   在本題中，題目只提到了投資和折舊，且沒有提到儲蓄率、人口增長率，也沒有提到人均資本。我們假設題目是基於 $\Delta K = I - \delta K$ 這個基本關係。
3. 資本存量與產出的關係：在索洛模型中，資本存量 $K$ 與產出 $Y$ 之間存在正相關關係（例如，柯布-道格拉斯生產函數 $Y=AK^\alpha$）。資本存量的增加會導致產出的增加，反之亦然。

此題考查索洛成長模型 (Solow Growth Model) 中，穩態成長的儲蓄率計算。
核心觀念：

1. 索洛成長模型中的穩態條件：在穩態下，人均資本 $k$ 和人均產出 $y$ 保持不變（如果考慮人口增長和技術進步，則人均變數保持不變）。
   如果只考慮儲蓄、投資、折舊和資本產出比，可以從總量角度分析。
   資本累積方程：$\Delta K = I - \delta K$。
   在穩態時，$\Delta K = 0$，所以 $I = \delta K$。
   又因為 $I = sY$，其中 $s$ 是儲蓄率，$Y$ 是總產出。
   所以，在穩態時，$sY = \delta K$。
   重新整理得：$s = \delta \frac{K}{Y}$。
   $\frac{K}{Y}$ 是資本產出比 (Capital-Output Ratio)。

2. 題目給定的資訊：

   • 生產函數為柯布-道格拉斯 (Cobb-Douglas)，資本份額 $\alpha = 0.3$。
   • 輸出增長率 $g_Y = 3\%$。
   • 折舊率 $\delta = 4\%$。
   • 資本產出比 $K/Y = 2.5$。

   注意：題目給定的「輸出增長率」和「折舊率」可能暗示了穩態的定義。
   在索洛模型中，如果考慮了技術進步 $(g_t)$ 和人口增長 $(n)$，穩態條件是：
   $s f(K, L) = (\delta + n + g_t) K$。
   如果我們只看總量 $K$ 和 $Y$，且假設技術進步率為 0，人口增長率為 0，那麼穩態條件是 $sY = \delta K$。
   但題目給了輸出增長率 3% 和折舊率 4%。這可能意味著模型中存在其他增長因素。

   一種解釋是： 題目中的「輸出增長率」是指穩態下的總產出增長率，而「折舊率」是資本折舊率。
   如果模型包含人口增長 $n$ 和技術進步 $g$，那麼穩態的資本積累方程是 $sY = (\delta + n + g)K$。
   如果題目中的「輸出增長率」是指 $g_Y = 3\%$，而「折舊率」是指 $\delta = 4\%$。
   在穩態下，總產出的增長率 $g_Y$ 通常等於技術進步率 $g_t$ 加上人口增長率 $n$。
   $g_Y = n + g_t = 3\%$。
   那麼，穩態的資本積累方程應該是 $sY = (\delta + n + g_t)K$。
   $sY = (\delta + g_Y)K$。
   $s = (\delta + g_Y) \frac{K}{Y}$。

   讓我們嘗試使用這個解釋。
   $s = (0.04 + 0.03) \times 2.5$
   $s = (0.07) \times 2.5$
   $s = 0.175$

核心觀念

本題考查財政擴張在 Keynesian-cross model 與 IS-LM model 中對所得的影響，以及貨幣市場造成的「擠出效果」。

• Keynesian-cross model 假設利率固定，因此政府支出增加會透過乘數效果，使所得增加。
• IS-LM model 中，財政擴張會使 IS 曲線右移；若 LM 曲線向右上方傾斜，所得增加會推升利率，進而降低民間投資，使所得增幅小於 Keynesian-cross model。
• LM 曲線水平時，所得增加不會推升利率，不存在擠出效果，因此兩種模型的所得增幅相同。

解題方法

設政府支出增加為 $\Delta G$。

在 Keynesian-cross model 中，利率固定，所得變動為：

$$\Delta Y_{KC}=\frac{1}{1-MPC}\Delta G$$

IS-LM model 中，財政擴張使 IS 曲線右移。若 LM 曲線向右上方傾斜，所得增加會造成貨幣需求上升；在貨幣供給固定下，利率必須上升以恢復貨幣市場均衡：

$$\Delta Y>0 \quad \Rightarrow \quad \Delta r>0$$

利率上升會使投資支出下降，抵銷部分政府支出增加所帶來的所得擴張：

$$\Delta I<0$$

因此，IS-LM model 的所得增加幅度小於 Keynesian-cross model：

$$\Delta Y_{IS-LM}<\Delta Y_{KC}$$

只有在 LM 曲線水平時，所得增加不會使利率上升：

$$\Delta r=0$$

此時沒有擠出效果，IS-LM model 與 Keynesian-cross model 的所得乘數相同。

選項分析

(a) always less than in the Keynesian-cross model.

核心觀念

本題測驗總體經濟學中**短期總供給曲線（Short-Run Aggregate Supply, SRAS）**的微觀基礎——黏著價格模型（Sticky-Price Model）。

在黏著價格模型中，假設經濟體系中有兩類廠商：

1. 具完全彈性價格的廠商（Flexible-price firms）：比重為 $1 - s$。這類廠商能隨時依據當前經濟情勢調整定價，其定價規則為：

   $$p = P + a(Y - \bar{Y})$$

   其中 $P$ 為整體物價水準，$Y$ 為實質產出，$\bar{Y}$ 為自然產出水準，$a > 0$ 為需求彈性敏感度。

2. 具黏著價格的廠商（Sticky-price firms）：比重為 $s$。這類廠商必須預先設定價格，無法立即因應市場衝擊，其定價依據對整體物價與產出的預期：

   $$p = P^e + a(Y^e - \bar{Y}^e)$$

   假設廠商預期產出將維持在自然水準（即 $Y^e = \bar{Y}^e$），則其設定價格為：

   $$p = P^e$$

整體物價水準 $P$ 為兩類廠商價格的加權平均：

$$P = s P^e + (1 - s)[P + a(Y - \bar{Y})]$$

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解題方法與推導

由上述整體物價水準方程式進行移項推導：

1. 展開等號右側：

   $$P = s P^e + (1 - s)P + (1 - s)a(Y - \bar{Y})$$

2. 將 $(1 - s)P$ 移至等號左側：

   $$P - (1 - s)P = s P^e + (1 - s)a(Y - \bar{Y})$$ $$s P = s P^e + (1 - s)a(Y - \bar{Y})$$

3. 移項整理成物價偏離預期與產出缺口的關係式：

   $$s(P - P^e) = (1 - s)a(Y - \bar{Y})$$

4. 將實質產出 $Y$ 表示為非預期物價衝擊（$P - P^e$）的函數：

   $$Y = \bar{Y} + \alpha (P - P^e)$$

   其中斜率係數倒數項：

   $$\alpha = \frac{s}{(1 - s)a}$$

分析題目條件：

• 意外的物價上漲（unexpected price increase）：表示實際物價高於預期物價，即 $P - P^e > 0$。由式子可知產出會擴張，即產出增加（increase in output）。
• 黏著價格廠商比例 $s$ 提高（greater $s$）：

此題考查跨期選擇 (Intertemporal Choice) 中，無異曲線 (Indifference Curve) 的定義。
核心觀念：
無異曲線代表了消費者在不同消費組合下，獲得相同效用水平的所有組合點的連線。
在跨期選擇模型中，無異曲線描述的是第一期消費 (C1) 和第二期消費 (C2) 的不同組合，這些組合能給消費者帶來相同的總效用。

分析選項：
a. are tangent to the intertemporal budget constraint.
無異曲線與跨期預算線的切點，代表了消費者在給定預算約束下，能夠實現的最高效用水平。但無異曲線本身並不總是與預算線相切，只有在消費者選擇的那個點上才相切。無異曲線是一系列曲線，代表不同的效用水平。

此題考查銀行與其他金融中介機構的區別。
核心觀念：銀行的獨特之處在於其創造貨幣的能力。

1. 金融中介機構 (Financial Intermediaries)：它們的功能是將資金從盈餘方（儲蓄者）轉移到資金短缺方（借款者），並承擔相應的風險。這包括銀行、信用合作社、保險公司、共同基金等。
2. 銀行 (Banks)：銀行作為一種特殊的金融中介機構，除了具備其他中介機構的功能外，還擁有創造貨幣的能力。這主要是通過吸收存款，並將其中一部分貸放出去，而貸放出去的資金又會再次存入銀行系統，形成存款的多倍擴張。這個過程創造了銀行存款貨幣。

分析選項：
a. transfer funds from savers to borrowers.
這是所有金融中介機構（包括銀行）的核心功能。保險公司、共同基金、證券公司等也從事此類活動。所以這不是銀行的獨有特徵。
b. pay interest on debt obligations.

此題考查貨幣乘數 (Money Multiplier) 的變化，以及貨幣供應量 (Money Supply) 如何受到存款貨幣比率和準備金比率變化的影響。
核心觀念：

1. 貨幣供應量 (Money Supply, M)：通常定義為通貨 (C) 加上公眾在銀行體系的存款 (D)。
   $M = C + D$。
2. 貨幣乘數 (Money Multiplier)：貨幣供應量與基礎貨幣 (Monetary Base, B) 的比率。
   $M = m \cdot B$。
   基礎貨幣 $B$ 包括公眾持有的通貨 (C) 和銀行體系持有的準備金 (R)。
   $B = C + R$。
3. 貨幣乘數的公式：
   $m = \frac{C+D}{C+R}$
   將 C 和 R 表示為 D 的函數：
   假設 $C = cr \cdot D$ (通貨-存款比率)
   假設 $R = rr \cdot D$ (準備金-存款比率)
   則 $B = cr \cdot D + rr \cdot D = (cr + rr) D$。
   $D = \frac{B}{cr + rr}$。
   $M = C + D = cr \cdot D + D = (cr + 1) D$。
   代入 D 的表達式：
   $M = (cr + 1) \frac{B}{cr + rr}$。
   或者，更常見的貨幣乘數形式是 $m = \frac{cr + 1}{cr + rr}$。
   $M = m \cdot B = \frac{cr + 1}{cr + rr} \cdot B$。

已知條件：

• 通貨-存款比率 $(cr)$ 增加。
• 準備金-存款比率 $(rr)$ 保持不變。
• 基礎貨幣 $(B)$ 保持不變。

分析貨幣供應量 M 的變化：
$M = \frac{cr + 1}{cr + rr} \cdot B$。
由於 $B$ 和 $rr$ 是常數，M 的變化取決於 $cr$ 的變化。
我們需要分析 $\frac{cr + 1}{cr + rr}$ 這個分數的變化。

令 $f(cr) = \frac{cr + 1}{cr + rr}$。
我們想知道當 $cr$ 增加時，$f(cr)$ 如何變化。
我們可以計算 $f(cr)$ 對 $cr$ 的導數：
$\frac{df}{d(cr)} = \frac{1 \cdot (cr + rr) - (cr + 1) \cdot 1}{(cr + rr)^2}$

此題考查實質匯率 (Real Exchange Rate) 的變動。
核心觀念：
實質匯率是衡量一國商品與外國商品之間相對價格的指標。它反映了兩國的購買力平價。
實質匯率的定義：
$RER = \frac{E \cdot P^*}{P}$
其中：

• $RER$ 是實質匯率 (Real Exchange Rate)。
• $E$ 是名目匯率 (Nominal Exchange Rate)，定義為國內貨幣單位數兌換一單位外國貨幣的數量 (例如，美元/人民幣)。
• $P^*$ 是外國價格水平 (Foreign Price Level)。
• $P$ 是國內價格水平 (Domestic Price Level)。

題目給定的資訊：

• 名目匯率下跌 10%。這裡需要明確名目匯率的定義。通常，名目匯率下跌意味著本國貨幣貶值（例如，美元兌人民幣從 7:1 變為 8:1，名目匯率 E 上漲）。但這裡說「名目匯率 falls 10 percent」，通常指的是 E 的值變小。例如，如果 E 是本國貨幣兌外國貨幣 (如 TWD/USD)，則 E 下跌意味著新台幣升值。如果 E 是外國貨幣兌本國貨幣 (如 USD/TWD)，則 E 下跌意味著美元貶值，新台幣升值。
  為了避免歧義，我們假設「名目匯率下跌 10%」是指 $E$ 的值變小了 10%。
  令初始名目匯率為 $E_1$。則 $E_2 = E_1 \cdot (1 - 0.10) = 0.9 E_1$。
• 國內價格水平上升 4%。
  令初始國內價格為 $P_1$。則 $P_2 = P_1 \cdot (1 + 0.04) = 1.04 P_1$。
• 外國價格水平上升 6%。
  令初始外國價格為 $P^*_1$。則 $P^*_2 = P^*_1 \cdot (1 + 0.06) = 1.06 P^*_1$。

計算實質匯率的變化：
初始實質匯率 $RER_1 = \frac{E_1 \cdot P^*_1}{P_1}$。
變動後實質匯率 $RER_2 = \frac{E_2 \cdot P^*_2}{P_2}$。
代入變動後的數值：
$RER_2 = \frac{(0.9 E_1) \cdot (1.06 P^*_1)}{1.04 P_1}$
$RER_2 = \frac{0.9 \times 1.06}{1.04} \cdot \frac{E_1 \cdot P^*_1}{P_1}$
$RER_2 = \frac{0.954}{1.04} \cdot RER_1$

計算 $\frac{0.954}{1.04}$：
$\frac{0.954}{1.04} \approx 0.9173$。

所以，$RER_2 \approx 0.9173 \cdot RER_1$。
這意味著實質匯率大約下跌了 $1 - 0.9173 = 0.0827$。
即下跌了約 8.27%。

檢查選項：
a. 0 percent.
b. 8 percent. (最接近 8.27%)
c. 10 percent.
d. 12 percent.

如果名目匯率的定義不同呢？
如果 $E$ 是國內貨幣單位數兌換一單位外國貨幣 (如 TWD/USD)，則 E 下跌 10% 意味著新台幣升值。

核心觀念

本題考查貨幣需求參數 $k$ 與貨幣所得流通速度 $V$ 的反向關係。

在劍橋現金餘額方程式中，實質貨幣需求表示為：

$$\frac{M^d}{P}=kY$$

其中：

• $M^d$：名目貨幣需求
• $P$：物價水準
• $Y$：實質所得
• $k$：人們願意持有的貨幣占所得比例

貨幣市場均衡時，$M^d=M$，因此：

$$\frac{M}{P}=kY$$

交易方程式為：

$$MV=PY$$

整理為實質形式：

$$\frac{M}{P}=\frac{Y}{V}$$

將兩式比較：

$$kY=\frac{Y}{V}$$

因此：

$$k=\frac{1}{V}$$

可知 $k$ 與 $V$ 呈反向變動：

• 人們想持有較多貨幣時，$k$ 增加，貨幣流通速度 $V$ 降低。
• 人們想持有較少貨幣時，$k$ 降低，貨幣流通速度 $V$ 增加。

解題方法

題目已知「income velocity of money increases」，即貨幣所得流通速度 $V$ 增加。

由：

$$k=\frac{1}{V}$$

可得當 $V$ 增加時，$k$ 必然減少。

再由貨幣需求式：

$$\frac{M^d}{P}=kY$$

在所得 $Y$ 與物價水準 $P$ 不變下，$k$ 減少表示人們希望持有的實質貨幣餘額減少，也就是人們想持有較少貨幣。

所以完整敘述為：

核心觀念

本題考驗 IS–LM 模型中財政政策、貨幣市場均衡與投資函數的聯立分析：

• 投資函數：$I=1{,}000-50r$
• IS 曲線：商品市場均衡
  $Y=3{,}600+3G-2T-150r$
• LM 曲線：貨幣市場均衡
  $Y=2\frac{M}{P}+100r$

政府只能調整租稅 $T$，但題目同時要求達成：

1. 投資 $I=900$
2. 產出 $Y=4{,}000$

因此必須檢查這兩項目標能否與既定的 LM 曲線同時成立。

解題方法

先由投資函數求出達成 $I=900$ 所需的利率：

$$900=1{,}000-50r$$ $$50r=100$$ $$r=2$$

因此，若要使投資達到 $900$，所需利率為：

$$\boxed{r=2}$$

接著將 $G=1{,}200$、$Y=4{,}000$ 與 $r=2$ 代入 IS 曲線：

$$4{,}000=3{,}600+3(1{,}200)-2T-150(2)$$ $$4{,}000=3{,}600+3{,}600-2T-300$$ $$4{,}000=6{,}900-2T$$ $$2T=2{,}900$$ $$T=1{,}450$$

若只從商品市場均衡，也就是 IS 曲線來看，設定：

$$\boxed{T=1{,}450}$$

即可在 $r=2$ 時達到 $Y=4{,}000$。

檢查 LM 曲線是否同時成立

題目給定：

$$P=1,\qquad M=1{,}200$$

因此：

$$\frac{M}{P}=1{,}200$$

LM 曲線為：

$$Y=2(1{,}200)+100r$$

當 $r=2$ 時：

此題考查消費者理論中的效用最大化問題，結合了禀賦 (Endowment) 和淨需求 (Net Demand)。
核心觀念：

1. 效用函數：$U(X, Y) = XY^3$。這是一個準線性效用函數的變種，或者說是一個標準的柯布-道格拉斯形式的變形。
2. 稟賦：消費者擁有初始的商品數量 $(w_X, w_Y) = (43, 7)$。
3. 價格：$P_X = 1$, $P_Y = 3$。
4. 預算約束：消費者的總支出等於其資產的總價值。總資產價值 $V = P_X w_X + P_Y w_Y = 1 \cdot 43 + 3 \cdot 7 = 43 + 21 = 64$。
   預算約束為：$P_X X + P_Y Y = V \implies 1 \cdot X + 3 \cdot Y = 64$。
5. 效用最大化：消費者選擇 $(X, Y)$ 來最大化 $U(X, Y) = XY^3$，同時滿足預算約束。
6. 淨需求：淨需求是最終消費量減去初始稟賦量。
   淨需求 $NX = X - w_X$。
   淨需求 $NY = Y - w_Y$。

步驟 1：求解效用最大化下的消費組合 $(X^*, Y^*)$。
效用函數為 $U(X, Y) = XY^3$。
預算約束為 $X + 3Y = 64$。

利用拉格朗日乘數法或邊際效用均等原理。
邊際效用均等原理：$\frac{MU_X}{P_X} = \frac{MU_Y}{P_Y}$。
$MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = Y^3$。
$MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = 3XY^2$。

$\frac{Y^3}{1} = \frac{3XY^2}{3}$
$Y^3 = XY^2$
由於我們假設 $Y > 0$ (否則效用為 0)，我們可以除以 $Y^2$：
$Y = X$。