115 年 國立中正大學財務金融學系碩士班《統計學》

本題考驗統計學中關於樣本、母體、敘述統計與推論統計的基本概念。

• 敘述統計 (Descriptive Statistics)：主要用於整理、摘要和呈現數據，例如計算平均數、標準差、繪製直方圖等。其目的在於描述樣本本身的特性，但無法直接推論到母體。
• 推論統計 (Inferential Statistics)：利用樣本的數據來推斷母體的特性。這包括估計母體參數（如平均數、比例）或進行假設檢定。
• 樣本 (Sample)：是從母體中抽取出來的一部分元素。
• 母體 (Population)：研究對象的全部集合。
• 假設檢定 (Hypothesis Testing)：是一種推論統計的方法，用來判斷關於母體的某個主張（虛無假設）是否能被樣本數據所支持。

我們逐一檢視各個敘述：

• I. A sample is a subset of a population.
  這個敘述是正確的。樣本是母體的一部分，用來代表母體。

• II. One can always draw conclusions about a population using descriptive statistics.
  這個敘述是錯誤的。

本題考驗不同資料類型的定義，特別是在財金領域常見的 M&A 事件研究中使用的資料類型。

• 橫斷面資料 (Cross-sectional data)：在某一個特定時間點，觀察不同個體（如公司、個人、國家）的數據。
• 時間數列資料 (Time-series data)：在不同時間點，觀察同一個體（如一家公司、一個國家）的數據。
• 迴歸資料 (Panel data)：同時包含橫斷面和時間數列維度，即在不同時間點，觀察不同個體的數據。這是一種結合了橫斷面和時間數列的資料。

核心觀念
本題探討 中位數 (median) 的性質。

• 中位數是把全部觀測值由小到大排列後，位於中間位置的數值。
• 若樣本數為奇數 $n$，則第 $\frac{n+1}{2}$ 筆資料即為中位數；若 $n$ 為偶數，則第 $n/2$ 與第 $n/2+1$ 兩筆資料的平均值為中位數。
• 當加入新觀測值時，只有在新值 落在原先中位數的左右「臨界」位置 時，中位數才可能改變；若新值位於兩側的「外圍」區間，原中位數保持不變。

解題方法

1. 先求出 15 位學生的中位數
   把 15 個分數由小到大排列：

$56,\;59,\;60,\;65,\;70,\;75,\;78,\;80,\;80,\;87,\;89,\;92,\;95,\;99,\;100$

15 為奇數，故第 $\frac{15+1}{2}=8$ 筆為中位數，即 80（第 8 筆）。

2. 加入第 16 位學生的分數
   加入後樣本總數變為 16（偶數），中位數將變為第 $8$、第 $9$ 筆資料的平均值。
   為了 不改變 原本的中位數 80，新的第 $8$、第 $9$ 位必須同樣是 80，或兩者的平均仍等於 80。

   • 若新分數不大於第 8 位（原 80）且不小於第 9 位（原 80），即新分數 ≤ 80且新分數 ≥ 80，只有唯一可能是 80 本身。
   • 若新分數小於第 8 位，則第 8 位仍為原 80，而第 9 位會是原第 9 位（80）或更大的值，平均值會 小於 80，中位數改變。
   • 若新分數大於第 9 位，則第 8 位會變成原第 8 位（80），第 9 位變成新分數，平均值 大於 80，中位數亦改變。

本題考驗幾何平均數 (Geometric Mean) 的計算。幾何平均數常用來計算投資報酬率的平均值，因為它考慮了複利效應。

幾何平均數的計算公式為：
$\text{GM} = \left( \prod_{i=1}^{n} (1+r_i) \right)^{1/n} - 1$
其中，$r_i$ 是第 $i$ 期（在此為第 $i$ 支股票）的回報率，而 $n$ 是總共的回報率數量。
注意，這裡的回報率 $r_i$ 需要是小數形式，而不是百分比。

首先，將給定的百分比報酬率轉換為小數：
15% = 0.15
12.5% = 0.125
5% = 0.05
-3.2% = -0.032
-6.9% = -0.069

接著，計算 $(1+r_i)$ 的值：
$1 + 0.15 = 1.15$
$1 + 0.125 = 1.125$
$1 + 0.05 = 1.05$
$1 + (-0.032) = 1 - 0.032 = 0.968$
$1 + (-0.069) = 1 - 0.069 = 0.931$

總共有 $n=5$ 個報酬率。

現在，計算這些值的乘積：
$\prod_{i=1}^{5} (1+r_i) = (1.15) \times (1.125) \times (1.05) \times (0.968) \times (0.931)$

本題考驗對「右偏 (skewed to the right)」分佈的理解。

當一個數據分佈被描述為「右偏」或「正偏」，這意味著分佈的尾部向右延伸，而大部分數據則聚集在左側（較低的值）。

我們來分析各個選項：

• A) a small number earn very high incomes.
  在收入分佈中，如果分佈是右偏的，意味著大部分人的收入是相對較低的，但有少數人擁有非常高的收入，這些高收入的人構成了分佈的右側長尾。這個敘述是右偏分佈的典型特徵。

• B) a long "tail" of extreme values stretching to the right on a graph.
  這是右偏分佈的幾何定義。在繪製直方圖或密度曲線時，右偏分佈會有一條長長的、向右延伸的尾巴，代表著極端較高的值。

核心觀念

本題考察相關係數（correlation coefficient）的意義。

Pearson 相關係數記為 $r$，其值域為：

$$-1 \le r \le 1$$

其中：

• $r=1$：完全正線性相關。
• $r=-1$：完全負線性相關。
• $r=0$：沒有線性相關，但不代表完全沒有關係。

當 $r=-1$ 時，表示 $x$ 與 $y$ 之間存在完全的負線性關係：$x$ 增加時，$y$ 必定以固定的線性方式減少，所有觀察值都會精確落在一條斜率為負的直線上。

解題方法

由相關係數的定義與值域可知：

$$r=-1$$

代表負向相關程度達到最大，且關係是完全線性的。因此本題的關鍵不是判斷「相關很差」，而是辨認 $-1$ 所代表的「完全負相關」。

例如，若存在常數 $a$ 與 $b>0$，使得：

$$y=a-bx$$

則 $x$ 與 $y$ 具有完全負線性相關，其 Pearson 相關係數為：

$$r=-1$$

因此正確選項為 C。

選項分析

核心觀念
本題屬於條件機率與貝式（Bayes）定理的應用。需掌握以下概念：

• 事件 $K$：學生「知道」答案，$P(K)=0.75$。
• 事件 $K^c$：學生「不知道」答案，$P(K^c)=1-P(K)=0.25$。
• 事件 $C$：學生「答對」；根據是否知道，$P(C\mid K)=1$，$P(C\mid K^c)=\frac1{5}=0.2$（因為有 5 個選項，均勻猜測）。
• 要求的是 $P(K^c\mid C)$，即在已知「答對」的條件下，學生「猜」的機率，使用貝式定理：
  $P(K^c\mid C)=\frac{P(C\mid K^c)P(K^c)}{P(C)}.$

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解題方法

1. 計算全部答對的總機率 $P(C)$（全概率公式）

$$P(C)=P(C\mid K)P(K)+P(C\mid K^c)P(K^c) =1\cdot0.75+0.2\cdot0.25 =0.75+0.05=0.80.$$

2. 套入貝式定理

$$P(K^c\mid C)=\frac{P(C\mid K^c)P(K^c)}{P(C)} =\frac{0.2\times0.25}{0.80} =\frac{0.05}{0.80} =0.0625.$$

核心觀念

本題考查「信賴區間」的正確解釋。

以母體平均數 $\mu$ 為例，利用樣本資料建立信賴區間。若採用 95% 信賴區間，其意義是：在相同抽樣方法與相同區間估計程序下，重複抽樣並建立區間，長期而言約有 95% 的區間會包含真正的母體平均數 $\mu$。

一般形式可表示為：

$$\text{估計值} \pm \text{臨界值}\times \text{標準誤}$$

例如母體變異數已知時，母體平均數的 95% 信賴區間為：

$$\bar X \pm 1.96\frac{\sigma}{\sqrt n}$$

其中 $\bar X$ 為樣本平均數、$\sigma$ 為母體標準差、$n$ 為樣本數。

在重複抽樣的觀點下，區間端點會隨樣本改變，但母體平均數 $\mu$ 是固定的。95% 指的是這套建構區間的方法具有 95% 的涵蓋率。

解題方法

判斷信賴區間的敘述時，應掌握兩項原則：

1. 信賴水準描述的是「抽樣方法長期涵蓋母體參數的比例」。
2. 信賴區間完成後，區間已經由樣本資料決定；在傳統頻率學派解釋中，不能說固定的母體參數以某個機率落在這個已觀察區間內。

因此，95% confidence interval 的標準定義是：

若從同一母體反覆抽取隨機樣本，並且每次都使用相同方法建構信賴區間，約 95% 的信賴區間會包含真正的母體平均數。

選項分析

A) 95% of the population values lie in this interval.

錯誤。

信賴區間是用來估計母體參數，例如母體平均數 $\mu$，不是用來描述 95% 的個別母體觀測值。

「約 95% 的母體個體值落在某個範圍內」通常涉及母體分布、標準差與涵蓋範圍，例如常態分布下的參數區間，概念與母體平均數的信賴區間不同。

本題考驗逐步迴歸 (Stepwise Regression) 分析中，用於評估模型擬合度的統計檢定方法。

逐步迴歸是一種自動化選擇迴歸變數的方法，它透過逐步增加或移除變數來尋找「最佳」模型。在這個過程中，需要統計檢定來判斷加入一個新變數是否顯著改善模型，或者移除一個變數是否會嚴重損害模型。

• t 統計量 (t statistics)：主要用於檢定迴歸模型中「單一個」迴歸係數是否顯著不為零。在逐步迴歸中，當考慮加入或移除某個變數時，會檢定該變數的 t 統計量是否達到顯著水準。

• $\chi^2$ 統計量 (Chi-squared statistics)：通常用於擬合優度檢定（如卡方檢定）或檢定分類變數之間的獨立性。在迴歸分析中，它不直接用於評估逐步加入或移除變數對模型整體擬合度的影響。

• F 統計量 (F statistics)：

  • 在多元迴歸中，F 統計量用於檢定「整個迴歸模型」是否顯著（即至少有一個自變數的係數不為零）。
  • 在逐步迴歸中，F 檢定也扮演關鍵角色。當考慮加入一個變數時，會檢定加入該變數後，模型整體 F 值的改善是否顯著。或者，更常見的是，當考慮加入一個變數時，會檢定該變數的 t 統計量是否顯著，而 t 統計量的平方近似於 F 統計量（在只有一個變數被考慮加入時）。

核心觀念

• 點估計 (point estimate)：利用樣本統計量 (如樣本均值 $\bar X$) 直接給出母體參數的單一數值。
• 區間估計 (interval estimate)：以信賴區間 $\displaystyle \bigl(\hat\theta\pm z_{\alpha/2}\,SE(\hat\theta)\bigr)$ 方式提供參數的可能取值範圍，能同時呈現不確定性。
• 統計推論 (statistical inference)：從隨機抽樣得到的樣本資訊，根據機率模型作出對母體特性的推斷與結論，而非僅對樣本本身的描述。

解題方法
本題為概念判斷題，直接比對選項描述與統計概念的正確定義即可。

1. 判斷 A：檢視「點估計是否在統計上較區間估計更受偏好」。
2. 判斷 B：檢視「統計推論的結論對象是樣本本身，還是抽樣所屬的母體」。

選項分析

選項	內容	判斷與說明
A	A point estimate is preferred over interval estimate from a statistic point of view.	錯誤。

本題考驗假設檢定中關於 t 分佈、單尾檢定與雙尾檢定、檢定力的概念。

我們逐一分析各個敘述：

• I. Using the t distribution as opposed to the normal distribution for hypothesis testing under otherwise similar conditions results in more rejections of the null hypothesis.
  這個敘述是錯誤的。t 分佈相較於標準常態分佈 (Z 分佈)，其尾部更厚（fat tails）。在進行假設檢定時，相同的顯著水準 $\alpha$ 下，t 分佈需要更大的統計量絕對值才能達到顯著拒絕虛無假設，因為它的臨界值（critical value）通常比 Z 分佈的臨界值更大（當樣本數不大時）。因此，使用 t 分佈通常會「減少」拒絕虛無假設的機率，而不是增加。只有當樣本數趨近於無限大時，t 分佈才會趨近於 Z 分佈。

• II. Everything else being equal, a one-tailed test has greater power than a two-tailed test.
  這個敘述是正確的。檢定力 (Power of a test) 是指正確拒絕虛無假設的機率，即 $1 - \beta$，其中 $\beta$ 是第二類錯誤的機率（未能拒絕錯誤的虛無假設）。

第 12 題 詳解

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核心觀念

本題考的是 卡方統計量（Chi-square statistic, $\chi^2$） 的直觀意義，以及它在不同檢定情境下的解讀方式。

$\chi^2$ 統計量的通用計算公式為：

$\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

其中 $O_i$ 為觀察次數（observed frequency），$E_i$ 為期望次數（expected frequency）。

關鍵性質：$\chi^2$ 值永遠 $\geq 0$，且其大小直接反映「觀察值與期望值之間的差距」。

• $\chi^2$ 值大 → 觀察與期望差距大 → 有顯著差異
• $\chi^2$ 值小（趨近 0） → 觀察與期望幾乎吻合 → 無顯著差異

$\chi^2$ 統計量在統計學中主要用於以下三類檢定：

檢定類型	中文名稱	虛無假設 $H_0$
Goodness-of-fit test	適合度檢定	觀察分配符合理論分配
Test of independence	獨立性檢定	兩類別變數互相獨立（不相關）
Test of variance	變異數檢定	$\sigma^2 = \sigma_0^2$（母體變異數等於假設值）

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解題方法

切入點：釐清「$\chi^2$ 值小」在邏輯上代表什麼意思，再逐一對照各選項。

由公式 $\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$ 可知，當 $\chi^2$ 值小時，代表每一個 $(O_i - E_i)^2$ 都很小，亦即觀察次數與期望次數非常接近，資料「符合」某個假設的理論模型，故不應拒絕 $H_0$。

以此核心邏輯逐項審視。

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選項分析

▌選項 A）the observed distribution does not fit the theoretical distribution.

中譯：觀察分配不符合理論分配。

此敘述錯誤。

在適合度檢定中：

• $H_0$：觀察分配符合理論分配
• $H_1$：觀察分配不符合理論分配

$\chi^2$ 值大，才代表 $O_i$ 與 $E_i$ 差距懸殊，應拒絕 $H_0$，即「不符合理論分配」。

$\chi^2$ 值小，代表 $O_i \approx E_i$，觀察到的頻率與理論預期高度吻合，結論是符合理論分配，而非不符合。選項 A 的因果方向正好相反，此選項錯誤。

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▌選項 B）one classification variable is not related to another classification variable.

中譯：一個類別變數與另一個類別變數無關（彼此獨立）。

此敘述正確。

在獨立性檢定中（列聯表分析），期望次數為：

本題考驗 F 分佈的性質以及其在統計檢定中的應用。

我們逐一分析各個敘述：

• I. The F distribution is symmetrical such that F(v1, v2,0.05) = 1/F(v2, V1, 0.95).
  這個敘述是錯誤的。F 分佈本身不是對稱的。F 分佈的形狀取決於自由度 $v_1$ 和 $v_2$，通常是右偏的。
  然而，F 分佈確實存在一個重要的關係式：
  $F(v_1, v_2, \alpha) = 1 / F(v_2, v_1, 1-\alpha)$
  其中 $F(v_1, v_2, \alpha)$ 表示自由度為 $v_1, v_2$ 的 F 分佈，其右尾機率為 $\alpha$ 的臨界值。
  題目中的 $\alpha = 0.05$，則 $1-\alpha = 0.95$。
  所以，關係式應該是 $F(v_1, v_2, 0.05) = 1 / F(v_2, v_1, 0.95)$。
  題目敘述中的「F 分佈是對稱的」是錯誤的，但後面的等式關係是正確的。
  由於前面「對稱」的描述是錯誤的，整個敘述 I 是錯誤的。

• II. The F distribution can be used to test for differences among two variances.
  這個敘述是正確的。檢定兩個母體變異數是否相等，常用 F 檢定。其虛無假設通常為 $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$。

本題考驗第一類錯誤 (Type I Error) 的概念及其影響因素。

第一類錯誤是指：當虛無假設 (Null Hypothesis, $H_0$) 為真時，卻拒絕了它。
犯下第一類錯誤的機率，就是我們設定的顯著水準 (Significance Level)，通常用 $\alpha$ 表示。

我們逐一分析各個選項：

• A) sample size.
  樣本大小 (sample size) 主要影響統計檢定的檢定力 (Power of the test)，也就是正確拒絕錯誤虛無假設的機率 ($1-\beta$)。當樣本大小增加時，檢定力通常會增加，這意味著我們更有可能偵測到真實存在的效應。樣本大小不會直接影響第一類錯誤的機率 $\alpha$。

• B) difference between the true and the hypothesized parameter values.
  這個差異（也稱為效應量, effect size）主要影響我們犯下第二類錯誤 (Type II Error) 的機率 ($\beta$)，以及檢定力 ($1-\beta$)。

核心觀念

本題評量假說檢定（Hypothesis Testing）之虛無假說（$H_0$）與對立假說（$H_1$）的設定原則，以及檢定方向性（單尾或雙尾）的判定。

1. 對立假說（$H_1$）的設定原則（研究假說與舉證責任）：
   • 檢驗者想要尋求統計證據支持的主張，或檢驗者所擔心的情況，通常置於對立假說 $H_1$。
   • 在品質驗收或採購決策中，買方（檢驗者）通常採取「保守原則」（保護自身權益免於遭受重大損失）。若買進劣質品將造成嚴重公帑浪費與公共安全問題，因此買方會先假設產品「不合格」，唯有在樣本提供強烈證據推翻此疑慮時，才會認定產品合格；或者以「懷疑廠商吹噓、欲抓出不合格品」為出發點。
2. 虛無假說（$H_0$）必須包含等號：
   • 標準假說檢定理論中，虛無假說 $H_0$ 一定包含等號（$=, \le, \ge$）。
3. 尾定則（Direction of Rejection Region）：
   • 拒絕域的方向完全取決於對立假說 $H_1$ 的不等號方向。若 $H_1: \mu < \mu_0$，拒絕域落在左尾（左尾檢定，Left-tailed test）；若 $H_1: \mu > \mu_0$，拒絕域落在右尾（右尾檢定，Right-tailed test）。

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解題方法

1. 釐清決策情境與利害關係：

   • 廠商宣稱路燈平均壽命「至少 48 個月」（$\mu \ge 48$）。
   • 市政府是採購方，若路燈壽命達到或超過 48 個月，符合採購標準；市政府真正擔憂與防範的風險是**「路燈平均壽命不足 48 個月」**（買到劣質品）。

2. 建立統計假說：

   • 市政府檢定的目標是檢驗是否有證據顯示路燈壽命顯著低於廠商宣稱的標準。因此，將市政府懷疑或欲防範的情境置於對立假說： $$H_1: \mu < 48$$
   • 虛無假說則涵蓋廠商的宣稱（包含等號）： $$H_0: \mu \ge 48 \quad (\text{或 } H_0: \mu = 48)$$

本題考驗對兩比例樣本的比較檢定，並根據不同顯著水準判斷是否拒絕虛無假設。

首先，我們要設定假設檢定。
研究目的是比較大學生和非大學生對電影預告片的喜好程度，看它們是否「一樣」有吸引力。這意味著我們要檢定兩組人馬中喜歡預告片的比例是否相等。

• 虛無假設 ($H_0$): 兩個群體的喜歡比例相等。
  $H_0: p_1 = p_2$ (其中 $p_1$ 是大學生喜歡的比例，$p_2$ 是非大學生喜歡的比例)
• 對立假設 ($H_1$): 兩個群體的喜歡比例不相等。
  $H_1: p_1 \ne p_2$ (這是一個雙尾檢定)

接下來，我們收集數據：

• 大學生 (College students): 樣本數 $n_1 = 200$，喜歡比例 $\hat{p}_1 = 0.60$。
• 非大學生 (Non-students): 樣本數 $n_2 = 300$，喜歡比例 $\hat{p}_2 = 0.50$。

我們需要計算檢定統計量，這裡使用 Z 檢定來比較兩個獨立比例。
在虛無假設 $H_0: p_1 = p_2$ 下，我們使用合併比例 (pooled proportion) $\hat{p}$ 來計算標準誤。
合併比例 $\hat{p} = \frac{n_1 \hat{p}_1 + n_2 \hat{p}_2}{n_1 + n_2}$
$\hat{p} = \frac{200 \times 0.60 + 300 \times 0.50}{200 + 300}$
$\hat{p} = \frac{120 + 150}{500}$
$\hat{p} = \frac{270}{500} = 0.54$

標準誤 (Standard Error, SE) 的計算公式為：
$SE = \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p}) \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right)}$
$SE = \sqrt{0.54 \times (1-0.54) \left( \frac{1}{200} + \frac{1}{300} \right)}$
$SE = \sqrt{0.54 \times 0.46 \left( 0.005 + 0.00333... \right)}$
$SE = \sqrt{0.2484 \times \left( \frac{3+2}{600} \right)}$
$SE = \sqrt{0.2484 \times \frac{5}{600}}$

本題考驗統計顯著性 (Statistical Significance) 的定義。

統計顯著性是指，在假設虛無假設 (Null Hypothesis, $H_0$) 為真的情況下，觀察到的樣本結果（或更極端的結果）發生的機率非常小。這個「非常小」的機率通常是我們預先設定的顯著水準 $\alpha$。

• A) unlikely to have occurred by chance under the null hypothesis.
  這是統計顯著性的核心定義。如果一個結果在虛無假設為真的情況下，發生的機率很小（小於 $\alpha$），我們就認為這個結果是統計上顯著的，並傾向於拒絕虛無假設。

• B) likely to have occurred by chance under the null hypothesis.

本題考驗 t 統計量 (t statistic) 的絕對值與拒絕虛無假設之間的關係。

在假設檢定中，我們計算一個檢定統計量（例如 t 統計量），然後將其與一個臨界值進行比較，以決定是否拒絕虛無假設 ($H_0$)。
t 統計量的計算公式通常是：
$t = \frac{\text{Sample Statistic} - \text{Hypothesized Population Parameter}}{\text{Standard Error of the Statistic}}$
其中，"Sample Statistic" 可能是樣本平均數 $\bar{x}$ 或其他統計量，"Hypothesized Population Parameter" 是虛無假設中的參數值，"Standard Error" 衡量了樣本統計量的變異性。

• 絕對值大的 t 統計量：表示樣本統計量距離虛無假設中的母體參數值「越遠」。也就是說，觀察到的數據與虛無假設所預測的情況「越不一致」。
• 絕對值小的 t 統計量：表示樣本統計量距離虛無假設中的母體參數值「越近」。觀察到的數據與虛無假設所預測的情況「越一致」。

我們使用一個例子來說明：
假設我們要檢定 $H_0: \mu = 10$。
如果我們計算出的 t 統計量是 $t = 2.5$，而臨界值是 $t_{crit} = 2.0$。由於 $|2.5| > |2.0|$，我們拒絕 $H_0$。
如果我們計算出的 t 統計量是 $t = 0.5$，而臨界值是 $t_{crit} = 2.0$。

本題考驗簡單線性迴歸中的幾個重要概念，特別是當兩個變數之間沒有相關性時的表現。

在簡單線性迴歸中，我們有以下關係：
SST (Total Sum of Squares) = SSR (Sum of Squares Regression) + SSE (Sum of Squares Error)
其中：

• SST：衡量因變數 $y$ 的總變異量，即 $\sum (y_i - \bar{y})^2$。
• SSR：衡量迴歸模型解釋的變異量，即 $\sum (\hat{y}_i - \bar{y})^2$。
• SSE：衡量迴歸模型未解釋的變異量（殘差平方和），即 $\sum (y_i - \hat{y}_i)^2$。

相關係數 $r$ 與迴歸模型的 R-squared ($R^2$) 之間有直接關係：
$R^2 = r^2$
$R^2$ 是迴歸模型解釋的變異量佔總變異量的比例，即 $R^2 = \frac{SSR}{SST}$。

如果 $x$ 和 $y$ 之間沒有相關性，那麼相關係數 $r = 0$。
這意味著 $R^2 = r^2 = 0^2 = 0$。
$R^2 = \frac{SSR}{SST} = 0$。
這意味著 $SSR = 0$。

現在我們來分析選項：

• A) SSR = SST.
  如果 $SSR = SST$，那麼 $\frac{SSR}{SST} = 1$，即 $R^2 = 1$。這表示模型完美地解釋了所有變異，這與「沒有相關性」的情況（$R^2=0$）矛盾。
  所以，A 是錯誤的。

• B) the regression line has a negative slope.
  如果 $x$ 和 $y$ 之間沒有相關性，相關係數 $r=0$。在簡單線性迴歸中，斜率 $\beta_1$ 的符號與相關係數 $r$ 的符號相同。因此，如果 $r=0$，則斜率 $\beta_1 = 0$。這表示迴歸線是一條水平線，斜率為零，而不是負斜率。
  所以，B 是錯誤的。

本題考驗指數模型 (Exponential Model) 的解釋，特別是當趨勢變數 $x$ 增加一個單位時，因變數 $y$ 的變化。

指數模型的一般形式為：
$\hat{y} = a \cdot b^x$
其中 $a$ 是截距（當 $x=0$ 時的 $\hat{y}$ 值），$b$ 是底數，代表了 $x$ 每增加一個單位時，$\hat{y}$ 的增長或衰減因子。

在題目給定的方程式中：
$\hat{y} = 100 \cdot (0.9)^x$
這裡，$a = 100$，$b = 0.9$。$x$ 是趨勢變數（例如年份）。

當 $x$ 增加 1 時，$\hat{y}$ 的值會乘以底數 $b$。
也就是說，從 $x$ 變到 $x+1$：
$\hat{y}_{\text{new}} = 100 \cdot (0.9)^{x+1} = 100 \cdot (0.9)^x \cdot (0.9)$
$\hat{y}_{\text{new}} = \hat{y}_{\text{old}} \cdot 0.9$

這表示，每當 $x$ 增加一個單位，$\hat{y}$ 的值會變成原來的 0.9 倍。
換句話說，$\hat{y}$ 的值會以 0.9 的比例縮小。

本題考驗複迴歸 (Multiple Regression) 中變異數膨脹因子 (Variance Inflation Factor, VIF) 的概念，以及它與自變數之間相關性的關係。

在複迴歸中，VIF 用來衡量一個自變數的迴歸係數估計值的變異數，因為其他自變數的引入而被膨脹的程度。它反映了該自變數與模型中其他自變數之間的共線性 (collinearity) 或多重共線性 (multicollinearity) 的嚴重程度。

VIF 的計算公式通常是：
$VIF_j = \frac{1}{1 - R_j^2}$
其中，$R_j^2$ 是將自變數 $x_j$ 對模型中的所有其他自變數進行迴歸時得到的決定係數。

本題考驗 Ordinary Least Squares (OLS) 估計量的性質，特別是當其假設被違反時，OLS 的特徵。

OLS 估計量在以下條件下是最佳線性不偏估計量 (Best Linear Unbiased Estimator, BLUE)：

1. 線性：參數的估計是參數的線性函數。
2. 不偏：估計量的期望值等於真實參數值 ($E(\hat{\beta}) = \beta$)。
3. 最佳：所有其他線性不偏估計量中，擁有最小的變異數。
4. 無條件：估計量是無條件的（或稱條件期望為參數本身，$E(\beta|\mathbf{X}) = \beta$），這通常意味著誤差項與自變數不相關 ($E(\epsilon_i|\mathbf{x}_i) = 0$ 或 $E(\epsilon|\mathbf{X}) = \mathbf{0}$)。
5. 誤差項的同質變異數 (Homoskedasticity)：誤差項的變異數對於所有觀測值都是恆定的 ($\text{Var}(\epsilon_i) = \sigma^2$)。
6. 誤差項的無自相關 (No Autocorrelation)：誤差項之間沒有相關性 ($\text{Cov}(\epsilon_i, \epsilon_j) = 0$ for $i \ne j$)。
7. 誤差項的常態性 (Normality)：誤差項服從常態分佈。這對於推論（如假設檢定和信賴區間）是必需的，但對於 OLS 的 BLUE 性質不是必需的。

當這些假設被違反時，OLS 的 BLUE 性質可能會受到影響。

我們逐一分析選項：

• A) errors are non-normal.
  如果誤差項不是常態分佈，OLS 估計量仍然是線性且不偏的。在足夠大的樣本下，根據中央極限定理，OLS 估計量近似常態分佈，因此推論統計（假設檢定、信賴區間）仍然是有效的。OLS 的 BLUE 性質（最小變異數）不受誤差項常態性的影響。

• B) there is heteroskedasticity.
  異質變異數 (Heteroskedasticity) 指的是誤差項的變異數不是恆定的 ($\text{Var}(\epsilon_i) = \sigma_i^2$)。

核心觀念

• 迴歸模型中的虛擬變數（dummy variable）用於捕捉特定時間點或事件的固定效果。
• 當虛擬變數 $X_i$ 取值只有 $0$ 與 $1$ 時，係數 $\beta$ 代表 在其他解釋變數保持不變的情況下，$X_i$ 從 $0$ 變為 $1$ 時，因變數的期望值改變的大小。
• $CRISIS$ 只在 2008 年取 $1$，在其他所有觀測值（包括 2019 年）取 $0$，因此其參考群體（omitted category）是「非 2008 年」的所有年份。

解題方法

1. 寫出模型的條件期望：
   $E[\text{DPS}\mid CRISIS, COVID, EPS]=\beta_0+\beta_1\,CRISIS+\beta_2\,COVID+\beta_3\,EPS$
2. 設定 $CRISIS=1$（2008 年），$COVID=0$，$EPS$ 為任意值 $e$，得到
   $E[\text{DPS}\mid \text{2008},COVID=0,EPS=e]=\beta_0+\beta_1+\beta_3 e$
3. 設定 $CRISIS=0$（非 2008 年），同樣 $COVID=0$，$EPS=e$，得到
   $E[\text{DPS}\mid \text{非 2008},COVID=0,EPS=e]=\beta_0+\beta_3 e$
4. 兩式相減：
   $\big(E[\text{DPS}\mid \text{2008}] - E[\text{DPS}\mid \text{非 2008}]\big)=\beta_1$

本題考驗異質變異數 (Heteroskedasticity) 檢定中，用來代表觀測值變異性的代理變數。

異質變異數是指在迴歸模型中，誤差項的變異數不是恆定的，而是隨一個或多個自變數而變動。
$\text{Var}(\epsilon_i | \mathbf{x}_i) = \sigma_i^2$
其中 $\sigma_i^2$ 不是一個常數。

在進行異質變異數檢定時（例如 Breusch-Pagan 檢定或 White 檢定），我們需要一個能夠反映 $\sigma_i^2$ 的代理變數。
誤差項 $\epsilon_i$ 是無法直接觀測的，我們只能觀測到殘差 (residuals)，記為 $\hat{e}_i$。
殘差 $\hat{e}_i = y_i - \hat{y}_i$，它近似於真實誤差項 $\epsilon_i$。

• A) The residuals from the regression.
  殘差 $\hat{e}_i$ 是誤差項 $\epsilon_i$ 的估計值。但殘差本身是與觀測值相關的，直接使用殘差來檢定變異數的變動性是不夠的。

• B) The squares of the residuals from the regression.
  異質變異數意味著誤差項的變異數（方差）不是恆定的。
  我們知道 $\text{Var}(\epsilon_i) = \sigma_i^2$。
  殘差 $\hat{e}_i$ 是對 $\epsilon_i$ 的估計。

本題考驗複迴歸中遺漏變數偏誤 (Omitted Variable Bias, OVB) 的條件。

模型為：
真實模型：$y = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 z + \epsilon$
估計模型：$y = \beta_0^* + \beta_1^* x + \epsilon^*$

其中，遺漏的變數是 $z$。
OLS 估計量 $\hat{\beta}_1^*$ 對於真實參數 $\beta_1$ 是否有偏，取決於遺漏變數 $z$ 的兩個條件：

1. 遺漏變數 $z$ 對因變數 $y$ 有影響（即 $\beta_2 \ne 0$）。
2. 遺漏變數 $z$ 與模型中包含的自變數 $x$ 相關（即 $\text{Cov}(x, z) \ne 0$）。

如果這兩個條件同時滿足，那麼 OLS 估計量 $\hat{\beta}_1^*$ 將會對 $\beta_1$ 產生偏誤。

我們逐一分析選項：

• A) The omitted variable z affects y and is correlated with x.

  • 「z affects y」對應於真實模型中 $\beta_2 \ne 0$。
  • 「is correlated with x」對應於 $\text{Cov}(x, z) \ne 0$。
    這兩個條件同時滿足，因此遺漏變數 $z$ 會導致 $\hat{\beta}_1^*$ 對 $\beta_1$ 產生偏誤。這個選項是正確的。

• B) The omitted variable z affects y but is uncorrelated with x.

  • 「z affects y」滿足 ($\beta_2 \ne 0$)。

本題考驗機率、條件機率、獨立性檢定以及相關係數的計算。

題目描述：一個 urn 中有 8 個球，4 白 (W), 3 黑 (B), 1 紅 (R)。
隨機抽取兩顆球。
隨機變數 X 和 Y 的定義：
X = 1 (第一次抽到黑球), 2 (第一次抽到紅球), 3 (第一次抽到白球)
Y = 1 (第二次抽到黑球), 2 (第二次抽到紅球), 3 (第二次抽到白球)

(1) X 和 Y 何時獨立？畫圖說明。

首先，我們需要理解「獨立」的定義。
對於兩個隨機變數 X 和 Y，如果對於所有可能的 $x_i$ 和 $y_j$，都滿足 $P(X=x_i, Y=y_j) = P(X=x_i)P(Y=y_j)$，則 X 和 Y 是獨立的。

情況一：抽樣有放回 (With Replacement)
如果抽樣是有放回的，那麼第一次抽取的結果不會影響第二次抽取的機率。

• P(第一次抽到黑球) = P(X=1) = 3/8
• P(第一次抽到紅球) = P(X=2) = 1/8
• P(第一次抽到白球) = P(X=3) = 4/8 = 1/2

由於是有放回抽樣，第二次抽球的機率分佈與第一次相同，與第一次的結果無關。

• P(第二次抽到黑球) = P(Y=1) = 3/8
• P(第二次抽到紅球) = P(Y=2) = 1/8
• P(第二次抽到白球) = P(Y=3) = 4/8 = 1/2

由於 $P(Y=y_j | X=x_i) = P(Y=y_j)$，所以 X 和 Y 是獨立的。

數值範例說明：
我們來驗證 $P(X=1, Y=1) = P(X=1)P(Y=1)$。
$P(X=1)$ 是第一次抽到黑球的機率 = 3/8。
$P(Y=1)$ 是第二次抽到黑球的機率 = 3/8 (因為是有放回)。
$P(X=1, Y=1)$ 是第一次抽到黑球且第二次抽到黑球的機率。
由於是獨立事件，$P(X=1, Y=1) = P(X=1) \times P(Y=1) = (3/8) \times (3/8) = 9/64$。
這與 $P(X=1)P(Y=1)$ 相符。

情況二：抽樣無放回 (Without Replacement)
如果抽樣是無放回的，那麼第一次抽取的結果會影響第二次抽取的機率。
例如：

• P(X=1) = P(第一次抽到黑球) = 3/8。
• 如果第一次抽到黑球 (X=1)，則 urn 中剩下 7 個球：4 白, 2 黑, 1 紅。
  此時，P(Y=1 | X=1) = P(第二次抽到黑球 | 第一次抽到黑球) = 2/7。
• $P(X=1, Y=1) = P(X=1) \times P(Y=1 | X=1) = (3/8) \times (2/7) = 6/56 = 3/28$。

現在計算 $P(X=1)P(Y=1)$：
$P(X=1) = 3/8$。
$P(Y=1)$ = P(第二次抽到黑球)。這需要考慮所有第一次抽球的可能情況。
$P(Y=1) = P(Y=1|X=1)P(X=1) + P(Y=1|X=2)P(X=2) + P(Y=1|X=3)P(X=3)$
$P(Y=1) = (2/7)(3/8) + (3/7)(1/8) + (3/7)(4/8)$
$P(Y=1) = (6/56) + (3/56) + (12/56) = 21/56 = 3/8$。
注意，在無放回抽樣中，第二次抽到某種顏色球的機率，與第一次抽到該顏色球的機率是相同的。這是 due to symmetry。

現在比較：
$P(X=1, Y=1) = 3/28$
$P(X=1)P(Y=1) = (3/8) \times (3/8) = 9/64$
由於 $3/28 \ne 9/64$ ($3 \times 64 = 192$, $28 \times 9 = 252$)，所以 X 和 Y 不是獨立的。

結論： X 和 Y 在有放回抽樣時是獨立的。在無放回抽樣時，X 和 Y 不是獨立的。

圖示說明：
可以通過列出聯合機率分佈表來展示獨立性。

有放回抽樣 (獨立)：

X\Y	Y=1 (B)	Y=2 (R)	Y=3 (W)	P(X)
X=1 (B)	9/64	3/64	12/64	24/64=3/8
X=2 (R)	3/64	1/64	4/64	8/64=1/8
X=3 (W)	12/64	4/64	16/64	32/64=1/2
P(Y)	24/64=3/8	8/64=1/8	32/64=1/2	1
檢查：例如 $P(X=1, Y=1) = 9/64$。 $P(X=1)P(Y=1) = (3/8)(3/8) = 9/64$。 獨立。

無放回抽樣 (非獨立)：
需要計算所有聯合機率。
P(X=1)=3/8, P(X=2)=1/8, P(X=3)=4/8
P(Y=1)=3/8, P(Y=2)=1/8, P(Y=3)=4/8

P(X=1, Y=1) = P(Y=1|X=1)P(X=1) = (2/7)(3/8) = 6/56
P(X=1, Y=2) = P(Y=2|X=1)P(X=1) = (1/7)(3/8) = 3/56
P(X=1, Y=3) = P(Y=3|X=1)P(X=1) = (4/7)(3/8) = 12/56

P(X=2, Y=1) = P(Y=1|X=2)P(X=2) = (3/7)(1/8) = 3/56
P(X=2, Y=2) = P(Y=2|X=2)P(X=2) = (0/7)(1/8) = 0/56 (不可能抽到紅球後再抽到紅球)
P(X=2, Y=3) = P(Y=3|X=2)P(X=2) = (4/7)(1/8) = 4/56

P(X=3, Y=1) = P(Y=1|X=3)P(X=3) = (3/7)(4/8) = 12/56
P(X=3, Y=2) = P(Y=2|X=3)P(X=3) = (1/7)(4/8) = 4/56
P(X=3, Y=3) = P(Y=3|X=3)P(X=3) = (3/7)(4/8) = 12/56

X\Y	Y=1 (B)	Y=2 (R)	Y=3 (W)	P(X)
X=1 (B)	6/56	3/56	12/56	21/56=3/8
X=2 (R)	3/56	0/56	4/56	7/56=1/8
X=3 (W)	12/56	4/56	12/56	28/56=1/2
P(Y)	21/56=3/8	7/56=1/8	28/56=1/2	1

本題考驗迴歸分析中的 R-squared、調整後 R-squared、F 檢定以及虛擬變數的應用。

基本資訊：

• 模型：$\text{INS}_t = -102.12 + 0.47 \text{ESG}_t + 5.51 \text{SIZE}_t - 0.01 \text{RD}_t + \epsilon_t$
• 樣本數 $n = 465$
• SST (Total Sum of Squares) = 168,863
• $R^2 = 0.56$
• 估計係數的標準誤 (Standard Errors) 在括號內：SE(ESG)=0.082, SE(SIZE)=0.460, SE(RD)=0.029。

(1) 調整後 R-squared (Adjusted R-squared)

調整後 R-squared 的公式為：
$\bar{R}^2 = 1 - \frac{SSE / (n-k-1)}{SST / (n-1)}$
其中：

• $n$ 是樣本數。
• $k$ 是自變數的數量。
• $n-k-1$ 是模型的自由度 (degrees of freedom, df)。
• $n-1$ 是 SST 的自由度。

在這個模型中，有 3 個自變數：ESG, SIZE, RD。所以 $k=3$。
$n=465$。
$n-k-1 = 465 - 3 - 1 = 461$ (模型的自由度)。
$n-1 = 465 - 1 = 464$ (SST 的自由度)。

首先，我們需要計算 SSE (Sum of Squared Errors)。
我們知道 $R^2 = \frac{SSR}{SST}$，且 $SST = SSR + SSE$。
所以，$SSR = R^2 \times SST = 0.56 \times 168,863$。
$SSR = 94,562.28$。

$SSE = SST - SSR = 168,863 - 94,562.28 = 74,300.72$。

現在，計算調整後 R-squared：
$\bar{R}^2 = 1 - \frac{74,300.72 / 461}{168,863 / 464}$
$\bar{R}^2 = 1 - \frac{161.1729}{363.9289}$
$\bar{R}^2 = 1 - 0.44287$
$\bar{R}^2 \approx 0.55713$

所以，調整後 R-squared 約為 0.5571。

(2) 整體迴歸顯著性檢定 (Overall Significance Test)

檢定整個迴歸模型是否顯著，即至少有一個自變數的係數不為零。

• 虛無假設 ($H_0$): 所有自變數的係數都為零。
  $H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = 0$
• 對立假設 ($H_1$): 至少有一個自變數的係數不為零。
  $H_1: \text{Not all } \beta_j = 0 \text{ for } j=1, 2, 3$。

使用的檢定統計量是 F 統計量。
F 統計量的計算公式為：
$F = \frac{SSR / k}{SSE / (n-k-1)}$
其中：

• $k$ 是自變數的數量 (3)。
• $n-k-1$ 是模型的自由度 (461)。

我們已經計算出 $SSR = 94,562.28$ 和 $SSE = 74,300.72$。

$F = \frac{94,562.28 / 3}{74,300.72 / 461}$
$F = \frac{31,520.76}{161.1729}$
$F \approx 195.57$

F 統計量的值為 195.57。
這個 F 統計量服從自由度為 $(k, n-k-1) = (3, 461)$ 的 F 分佈。

總結：

• 虛無假設：$H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = 0$
• 對立假設：$H_1:$ Not all $\beta_j = 0$ for $j=1, 2, 3$.
• F 統計量值：195.57。

(3) 檢定年度虛擬變數是否聯合冗餘 (jointly redundant)

當加入年度固定效應 (year fixed effects) 後，R-squared 從 0.56 上升到 0.64。
加入年度固定效應意味著模型中增加了 $(n_{\text{years}}-1)$ 個虛擬變數。