111 年 國立中正大學財務金融學系碩士班《統計學》

本題考驗機率的基本性質，特別是聯集與交集的關係。

已知 $Pr(C_1) = 4/7$ 且 $Pr(C_2) = 4/7$。
我們知道機率的加法法則：$Pr(C_1 \cup C_2) = Pr(C_1) + Pr(C_2) - Pr(C_1 \cap C_2)$。
又因為任何事件的機率都不會超過 1，所以 $Pr(C_1 \cup C_2) \le 1$。
將上述兩個式子結合，可得：

核心觀念

本題考查：

1. 聯合機率密度函數求邊際密度函數。
2. 連續型隨機變數事件機率的積分。
3. 由聯合密度函數求條件密度函數。
4. 連續型隨機變數在 $X_2=3/4$ 下的條件機率，須透過條件密度計算。

已知

$$f(x_1,x_2)=2,\qquad 0<x_1<x_2<1.$$

其餘區域的密度皆為 $0$。幾何上，聯合密度的支持區域是單位正方形中位於 $x_1=x_2$ 下方的三角形，面積為 $1/2$，因此密度 $2$ 確實使總機率為 $1$。

解題方法一：計算 $Pr(0<X_1<1/2)$

先求 $X_1$ 的邊際密度函數。固定 $x_1$ 後，由支持區域可知 $x_2$ 的範圍為 $x_1<x_2<1$，所以

$$f_{X_1}(x_1) = \int_{x_1}^{1} f(x_1,x_2)\,dx_2 = \int_{x_1}^{1}2\,dx_2 = 2(1-x_1),$$

其中 $0<x_1<1$。

因此

$$\begin{aligned} Pr\left(0<X_1<\frac12\right) &= \int_0^{1/2} f_{X_1}(x_1)\,dx_1\\ &= \int_0^{1/2}2(1-x_1)\,dx_1\\ &= \left[2x_1-x_1^2\right]_0^{1/2}\\ &= 1-\frac14\\ &= \frac34. \end{aligned}$$

解題方法二：計算 $Pr(0<X_1<1/2\mid X_2=3/4)$

先求 $X_2$ 的邊際密度函數。固定 $x_2$ 後，由支持區域可知 $x_1$ 的範圍為 $0<x_1<x_2$，因此

$$f_{X_2}(x_2) = \int_0^{x_2} f(x_1,x_2)\,dx_1 = \int_0^{x_2}2\,dx_1 = 2x_2,$$

其中 $0<x_2<1$。

條件密度函數為

核心觀念

本題考查三種常見分配：

1. 卡方分配：若 $Z_1,\dots,Z_k$ 相互獨立且皆服從 $N(0,1)$，則
   $\sum_{r=1}^k Z_r^2\sim\chi^2_k.$

2. 非中心卡方分配：若 $Z_r\sim N(\mu_r,1)$ 且相互獨立，則

$$\sum_{r=1}^k Z_r^2\sim\chi^2_k(\lambda),\qquad \lambda=\sum_{r=1}^k\mu_r^2.$$

3. $t$ 分配與 $F$ 分配：

   若 $Z\sim N(0,1)$、$V\sim\chi^2_\nu$ 且相互獨立，則
   $\frac{Z}{\sqrt{V/\nu}}\sim t_\nu.$

   若 $U\sim\chi^2_{\nu_1}$、$V\sim\chi^2_{\nu_2}$ 且相互獨立，則
   $\frac{U/\nu_1}{V/\nu_2}\sim F_{\nu_1,\nu_2}.$

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（a）$Q_1$ 的分配

已知

$X_i\sim N(0,1),\qquad i=1,2.$

因此

$X_1^2+X_2^2\sim\chi^2_2.$

另一方面，

$Y_j\sim N(1,1),\qquad j=1,2,3.$

三個 $Y_j$ 的平均數皆為 $1$，變異數皆為 $1$，所以

$$Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2 \sim \chi^2_3(\lambda),$$

其中非中心參數為

$\lambda=1^2+1^2+1^2=3.$

由於所有 $X_i$ 與 $Y_j$ 相互獨立，兩部分平方和也相互獨立，且非中心卡方分配可相加：

$$Q_1 =\sum_{i=1}^{2}X_i^2+\sum_{j=1}^{3}Y_j^2 \sim\chi^2_{2+3}(3).$$

因此

$\boxed{Q_1\sim\chi^2_5(3)}.$

填入（4）：自由度為 $5$、非中心參數為 $3$ 的非中心卡方分配。

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（b）$Q_2$ 的分配

由 $Y_3\sim N(1,1)$，將其中心化：

$Y_3-1\sim N(0,1).$

因此

$$X_1^2\sim\chi^2_1,\qquad X_2^2\sim\chi^2_1,\qquad (Y_3-1)^2\sim\chi^2_1.$$

三者相互獨立，所以

$$Q_2=X_1^2+X_2^2+(Y_3-1)^2 \sim\chi^2_{1+1+1}.$$

因此

$\boxed{Q_2\sim\chi^2_3}.$

填入（5）：自由度為 $3$ 的卡方分配。

---

（c）$Q_3$ 的分配

分子為

$Y_3-1\sim N(0,1).$

分母中的平方和為

本題考驗機率密度函數的正規化、期望值和變異數的計算，以及期望值函數的應用。

Part (8): 計算正規化常數 k
一個機率密度函數必須滿足總積分為 1 的條件。
$\int_{-\infty}^{\infty} f(y) \, dy = 1$
$\int_{0}^{1} k(1-y)y^2 \, dy = 1$
$k \int_{0}^{1} (y^2 - y^3) \, dy = 1$
$k \left[ \frac{y^3}{3} - \frac{y^4}{4} \right]_{0}^{1} = 1$
$k \left( (\frac{1^3}{3} - \frac{1^4}{4}) - (\frac{0^3}{3} - \frac{0^4}{4}) \right) = 1$
$k \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) = 1$
$k \left( \frac{4-3}{12} \right) = 1$
$k \left( \frac{1}{12} \right) = 1$
$k = 12$
所以，正規化常數 $k$ 為 12。

Part (9): 計算 Y 的變異數 Var(Y)
變異數的計算公式為 $Var(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2$。
首先，我們需要計算 $E(Y)$ 和 $E(Y^2)$。
機率密度函數為 $f(y) = 12(1-y)y^2 = 12(y^2 - y^3)$，對於 $0 \le y \le 1$。

計算 E(Y):
$E(Y) = \int_{0}^{1} y f(y) \, dy = \int_{0}^{1} y \cdot 12(y^2 - y^3) \, dy$
$= 12 \int_{0}^{1} (y^3 - y^4) \, dy$
$= 12 \left[ \frac{y^4}{4} - \frac{y^5}{5} \right]_{0}^{1}$
$= 12 \left( (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) - (0 - 0) \right)$
$= 12 \left( \frac{5-4}{20} \right) = 12 \left( \frac{1}{20} \right) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$
所以 $E(Y) = 3/5$。

計算 E(Y^2):

本題考驗迴歸分析中的模型關係、殘差平方和 (RSS) 與判定係數 ($R^2$) 的比較。

核心觀念：

• 迴歸模型：描述應變數與自變數之間的線性關係。
• 殘差平方和 (RSS)：模型預測值與實際值之間差異的平方和，是衡量模型擬合優劣的指標之一。$RSS = \sum (Y_i - \hat{Y}_i)^2$。
• 判定係數 ($R^2$)：表示模型解釋了應變數變異的比例。$R^2 = 1 - \frac{RSS}{TSS}$，其中 $TSS = \sum (Y_i - \bar{Y})^2$ 是總平方和。

題目設定：

• 消費函數：$Y_i = \alpha_1 + \alpha_2 X_i + u_{1,i}$ (Y: 消費, X: 所得)
• 儲蓄函數：$Z_i = \beta_1 + \beta_2 X_i + u_{2,i}$ (Z: 儲蓄, X: 所得)
• 關係式：$X = Y + Z$ (所得 = 消費 + 儲蓄)

Part (1): $\alpha_2$ 和 $\beta_2$ 的關係
這個問題的關鍵在於理解 $X, Y, Z$ 之間的恆等關係 $X = Y + Z$ 如何影響兩個迴歸模型。
由於 $X = Y + Z$，我們可以將這個恆等關係代入到迴歸模型中。
從消費函數 $Y_i = \alpha_1 + \alpha_2 X_i + u_{1,i}$，我們可以推導出 $Y_i$ 和 $X_i$ 的關係。
從儲蓄函數 $Z_i = \beta_1 + \beta_2 X_i + u_{2,i}$，我們可以推導出 $Z_i$ 和 $X_i$ 的關係。

然而，這裡的 $X_i$ 在兩個模型中都是自變數。這是一個有點棘手的設定，因為 $X_i$ 本身是由 $Y_i$ 和 $Z_i$ 組成的。
更常見的設定是，所得 $X$ 是內生變數，消費 $Y$ 和儲蓄 $Z$ 是外生變數，或者反之。
這裡的設定 $X = Y + Z$ 是一個恆等式，意味著 $Y$ 和 $Z$ 總和起來就是 $X$。
如果我們將 $X_i = Y_i + Z_i$ 代入，那麼兩個模型都變成了：
$Y_i = \alpha_1 + \alpha_2 (Y_i + Z_i) + u_{1,i}$
$Z_i = \beta_1 + \beta_2 (Y_i + Z_i) + u_{2,i}$

這表示 $X_i$ 不是一個獨立的自變數，而是由 $Y_i$ 和 $Z_i$ 組成的。
這意味著 $X_i$ 與 $u_{1,i}$ 和 $u_{2,i}$ 之間可能存在內生性問題，因為 $X_i$ 包含了 $Y_i$ 和 $Z_i$，而 $Y_i$ 和 $Z_i$ 又包含誤差項 $u_{1,i}$ 和 $u_{2,i}$。
標準的 OLS 估計量在這種情況下可能不是一致的。

但是，題目要求的是 $\alpha_2$ 和 $\beta_2$ 的關係，而不是估計量的性質。
讓我們從恆等式 $X_i = Y_i + Z_i$ 出發，並考慮 OLS 估計的結果。
假設我們對消費函數進行迴歸：$Y_i$ 對 $X_i$ 迴歸。
假設我們對儲蓄函數進行迴歸：$Z_i$ 對 $X_i$ 迴歸。

考慮總體關係：
$E[X_i] = E[Y_i] + E[Z_i]$
$Var(X_i) = Var(Y_i) + Var(Z_i) + 2 Cov(Y_i, Z_i)$

如果我們假設 $u_{1,i}$ 和 $u_{2,i}$ 是獨立同分佈的，且與 $X_i$ 無關 (儘管這個假設在 $X_i=Y_i+Z_i$ 的設定下很難成立)。
從消費函數 $Y_i = \alpha_1 + \alpha_2 X_i + u_{1,i}$，我們有 $E[Y_i|X_i] = \alpha_1 + \alpha_2 X_i$。
從儲蓄函數 $Z_i = \beta_1 + \beta_2 X_i + u_{2,i}$，我們有 $E[Z_i|X_i] = \beta_1 + \beta_2 X_i$。

將 $X_i = Y_i + Z_i$ 代入期望值：
$E[X_i | X_i] = E[Y_i + Z_i | X_i]$
$X_i = E[Y_i | X_i] + E[Z_i | X_i]$ (這裡假設 $X_i$ 已經給定，所以 $E[X_i|X_i] = X_i$)
$X_i = (\alpha_1 + \alpha_2 X_i) + (\beta_1 + \beta_2 X_i)$
$X_i = (\alpha_1 + \beta_1) + (\alpha_2 + \beta_2) X_i$

為了讓這個恆等式成立，對於所有的 $X_i$，我們需要：

1. $1 = \alpha_2 + \beta_2$
2. $0 = \alpha_1 + \beta_1$

因此，$\alpha_2 + \beta_2 = 1$。

需要注意的是，上述推導是基於條件期望的恆等式，並且隱含了 $X_i$ 與 $u_{1,i}$ 和 $u_{2,i}$ 獨立的假設。
在實際的計量經濟學中，由於 $X_i = Y_i + Z_i$ 的關係，OLS 估計量 $\hat{\alpha}_2$ 和 $\hat{\beta}_2$ 會有內生性問題，它們的一致性需要進一步的條件。
但是，題目問的是參數之間的關係，而不是估計量的性質。
從總體關係 $E[X] = E[Y] + E[Z]$ 出發，並考慮條件期望 $E[\cdot|X]$：
$E[X|X] = E[Y+Z|X]$
$X = E[Y|X] + E[Z|X]$
根據迴歸模型：
$X = (\alpha_1 + \alpha_2 X) + (\beta_1 + \beta_2 X)$
$X = (\alpha_1 + \beta_1) + (\alpha_2 + \beta_2) X$
這必須對所有 $X$ 成立，所以：
$\alpha_2 + \beta_2 = 1$
$\alpha_1 + \beta_1 = 0$

計算證明 (使用 OLS 估計量)：
假設我們對 $Y_i$ 對 $X_i$ 進行迴歸，得到 $\hat{\alpha}_1, \hat{\alpha}_2$。
假設我們對 $Z_i$ 對 $X_i$ 進行迴歸，得到 $\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2$。
OLS 的基本性質之一是 $\sum e_i = 0$，其中 $e_i$ 是殘差。
對於消費函數：$\sum u_{1,i} = 0$ (在樣本平均值通過原點的迴歸中)。
$\sum Y_i = N \bar{Y}$
$\sum X_i = N \bar{X}$
$\sum (Y_i - \bar{Y}) = \hat{\alpha}_2 \sum (X_i - \bar{X})$
$TSS_Y = \hat{\alpha}_2 Cov(X,Y) \times N$
$Cov(X,Y) = \alpha_2 Var(X) + Cov(X, u_{1,i})$
如果 $Cov(X, u_{1,i}) = 0$，則 $\hat{\alpha}_2$ 的期望值是 $\alpha_2$。

考慮樣本總和：
$\sum Y_i = \hat{\alpha}_1 N + \hat{\alpha}_2 \sum X_i + \sum u_{1,i}$
$\sum Z_i = \hat{\beta}_1 N + \hat{\beta}_2 \sum X_i + \sum u_{2,i}$
$\sum X_i = \sum (Y_i + Z_i) = \sum Y_i + \sum Z_i$
代入上述兩個式子：
$\sum X_i = (\hat{\alpha}_1 N + \hat{\alpha}_2 \sum X_i + \sum u_{1,i}) + (\hat{\beta}_1 N + \hat{\beta}_2 \sum X_i + \sum u_{2,i})$
$\sum X_i = (\hat{\alpha}_1 + \hat{\beta}_1) N + (\hat{\alpha}_2 + \hat{\beta}_2) \sum X_i + (\sum u_{1,i} + \sum u_{2,i})$

如果我們假設 $u_{1,i}$ 和 $u_{2,i}$ 的總和為零 (例如，如果它們是獨立同分佈的，且 $E[u_{1,i}] = E[u_{2,i}] = 0$)，則：
$\sum X_i = (\hat{\alpha}_1 + \hat{\beta}_1) N + (\hat{\alpha}_2 + \hat{\beta}_2) \sum X_i$
除以 $N$：

本題考驗簡單迴歸模型中，OLS 估計量及其變異數的計算。

核心觀念：

• 簡單迴歸模型：$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i$。
• OLS (Ordinary Least Squares)：最小平方法，用於估計迴歸模型的參數。目標是最小化殘差平方和 (RSS)。
• 標準假設：
  1. 線性：模型形式正確。
  2. 隨機抽樣：樣本是從總體中隨機抽取。
  3. 外生性：自變數與誤差項無關，即 $E(u_i|X_i) = 0$。
  4. 同質變異數 (Homoskedasticity)：誤差項的變異數是常數，即 $Var(u_i) = \sigma^2$。
  5. 無序列相關：誤差項之間不相關，即 $Cov(u_i, u_j) = 0$ for $i \ne j$。

題目設定：
本題是一個非常簡化的線性迴歸模型，其中自變數 $X_i$ 被省略了，相當於 $X_i=1$ 的情況。
模型是：$Y_i = \beta_1 + u_i$。
這裡的 $\beta_1$ 相當於一般模型中的截距項 $\beta_0$。
標準假設適用，特別是 $Var(u_i) = \sigma^2$。

Part (1): 尋找 OLS 估計量 $\hat{\beta}_1$
OLS 的目標是最小化殘差平方和 (RSS)。
RSS = $\sum_{i=1}^{n} u_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \beta_1)^2$。
為了找到最小化 RSS 的 $\beta_1$，我們對 RSS 對 $\beta_1$ 求偏導數，並令其等於 0。
$\frac{\partial RSS}{\partial \beta_1} = \frac{\partial}{\partial \beta_1} \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \beta_1)^2$
$= \sum_{i=1}^{n} 2(Y_i - \beta_1)(-1)$
$= -2 \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \beta_1)$
令導數等於 0：
$-2 \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \hat{\beta}_1) = 0$
$\sum_{i=1}^{n} (Y_i - \hat{\beta}_1) = 0$
$\sum_{i=1}^{n} Y_i - \sum_{i=1}^{n} \hat{\beta}_1 = 0$
$\sum_{i=1}^{n} Y_i - n \hat{\beta}_1 = 0$
$n \hat{\beta}_1 = \sum_{i=1}^{n} Y_i$
$\hat{\beta}_1 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_i$

本題考驗簡單迴歸模型（無截距項）的 OLS 估計量、其變異數，以及假設檢定。

核心觀念：

• 無截距項迴歸模型：$Y_i = \beta X_i + e_i$。
• OLS 估計量：最小化殘差平方和。
• 變異數：衡量估計量的不確定性。
• 假設檢定：對總體參數的假設進行檢驗。

題目設定：
模型為 $Y_i = \beta_2 X_i + e_i$，這是一個沒有截距項的迴歸模型。
$e_i$ 滿足標準線性迴歸假設，且 $Var(e_i) = \sigma^2$。

Part (1): 尋找 OLS 估計量 $\hat{\beta}_2$
OLS 的目標是最小化 RSS：
$RSS = \sum_{i=1}^{n} e_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \beta_2 X_i)^2$。
對 RSS 對 $\beta_2$ 求偏導數，並令其等於 0：
$\frac{\partial RSS}{\partial \beta_2} = \frac{\partial}{\partial \beta_2} \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \beta_2 X_i)^2$
$= \sum_{i=1}^{n} 2(Y_i - \beta_2 X_i)(-X_i)$
$= -2 \sum_{i=1}^{n} X_i (Y_i - \beta_2 X_i)$
令導數等於 0：
$-2 \sum_{i=1}^{n} X_i (Y_i - \hat{\beta}_2 X_i) = 0$
$\sum_{i=1}^{n} (X_i Y_i - \hat{\beta}_2 X_i^2) = 0$
$\sum_{i=1}^{n} X_i Y_i - \hat{\beta}_2 \sum_{i=1}^{n} X_i^2 = 0$
$\hat{\beta}_2 \sum_{i=1}^{n} X_i^2 = \sum_{i=1}^{n} X_i Y_i$
$\hat{\beta}_2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i Y_i}{\sum_{i=1}^{n} X_i^2}$
這個公式也可以寫成：
$\hat{\beta}_2 = \frac{Cov(X, Y)}{Var(X)}$
其中 $Cov(X, Y) = \frac{1}{n-1} \sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})$ (樣本共變異數)
$Var(X) = \frac{1}{n-1} \sum (X_i - \bar{X})^2$ (樣本變異數)
然而，對於無截距項迴歸，OLS 估計量公式通常直接使用 $\frac{\sum X_i Y_i}{\sum X_i^2}$，這裡的求和是基於原始數據，而不是離差形式。

Part (2): 尋找 $Var(\hat{\beta}_2)$
首先，我們需要知道 $\hat{\beta}_2$ 的期望值。在標準假設下（特別是 $E(e_i|X_i)=0$），$\hat{\beta}_2$ 是 $\beta_2$ 的不偏估計量。
$E(\hat{\beta}_2) = E\left(\frac{\sum X_i Y_i}{\sum X_i^2}\right)$
$= E\left(\frac{\sum X_i (\beta_2 X_i + e_i)}{\sum X_i^2}\right)$
$= E\left(\frac{\beta_2 \sum X_i^2 + \sum X_i e_i}{\sum X_i^2}\right)$
$= E\left(\beta_2 + \frac{\sum X_i e_i}{\sum X_i^2}\right)$
$= \beta_2 + E\left(\frac{\sum X_i e_i}{\sum X_i^2}\right)$
由於 $X_i$ 被視為固定的（或與 $e_i$ 無關），$E(\sum X_i e_i) = \sum X_i E(e_i) = \sum X_i \cdot 0 = 0$。
所以 $E(\hat{\beta}_2) = \beta_2$。

現在計算變異數：
$Var(\hat{\beta}_2) = Var\left(\frac{\sum X_i Y_i}{\sum X_i^2}\right)$
$= Var\left(\beta_2 + \frac{\sum X_i e_i}{\sum X_i^2}\right)$
$= Var\left(\frac{\sum X_i e_i}{\sum X_i^2}\right)$
$= \frac{1}{(\sum X_i^2)^2} Var\left(\sum X_i e_i\right)$
由於 $e_i$ 之間無序列相關且 $Var(e_i) = \sigma^2$：
$Var\left(\sum X_i e_i\right) = \sum Var(X_i e_i)$