113 年 國立中正大學財務金融學系碩士班《統計學》

本題在考察統計檢定中 Type I 錯誤、Type II 錯誤以及檢定力的定義。

• Type I 錯誤 (Alpha 錯誤)：當虛無假說 (Null Hypothesis, $H_0$) 為真時，卻拒絕了 $H_0$。
• Type II 錯誤 (Beta 錯誤)：當對立假說 (Alternative Hypothesis, $H_1$) 為真時（即 $H_0$ 為偽），卻未能拒絕 $H_0$。

核心觀念

本題考查 $p$-value、虛無假設與型一錯誤（Type I error）的關係。

$p$-value 定義為：在虛無假設 $H_0$ 為真時，觀察到目前樣本結果或更極端結果的機率。

• $p$-value 越小，代表樣本結果越不符合 $H_0$，反對 $H_0$ 的證據越強。
• $p$-value 越大，代表樣本結果與 $H_0$ 越相容，反對 $H_0$ 的證據越弱，因此在考試的標準表述下，可視為支持 $H_0$ 的證據較強。
• 當 $p\text{-value} \leq \alpha$ 時拒絕 $H_0$；當 $p\text{-value} > \alpha$ 時不拒絕 $H_0$。

其中，$\alpha$ 是顯著水準，也是控制型一錯誤機率的標準。

---

解題方法

直接依據 $p$-value 與假設檢定決策的關係判斷：

$$p\text{-value} \uparrow \quad\Longrightarrow\quad \text{反對 }H_0\text{ 的證據減弱}$$

因此：

1. 較不容易達到 $p\text{-value}\leq\alpha$；
2. 較不容易拒絕 $H_0$；
3. 在本題選項的考試語境下，表示支持 $H_0$ 的證據較強；
4. 誤拒絕真實 $H_0$ 的機會較低。

所以正確選項為 B 和 D，即 E。

---

選項分析

A) the alternative hypothesis is true.

錯誤。$p$-value 越高，表示資料越不支持拒絕 $H_0$，並不表示對立假設 $H_1$ 為真。通常 $p$-value 越低，才代表反對 $H_0$、支持 $H_1$ 的證據越強。

B) the null hypothesis is true.

依一般選擇題的標準解讀，正確。較高的 $p$-value 表示樣本資料與 $H_0$ 較為相容，支持 $H_0$ 的證據相對較強。

核心觀念

本題考查「單尾假設檢定」與「雙尾假設檢定」的假設設定。

研究問題是判斷基金經理人 1 的績效是否優於經理人 2，因此關注的方向是：

$$\mu_1>\mu_2$$

其中：

• $\mu_1$：經理人 1 的母體平均投資報酬率
• $\mu_2$：經理人 2 的母體平均投資報酬率

樣本平均數為 $\bar{x}_1=8$、$\bar{x}_2=7.2$，顯示經理人 1 的樣本績效較高，因此檢定方向設定為經理人 1 是否顯著優於經理人 2。

正式的單尾檢定可寫成：

$$H_0:\mu_1=\mu_2$$ $$H_1:\mu_1>\mu_2$$

更嚴謹地說，虛無假設也可表示為 $H_0:\mu_1\leq\mu_2$；在選擇題常用的標準寫法中，將等號放在虛無假設，故寫成 $H_0:\mu_1=\mu_2$。

解題方法

判斷假設方向時，先確認題目要證明的主張：

• 若要判斷經理人 1 是否「較好」，研究主張是 $\mu_1>\mu_2$。
• 研究主張應放在對立假設 $H_1$。
• 虛無假設則表示兩者沒有差異，作為檢定基準。

因此：

$$H_0:\mu_1=\mu_2 \quad\text{vs.}\quad H_1:\mu_1>\mu_2$$

這是右尾單尾檢定，正確選項為 B。

選項分析

A) $H_0:\mu_1=\mu_2$ vs. $H_1:\mu_1\neq\mu_2$

錯誤。

此設定是雙尾檢定，只能判斷兩位經理人的績效是否「有差異」，無法限定經理人 1 的績效較好。若經理人 2 的績效顯著較高，雙尾檢定同樣可能拒絕虛無假設，這不符合本題要判斷經理人 1 是否優於經理人 2 的方向。

本題考驗對複迴歸中判定係數 ($R^2$) 的理解，以及其與總平方和 (SST) 和誤差平方和 (SSE) 的關係。

判定係數 ($R^2$) 的定義通常是：
$R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST}$

題目給定的條件是：

1. SST 為總平方和 (Total Sum of Squares)
2. SSE 為誤差平方和 (Error Sum of Squares)
3. SST = m × SSE，且 m > 1。

我們需要找出當 m 減少時，$R^2$ 如何變化。

首先，將 SST = m × SSE 代入 $R^2$ 的公式：
$R^2 = 1 - \frac{SSE}{m \times SSE}$

由於 SSE 是平方和，在實際應用中通常為正值（除非所有觀測值都完全相同，但這在迴歸分析中不常見），我們可以約去 SSE：
$R^2 = 1 - \frac{1}{m}$

現在，我們分析當 m 減少時，$R^2$ 的變化。
已知 m > 1。
我們知道 $\frac{1}{m}$ 是一個隨著 m 增大而減小的函數，反之，隨著 m 減小而增大的函數。
例如，如果 m = 2, $\frac{1}{m} = 0.5$。如果 m = 3, $\frac{1}{m} \approx 0.333$。
如果 m 減小，例如從 3 減小到 2，那麼 $\frac{1}{m}$ 會從 $\approx 0.333$ 增加到 0.5。
所以，當 m 減小時，$\frac{1}{m}$ 會增大。

現在來看 $R^2 = 1 - \frac{1}{m}$。
因為 $\frac{1}{m}$ 增大，所以 $1 - \frac{1}{m}$ 會減小。

本題考驗對逐步迴歸 (stepwise regression) 中變數篩選機制的理解。

逐步迴歸是一種自動化選擇自變數的方法，通常有前向選擇 (forward selection)、後向剔除 (backward elimination) 和逐步剔除 (stepwise elimination) 等。這些方法的核心思想是在每一步驟中，根據某種統計準則來決定是否引入或剔除一個變數。

在標準的複迴歸分析中，我們經常使用以下統計量來檢定迴歸係數的顯著性或模型的整體顯著性：

• t 統計量: 用於檢定單個迴歸係數是否顯著不為零（即，該自變數是否對依變數有顯著影響）。
• F 統計量: 用於檢定整個迴歸模型是否顯著，或者用於檢定模型中某幾個係數的聯合顯著性。在逐步迴歸中，F 統計量常用於評估引入一個新變數後，模型解釋能力的提升是否足夠顯著。
• $\chi^2$ 統計量: 在某些情況下，如模型擬合優度檢定、獨立性檢定等會用到。在迴歸中，有時會用 $\chi^2$ 檢定來評估模型的整體顯著性，但 F 檢定更為常見，尤其是在模型變數的篩選過程中。
• Z 統計量: 通常用於樣本量足夠大時，近似估計參數分佈，例如在比例檢定或均值檢定中。在迴歸分析中，當樣本量很大時，t 分佈可以近似為 Z 分佈，但正式的檢定統計量通常還是以 t 或 F 表示。
• 非參數方法: 當資料不符合參數檢定的假設（如常態性）時使用。逐步迴歸是基於參數迴歸模型的，所以通常不直接使用非參數方法來決定變數的引入。

核心觀念

本題的核心為**指數分配（Exponential Distribution）**的機率密度函數（PDF）與存活函數（Survival Function，即可靠度函數）。

1. 指數分配的定義：
   設隨機變數 $X$ 代表電腦壽命（以年為單位），且 $X \sim \text{Exp}(\lambda)$，其中 $\lambda > 0$ 為失效率（Rate Parameter）。

   • 機率密度函數（PDF）： $$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x > 0$$
   • 累積分配函數（CDF）： $$F(x) = P(X \le x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x > 0$$
   • 存活函數（Survival Function）： $$P(X > x) = 1 - F(x) = e^{-\lambda x}, \quad x > 0$$

2. 對數與指數的底數轉換：
   對任意正數 $a > 0$，可表示為 $a = e^{\ln a}$，因此 $a^k = e^{k \ln a}$。

---

解題方法

1. 利用已知機率求參數 $\lambda$：
   題目給定電腦壽命超過 4 年的機率為 $0.3$：

   $$P(X > 4) = 0.3$$

   根據指數分配的存活函數：

   $$P(X > 4) = e^{-4\lambda} = 0.3$$

   兩邊取自然對數（$\ln$）：

   $$-4\lambda = \ln(0.3) \implies \lambda = -\frac{\ln(0.3)}{4}$$

   （註：由於 $0.3 < 1$，$\ln(0.3) < 0$，因此 $\lambda = -\frac{\ln(0.3)}{4} > 0$，符合參數定義。）

2. 推導機率密度函數 $f(x)$：
   將求得的 $\lambda$ 代入指數分配的 PDF：

   $$f(x) = \lambda e^{-\lambda x} = \left( -\frac{\ln(0.3)}{4} \right) e^{-\left(-\frac{\ln(0.3)}{4}\right)x}$$

   化簡指數部分：

   $$e^{-\lambda x} = \left( e^{-4\lambda} \right)^{x/4} = (0.3)^{x/4}$$

   因此：

核心觀念

本題考查三種連續型機率分配的平均數與中位數，以及分配參數成比例變化時，平均數與中位數是否會同時按相同比例變化。

中位數 $m$ 的定義為：

$$P(X\le m)=0.5$$

若分配中的尺度或位置參數加倍，使平均數變為原來的兩倍，而中位數也變為原來的兩倍，即符合題意。

---

解題方法

逐一寫出三種分配的平均數與中位數，檢查二者是否具有相同的倍數關係。

1. 指數分配

若 $X\sim \operatorname{Exp}(\lambda)$，其平均數為：

$$E(X)=\frac{1}{\lambda}$$

中位數 $m$ 滿足：

$$P(X\le m)=1-e^{-\lambda m}=0.5$$

因此：

$$e^{-\lambda m}=0.5$$ $$m=\frac{\ln 2}{\lambda}$$

可見：

$$m=(\ln 2)E(X)$$

當平均數加倍時，代表尺度加倍，則中位數也會同時加倍。因此指數分配符合條件。

---

2. 常態分配

若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，常態分配以 $\mu$ 為中心且左右對稱，因此：

$$E(X)=\mu$$ $$\operatorname{Median}(X)=\mu$$

當平均數由 $\mu$ 變為 $2\mu$ 時，中位數也由 $\mu$ 變為 $2\mu$。因此常態分配符合條件。

---

3. 連續均勻分配

若 $X\sim U(a,b)$，其平均數為：

$$E(X)=\frac{a+b}{2}$$

本題考驗對信賴區間 (Confidence Interval, CI) 寬度的理解，特別是樣本大小 (n) 和總體標準差 ($\sigma$) 對寬度的影響。

對於估計總體平均數 $\mu$ 的 95% 信賴區間，其一般形式為：
$\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
其中：

• $\bar{x}$ 是樣本平均數。
• $Z_{\alpha/2}$ 是對應於信賴水準 $(1-\alpha)$ 的標準常態分佈的臨界值。對於 95% 的信賴水準，$\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$。查表可知，$Z_{0.025} = 1.96$。
• $\sigma$ 是總體標準差 (population standard deviation)。
• $n$ 是樣本大小。

信賴區間的寬度 (Width) 是區間的上界減去下界：

核心觀念

本題考查「異質變異」對普通最小平方法（OLS）的影響，重點是區分不偏性、一致性與效率性。

考慮線性迴歸模型：

$$y_i=\beta_0+\beta_1x_i+u_i.$$

同質變異假設要求各觀測值的誤差條件變異數相同：

$$\operatorname{Var}(u_i\mid X)=\sigma^2.$$

異質變異則表示誤差的條件變異數隨觀測值而異：

$$\operatorname{Var}(u_i\mid X)=\sigma_i^2.$$

依高斯－馬可夫定理，在誤差條件平均數為零、同質變異及誤差彼此不相關等條件下，OLS 是最佳線性不偏估計量；其中「最佳」指的是在所有線性不偏估計量中，具有最小變異數。

異質變異破壞的是這項效率保證。只要仍滿足 $E(u_i\mid X)=0$，OLS 仍具有不偏性；再加上適當的抽樣與正則條件，也仍具有一致性。

解題方法

從「OLS 如何估計」與「估計量的變異數」兩方面判斷。

OLS 最小化未加權的殘差平方和：

$$\min_{\beta_0,\beta_1} \sum_{i=1}^{n}(y_i-\beta_0-\beta_1x_i)^2.$$

每一項殘差平方前的權重都是 $1$，並未因某筆資料的誤差變異數較小，就給予較大的權重。

以矩陣表示，OLS 估計量為：

$$\hat{\boldsymbol{\beta}} =(X^\top X)^{-1}X^\top y.$$

若 $E(u\mid X)=0$，則：

$$E(\hat{\boldsymbol{\beta}}\mid X) =\boldsymbol{\beta}.$$

因此，異質變異本身不會使 OLS 產生偏誤。

核心觀念

本題考查多元迴歸中的「遺漏變數偏誤」（omitted variable bias），屬於模型設定錯誤（specification error）的一種。

設真實模型為：

$$Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+u$$

其中 $X_2$ 是相關的解釋變數，但估計時將 $X_2$ 遺漏，改估計：

$$Y=\alpha_0+\alpha_1X_1+v$$

此時，原本的誤差項變為：

$$v=\beta_2X_2+u$$

若被遺漏的 $X_2$ 與保留在模型中的 $X_1$ 相關，則：

$$E(X_1v)\neq 0$$

違反外生性條件，導致 $\hat{\alpha}_1$ 產生系統性偏誤。其大致偏誤方向為：

$$\operatorname{Bias}(\hat{\alpha}_1) \approx \beta_2\frac{\operatorname{Cov}(X_1,X_2)} {\operatorname{Var}(X_1)}$$

這種因遺漏重要變數而使估計係數偏離真實值的現象，通常稱為 specification bias 或 omitted variable bias。

解題方法

逐一判斷三個敘述：

1. 是否屬於模型設定偏誤？
2. 增加樣本數是否能改善或消除偏誤？
3. 改變模型形式或進行變數轉換，是否可能修正模型設定錯誤？

其中要特別注意：增加樣本數可以降低抽樣誤差，但若模型仍遺漏重要變數，系統性偏誤通常不會因樣本增加而自行消失。

不過本題選項 B 使用的是「may help」，可解讀為增加樣本有助於辨識模型錯誤、提高檢定力，或在重新指定模型後改善估計；配合選項 C，題目採用的是較廣義的「處理 specification problem」說法。因此依本題選項設計，A、B、C 均視為正確。

選項分析

A) The phenomenon is generally called a specification bias problem.

正確。

遺漏相關解釋變數，表示迴歸模型的設定不完整，屬於模型設定偏誤。若遺漏變數又與保留的解釋變數相關，便會造成遺漏變數偏誤，使估計迴歸係數有偏。

核心觀念

本題考查多元迴歸中的「遺漏變數偏誤」（omitted variable bias），屬於模型設定錯誤（specification error）的一種。

設真實模型為：

$$Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+u$$

其中 $X_2$ 是相關的解釋變數，但估計時將 $X_2$ 遺漏，改估計：

$$Y=\alpha_0+\alpha_1X_1+v$$

此時，原本的誤差項變為：

$$v=\beta_2X_2+u$$

若被遺漏的 $X_2$ 與保留在模型中的 $X_1$ 相關，則：

$$E(X_1v)\neq 0$$

違反外生性條件，導致 $\hat{\alpha}_1$ 產生系統性偏誤。其大致偏誤方向為：

$$\operatorname{Bias}(\hat{\alpha}_1) \approx \beta_2\frac{\operatorname{Cov}(X_1,X_2)} {\operatorname{Var}(X_1)}$$

這種因遺漏重要變數而使估計係數偏離真實值的現象，通常稱為 specification bias 或 omitted variable bias。

解題方法

逐一判斷三個敘述：

1. 是否屬於模型設定偏誤？
2. 增加樣本數是否能改善或消除偏誤？
3. 改變模型形式或進行變數轉換，是否可能修正模型設定錯誤？

其中要特別注意：增加樣本數可以降低抽樣誤差，但若模型仍遺漏重要變數，系統性偏誤通常不會因樣本增加而自行消失。

不過本題選項 B 使用的是「may help」，可解讀為增加樣本有助於辨識模型錯誤、提高檢定力，或在重新指定模型後改善估計；配合選項 C，題目採用的是較廣義的「處理 specification problem」說法。因此依本題選項設計，A、B、C 均視為正確。

選項分析

A) The phenomenon is generally called a specification bias problem.

正確。

遺漏相關解釋變數，表示迴歸模型的設定不完整，屬於模型設定偏誤。若遺漏變數又與保留的解釋變數相關，便會造成遺漏變數偏誤，使估計迴歸係數有偏。

核心觀念

本題考的是多元迴歸模型中的「交互作用項」（interaction term）。

一般多元迴歸模型為：

$$Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\varepsilon$$

若加入交互作用項，模型變為：

$$Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\beta_3X_1X_2+\varepsilon$$

此時，$X_1$ 對 $Y$ 的邊際影響為：

$$\frac{\partial E(Y\mid X_1,X_2)}{\partial X_1} =\beta_1+\beta_3X_2$$

可見，$X_1$ 的影響會隨著 $X_2$ 的數值不同而改變。這就是交互作用的意義：一個自變數與應變數之間的關係，取決於另一個自變數的水準。

因此，當「一個獨立變數對依變數的關係，會因另一個獨立變數的不同而改變」時，應考慮加入交互作用項。

解題方法

判斷交互作用項的關鍵，是觀察一個自變數的部分效果是否受到另一個自變數影響。

例如模型為：

$$Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\beta_3X_1X_2+\varepsilon$$

則：

$$\frac{\partial E(Y\mid X_1,X_2)}{\partial X_1} =\beta_1+\beta_3X_2$$

當 $X_2$ 改變時，$X_1$ 的邊際效果也會改變。因此，選項 C 正確描述了應加入交互作用項的條件。

選項分析

A) When two explanatory variables are highly correlated.

錯誤。兩個解釋變數高度相關，代表可能存在多重共線性（multicollinearity）。此時應考慮刪除變數、重新定義變數或採取其他處理方式，而不是因為高度相關就加入交互作用項。

B) When the correlation coefficient between two explanatory variables is small.

錯誤。兩個解釋變數的相關係數很小，只表示兩者的線性相關程度低，與是否需要交互作用項沒有直接關係。交互作用是理論上「一個變數的效果是否取決於另一個變數」的問題，不是由相關係數大小決定。

**C) When the relationship between one independent variable and the dependent variable changes for differe

核心觀念

本題考察單因子變異數分析（one-way ANOVA）中，如何檢定三個母體平均數是否完全相同。

設定三個城市的二氧化硫濃度母體平均數為 $\mu_1,\mu_2,\mu_3$，ANOVA 的假設為：

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3$$ $$H_1:\text{至少有一個母體平均數不同}$$

ANOVA 檢定統計量為：

$$F=\frac{MS_{\text{Between}}}{MS_{\text{Within}}}$$

其中：

• $MS_{\text{Between}}$：組間均方，反映各城市樣本平均數之間的差異。
• $MS_{\text{Within}}$：組內均方，反映同一城市內樣本觀測值的變異。
• 在虛無假設成立時，$F$ 服從自由度為 $(k-1,n-k)$ 的 $F$ 分配。

本題中城市數為 $k=3$，總樣本數為 $n=9$，因此自由度為：

$$df_1=k-1=2,\qquad df_2=n-k=6$$

解題方法

由 ANOVA 表可得：

$$F=4.49$$

其對應的 $p$ 值為：

$$p\text{-value}=0.064$$

顯著水準為：

$$\alpha=0.10$$

比較 $p$ 值與顯著水準：

$$0.064<0.10$$

因此拒絕虛無假設 $H_0$，認為三個城市的母體平均二氧化硫濃度並非全部相同。

ANOVA 的對立假設只能表示：

$$\text{至少有一個母體平均數不同}$$

並不能由此直接判斷是哪兩個城市不同，也不能判斷三個城市的平均數全部不同。

選項分析

A) 母體變異數相同

錯誤。

本題已明確說明必要假設成立，而 ANOVA 表中的 $F$ 檢定主要是檢定各城市的母體平均數是否相同，不是用來檢定母體變異數是否相同。

核心觀念

ANOVA 的 $F$ 檢定用於檢查多組母體平均數是否相同，其統計量為：

$$F=\frac{\text{組間均方}}{\text{組內均方}}$$

$F$ 值越大，表示組間差異相對於組內變異越大，越不支持「各組平均數相同」的虛無假設。因此，ANOVA 的 $p$ 值是 $F$ 分配右尾的機率：

$$p\text{-value}=P\left(F_{df_1,df_2}\geq F_{\text{observed}}\right)$$

本題觀察到的統計量為 $F=4.49$，所以：

$$p\text{-value}=P\left(F_{df_1,df_2}\geq 4.49\right)=0.064$$

其中 $df_1$ 與 $df_2$ 分別是上方 ANOVA 表所提供的組間與組內自由度。

解題方法

ANOVA 為右尾檢定。計算 $p$ 值時，從觀察到的 $F$ 值 $4.49$ 開始，計算 $F$ 分配曲線右側的面積：

$$p=P(F\geq 4.49)$$

由於 $F=4.49$ 已位於 $F$ 分配的右側，右尾面積即為取得「至少同樣極端」檢定統計量的機率，因此得到 $p=0.064$。

選項分析

• A) The area to the right of $F=4.49$ under the $F$-distribution.

  正確。ANOVA 的 $F$ 檢定採右尾檢定，$p$ 值就是 $F=4.49$ 右側的面積：

  $$p=P(F\geq 4.49)=0.064$$

• B) The area to the left of $F=-4.49$ under the $F$-distribution.

核心觀念
本題測驗的是 統計假設檢定 中 p 值 (p‑value) 的正確詮釋。

• 虛無假設 (null hypothesis, $H_0$)：在本題的情境下指「各族群母體均值相等」(population means are all equal)。
• 備擇假設 (alternative hypothesis, $H_a$)：至少有一個母體均值不同。
• 測試統計量：此題使用的是 F 統計量，其分布在 $H_0$ 成立時為 $F$ 分布。
• p 值的定義：在 $H_0$ 成立的前提下，觀測到 等於或更極端（本例為「更大」）之測試統計量的機率。
  $p = P(F \ge F_{\text{obs}} \mid H_0) = 0.064$
• 顯著水準 $\alpha$：研究者事先決定的拒絕 $H_0$ 的臨界機率，常見值為 $0.05$、$0.01$，與 p 值無直接等同。

---

解題方法

1. 依題目所給的 p 值 $0.064$，先寫出 p 值的正式敘述。
2. 逐一比對選項文字與 p 值的正確解釋：
   • 是否提及「若 $H_0$ 成立」；
   • 是否混淆「$H_0$ 為真的機率」與「觀測到統計量的機率」；
   • 是否與顯著水準 $\alpha$ 混為一談（例如把 $0.10$ 當成 Type I error）。
3. 判斷每個敘述的真偽。

---

選項分析

選項	文字內容	分析	正確性
A	「若此研究重複多次，虛無假設只會在 6.4% 的情況下為真。」	這是在說 $P(H_0\text{ 為真}) = 0.064$，但 p 值絕不提供 $H_0$ 成真的機率。

核心觀念
本題測驗的是 統計假設檢定 中 p 值 (p‑value) 的正確詮釋。

• 虛無假設 (null hypothesis, $H_0$)：在本題的情境下指「各族群母體均值相等」(population means are all equal)。
• 備擇假設 (alternative hypothesis, $H_a$)：至少有一個母體均值不同。
• 測試統計量：此題使用的是 F 統計量，其分布在 $H_0$ 成立時為 $F$ 分布。
• p 值的定義：在 $H_0$ 成立的前提下，觀測到 等於或更極端（本例為「更大」）之測試統計量的機率。
  $p = P(F \ge F_{\text{obs}} \mid H_0) = 0.064$
• 顯著水準 $\alpha$：研究者事先決定的拒絕 $H_0$ 的臨界機率，常見值為 $0.05$、$0.01$，與 p 值無直接等同。

---

解題方法

1. 依題目所給的 p 值 $0.064$，先寫出 p 值的正式敘述。
2. 逐一比對選項文字與 p 值的正確解釋：
   • 是否提及「若 $H_0$ 成立」；
   • 是否混淆「$H_0$ 為真的機率」與「觀測到統計量的機率」；
   • 是否與顯著水準 $\alpha$ 混為一談（例如把 $0.10$ 當成 Type I error）。
3. 判斷每個敘述的真偽。

---

選項分析

選項	文字內容	分析	正確性
A	「若此研究重複多次，虛無假設只會在 6.4% 的情況下為真。」	這是在說 $P(H_0\text{ 為真}) = 0.064$，但 p 值絕不提供 $H_0$ 成真的機率。

核心觀念

• 相對危險度 (Relative Risk, RR)：比較兩組的發生率，$RR=\dfrac{p_{\text{男性}}}{p_{\text{女性}}}$。
• 無差異虛無假設：若兩組真實風險相同，則 $RR=1$。
• 信賴區間 (Confidence Interval, CI)：在 95% CI 內的值在長期重複抽樣中會包含母體參數的機率為 95%。若 CI 包含 $1$，則無法拒絕 $RR=1$；若 不包含 $1$，才可說明兩組風險在統計上有顯著差異。
• 0 的意義：相對危險度是比例，理論上不會等於 $0$；因此 CI 是否包含 $0$ 與檢驗差異無關。

---

解題方法

1. 讀題得知樣本 RR = 1.03，95% CI = $(0.5,\;1.9)$。
2. 判斷 CI 是否包含虛無值 $1$。
   • $0.5 < 1 < 1.9$，包含 $1$。
3. 因 CI 包含 $1$，不能排除母體 RR 為 $1$，即 母體風險可能相等。
4. 觀察選項，只有 A 提到「母體風險可能相同」；其餘選項的理由（是否包含 $0$、是否包含 1.03）均與判斷無關。

---

選項分析

選項	內容	正誤判斷與原因
A	The population risks may be the same because the interval includes the value 1.03.	**

核心觀念

本題考的是貝氏定理：已知檢驗結果為陽性，求受檢者實際罹病的條件機率。檢驗準確率與罹病率是不同的機率，不能把「有病時驗出陽性的機率」直接當成「驗出陽性時有病的機率」。

令：

• $D$：受檢者有病，則 $P(D)=0.01$。
• $D^c$：受檢者無病，則 $P(D^c)=0.99$。
• $+$：檢驗結果為陽性，則 $P(+\mid D)=0.95$，$P(+\mid D^c)=0.005$。

貝氏定理為：

$$P(D\mid +)=\frac{P(+\mid D)P(D)}{P(+)}$$

其中陽性檢驗可能來自「有病且驗出陽性」，也可能來自「無病但誤驗陽性」。

解題方法

先用全機率公式計算所有陽性結果的機率：

$$P(+)=P(+\mid D)P(D)+P(+\mid D^c)P(D^c)$$

代入題目數值：

$$P(+)=0.95(0.01)+0.005(0.99) =0.0095+0.00495 =0.01445$$

再套用貝氏定理：

核心觀念

簡單線性迴歸含有一個自變數，因此估計殘差變異數時的自由度為 $n-2$。迴歸標準誤（殘差標準差）定義為

$$s_e=\sqrt{\frac{SSE}{n-2}}$$

其中 $SSE$ 為殘差平方和。又有

$$SST=SSR+SSE$$

調整後決定係數為

$$\bar R^2=1-\frac{SSE/(n-2)}{SST/(n-1)}$$

解題方法

依迴歸題的慣例，將題目所稱的誤差項樣本標準差 $5$ 解讀為迴歸標準誤 $s_e$。因此：

$$5=\sqrt{\frac{SSE}{10-2}}$$

兩側平方後得到

$$SSE=25(8)=200$$

核心觀念

多元迴歸的整體 $F$ 檢定，用來檢驗所有解釋變數的斜率係數是否同時為 $0$。有 $k$ 個自變數、$n$ 筆觀察值時，迴歸的 $F$ 統計量為

$$F=\frac{R^2/k}{(1-R^2)/(n-k-1)}$$

其中，分子自由度為 $k$，分母自由度為 $n-k-1$。此公式假設迴歸模型含截距項。

解題方法

題目給定 $R^2=0.8$、自變數個數 $k=3$，以及觀察值個數 $n=20$。代入公式：

$$F=\frac{0.8/3}{(1-0.8)/(20-3-1)}$$

先計算分子與分母：

核心觀念

這題考多元迴歸的整體顯著性檢定。標準虛無假設為

$$H_0:\beta_1=\beta_2=\beta_3=0$$

對立假設為至少一個斜率係數不為 $0$。檢定統計量為

$$F=\frac{R^2/k}{(1-R^2)/(n-k-1)}$$

其中 $R^2$ 是決定係數，$k$ 是自變數個數，$n$ 是樣本數。在虛無假設成立時，$F$ 服從自由度為 $(k,n-k-1)$ 的 $F$ 分配。

解題方法

代入 $R^2=0.8$、$k=3$：

$$F=\frac{0.8/3}{(1-0.8)/(n-3-1)} =\frac{0.8/3}{0.2/(n-4)} =\frac{4}{3}(n-4)$$

在 5% 顯著水準下，應將此統計量與 $F_{0.95}(3,n-4)$ 比較。拒絕條件為

核心觀念

兩個市場的指數平均水準差異很大，不能只比較標準差的絕對大小。衡量不同平均水準資料的相對離散程度，適合使用變異係數（coefficient of variation, CV）：

$$CV=\frac{\text{標準差}}{\text{平均數}}\times 100\%$$

變異係數愈大，代表資料相對於其平均水準的波動愈大。

解題方法

分別計算兩個市場的變異係數：

S&P500：

$$CV_{\text{S\&P500}} =\frac{229}{4{,}282}\times 100\% \approx 5.35\%$$

DJIA：

核心觀念

本題比較兩個年度報酬分配的偏態係數（skewness）與峰態係數（kurtosis），判斷報酬分配的非對稱程度與尾端風險。以下假設題目中的峰態係數採一般的 Pearson 定義，常態分配的峰態係數為 $3$。

偏態係數可表示為標準化的三階動差：

$$\text{Skewness} = \frac{E[(R-\mu)^3]}{\sigma^3}$$

其中 $R$ 為報酬率、$\mu$ 為平均報酬率、$\sigma$ 為報酬率標準差。偏態為負表示左尾較長，較容易出現相對極端的負報酬；偏態為正表示右尾較長，較容易出現相對極端的正報酬。

峰態係數可表示為標準化的四階動差：

$$\text{Kurtosis} = \frac{E[(R-\mu)^4]}{\sigma^4}$$

峰態高於常態分配的 $3$，通常代表分配具有較厚的尾部，極端報酬出現的相對機會較高。峰態反映尾端特性，不直接衡量報酬的整體波動大小。

解題方法與分析

比較數值時，先看偏態的正負號與大小，再看峰態是否高於常態基準 $3$，以及兩年度的相對高低。

• 2023 年：偏態 $0.18$，峰態 $4.51$。
  偏態為小幅正值，報酬分配略向右偏，表示正報酬方向的尾部稍長；負偏態所代表的左尾不對稱現象較不明顯。

核心觀念

題目考的是「線性機率模型」中虛擬變數係數的解讀。當二元應變數 $approve$ 以線性迴歸估計時，係數代表在其他因素固定下，解釋變數改變一單位所對應的核貸機率差異。

解題方法

將 $white$ 分別代入迴歸式。令「其他因素」相同，則：

$$\widehat{P}(approve=1\mid white=1) - \widehat{P}(approve=1\mid white=0) = \hat{\beta}_1 = 0.12$$

因此，在其他因素相同時，白人申請者的房貸核准機率比非白人申請者高 0.12，也就是高 12 個百分點。這是機率的「百分點差異」，不等於核准機率相對增加 12%。

核心觀念

本題考的是民意調查的抽樣誤差，以及如何判斷兩位候選人的支持率差距是否大於抽樣誤差。題目沒有指定信賴水準，以下採常見的 95% 信賴水準，並假設這是簡單隨機抽樣、兩個百分比來自同一份樣本。

支持率的估計值記為 $\hat p$。其近似標準誤為

$$SE(\hat p)=\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$$

95% 信賴區間的誤差範圍（margin of error）約為

$$1.96\times SE(\hat p)$$

判斷兩位候選人是否有顯著差距，應直接檢驗支持率差 $\hat p_L-\hat p_C$，而不是只把各自的誤差範圍當作選舉結果的保證。

解題方法

民調中 Labour 的支持率為 $46\%$，Conservatives 為 $38\%$，估計差距為

$$\hat p_L-\hat p_C=0.46-0.38=0.08$$

也就是 Labour 領先 8 個百分點。

先看單一支持率的誤差範圍。用兩位候選人支持率的平均水準約 $0.42$ 估計：

$$ME\approx 1.96\sqrt{\frac{0.42(1-0.42)}{1000}} \approx 0.0306$$

因此，單一支持率的誤差範圍約為 3.1 個百分點。以此估算，Labour 的支持率區間約為 $42.9\%$ 至 $49.1\%$；Conservatives 約為 $34.9\%$ 至 $41.1\%$。兩區間沒有重疊，初步顯示 Labour 的領先幅度大於抽樣誤差。

更直接的做法是估計兩支持率之差的標準誤。因為兩個比例來自同一份民調樣本，應考慮同一受訪者只能選擇一個政黨的關聯。

核心觀念

以簡單線性迴歸將應變數 $Y$ 對自變數 $X$ 迴歸，估計模型

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i$$

最小平方法選擇截距 $\hat{\beta}_0$ 與斜率 $\hat{\beta}_1$，使殘差平方和最小。估計公式為

$$\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad \hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}$$

其中 $S_{xy}=\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$，$S_{xx}=\sum (x_i-\bar{x})^2$。

解題方法

先求樣本平均：

$$\bar{x}=\frac{0.8+0.9+1.0+1.1}{4}=0.95, \qquad \bar{y}=\frac{5.0+5.3+5.5+5.4}{4}=5.3$$

整理各觀測值相對於平均數的偏差：

| $x_i-\bar{x}$ | $y_i-\bar{y}$ | $(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |

核心觀念

本題考簡單線性迴歸中，給定 $x_0$ 時「平均反應」的 $95\%$ 信賴區間。它估計的是所有具有 $x=x_0$ 的個體之平均反應 $E(Y\mid X=x_0)$，不是單一個體反應值的預測區間。

第五筆只提供自變數 $x_0=1.2$，沒有提供反應值，因此迴歸模型仍以原有的 $n=4$ 筆資料估計。平均反應的信賴區間為

$$\hat{y}_0 \pm t_{0.975,n-2}\,s \sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(x_0-\bar{x})^2}{S_{xx}}}$$

其中 $\hat{y}_0=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x_0$，$s=\sqrt{\mathrm{SSE}/(n-2)}$，而 $S_{xx}=\sum (x_i-\bar{x})^2$。

解題方法

先用四筆已知資料估計迴歸線。由資料可得

$$\bar{x}=0.95,\qquad \bar{y}=5.30$$ $$S_{xx}=\sum (x_i-\bar{x})^2=0.05$$ $$S_{xy}=\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=0.07$$

因此斜率與截距估計值為

$$\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{0.07}{0.05}=1.4$$ $$\hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x} =5.30-1.4(0.95)=3.97$$

估計迴歸線為 $\hat{y}=3.97+1.4x$。當 $x_0=1.2$ 時，平均反應的點估計為

核心觀念

這題考的是簡單線性迴歸中的個別新觀測值預測區間。在 $x_0=1.2$ 處，預測反應值為 $\hat y_0$；預測區間還要納入新個體本身的隨機誤差，因此標準誤公式中有額外的 $1$：

$$\hat y_0 \pm t_{\alpha/2,n-2}\, s\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{(x_0-\bar x)^2}{S_{xx}}}$$

其中 $s=\sqrt{\mathrm{MSE}}$，自由度為 $n-2$。若求的是平均反應值的信賴區間，根號內不會有額外的 $1$；本題問個別反應值，所以必須保留。

解題方法

先計算樣本平均數與迴歸係數：

$$\bar x=\frac{0.8+0.9+1.0+1.1}{4}=0.95, \qquad \bar y=\frac{5.0+5.3+5.5+5.4}{4}=5.3$$ $$S_{xx}=\sum_{i=1}^4(x_i-\bar x)^2=0.05$$ $$S_{xy}=\sum_{i=1}^4(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=0.07$$

因此斜率與截距為

$$b_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{0.07}{0.05}=1.4, \qquad b_0=\bar y-b_1\bar x=5.3-1.4(0.95)=3.97$$

估計迴歸線為

$$\hat y=3.97+1.4x$$

當 $x_0=1.2$ 時，個別反應值的點預測為