112 年 國立中正大學財務金融學系碩士班《統計學》

核心觀念

本題考「累積相對次數」的定義與性質。

若各組依序為第 $1,2,\ldots,k$ 組，則第 $k$ 組的累積相對次數為：

$$F_k=\sum_{i=1}^{k} f_i$$

其中 $f_i$ 為第 $i$ 組的相對次數。因此，累積相對次數必須符合：

1. 按照組別順序必為非遞減：
   $F_1\leq F_2\leq\cdots\leq F_k$
2. 最後一組的累積相對次數必為 $1$，代表全部資料。
3. 相同的累積相對次數可以連續出現，表示中間組別的相對次數為 $0$。

本題各類別的累積相對頻率為：

$A=1.00,\quad B=0.15,\quad C=0.30,\quad D=0.80,\quad E=0.15$

因此，類別順序必須按照累積相對頻率由小到大排列：

$$0.15,\ 0.15,\ 0.30,\ 0.80,\ 1.00$$

也就是 $B$、$E$ 的順序可互換，接著為 $C$、$D$、$A$。選項中符合者為：

$$E\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow D\rightarrow A$$

解題方法

將各類別的累積相對頻率依數值由小到大排列：

類別	累積相對頻率
B	0.15
E	0.15
C	0.30
D	0.80
A	1.00

累積相對頻率不能下降，且最後必須達到 $1.00$，所以順序必須是：

$$EBCDA$$

本題考驗條件機率的應用，需要仔細定義事件並運用貝氏定理或聯合機率來求解。

首先，我們定義幾個事件：

• P: 購買產品 (Purchase product)
• NP: 不購買產品 (Not purchase product)
• S: 看過電視廣告 (Seen the TV ad)
• NS: 沒看過電視廣告 (Not seen the TV ad)

根據題目給的資訊，我們可以寫出以下機率：

1. 「20% of the people surveyed purchase the product and have seen the ad」
   $P(P \cap S) = 0.20$

2. 「Thirty-five percent of the people who purchase the product have never seen the TV ad」
   這是條件機率：在購買產品的條件下，沒有看過廣告的機率。
   $P(NS | P) = 0.35$
   我們知道 $P(NS | P) = \frac{P(NS \cap P)}{P(P)}$。
   所以，$P(NS \cap P) = P(NS | P) \times P(P) = 0.35 \times P(P)$。
   同時，購買產品的人，要嘛看過廣告，要嘛沒看過廣告：$P(P) = P(P \cap S) + P(P \cap NS)$。
   將 $P(P \cap S) = 0.20$ 代入：$P(P) = 0.20 + P(P \cap NS)$。
   所以，$P(P \cap NS) = P(P) - 0.20$。
   將此代回 $P(NS \cap P)$ 的式子：$P(P) - 0.20 = 0.35 \times P(P)$。
   $0.65 \times P(P) = 0.20$
   $P(P) = \frac{0.20}{0.65} = \frac{20}{65} = \frac{4}{13} \approx 0.3077$。
   因此，購買產品的總機率是 $\frac{4}{13}$。
   $P(P \cap NS) = P(P) - P(P \cap S) = \frac{4}{13} - 0.20 = \frac{4}{13} - \frac{2}{10} = \frac{4}{13} - \frac{1}{5} = \frac{20 - 13}{65} = \frac{7}{65} \approx 0.1077$。
   驗證：$P(NS | P) = \frac{P(NS \cap P)}{P(P)} = \frac{7/65}{4/13} = \frac{7}{65} \times \frac{13}{4} = \frac{7}{5 \times 4} = \frac{7}{20} = 0.35$。符合。

核心觀念

中位數（median）是將資料由小到大排列後，位於中央位置的數值：

• 當資料筆數為奇數時，中位數是第 $\frac{n+1}{2}$ 個數。
• 當資料筆數為偶數時，中位數是中央兩個數的平均，即第 $\frac{n}{2}$ 個與第 $\frac{n}{2}+1$ 個數的平均。

原有 15 位學生，成績已由小到大排列：

$$56,59,60,65,70,75,78,80,80,87,89,92,95,99,100$$

原本的中位數為第 $8$ 個數：

$$\operatorname{Median}=80$$

加入第 16 位學生後，共有 16 筆成績，因此新的中位數為排序後第 $8$ 個與第 $9$ 個數的平均。

解題方法

原資料中第 $8$、第 $9$ 個成績皆為 $80$：

$\cdots,78,\boxed{80},\boxed{80},87,\cdots$

要使加入新成績後的中位數仍為 $80$，排序後第 $8$ 與第 $9$ 個成績的平均必須為 $80$。

若新成績為 $80$，排序後為：

$$56,59,60,65,70,75,78,80,80,80,87,89,92,95,99,100$$

第 $8$、第 $9$ 個數皆為 $80$，所以：

$$\operatorname{Median}=\frac{80+80}{2}=80$$

若新成績為 $81$，排序後為：

$$56,59,60,65,70,75,78,80,80,81,87,89,92,95,99,100$$

第 $8$、第 $9$ 個數仍皆為 $80$，所以：

本題考驗對機率分配偏態 (skewness) 的概念。

當一個機率分配「右偏」(skewed to the right) 或稱為「正偏態」(positively skewed) 時，其尾部較長的一側朝向右方（較大的值）。
這種分配通常具有以下特徵：

1. 偏態係數 (Skewness Coefficient)：對於右偏分配，偏態係數為正值。
2. 平均數、中位數和眾數的關係：
   • 眾數 (Mode) 是出現頻率最高的值，通常位於分配的峰頂。
   • 中位數 (Median) 是將資料分成兩半的值。
   • 平均數 (Mean) 會受到極端值的影響，右偏分配的長尾會將平均數拉向右邊。
     因此，對於右偏分配，通常的關係是：
     眾數 < 中位數 < 平均數
     (Mode < Median < Mean)

核心觀念

本題考查幾何平均數（geometric mean）與算術平均數（arithmetic mean）的定義、適用條件，以及兩者對極端值的敏感程度。

對 $n$ 個正數 $x_1,x_2,\ldots,x_n$：

• 算術平均數：

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$$

• 幾何平均數：

$$G=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n} =\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{1/n}$$

對所有正數資料，算術平均數與幾何平均數滿足算術—幾何平均不等式：

$$G\leq \bar{x}$$

當所有資料相等時取等號；若資料不全相等，則 $G<\bar{x}$。

幾何平均數常用於成長率、報酬率、複利效果等「連乘」情境。

解題方法

逐一判斷各選項是否符合幾何平均數的性質。關鍵判斷有三點：

1. 正數資料下，幾何平均數不大於算術平均數。
2. 幾何平均數必須建立在正數資料上。
3. 幾何平均數相較於算術平均數，通常較不容易受到極端大值影響。

因此，宣稱幾何平均數「對極端值更敏感」的敘述，即為錯誤敘述。

選項分析

A) The geometric mean is smaller than the arithmetic mean.

幾何平均數滿足：

$$G\leq \bar{x}$$

當資料不全相等時：

$$G<\bar{x}$$

因此，在統計學通常假設資料為正數且不完全相同的情況下，此敘述正確。

嚴格而言，若所有觀察值完全相同，幾何平均數會等於算術平均數；考試中的此敘述是採用一般性比較的簡化說法。

B) The geometric mean is more sensitive to extreme values than the arithmetic mean.

此敘述錯誤。

算術平均數直接將每個觀察值相加，因此極端大值會大幅拉高平均數。例如資料為 $1,1,100$：

$$\bar{x}=\frac{1+1+100}{3}=34$$

而幾何平均數為：

核心觀念

幾何平均報酬率適用於計算多期投資報酬的平均成長率。由於報酬率具有複利效果，不能直接以算術平均計算。

若各期報酬率為 $r_1,r_2,\ldots,r_n$，幾何平均報酬率為：

$$\bar r_g=\left[\prod_{i=1}^{n}(1+r_i)\right]^{1/n}-1$$

其中，$1+r_i$ 是各期的「報酬成長因子」。

本題雖然包含負報酬率，但只要每期的 $1+r_i>0$，幾何平均仍然可以計算。

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解題方法

五期報酬率分別為：

$$15\%,\quad 12.5\%,\quad 5\%,\quad -3.2\%,\quad -6.9\%$$

先將報酬率轉換為成長因子：

$$\begin{aligned} 1+15\%&=1.15\\ 1+12.5\%&=1.125\\ 1+5\%&=1.05\\ 1-3.2\%&=0.968\\ 1-6.9\%&=0.931 \end{aligned}$$

因此，五期總成長因子為：

$$1.15\times1.125\times1.05\times0.968\times0.931 =1.2242347425$$

取五次方根，再減去 $1$：

$$\bar r_g =(1.2242347425)^{1/5}-1 \approx 0.0413$$

換算為百分比：

$$\bar r_g\approx 4.13\%$$

所以正確答案為 C。

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選項分析

本題考驗對中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 和自由度 (degree of freedom) 的理解。

我們逐一分析各個選項：

A) The Central Limit Theory tells us that as population size grows, its distribution approaches normal.
中央極限定理 (CLT) 關注的是 樣本統計量（例如樣本平均數）的抽樣分配，而不是 母體本身 的分佈。不論母體的分布為何，只要樣本數足夠大，樣本平均數的抽樣分配就會近似於常態分配。母體的大小 (population size) 並不是 CLT 的直接條件；CLT 的條件是 樣本大小 (sample size) 夠大。
此敘述錯誤。

B) As the sample size increases, the sampling distribution of the mean approaches normal, regardless of the population distribution.
這正是中央極限定理的核心內容。

本題考驗對信賴區間 (Confidence Interval, CI) 寬度的影響因素的理解。

信賴區間的寬度通常由以下公式決定（以平均數為例）：
CI 寬度 = 2 * (臨界值) * (標準誤)

對於平均數的信賴區間，其公式為：
$\bar{X} \pm Z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (當母體標準差 $\sigma$ 已知時)
或
$\bar{X} \pm t_{\alpha/2, n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$ (當母體標準差 $\sigma$ 未知時，用樣本標準差 $s$ 估計)

信賴區間的寬度是其上限減去下限，即：
寬度 = $2 \times (\text{臨界值}) \times (\text{標準誤})$

我們來分析各個選項對寬度的影響：

A) Larger sample mean ($\bar{X}$):
樣本平均數 $\bar{X}$ 是信賴區間的中心點，它不影響信賴區間的寬度。寬度由臨界值和標準誤決定。
此選項錯誤。

B) Larger sample variance ($s^2$ 或 $\sigma^2$):
樣本變異數越大，標準差 $s$ (或 $\sigma$) 就越大。

核心觀念

顯著水準 $\alpha$ 是在虛無假設 $H_0$ 為真時，錯誤拒絕 $H_0$ 的最大容許機率：

$$\alpha=P(\text{拒絕 }H_0\mid H_0\text{ 為真})$$

當顯著水準由 $5\%$ 提高至 $10\%$：

• 能接受的第一類錯誤機率提高。
• 拒絕域擴大，判定標準變寬鬆。
• 更容易拒絕虛無假設。
• 在檢定統計量與樣本資料不變時，$p$ 值不會因顯著水準改變而改變。

假設檢定的判斷規則為：

$$p\text{-value}\leq \alpha \quad\Rightarrow\quad \text{拒絕 }H_0$$

因此，$\alpha$ 只是用來和既定的 $p$ 值比較；$p$ 值本身是由樣本資料及檢定統計量所決定。

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解題方法

題目問提高顯著水準後，哪一項「不是」其影響。逐項判斷顯著水準由 $0.05$ 變成 $0.10$ 後的效果即可。

由於新顯著水準較大，拒絕條件由

$$p\text{-value}\leq 0.05$$

放寬為

$$p\text{-value}\leq 0.10$$

原本介於 $0.05$ 與 $0.10$ 之間的 $p$ 值，在新標準下也會導致拒絕 $H_0$。所以拒絕 $H_0$ 的機率增加，而非減少；拒絕標準也變得較寬鬆，而非嚴格。

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選項分析

A) The probability of a Type I error is increased.

本題考驗對假設檢定 (Hypothesis Testing) 基本概念的理解。

我們逐一分析各個選項：

A) Whenever possible, in establishing the null and alternative hypotheses, the research hypothesis should be made the alternative hypothesis.
研究假設 (research hypothesis) 通常是我們想要證明或支持的論點。在假設檢定中，我們將我們希望找到證據支持的陳述設定為對立假設 ($H_a$ 或 $H_1$)。虛無假設 ($H_0$) 通常是我們希望推翻的現有狀態或無效論點。因此，研究假設通常對應於對立假設。
此敘述是正確的。

B) Hypothesis testing and confidence interval estimation are essentially two totally different statistical procedures and share little in common with each other.
假設檢定和信賴區間估計是密切相關的統計程序。事實上，它們是從相同的理論基礎發展出來的，並且可以相互轉換。例如，一個雙尾檢定，如果在給定的顯著水準 $\alpha$ 下無法拒絕虛無假設，則母體參數會落在對應於 $(1-\alpha)$ 信賴水準的信賴區間內。反之亦然。它們都基於抽樣分配和統計推論。
此敘述是錯誤的。

C) A conclusion to "not reject" the null hypothesis is the same as the decision to "accept the null hypothesis".

核心觀念

本題考查 $F$ 分配的定義與應用，包含：

1. 兩個母體變異數的比較。
2. $F$ 分配的形狀。
3. $F$ 統計量與卡方分配的關係。
4. 變異數分析（ANOVA）的用途。

若 $X\sim\chi^2_{\nu_1}$、$Y\sim\chi^2_{\nu_2}$，且 $X$ 與 $Y$ 相互獨立，則

$$F=\frac{X/\nu_1}{Y/\nu_2}$$

服從自由度為 $(\nu_1,\nu_2)$ 的 $F$ 分配，記為

$$F\sim F(\nu_1,\nu_2).$$

其中 $\nu_1,\nu_2$ 分別為分子與分母的自由度。

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解題方法

本題沒有數值計算，直接逐一判斷選項敘述是否符合統計學定義即可。

核心判斷依據如下：

• 比較兩個常態母體變異數時，可使用兩個樣本變異數的比值，該統計量服從 $F$ 分配。
• $F$ 分配只取非負值，且通常呈右偏，即正偏態。
• $F$ 統計量是兩個獨立卡方隨機變數，各自除以自由度後的比值。
• ANOVA 用來比較兩個或兩個以上母體平均數是否相同。

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選項分析

A) The test statistic for comparing two population variance follows the F distribution.

正確。

在兩個相互獨立且皆服從常態分配的母體中，若欲檢定

$$H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2,$$

可使用統計量

$$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}.$$

在虛無假設成立時，

$$\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1),$$

因此比較兩個母體變異數的檢定統計量服從 $F$ 分配。此結論建立在母體常態與樣本獨立等條件下。

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B) The shape of the F distribution is positively skewed.

正確。

$F$ 分配的取值範圍為

$$F\geq 0,$$

且分配通常具有右長尾，因此呈正偏態（positively skewed）。

當分子、分母自由度增加時，$F$ 分配的右偏程度會降低，分配形狀會逐漸集中於 $1$ 附近，但其基本特徵仍是非負且右偏。

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本題考驗兩獨立樣本平均數差異的假設檢定，特別是當母體變異數未知時。此時我們需要使用 t 檢定。

首先，我們需要計算檢定統計量。由於兩個母體的樣本大小不同 ($n_x=12, n_y=15$)，且母體變異數未知，我們通常會進行一個 t 檢定。
當母體變異數未知時，有兩種情況：

1. 假設兩個母體變異數相等 ($\sigma_1^2 = \sigma_2^2$)：使用合併變異數 (pooled variance) 的 t 檢定，自由度為 $df = n_x + n_y - 2$。
2. 假設兩個母體變異數不相等 ($\sigma_1^2 \ne \sigma_2^2$)：使用 Welch's t 檢定，自由度計算較複雜 (Welch-Satterthwaite equation)。

題目中給了樣本標準差 $s_x=6$ 和 $s_y=7$。由於 $s_x \ne s_y$，我們不能直接假設母體變異數相等。然而，在許多入門課程中，即使樣本標準差不同，有時也會被要求使用合併變異數的方法。我們需要根據課本或老師的教學習慣來判斷。

我們先假設使用合併變異數的方法，並計算檢定統計量。
合併變異數 $s_p^2 = \frac{(n_x-1)s_x^2 + (n_y-1)s_y^2}{n_x+n_y-2}$
$s_p^2 = \frac{(12-1)6^2 + (15-1)7^2}{12+15-2} = \frac{11 \times 36 + 14 \times 49}{25} = \frac{396 + 686}{25} = \frac{1082}{25} = 43.28$
$s_p = \sqrt{43.28} \approx 6.579$

t 檢定統計量：$t = \frac{(\bar{x} - \bar{y}) - (\mu_x - \mu_y)}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_x} + \frac{1}{n_y}}}$
虛無假設通常是 $H_0: \mu_x = \mu_y$ (即 $\mu_x - \mu_y = 0$)
$t = \frac{(5 - 4) - 0}{6.579 \sqrt{\frac{1}{12} + \frac{1}{15}}} = \frac{1}{6.579 \sqrt{0.08333 + 0.06667}} = \frac{1}{6.579 \sqrt{0.15}} = \frac{1}{6.579 \times 0.3873} = \frac{1}{2.547} \approx 0.3926$
自由度 $df = n_x + n_y - 2 = 12 + 15 - 2 = 25$。

現在我們檢定這個 t 值在不同的顯著水準下的情況。
我們需要查 t 分配表 (t-distribution table) 或使用統計軟體。
對於雙尾檢定，我們比較 $|t|$ 與 $t_{\alpha/2, df}$。

a) $\alpha = 0.10$。 $\alpha/2 = 0.05$。 $df = 25$。
查 t 表，找到 $t_{0.05, 25}$。
從提供的 t 分配表 (page 8)，df=25, p=0.05 (這通常代表右尾機率，所以對於雙尾檢定，我們需要看 $p=0.05/2 = 0.025$ 的值，或者看 $p=0.05$ 的值，這取決於表格的定義)。
假設表格中的 p 是右尾機率。對於雙尾檢定，我們需要 $t_{0.05, 25}$。
在 page 8 的 t 表中，df=25, 0.05 對應的值是 1.708。
我們的 $|t| = 0.3926$。
$0.3926 < 1.708$。

核心觀念

本題考查多元迴歸中的：

• 判定係數 $R^2$
• 加入自變數對 $R^2$ 的影響
• 最小平方法殘差的性質
• 調整後判定係數 $\bar{R}^2$

設多元迴歸模型包含截距項：

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_{i1}+\cdots+\beta_kX_{ik}+\varepsilon_i$$

以最小平方法估計後，殘差為：

$$e_i=Y_i-\hat{Y}_i$$

最小平方法的正規方程式指出，只要模型包含截距項，殘差總和必為零：

$$\sum_{i=1}^{n}e_i=0$$

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解題方法

本題不需要計算，直接依據多元迴歸的基本定理逐一判斷各選項。

判斷重點如下：

1. $R^2$ 不等於相關矩陣中最大相關係數的平方。
2. 加入變數後，$R^2$ 不會下降。
3. 含截距的最小平方法迴歸，其殘差總和為零。
4. 調整後 $R^2$ 通常不會高於 $R^2$。

因此正確選項為 C。

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選項分析

A）錯誤

The coefficient of determination will be equal to the square of the highest correlation in the correlation matrix.

判定係數的定義為：

$$R^2=\frac{SSR}{SST}=1-\frac{SSE}{SST}$$

在多元迴歸中，$R^2$ 衡量的是「所有自變數聯合起來」對依變數變異的解釋程度，並不等於相關矩陣中最高相關係數的平方。

最高相關係數平方只代表某一對變數之間的簡單線性關係。例如，若依變數 $Y$ 分別與 $X_1$、$X_2$ 有相關，但 $X_1$ 與 $X_2$ 結合後能提供額外資訊，則多元迴歸的 $R^2$ 可能高於任何單一相關係數平方。

只有在「單一自變數的簡單迴歸」中，才有：

$$R^2=r_{XY}^2$$

因此 A 錯誤。

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B）錯誤

Adding variables that have a low correlation with the dependent variable will cause the R-square value to decline.

在迴歸模型中加入新的自變數後，殘差平方和 $SSE$ 不會增加，因此 $R^2$ 不會下降：

$$R^2=1-\frac{SSE}{SST}$$

加入變數後，模型至少可以維持原本的配適程度，也可能使 $SSE$ 降低、$R^2$ 提高。因此：

• 新變數若沒有提供額外解釋力，$R^2$ 可能維持不變；
• 新變數若提供額外資訊，$R^2$ 會上升；
• $R^2$ 不會因加入變數而下降。

核心觀念

本題考查多元迴歸分析中的三個觀念：

1. 迴歸斜率係數的信賴區間與假設檢定。
2. $R^2$ 與 adjusted $R^2$ 的關係。
3. 多元迴歸截距的意義與判定。

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解題方法

逐一檢驗各選項是否符合迴歸分析的基本定理與公式。

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選項分析

A) 正確

若迴歸斜率係數 $\beta_j$ 的信賴區間跨過 $0$，表示 $0$ 落在該信賴區間內。

例如，斜率的 $95\%$ 信賴區間為：

$$(-0.20,\ 0.35)$$

由於區間包含 $0$，因此在相對應的顯著水準下，母體迴歸斜率 $\beta_j=0$ 與樣本資料相容，無法拒絕：

$$H_0:\beta_j=0$$

因此，題目所述「the true population regression slope coefficient could be zero」成立。

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B) 錯誤

$R^2$ 衡量模型對應變數變異的解釋比例。加入新的自變數後，$R^2$ 不會下降，即使新增變數不顯著，仍有：

$$R^2_{\text{new}}\geq R^2_{\text{old}}$$

調整後決定係數則會對自變數數量進行懲罰，其公式為：

$$\bar R^2 = 1-\frac{(1-R^2)(n-1)}{n-k-1}$$

其中：

• $n$：樣本數；
• $k$：自變數個數。

本題考驗複迴歸模型中，檢定整體解釋能力的虛無假設。

複迴歸模型的標準形式為：
$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \dots + \beta_k X_k + \epsilon$
其中 $\beta_0$ 是截距項，$\beta_1, \dots, \beta_k$ 是斜率係數，代表各自變數對應變數的影響。

檢定「整體解釋能力」的目的是要判斷模型中的所有自變數（除了截距項）是否能顯著地共同解釋應變數的變異。
這通常透過 F 檢定來完成。
虛無假設 ($H_0$) 是所有斜率係數都等於零，這意味著所有的自變數對應變數都沒有線性解釋力。
對立假設 ($H_a$) 是至少有一個斜率係數不等於零，這意味著至少有一個自變數對應變數有線性解釋力。

在這個問題中，有 4 個獨立變數 ($X_1, X_2, X_3, X_4$)。
所以，模型是 $Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + \beta_4 X_4 + \epsilon$。
這裡的斜率係數是 $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$。

虛無假設 $H_0$ 是：所有的斜率係數都等於零。
$H_0: \beta_1 = 0, \beta_2 = 0, \beta_3 = 0, \beta_4 = 0$。
這可以簡寫為：
$H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = \beta_4 = 0$。

本題考驗對類別變數 (categorical variables) 在迴歸模型中如何轉換為數值變數的理解，特別是使用虛擬變數 (dummy variables) 的方法。

當一個類別變數有 $m$ 個類別時，我們通常需要引入 $m-1$ 個虛擬變數來代表它。這是為了避免在模型中出現「虛擬變數陷阱」(dummy variable trap)，即完全的多重共線性。

第一個額外變數是「地區」(region of the country)。
它有 4 個類別：North, South, East, West。
由於有 4 個類別，我們需要引入 $4 - 1 = 3$ 個虛擬變數來代表地區。
例如，我們可以設定一個參考類別（例如 North），然後創建以下虛擬變數：

• $D_{South}$: 1 如果地區是 South，0 否則。
• $D_{East}$: 1 如果地區是 East，0 否則。
• $D_{West}$: 1 如果地區是 West，0 否則。
  如果地區不是 South, East, West，那麼它就是 North，而這三個虛擬變數都為 0。

核心觀念

多元迴歸模型中的「交互作用」（interaction）是指：一個自變數會改變另一個自變數與依變數之間的關係。

一般模型可寫為：

$$Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\beta_3X_1X_2+\varepsilon$$

其中，$X_1X_2$ 為交互作用項。此時，$X_1$ 對 $Y$ 的邊際效果為：

$$\frac{\partial Y}{\partial X_1}=\beta_1+\beta_3X_2$$

可見 $X_1$ 對 $Y$ 的影響會隨著 $X_2$ 的數值而改變；同理，$X_2$ 對 $Y$ 的影響也會隨著 $X_1$ 改變。這正是交互作用的意義。

解題方法

本題是定義辨識題，直接判斷各選項是否符合 interaction 的標準定義即可。

選項 A 表示「一個自變數會影響另一個自變數與依變數之間的關係」，這正是交互作用的定義，因此為正確答案。

選項分析

A) one independent variable affects the relationship between another independent variable and the dependent variable.

正確。

一個自變數會改變另一個自變數對依變數的影響程度，代表模型中存在交互作用。例如：

$$Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\beta_3X_1X_2+\varepsilon$$

若 $\beta_3\neq 0$，則 $X_2$ 會影響 $X_1$ 與 $Y$ 之間的關係，符合交互作用的定義。

B) two independent variables are closely related.

錯誤。

兩個自變數彼此高度相關，稱為多重共線性（multicollinearity），不是交互作用。

例如 $X_1$ 與 $X_2$ 高度相關，表示兩者包含相似的資訊；但這不代表 $X_1$ 會改變 $X_2$ 對 $Y$ 的影響。交互作用關注的是「影響效果是否互相依賴」，而非自變數彼此的相關程度。

核心觀念

本題考查時間序列的四大組成：

1. 趨勢成分（trend component）：資料長期向上或向下的變動方向。
2. 季節成分（seasonal component）：在固定且短期的週期內重複出現的規律，例如每年固定月份的銷售波動。
3. 循環成分（cyclical component）：通常與景氣循環有關，週期長度不固定，且常超過一年。
4. 不規則成分（irregular component）：無法由前述規律解釋的隨機波動。

若以線性趨勢模型表示：

$$Y_t=\beta_0+\beta_1 t+\varepsilon_t$$

其中 $\beta_1$ 是每增加一個時間單位，$Y_t$ 的平均變化量。

此外，若模型殘差具有自我相關（autocorrelation），表示不同時間的誤差彼此相關，通常代表模型尚未充分捕捉時間序列中的系統性資訊。

解題方法

逐一比對各選項中的敘述與時間序列定義：

• 看固定月份的規律，判斷是否屬於季節成分。
• 看長期上升或下降，判斷是否屬於趨勢成分。
• 在線性模型中，依斜率判斷變化方向與幅度。
• 檢查預測誤差是否應該彼此獨立。

選項分析

A) An annual time series can exhibit a seasonal component.

錯誤。

季節成分是指一年之內，依月份、季度等固定週期反覆出現的規律。例如月銷售資料可能呈現每年 12 月較高的現象。

但年資料每年只有一筆觀察值，無法在同一年內比較不同月份或季度，因此一般不能辨認出季節成分。年資料可以呈現趨勢或循環，但不具備可直接觀察的年度內季節波動。

B) In a recent meeting, a manager indicated that sales tend to be higher during October, November, and December and lower in the spring. In making this statement, she is indicating that sales for the company are cyclical.

錯誤。

銷售在每年固定的 10 月、11 月、12 月較高，春季較低，這是每年重複出現的固定模式，屬於季節成分，不是循環成分。

循環成分通常反映景氣擴張與衰退，週期長度不固定，且往往跨越數年。例如景氣繁榮時銷售增加、景氣衰退時銷售減少，才是循環變動。

核心觀念

本題考查迴歸分析中的幾種常見問題，以及「增加樣本數」能否改善這些問題。

在迴歸模型

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_{i1}+\cdots+\beta_kX_{ik}+u_i$$

中，增加樣本數主要能降低估計量的抽樣變異，使估計結果更精確；但它不能消除模型本身的結構性問題，例如完全共線性與內生性。

檢定迴歸係數是否顯著時，通常使用

$$t=\frac{\hat{\beta}_j-\beta_{j,0}}{\operatorname{SE}(\hat{\beta}_j)}$$

在虛無假設 $\beta_{j,0}=0$ 下：

$$t=\frac{\hat{\beta}_j}{\operatorname{SE}(\hat{\beta}_j)}$$

若母體中的真實係數確實不為零，增加樣本數通常會使標準誤下降，提升檢定統計量的絕對值，因此較容易達到統計顯著。

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解題方法

判斷每個選項是否能由「增加樣本數」直接改善：

1. 若問題來自資料矩陣的結構性缺陷，增加樣本數通常無法解決。
2. 若問題來自模型設定錯誤，增加樣本數通常也無法解決。
3. 若問題只是估計精確度不足，增加樣本數可能降低標準誤，使估計結果更容易顯著。

因此，本題的關鍵在於區分「模型本身有問題」與「樣本太小導致估計不精確」。

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選項分析

A) Perfect multicollinearity

完全共線性是指某一個解釋變數可以被其他解釋變數完全線性表示，例如

$$X_3=2X_1-5X_2$$

此時設計矩陣 $X$ 不具滿列秩，$X'X$ 不可逆，因此普通最小平方法估計式

$$\hat{\beta}=(X'X)^{-1}X'Y$$

無法計算。

增加樣本數並不會改變這些變數之間的完全線性關係。只要每一筆資料都滿足相同的線性關係，完全共線性依然存在。

因此，A 錯誤。

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B) Heteroscedasticity

異質變異是指誤差項的變異數會隨觀察值而改變：

$$\operatorname{Var}(u_i\mid X_i)=\sigma_i^2$$

且不同觀察值的 $\sigma_i^2$ 不相同。

增加樣本數不會使誤差變異數自動變成相同，也不會消除異質變異。即使樣本數非常大，異質變異仍可能存在。

處理異質變異通常採用：

• 異質變異一致標準誤；
• 加權最小平方法；
• 變數轉換，例如取對數；
• 重新設定模型。

本題考驗對古典線性迴歸模型 (Classical Linear Regression Model, CLRM) 主要假設的理解。題目要求找出「不是」CLRM 假設的選項。

CLRM 的標準假設通常包括：

1. 線性關係：模型形式是線性的。
2. 隨機抽樣：樣本是從母體中隨機抽取的。
3. 無完美多重共線性：自變數之間不存在完美線性關係。
4. 誤差項的期望值為零：$E(\epsilon_i) = 0$。
5. 誤差項的同方差性 (Homoscedasticity)：誤差項的變異數恆定，$\text{Var}(\epsilon_i) = \sigma^2$。
6. 誤差項的獨立性 (Independence)：誤差項之間相互獨立，$\text{Cov}(\epsilon_i, \epsilon_j) = 0$ for $i \ne j$。
7. 誤差項服從常態分配 (Normality)：$\epsilon_i \sim N(0, \sigma^2)$。
8. 自變數與誤差項不相關：$\text{Cov}(X_i, \epsilon_i) = 0$ (或 $E(X_i \epsilon_i) = 0$)。

另外，對於最小平方法 (OLS) 估計量，如果我們想要進行精確的假設檢定（如 t 檢定、F 檢定），則需要誤差項服從常態分配。如果不需要進行精確的假設檢定，僅需要無偏性和一致性，則常態假設可以省略（特別是當樣本量足夠大時，由 CLT 保證）。
OLS 估計量在假設 4-8（或 4-6，如果省略常態）下是最佳線性無偏估計量 (BLUE - Best Linear Unbiased Estimator)。

現在我們逐一檢視題目中的陳述：

I. The explanatory variables are uncorrelated with the error terms.
這相當於 $E(X_i \epsilon_i) = 0$。這是 OLS 的一個關鍵假設，保證了解釋變數與誤差項的獨立性，從而保證估計量的無偏性和一致性。
這是 CLRM 的一個假設。

II. The dependent variable is not correlated with the disturbance terms.
依變數 $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{i1} + \dots + \beta_k X_{ik} + \epsilon_i$。
如果解釋變數 $X$ 與誤差項 $\epsilon$ 不相關（假設 I），那麼 $Y$ 與 $\epsilon$ 之間也應該不相關，因為 $Y$ 的變異是由 $X$ 和 $\epsilon$ 共同決定的。
更直接地說，如果 $E(X_i \epsilon_i) = 0$，並且 $Y_i$ 是 $X_i$ 和 $\epsilon_i$ 的線性組合，則 $Y_i$ 和 $\epsilon_i$ 的相關性由 $\epsilon_i$ 自己貢獻。
然而，CLRM 的假設直接規定的是解釋變數與誤差項的關係，而不是依變數與誤差項的關係。
實際上，如果假設 I 成立，且模型是線性形式，那麼 Y 和 $\epsilon$ 之間不會有預期的相關性（如果 $\epsilon$ 是隨機的）。
這個陳述 II 似乎是從假設 I 推導出來的，但不是一個獨立的、直接的假設。
讓我們暫時認為它可能是多餘的陳述，或者在某些定義下是正確的。

III. The disturbance terms are independent of one another.
這是 CLRM 的一個標準假設（假設 6）。誤差項之間相互獨立，這意味著一個觀測值的誤差不影響另一個觀測值的誤差。
這是 CLRM 的一個假設。

IV. The regressors are independent of one another.

核心觀念

令 $X$ 為 10 次公平硬幣投擲中出現正面的次數。每次投擲相互獨立，且正面機率為 $p=0.5$，因此

$$X\sim\operatorname{Binomial}(n=10,p=0.5)$$

題目要求計算 $P(X\leq 3)$。可直接使用二項分配求精確機率，也可用常態分配近似。以常態分配近似離散型分配時，應使用連續性修正，將 $P(X\leq 3)$ 對應為常態變數落在 $3.5$ 以下。

解題方法

一、二項分配精確計算

二項分配的機率質量函數為

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$

代入 $n=10$、$p=0.5$，並將 $k=0,1,2,3$ 的機率加總：

$$\begin{aligned} P(X\leq 3) &=\sum_{k=0}^{3}\binom{10}{k}(0.5)^k(0.5)^{10-k}\\ &=\frac{\binom{10}{0}+\binom{10}{1}+\binom{10}{2}+\binom{10}{3}}{2^{10}}\\ &=\frac{1+10+45+120}{1024}\\ &=\frac{176}{1024}\\ &=0.171875 \end{aligned}$$

二、常態近似

二項分配的平均數與變異數為

核心觀念

在含截距項的最小平方法迴歸中，決定係數定義為

$$R^2=\frac{\text{迴歸平方和}}{\text{總平方和}} =\frac{\sum_{i=1}^n(\hat y_i-\bar y)^2} {\sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2}.$$

題目要證明，這個比例也等於實際觀察值 $y_i$ 與配適值 $\hat y_i$ 的樣本相關係數平方。關鍵在於最小平方法的殘差與配適值之離均差互相正交。

解題方法與推導

令殘差為 $e_i=y_i-\hat y_i$。含截距項的最小平方法迴歸具有以下性質：

$$\bar{\hat y}=\bar y, \qquad \sum_{i=1}^n e_i(\hat y_i-\bar y)=0.$$

第一個性質表示配適值的平均數等於實際值的平均數；第二個性質表示殘差與配適值的離均差正交。

樣本相關係數為

$$r_{y,\hat y} = \frac{\sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)(\hat y_i-\bar{\hat y})} {\sqrt{ \sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2 \sum_{i=1}^n(\hat y_i-\bar{\hat y})^2 }}.$$

因為 $\bar{\hat y}=\bar y$，且 $y_i=\hat y_i+e_i$，相關係數的分子可寫成

核心觀念

本題考查母體標準差已知時，對母體平均數進行單尾 $Z$ 檢定，並計算第二類錯誤機率（$\beta$）。

消費者團體要檢驗車輛的平均高速公路油耗是否達到廣告宣稱的 $33$ mpg，因此設定：

$$H_0:\mu\ge 33 \qquad H_1:\mu<33$$

這是左尾檢定。當母體標準差已知時，樣本平均數的標準誤為：

$$\sigma_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt n}$$

顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，左尾標準常態臨界值為 $z_{0.05}=-1.645$。

解題方法

i. 求臨界值（mpg）

令樣本平均數的臨界值為 $c$。在虛無假設的邊界 $\mu=33$ 下，需滿足：

$$P(\bar X<c\mid \mu=33)=0.05$$

因此：

$$\frac{c-33}{3/\sqrt{100}}=-1.645$$

樣本平均數的標準誤為：

$$\frac{3}{\sqrt{100}}=0.3$$

所以：

$$c=33+(-1.645)(0.3)=32.5065$$

當 $\bar X<32.5065$ mpg 時，拒絕廣告宣稱；當 $\bar X\ge 32.5065$ mpg 時，不拒絕虛無假設。以題目所說的「接受宣稱」而言，臨界值是 32.5065 mpg，約為 32.51 mpg。

核心觀念

題目要比較四種車款的平均每加侖英里數，且每組都是獨立隨機樣本，因此採用單因子變異數分析。它檢定四組母體平均數是否全相等，使用組間變異與組內變異的比值：

$$F=\frac{MS_{\text{組間}}}{MS_{\text{組內}}}$$

若各組母體常態且變異數相同，虛無假設成立時，統計量服從自由度為 $(k-1,\,N-k)$ 的 $F$ 分配。

解題方法

從原卷表格讀到：車款 A、B、C、D 各抽樣 $8$ 輛，樣本平均數依序為 $41,38,14,37$ mpg，樣本標準差依序為 $3.5,4.6,3.8,4.9$ mpg。題目詢問四車款的整體表現是否有差異，因此以單因子變異數分析，在顯著水準 $\alpha=0.01$ 下檢定。

設四車款的母體平均 mpg 為 $\mu_A,\mu_B,\mu_C,\mu_D$：

$$H_0:\mu_A=\mu_B=\mu_C=\mu_D$$ $$H_1:\text{至少有一個母體平均數不同}$$

共有 $k=4$ 組、總樣本數 $N=32$。總平均數為：

$$\bar{x}_{\cdot\cdot} =\frac{41+38+14+37}{4} =32.5$$

組間平方和：

$$SS_{\text{組間}} =8\left[(41-32.5)^2+(38-32.5)^2+(14-32.5)^2+(37-32.5)^2\right] =3720$$