114 年 國立高雄大學亞太工商管理學系碩士班甲組《經濟學》

本題考驗對吉芬財 (Giffen Good) 定義的理解。吉芬財是一種非常特殊的劣等財，其需求曲線向上傾斜。這意味著當價格上漲時，需求量反而增加。這種現象的發生，是因為當價格上漲時，所得效果 (income effect) 的負面影響大於替代效果 (substitution effect) 的負面影響。

詳細來說：

1. 價格效果 (Price Effect)：指價格變動對需求量的影響。對於吉芬財，價格上漲時，需求量也上漲。
2. 替代效果 (Substitution Effect)：指當一種財貨價格相對其他財貨上漲時，消費者會傾向於購買較便宜的替代品，從而減少該財貨的消費。替代效果永遠是負向的，即價格上漲，替代效果導致需求量下降。
3. 所得效果 (Income Effect)：指價格變動導致消費者實質購買力改變，進而影響對該財貨的需求。
   • 對於正常財 (normal good)，實質購買力下降會導致需求量下降。
   • 對於劣等財 (inferior good)，實質購買力下降會導致需求量上升。

本題考驗對正常財 (normal good) 定義及其價格變動下需求量變化的理解。

正常財的定義是：當消費者所得增加時，對該財貨的需求量也增加；反之，當消費者所得減少時，對該財貨的需求量也減少。

在分析價格變動對需求量的影響時，我們將價格效果分解為替代效果和所得效果。

1. 替代效果 (Substitution Effect)：不論是正常財、劣等財還是吉芬財，替代效果的方向總是相同的。當一種財貨的價格上漲時，相對於其他財貨，該財貨變得更貴，消費者會傾向於購買較便宜的替代品。

本題考驗對重複賽局 (Repeated Game) 中，特別是囚徒困境 (Prisoners' Dilemma) 的重複賽局，在無限期 (indefinite time horizon) 下的賽局理論分析。

囚徒困境的單次賽局 (one-shot game) 中，無論對方採取何種策略，對自己而言「坦白」(Defect/Rat) 都是優勢策略 (dominant strategy)。因此，唯一的納許均衡 (Nash Equilibrium) 是雙方都坦白。

然而，當賽局被無限次重複時，情況會有所不同。在重複賽局中，玩家的策略不僅取決於當下的收益，還會考慮到未來的收益。這引入了「聲譽」(reputation) 和「報復」(retaliation) 的概念。

一個著名的結論是，在無限期重複的囚徒困境賽局中，如果玩家足夠「有耐心」(patient)，則可能達成合作 (Cooperate/Silent) 的結果。這種合作可以通過「觸發策略」(trigger strategies) 來維持，例如「一報還一報」(Tit-for-Tat) 策略，即第一回合合作，之後則模仿對手上一回合的行為。

本題考驗對序貫賽局 (sequential game) 與同時賽局 (simultaneous game) 的區別，以及子賽局完美納許均衡 (Subgame Perfect Nash Equilibrium, SPNE) 的概念。

• 同時賽局：玩家同時做出決策，或在不知道對方決策的情況下做出決策。其均衡通常用納許均衡 (Nash Equilibrium) 來描述。
• 序貫賽局：玩家依序做出決策，後面的玩家知道前面玩家的決策。其均衡需要用子賽局完美納許均衡 (SPNE) 來分析，這要求策略在賽局的每一個子賽局中都構成納許均衡。

子賽局完美納許均衡 (SPNE) 的核心概念是「可信性」(credibility)。SPNE 要求在序貫賽局的任何節點（子賽局的開始），玩家的策略組合必須構成該子賽局的納許均衡。這排除了「不可信的威脅」(non-credible threats)。

題目提到，一個同時賽局和一個序貫賽局，如果它們在「移動時序」上不同，可能會產生完全不同的 SPNE。為什麼會這樣？

我們來分析選項：
a. The second mover can choose non-credible threats. 在序貫賽局中，如果一個玩家（通常是後動者）的策略包含了威脅，而這個威脅在該威脅被執行時，對該玩家自己來說並非最優選擇，那麼這就是一個不可信的威脅。SPNE 的概念就是為了排除這些不可信的威脅。在同時賽局中，由於雙方同時行動，沒有先後順序，因此「威脅」的概念不適用，或者說，如果某個策略對自己不利，對方知道你不會執行，就不構成威脅。然而，在序貫賽局中，後動者可能會使用不可信的威脅來影響先動者的決策。這正是導致兩種賽局可能產生不同均衡的原因之一。更準確地說，序貫賽局的後動者在設計策略時，需要考慮其策略的「可信性」，而不能隨意選擇不可信的威脅。如果一個策略是基於不可信的威脅，那麼它就不會是 SPNE 的一部分。
b. The first mover can choose an action that it would deviate from if its action were secret. 這句話的意思是，先動者選擇了一個行動，但如果這個行動的選擇是秘密的（即後動者不知道），先動者實際上會後悔並想改變。這描述了先動者在序貫賽局中的決策問題。

本題考驗對伯川競爭 (Bertrand Competition) 中，差異化產品 (differentiated products) 的情況下，廠商的反應函數 (best-response functions) 如何決定納許均衡價格。

在伯川競爭中，廠商同時決定價格。當產品是差異化時，每個廠商的利潤不僅取決於自己的價格，也取決於對手的價格。因此，每個廠商都會根據對手的價格來設定自己的價格，以最大化利潤。這就產生了反應函數。

題目給出了兩家廠商（假設為 P 和 C）的反應函數：
廠商 P 的反應函數：$P_B = 2.5 + 0.15P_C$
廠商 C 的反應函數：$P_C = 1.5 + 0.075P_B$

其中，$P_B$ 是廠商 B 的價格，$P_C$ 是廠商 C 的價格。

納許均衡發生在兩家廠商的反應函數的交點，即兩家廠商同時選擇的價格是對方價格的最適反應。我們需要解這個聯立方程組來找到納許均衡價格，然後比較 $P_B$ 和 $P_C$ 的大小。

本題考驗科斯定理 (Coase Theorem) 的核心內容，特別是在無交易成本 (costless bargaining) 的假設下，財產權分配對外部性 (externality) 的影響。

科斯定理指出，在以下條件下：

1. 交易成本為零 (costless bargaining)。
2. 財產權被清晰地界定 (well-defined property rights)。

那麼，無論財產權如何分配，市場參與者都可以通過自由談判達成一個有效率的結果 (efficient outcome)。效率的含義是，外部性的產生量會被調整到社會邊際收益等於社會邊際成本的點。

然而，科斯定理也指出，財產權的分配確實會影響結果的分配面 (distributional impact)。也就是說，雖然最終的資源配置是有效率的，但不同的財產權分配會導致不同的參與者獲得收益，從而影響財富的分配。

本題考驗外部性 (externality) 如何被「內部化」(internalized)。外部性是指一個經濟主體的行為對其他經濟主體產生影響，但這種影響並未在市場價格中得到反映。內部化外部性的目標是讓受外部性影響的各方將外部性的成本或收益納入其決策考量中，從而達到更有效率的資源配置。

讓我們逐一分析選項：

I. The two firms merge.
如果兩家公司合併，那麼原本存在於兩家公司之間的外部性就變成了公司內部的問題。例如，如果公司 A 的生產活動對公司 B 產生了負面外部性（如污染），在合併後，公司 A 的行為對公司 B 的影響將直接影響合併後公司的總利潤。因此，合併後的公司會將這種外部性考慮進其決策中，從而將其內部化。這是內部化外部性的一種常見方式。

II. Bargaining costs are zero.
如科斯定理 (Coase Theorem) 所述，如果交易成本為零，並且財產權清晰界定，那麼市場參與者可以通過談判來內部化外部性。即使不合併，只要談判成本為零，兩家公司就可以協商達成一個有效率的結果，從而內部化外部性。

核心觀念

本題測驗公共財（Public Goods）的柏瑞圖最適配置條件（Pareto Efficiency），即財政學與福利經濟學中最著名的薩繆森條件（Samuelson Condition）。

1. 純公共財的特性：
   • 非排他性（Non-excludability）：無法（或成本過高）排除未付費者享受該財貨。
   • 非敵對性（Non-rivalry）：一人消費該財貨，並不減少其他人可消費的數量；新增一名使用者的邊際成本為零（$MC = 0$）。
2. 薩繆森條件（Samuelson Rule）：
   對於私有財（Private Good $X$）與公共財（Public Good $G$），市場或中央規劃者達成柏瑞圖效率的條件為：全體社會成員對公共財願意放棄之私有財數量的邊際評價總和，必須等於生產該公共財所犧牲之私有財的機會成本（即邊際轉換率 $MRT$）。
   數學表示式為： $$\sum_{i=1}^{n} MRS_{GX}^{i} = MRT_{GX}$$ 其中：
   • $MRS_{GX}^{i} = \frac{MU_{G}^{i}}{MU_{X}^{i}}$：代表個人 $i$ 對公共財相對於私有財的邊際替代率（Marginal Rate of Substitution），反映個人對額外一單位公共財的邊際效益或願付價格（Marginal Willingness to Pay, $MWTP_i$）。
   • $MRT_{GX} = \frac{MC_G}{MC_X}$：代表以私有財為計價單位下，生產公共財的邊際轉換率（Marginal Rate of Transformation），反映提供公共財的邊際成本或機會成本（Opportunity Cost）。

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解題方法

1. 私有財 vs. 公共財的效率條件比較：
   • 私有財：具敵對性，市場總需求是將個別需求曲線進行「水平加總」（加總數量 $Q = \sum q_i$），達成柏瑞圖最適的條件為各消費者的邊際效益皆相等，且等於邊際成本： $$MRS_{XY}^{A} = MRS_{XY}^{B} = \dots = MRT_{XY}$$
   • 公共財：具非敵對性（所有人消費相同數量的公共財 $G$），社會總效益是將個別消費者的願付價格進行「垂直加總」（加總價格 $P = \sum P_i$）。因此，最適提供的邊際條件為「所有消費者的邊際替代率之總和（垂直加總之邊際效益）」等於「邊際轉換率（機會成本）」： $$\sum_{i} MRS_{GX}^{i} = MRT_{GX}$$

本題考驗規模報酬 (returns to scale) 與成本曲線 (cost curves) 之間的關係，特別是規模報酬固定 (constant returns to scale, CRS) 的情況。

生產函數為 $Q = f(K, L)$。
總成本 (Total Cost, TC) 是指生產一定產量 $Q$ 所需的要素投入成本。假設要素價格固定，例如資本價格 $r$ 和勞動價格 $w$。
$TC(Q) = rK + wL$

平均成本 (Average Cost, AC) 是總成本除以產量：
$AC(Q) = \frac{TC(Q)}{Q}$

邊際成本 (Marginal Cost, MC) 是總成本對產量的一階導數：
$MC(Q) = \frac{dTC(Q)}{dQ}$

規模報酬固定 (CRS) 的生產函數意味著，如果所有生產要素的投入都乘以一個比例 $\lambda > 1$，則產出也會以相同的比例 $\lambda$ 增加。即，$f(\lambda K, \lambda L) = \lambda f(K, L)$。

本題考驗對生產函數性質的判斷，包括規模報酬 (returns to scale)、邊際產量 (marginal productivity) 和技術替代率 (rate of technical substitution, RTS)。

生產函數為 $q = 3K + 2L$。

I. The function exhibits constant returns to scale.
規模報酬的判斷方法是，將所有生產要素乘以一個比例 $\lambda$，觀察產出如何變化。
令 $K' = \lambda K$ 且 $L' = \lambda L$。
則新的產出 $q' = 3K' + 2L' = 3(\lambda K) + 2(\lambda L) = \lambda(3K + 2L) = \lambda q$。
由於新的產出 $q'$ 是舊產出 $q$ 的 $\lambda$ 倍，這表明該生產函數 exhibits constant returns to scale (CRS)。
因此，陳述 I 是正確的。

II. The function exhibits diminishing marginal productivities to all inputs.
邊際生產力是指，在其他要素投入不變的情況下，增加一種要素投入一單位所帶來的額外產出。

本題考驗貨幣政策傳導機制 (monetary transmission mechanism) 在 IS-LM 模型中的運作。當中央銀行（在此指聯準會，Federal Reserve）減少貨幣供給時，會引發一系列連鎖反應。

步驟 1：貨幣市場與公開市場操作
中央銀行要減少貨幣供給，通常會進行公開市場操作 (Open Market Operations)。

• 若央行賣出政府債券 (sell bonds)，則公眾用貨幣購買這些債券，從而從經濟體系中收回貨幣，減少了流通中的貨幣供給。
• 若央行買入政府債券 (buy bonds)，則會向經濟體系注入貨幣，增加貨幣供給。

因此，為了減少貨幣供給，聯準會會賣出政府債券。

步驟 2：利率的變動
當央行賣出債券時，債券市場上的供給增加，而公眾手中的貨幣減少。為了購買央行賣出的債券，公眾需要持有更多貨幣，這使得對貨幣的需求相對增加（或者說，貨幣的供給減少）。在貨幣市場上，貨幣供給的減少會導致利率上升。反之，央行買入債券會增加貨幣供給，降低利率。
因此，當貨幣供給減少時，利率會上升。

步驟 3：IS 曲線的移動與總體經濟變數的影響
在 IS-LM 模型中，利率上升會影響總體經濟。

本題考驗蒙德爾-弗萊明模型 (Mundell-Fleming Model) 在小型開放經濟體 (small open economy) 且匯率浮動 (flexible exchange rates) 的情況下，貨幣政策如何影響總體所得。

蒙德爾-弗萊明模型是 IS-LM 模型在開放經濟下的擴展。對於一個小型開放經濟體，其特點是國內利率無法影響世界利率（即世界利率是給定的），且資本可以自由流動。

模型有幾種情況：

1. 固定匯率，資本自由流動：貨幣政策無效，財政政策有效。
2. 浮動匯率，資本自由流動：貨幣政策有效，財政政策無效。

本題的設定是「小型開放經濟體」，「浮動匯率」，並且「聯準會無法改變國內利率」。這意味著，由於資本可以自由流動，國內利率會自動調整到等於世界利率，以確保國際收支平衡。因此，國內的貨幣當局（聯準會）無法通過調節貨幣供給來獨立改變國內利率。

那麼，在這種情況下，貨幣供給的變化如何影響總體收入呢？
在浮動匯率下，貨幣政策的傳導機制不是通過改變國內利率（因為利率被鎖定在世界利率），而是通過改變匯率 (exchange rate)。

本題考驗貨幣乘數 (money multiplier) 的計算。貨幣供給 (Money Supply, M) 的定義通常是公眾持有的通貨 (Currency, C) 加上銀行體系的存款貨幣 (Deposits, D)。
$M = C + D$

貨幣基數 (Monetary Base, B)，也稱為高能量貨幣 (high-powered money)，是指公眾持有的通貨 (C) 加上銀行體系持有的準備金 (Reserves, R)。
$B = C + R$

題目給出了以下定義：

• $B$：貨幣基數
• $rr$：存款準備金率 (reserve ratio)，即 $rr = R/D$。所以，$R = rr \times D$。
• $cr$：通貨存款比率 (currency-to-deposit ratio)，即 $cr = C/D$。所以，$C = cr \times D$。

我們需要推導貨幣供給 $M$ 與貨幣基數 $B$ 之間的關係。
首先，將 $M$ 和 $B$ 的定義代入：
$M = C + D$
$B = C + R$

本題考驗新古典經濟學 (neoclassical economy) 在面對稅收變動時的反應，特別是關於投資 (investment) 的變化。新古典經濟學的一個重要假設是理性預期 (rational expectations) 和經濟體系能快速調整到均衡狀態。

題目給定：

• 政府增加一次性 (lump-sum) 稅收 1000 億美元。
• 經濟體系調整後，總體產出 (output, Y) 不變。
• 邊際消費傾向 (marginal propensity to consume, MPC) 為 0.6。

我們需要判斷投資如何變化。

在一個新古典模型中，一次性稅收的增加對總體經濟的影響是：

1. 對可支配所得的影響：可支配所得 (Disposable Income, YD) 是總所得 (Y) 減去稅收 (T)。由於稅收增加了 1000 億，可支配所得會減少 1000 億。
   $\Delta YD = -\Delta T = -1000$ 億美元。

2. 對消費的影響：根據消費函數，消費的變動量等於 MPC 乘以可支配所得的變動量。
   $\Delta C = MPC \times \Delta YD = 0.6 \times (-1000$ 億美元$) = -600$ 億美元。
   消費減少了 600 億美元。

3. 對儲蓄的影響：由於產出 Y 不變，消費的減少必然導致儲蓄 (Saving, S) 的增加。邊際儲蓄傾向 (marginal propensity to save, MPS) 是 $1 - MPC = 1 - 0.6 = 0.4$。

本題考驗索羅成長模型 (Solow Growth Model) 在穩定狀態 (steady state) 下，總產出 (total output) 和人均產出 (output per worker) 的增長率。題目假設沒有技術進步，但有勞動力增長 (population growth)。

索羅成長模型的基本生產函數形式為 $Y = F(K, L)$，其中 $Y$ 是總產出，$K$ 是資本，$L$ 是勞動。
在人均形式下，令 $y = Y/L$ 和 $k = K/L$。
則人均產出 $y = f(k)$。

模型中的關鍵方程（在人均形式，無技術進步）通常是人均資本的動態方程：
$\Delta k = s f(k) - (n + \delta)k$
其中：

• $s$ 是儲蓄率。
• $f(k)$ 是人均產出函數。
• $n$ 是勞動力（人口）增長率。
• $\delta$ 是資本折舊率。

在穩定狀態 (steady state) 下，人均資本 $k$ 不變，即 $\Delta k = 0$。
$s f(k^*) = (n + \delta)k^*$

現在我們來看總產出和人均產出的增長率。

1. 人均產出 (Output per worker, y) 的增長率：
   在穩定狀態下，人均資本 $k$ 是恆定的 ($k=k^*$)。

本題考驗真實業務循環理論 (Real Business Cycle Theory, RBC) 的核心觀點，即經濟週期（繁榮與衰退）的成因。

RBC 理論的一個核心假設是，經濟體系在很大程度上是有效率的，並且市場能夠快速調整。因此，經濟波動（特別是衰退）的根源不在於市場失靈或總體需求不足，而主要源於外生衝擊 (exogenous shocks)，其中最重要的一類是技術衝擊 (technology shocks)。

• 正向技術衝擊 (favorable technology shock)：會提高生產力，導致經濟擴張（繁榮）。
• 負向技術衝擊 (adverse technology shock)：會降低生產力，導致經濟收縮（衰退）。

RBC 理論認為，這些技術衝擊是隨機且難以預測的，它們通過影響勞動供給和資本錯配等因素，導致產出和就業的波動。

現在我們分析選項：
a. adverse technology shocks. 這是 RBC 理論解釋經濟衰退的主要原因。當生產力突然下降時，企業會減少生產和僱傭，導致經濟衰退。

本題考驗在特定生產函數下，資本變動對勞動生產率的影響。

生產函數為 $Y = AK^{2/3}L^{1/3}$。
其中，$Y$ 是總產出，$A$ 是全要素生產力 (TFP)，$K$ 是資本，$L$ 是勞動。

題目中給定：

• 資本 $K$ 增長 6%。
• 勞動 $L$ 和 TFP $A$ 保持不變。

我們要計算勞動生產率 (labor productivity)，即 $Y/L$，的變化百分比。

首先，我們寫出勞動生產率的表達式：
$\frac{Y}{L} = \frac{AK^{2/3}L^{1/3}}{L} = AK^{2/3}L^{1/3 - 1} = AK^{2/3}L^{-2/3}$

現在，我們來分析當 $K$ 變動 6% 而 $L$ 和 $A$ 不變時，勞動生產率 $Y/L$ 的變化。
由於 $A$ 和 $L$ 是常數，勞動生產率的變化完全由 $K^{2/3}$ 的變化決定。
我們可以近似地計算變化率，或者使用精確的數學方法。

方法一：近似計算 (使用成長會計恆等式)
勞動生產率的增長率 $\% \Delta (Y/L)$ 可以近似表示為：
$\% \Delta (Y/L) \approx \% \Delta A + \frac{2}{3} \% \Delta K - \frac{2}{3} \% \Delta L$
由於 $A$ 和 $L$ 是常數，它們的增長率為 0。
$\% \Delta (Y/L) \approx 0 + \frac{2}{3} \% \Delta K - \frac{2}{3} \times 0$
$\% \Delta (Y/L) \approx \frac{2}{3} \% \Delta K$

題目給定資本增長率 $\% \Delta K = 6\%$。
$\% \Delta (Y/L) \approx \frac{2}{3} \times 6\% = 4\%$。
因此，勞動生產率將增加 4%。

本題考驗對 100% 準備金銀行體系 (100-percent-reserve banking system) 下，貨幣供給變動的理解。

在一個 100% 準備金銀行體系中，銀行吸收存款後，必須將所有的存款作為準備金保留，而不能將其貸放出去。

貨幣供給 (Money Supply, M) 的定義通常包括公眾持有的通貨 (Currency, C) 和銀行體系的活期存款 (Demand Deposits, D)。
$M = C + D$

假設初始情況下，某人手中持有 100 美元的通貨。此時，通貨 C = 100 美元。假設銀行體系中沒有其他存款，則貨幣供給 M = 100 美元。

現在，這個人將這 100 美元的通貨存入銀行。

• 他手中的通貨 C 變為 0。
• 銀行體系的存款 D 變為 100 美元。

本題考驗貨幣數量論 (Quantity Theory of Money) 和古典宏觀經濟學 (classical macroeconomic theory) 在長期下的觀點。

貨幣數量論的基本方程是：
$MV = PY$
其中：

• $M$ 是貨幣供給 (Money Supply)。
• $V$ 是貨幣流通速度 (Velocity of Money)。
• $P$ 是物價水平 (Price Level)。
• $Y$ 是實際產出 (Real Output, Real GDP)。

在古典經濟學和貨幣數量論的長期分析中，通常做以下假設：

1. 貨幣流通速度 $V$ 是恆定的：認為人們持有貨幣的習慣（即多久使用一次貨幣）在長期內是穩定的。
2. 實際產出 $Y$ 由生產因素決定，與貨幣供給無關：在長期，經濟的總體生產能力（即潛在產出或自然產出水平）取決於資本、勞動、技術等實體因素，而不是貨幣供給。這也稱為古典二分法 (classical dichotomy)，即實體經濟變數（如產出、就業）與名目經濟變數（如物價、名目貨幣）可以分開分析。

基於這些假設，我們來分析名目 GDP 和實際 GDP 的決定因素：

• 名目 GDP (Nominal GDP)：名目 GDP 是 $P \times Y$。
  根據貨幣數量方程 $MV = PY$，如果 $V$ 是恆定的，那麼名目 GDP ($PY$) 的變動主要由貨幣供給 $M$ 的變動決定。

本題考驗貨幣數量方程在考慮貨幣供給、實際產出和貨幣流通速度變動時，對通貨膨脹率 (inflation rate) 的影響。

貨幣數量方程為 $MV = PY$。
對兩邊取對數並微分，得到增長率形式：
$\% \Delta M + \% \Delta V = \% \Delta P + \% \Delta Y$
其中：

• $\% \Delta M$ 是貨幣供給的增長率。
• $\% \Delta V$ 是貨幣流通速度的增長率。
• $\% \Delta P$ 是物價水平的增長率，即通貨膨脹率。
• $\% \Delta Y$ 是實際產出的增長率。

題目給定：

• $\% \Delta M = 10\%$ (貨幣增長率為 10%)。
• $\% \Delta Y = 3\%$ (實際產出增長率為 3%)。
• 貨幣流通速度 $V$ 正在以越來越快的速度增長 (growing at increasingly faster rates over time)。

我們需要判斷通貨膨脹率 $\% \Delta P$ 的趨勢。

將已知數值代入方程：
$10\% + \% \Delta V = \% \Delta P + 3\%$

本題要求分析一個同質性產品雙占市場 (homogeneous products duopoly) 在不同競爭模式下的均衡結果。

a. Cournot equilibrium quantities and price

在 Cournot 模型中，兩家廠商 (Firm 1 和 Firm 2) 同時決定產量，並假設對手的產量固定。
廠商的目標是最大化利潤 $\pi_i = P \times Q_i - TC_i$。
邊際成本 (MC) 給定為 $MC_i = 10 + Q_i$。
由於邊際成本是平均成本的導數，且如果沒有固定成本，平均成本就是邊際成本。我們假設邊際成本是總成本的導數，且總成本是邊際成本的積分。
$TC_i = \int MC_i dQ_i = \int (10 + Q_i) dQ_i = 10Q_i + \frac{1}{2}Q_i^2 + F_i$，其中 $F_i$ 是固定成本。
利潤函數為 $\pi_i = (50 - (Q_1 + Q_2))Q_i - (10Q_i + \frac{1}{2}Q_i^2)$。

利潤最大化條件是邊際收益 (MR) 等於邊際成本 (MC)。
首先，推導市場需求曲線的逆需求函數：$P = 50 - Q = 50 - (Q_1 + Q_2)$。

廠商 1 的總收益 (TR1)：
$TR_1 = P \times Q_1 = (50 - Q_1 - Q_2)Q_1 = 50Q_1 - Q_1^2 - Q_1Q_2$。
廠商 1 的邊際收益 (MR1)：
$MR_1 = \frac{dTR_1}{dQ_1} = 50 - 2Q_1 - Q_2$。

廠商 1 的邊際成本 (MC1)：
$MC_1 = 10 + Q_1$。

令 $MR_1 = MC_1$ 得到廠商 1 的反應函數 (best-response function)：
$50 - 2Q_1 - Q_2 = 10 + Q_1$
$40 - Q_2 = 3Q_1$
$Q_1 = \frac{40 - Q_2}{3}$

同理，對廠商 2 進行分析：
$TR_2 = P \times Q_2 = (50 - Q_1 - Q_2)Q_2 = 50Q_2 - Q_1Q_2 - Q_2^2$。
$MR_2 = \frac{dTR_2}{dQ_2} = 50 - Q_1 - 2Q_2$。
$MC_2 = 10 + Q_2$。

令 $MR_2 = MC_2$ 得到廠商 2 的反應函數：
$50 - Q_1 - 2Q_2 = 10 + Q_2$
$40 - Q_1 = 3Q_2$
$Q_2 = \frac{40 - Q_1}{3}$

現在，解這兩個聯立的反應函數方程來找到 Cournot 均衡產量：
將 $Q_2$ 代入 $Q_1$ 的方程：
$Q_1 = \frac{40 - (\frac{40 - Q_1}{3})}{3}$
$3Q_1 = 40 - \frac{40 - Q_1}{3}$
$9Q_1 = 120 - (40 - Q_1)$
$9Q_1 = 120 - 40 + Q_1$
$9Q_1 = 80 + Q_1$
$8Q_1 = 80$
$Q_1 = 10$

將 $Q_1 = 10$ 代入 $Q_2$ 的方程：
$Q_2 = \frac{40 - 10}{3} = \frac{30}{3} = 10$

所以，Cournot 均衡產量為 $Q_1 = 10$ 和 $Q_2 = 10$。
總產量 $Q = Q_1 + Q_2 = 10 + 10 = 20$。

最後，計算均衡價格：
$P = 50 - Q = 50 - 20 = 30$。

Cournot 均衡產量：$Q_1 = 10$, $Q_2 = 10$。均衡價格：$P = 30$。

核心觀念

本題探討寡占市場中的產能擴張決策（Capacity Expansion Game），主要測驗賽局理論的核心架構：

1. 同步賽局與常態形（Normal Form Game）：雙方同時做決策，尋找純策略納許均衡（Pure Strategy Nash Equilibrium, NE），可透過優勢策略（Dominant Strategy）或最佳反應分析法（Best Response Analysis）。
2. 循序賽局與廣延形（Extensive Form Game）：廠商 1 具備先動優勢（First-mover Advantage），透過可信的先期承諾（Commitment）改變後動者的最佳反應。
3. 策略的嚴謹定義（Strategy as a Complete Contingent Plan）：在動態／循序賽局中，玩家的策略必須明確規定「在每一個可能面臨的決策節點上應採取的行動」，而非僅是在均衡路徑（Equilibrium Path）上實際發生的單一動作。
4. 子賽局完美納許均衡（Subgame Perfect Nash Equilibrium, SPNE）與不可信的威脅（Non-credible Threat）：常態形賽局只檢驗整體策略是否構成互為最佳反應，容易包含依賴「不可信威脅」的偽均衡；廣延形賽局則透過逆向歸納法（Backward Induction），要求在每一個子賽局中均具備序列理性（Sequential Rationality），從而剔除不可信的威脅。

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解題方法與推導過程

根據題目資訊，整理兩家廠商的常態形收益矩陣（Payoff Matrix）如下：

• 廠商 1（Firm 1）為列玩家（Row Player），策略有主動擴產（Aggressive, $A$）與被動不擴產（Passive, $P$）。
• 廠商 2（Firm 2）為行玩家（Column Player），策略亦有主動擴產（Aggressive, $A$）與被動不擴產（Passive, $P$）。
• 括號內數值依序為 $(\pi_1, \pi_2)$。

廠商 1 \ 廠商 2	Aggressive ($A$)	Passive ($P$)
Aggressive ($A$)	$(25, 9)$	$(33, 10)$
Passive ($P$)	$(30, 13)$	$(36, 12)$

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(a) 雙方同時決策之常態形納許均衡

在同步決策下，利用最佳反應分析法（劃線法）：

1. 廠商 1 的最佳反應：

   • 若廠商 2 選擇 $A$：廠商 1 選擇 $P$ 的利潤 $30 >$ 選擇 $A$ 的利潤 $25$，最佳反應為 $P$。
   • 若廠商 2 選擇 $P$：廠商 1 選擇 $P$ 的利潤 $36 >$ 選擇 $A$ 的利潤 $33$，最佳反應為 $P$。
   • 結論：廠商 1 的嚴格優勢策略（Strictly Dominant Strategy）為 Passive ($P$)。

2. 廠商 2 的最佳反應：

   • 若廠商 1 選擇 $A$：廠商 2 選擇 $P$ 的利潤 $10 >$ 選擇 $A$ 的利潤 $9$，最佳反應為 $P$。
   • 若廠商 1 選擇 $P$：廠商 2 選擇 $A$ 的利潤 $13 >$ 選擇 $P$ 的利潤 $12$，最佳反應為 $A$。

3. 納許均衡：

   • 由於廠商 1 必定選擇 $P$，廠商 2 的最佳反應為 $A$；而當廠商 2 選擇 $A$ 時，廠商 1 的最佳反應亦為 $P$。
   • 雙方互為最佳反應的純策略納許均衡為 $(\text{Passive}, \text{Aggressive})$，對應之利潤為 $(\pi_1, \pi_2) = (30, 13)$。

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(b) 廠商 1 先動、廠商 2 後動之決策與策略

此為兩階段循序賽局，運用**逆向歸納法（Backward Induction）**推導：

1. 第二階段（廠商 2 決策）：

   • 若廠商 1 採取 $A$：廠商 2 比較 $A$（得 $9$）與 $P$（得 $10$），因 $10 > 9$，廠商 2 選擇 $P$。
   • 若廠商 1 採取 $P$：廠商 2 比較 $A$（得 $13$）與 $P$（得 $12$），因 $13 > 12$，廠商 2 選擇 $A$。

2. 第一階段（廠商 1 決策）：
   廠商 1 預見廠商 2 的反應：

   • 若自身選 $A$ $\rightarrow$ 廠商 2 將選 $P$ $\rightarrow$ 廠商 1 獲得利潤 $33$。
   • 若自身選 $P$ $\rightarrow$ 廠商 2 將選 $A$ $\rightarrow$ 廠商 1 獲得利潤 $30$。
   • 比較 $33 > 30$，廠商 1 最佳選擇為 Aggressive ($A$)。

3. 雙方策略：

   • 廠商 1 的策略：Aggressive ($A$)。
   • 廠商 2 的完整策略（Complete Strategy）：若廠商 1 選 $A$ 則選 $P$；若廠商 1 選 $P$ 則選 $A$，記為 $(P \text{ if } A,\ A \text{ if } P)$。
   • 均衡路徑上的實際行動組合（Equilibrium Outcome）：廠商 1 選擇 Aggressive，廠商 2 選擇 Passive，利潤為 $(33, 10)$。

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(c) 循序賽局對應常態形之純策略納許均衡

將 (b) 的動態賽局化為常態形（Normal Form）：

• 廠商 1 有 $2$ 種策略：$A$、$P$。
• 廠商 2 面臨廠商 1 的兩種可能動作，其策略為所有決策節點的應變規則，共有 $2 \times 2 = 4$ 種策略：
  1. $(A, A)$：不論廠商 1 選何者，皆選 $A$。
  2. $(A, P)$：若 1 選 $A$ 則選 $A$；若 1 選 $P$ 則選 $P$。
  3. $(P, A)$：若 1 選 $A$ 則選 $P$；若 1 選 $P$ 則選 $A$。
  4. $(P, P)$：不論廠商 1 選何者，皆選 $P$。

建立此 $2 \times 4$ 常態形矩陣：

廠商 1 \ 廠商 2	$(A, A)$	$(A, P)$	$(P, A)$	$(P, P)$
$A$	$(25, 9)$	$(25, 9)$	$(33, 10)^*$	$(33, 10)$
$P$	$(30, 13)^*$	$(36, 12)$	$(30, 13)$	$(36, 12)$

核心觀念

本題考查小型開放經濟體的 IS-LM-BP 模型：

• IS 曲線：商品市場均衡，滿足
  $Y=C+I+G+NX$
• LM 曲線：貨幣市場均衡，滿足
  $\frac{M}{P}=L(Y,r)$
• BP 曲線：資本完全自由移動時，國內利率必須等於世界利率：
  $r=r^*$
• 浮動匯率下，財政擴張會引起資本流動，進而造成匯率調整與淨出口變化。

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解題方法

先將消費函數、淨出口函數化簡，再分別代入商品市場與貨幣市場均衡條件。

已知：

$C=200+0.85(Y-T)-8r$

$I=1700-32r$

$G=1800$

$T=200+0.2Y$

$NX=870-0.08Y-200\left(\frac{1}{E}\right)$

$\left(\frac{M}{P}\right)^*=2250$

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(a) 當 $E=\frac12$ 時的 IS 曲線

先化簡可支配所得：

$Y-T=Y-(200+0.2Y)=0.8Y-200$

因此消費函數為：

$$\begin{aligned} C &=200+0.85(0.8Y-200)-8r\\ &=200+0.68Y-170-8r\\ &=30+0.68Y-8r \end{aligned}$$

當 $E=\frac12$ 時：

$\frac1E=2$

故淨出口為：

$$\begin{aligned} NX &=870-0.08Y-200(2)\\ &=470-0.08Y \end{aligned}$$

商品市場均衡條件為：

$$\begin{aligned} Y &=C+I+G+NX\\ &=(30+0.68Y-8r)+(1700-32r)+1800+(470-0.08Y) \end{aligned}$$

整理得：

$Y=4000+0.6Y-40r$

$0.4Y=4000-40r$

因此 IS 曲線為：

$\boxed{Y=10000-100r}$

反解為利率形式：

$\boxed{r=100-0.01Y}$

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(b) 當 $E=\frac12$ 時的 LM 曲線

貨幣市場均衡條件為：

$\frac{M}{P}=0.25Y-25r$

由題目給定實質貨幣供給為：

$\frac{M}{P}=2250$

因此：

$2250=0.25Y-25r$

整理得：

$25r=0.25Y-2250$

$\boxed{r=0.01Y-90}$

亦可寫成產出形式：

$\boxed{Y=100r+9000}$

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初始均衡與世界利率

在原本 $G=1800$、$E=\frac12$ 的情況下，IS 與 LM 交點為：

$$\begin{aligned} 10000-100r&=100r+9000\\ 1000&=200r\\ r&=5 \end{aligned}$$

代回得：

$Y=10000-100(5)=9500$

由於資本完全自由移動：

$\boxed{r^*=5}$

因此原本的世界利率為 $5$。

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(c) 政府支出增加至 $G=2200$，匯率尚未調整

新的 IS 曲線

此時消費與投資函數不變，淨出口仍為：

$NX=470-0.08Y$

商品市場均衡為：

$$\begin{aligned} Y &=(30+0.68Y-8r)+(1700-32r)+2200+(470-0.08Y)\\ &=4400+0.6Y-40r \end{aligned}$$

因此：

$0.4Y=4400-40r$

$\boxed{Y=11000-100r}$

LM 曲線仍為：

$\boxed{Y=100r+9000}$

國內均衡利率與產出

聯立 IS 與 LM：

$$\begin{aligned} 11000-100r&=100r+9000\\ 2000&=200r\\ r&=10 \end{aligned}$$

代回 LM 曲線：

$Y=100(10)+9000=10000$

所以匯率尚未調整時：

$\boxed{r=10,\qquad Y=10000}$

國際收支為赤字或盈餘

原本世界利率為：

$r^*=5$

財政擴張後的國內利率為：

$r=10>r^*=5$

國內利率高於世界利率，會吸引外國資本流入。因此國際收支出現：

$\boxed{\text{國際收支盈餘}}$

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