109 年 國立政治大學金融學系碩士班金融科技組《統計學B》

這題是申論題，主要在考察考生在財務分析領域中，實際應用統計學估計或檢定方法的經驗。考生需要選擇一個具體的財務分析專案或作業，詳細描述其中所使用的統計估計方法或檢定方法，包括其名稱、執行步驟以及方法的性質（例如假設、優缺點、適用性等）。

由於這是一道申論題，沒有標準的計算過程，重點在於考生能否清晰、有條理地闡述其經驗，並展現對統計方法的理解。以下提供一個可能的回答架構與內容方向，供考生參考：

範例架構：

1. 專案/作業名稱與背景：

   • 簡述專案的目標，例如：預測某公司股票的未來報酬率、檢定某項投資策略的有效性、評估某個經濟指標對股價的影響等。
   • 說明專案的數據來源與期間。

2. 使用的統計方法（估計或檢定）：

   • 方法名稱： 明確指出所使用的統計方法，例如：
     • 估計方法：
       • 迴歸分析 (Regression Analysis)：線性迴歸、多元迴歸、時間序列迴歸 (如 ARIMA)。
       • 最大概似估計 (Maximum Likelihood Estimation, MLE)。
       • 移動平均法 (Moving Average)。
       • 指數平滑法 (Exponential Smoothing)。
     • 檢定方法：
       • 假設檢定 (Hypothesis Testing)：t-檢定、F-檢定、卡方檢定、Z-檢定。
       • 迴歸模型的顯著性檢定。
       • 時間序列模型的適配度檢定 (Goodness-of-fit tests)。

3. 方法的執行步驟：

   • 數據準備： 如何收集、清洗、轉換數據。
   • 模型建立： 如何設定模型、定義解釋變數與被解釋變數。
   • 參數估計： 如何計算估計量（例如迴歸係數、平均數、變異數）。
   • 模型診斷與檢定： 如何檢查模型的假設是否成立（例如殘差分析、共線性檢定），以及如何進行假設檢定。
   • 結果解釋： 如何解讀估計結果與檢定結果，並與專案目標連結。

4. 方法的性質與討論：

   • 假設： 該方法有哪些基本假設？（例如：迴歸分析的線性、獨立性、同質變異數、常態性等）。
   • 性質： 估計量是否具有良好性質（例如：不偏性、有效性、一致性）？檢定是否具有足夠的檢力？
   • 優點： 該方法適用於此問題的優勢為何？
   • 缺點/限制： 該方法的局限性為何？在實際應用中可能遇到哪些問題？
   • 其他考量： 是否有其他替代方法？為何選擇此方法？

此題主要考察二項樹模型 (Binomial Tree Model) 下的期權定價，特別是結合無套利原則 (No-Arbitrage Argument) 來推導期權價格。題目從最基本的單步模型開始，逐步擴展到多步模型，最終連結到連續時間模型（Black-Scholes 模型的前身）。

核心觀念：

• 無套利原則 (No-Arbitrage Principle)： 在一個有效的市場中，不存在無風險的利潤機會。
• 風險中性定價 (Risk-Neutral Pricing)： 在風險中性世界下，所有資產的預期報酬率等於無風險利率。期權的價格等於其在風險中性世界下的預期支付額，折現至現值。
• 對沖投資組合 (Hedging Portfolio)： 建立一個由標的資產與期權組成的投資組合，使其價值變動與標的資產的變動無關，從而達到風險中性。

---

1. 計算使投資組合無風險的 $\Delta$ 值 (5%)

核心概念： 建立一個由 $\Delta$ 股股票與 1 單位期權組成的投資組合，使其在下一期（無論股價上漲或下跌）的價值相同，從而消除風險。

解題步驟：
假設現時點為 $t=0$，下一期為 $t=1$。
現時點股價為 $S_0$，期權價格為 $f$。
下一期股價有兩種可能：$S_0 u$ (上漲) 或 $S_0 d$ (下跌)。
下一期期權支付有兩種可能：$f_u$ (當股價為 $S_0 u$) 或 $f_d$ (當股價為 $S_0 d$)。

我們建立一個投資組合 $P$，包含：

• 長倉 $\Delta$ 股股票，價值為 $\Delta S_0$。
• 空倉 1 單位期權，價值為 $-f$。

則現時點投資組合的總價值為 $P_0 = \Delta S_0 - f$。

在下一期，投資組合的價值 $P_1$ 根據股價變動而變化：

• 若股價上漲至 $S_0 u$： 股票價值為 $\Delta S_0 u$，期權價值為 $f_u$。投資組合價值為 $P_{1,up} = \Delta S_0 u - f_u$。
• 若股價下跌至 $S_0 d$： 股票價值為 $\Delta S_0 d$，期權價值為 $f_d$。投資組合價值為 $P_{1,down} = \Delta S_0 d - f_d$。

為了使投資組合無風險，即在下一期的價值不隨股價變動而變動，我們需要 $P_{1,up} = P_{1,down}$。
$\Delta S_0 u - f_u = \Delta S_0 d - f_d$

將 $\Delta$ 項移到一邊，常數項移到另一邊：
$\Delta S_0 u - \Delta S_0 d = f_u - f_d$
$\Delta S_0 (u - d) = f_u - f_d$

解出 $\Delta$：
$\Delta = \frac{f_u - f_d}{S_0 u - S_0 d} = \frac{f_u - f_d}{S_0 (u - d)}$

這個 $\Delta$ 就是我們需要的對沖比例，使得投資組合 $P$ 在下一期的價值是確定的，與股價的隨機變動無關。

【答案】$\Delta = \frac{f_u - f_d}{S_0 (u - d)}$

---

2. 單步二項樹下的期權價格 $f$ (5%)

核心概念： 既然我們已經建立了一個無風險的投資組合，其下一期的價值是確定的 ($P_{1,up} = P_{1,down}$)，根據無套利原則，該投資組合在現時點的價值 $P_0$ 必須等於其下一期確定價值折現到現時點的價值。這個折現率必須是無風險利率 $r$。

解題步驟：
我們知道：

• 現時點投資組合價值：$P_0 = \Delta S_0 - f$
• 下一期確定價值：$P_{1} = \Delta S_0 u - f_u = \Delta S_0 d - f_d$

根據無套利原則，現時點的價值 $P_0$ 必須等於下一期價值 $P_1$ 折現到現時點的價值。這裡我們假設市場存在一個無風險利率 $r$ (通常是連續複利的，即 $e^{r \Delta t}$，在單步模型中 $\Delta t = 1$，所以折現因子是 $e^{-r}$；或者離散複利，折現因子為 $(1+r)^{-1}$。題目未明確說明，但標準二項樹模型通常假設連續複利，此處為了與後續連續時間連結，我們暫時採用連續複利折現因子 $e^{-r}$。如果題目預設為離散複利，則折現因子為 $1/(1+r)$。在單步模型下，若沒有明確說明，通常可假設時間步長為 1，並使用 $e^{-r}$ 或 $1/(1+r)$。為了與後續連結，我們使用 $e^{-r}$。)

• 注意： 題目中 $u$ 和 $d$ 的定義可能暗示離散時間步長。標準的二項樹模型中，若時間步長為 $\Delta t$，則股價變動為 $S_0 u^{\Delta t}$ 或 $S_0 d^{\Delta t}$，且 $u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}$、$d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}$。這裡給定的 $u$ 和 $d$ 形式較為簡潔，且 $ud=1$ 意味著 $d=1/u$。通常在單步模型中，時間步長 $\Delta t = 1$。如果我們假設無風險利率是連續複利，則折現因子是 $e^{-r}$。如果假設是簡單複利，則折現因子是 $1/(1+r)$。在沒有明確說明的情況下，許多教科書會使用 $e^{-r}$。我們在此使用 $e^{-r}$。

$P_0 = e^{-r} P_1$
$\Delta S_0 - f = e^{-r} (\Delta S_0 u - f_u)$

將 $\Delta$ 的表達式代入：
$\left(\frac{f_u - f_d}{S_0 (u - d)}\right) S_0 - f = e^{-r} \left[ \left(\frac{f_u - f_d}{S_0 (u - d)}\right) S_0 u - f_u \right]$
$\frac{f_u - f_d}{u - d} - f = e^{-r} \left[ \frac{(f_u - f_d) u}{u - d} - f_u \right]$

重新整理，解出 $f$:
$f = \frac{f_u - f_d}{u - d} - e^{-r} \left[ \frac{(f_u - f_d) u}{u - d} - f_u \right]$
$f = \frac{1}{u-d} [f_u - f_d - e^{-r}(f_u u - f_d u - f_u(u-d))]$
$f = \frac{1}{u-d} [f_u - f_d - e^{-r}(f_u u - f_d u - f_u u + f_u d)]$
$f = \frac{1}{u-d} [f_u - f_d - e^{-r}(- f_d u + f_u d)]$
$f = \frac{1}{u-d} [f_u - f_d - e^{-r}d(f_u - f_d/d)]$ (這一步有點複雜，換個思路)

另一種更直接的方法：風險中性機率
風險中性定價的核心是找到一個風險中性機率 $q$，使得在該機率下，標的資產的預期價格為無風險利率折現的現值。
令 $q$ 為股價上漲的風險中性機率。則股價下跌的風險中性機率為 $1-q$。
根據無套利原則，我們要求：
$E_q[S_1] = S_0 e^{r \Delta t}$
在這裡 $\Delta t = 1$，所以 $E_q[S_1] = S_0 e^r$。
$q (S_0 u) + (1-q) (S_0 d) = S_0 e^r$
$q u + (1-q) d = e^r$
$q u + d - q d = e^r$
$q (u-d) = e^r - d$
$q = \frac{e^r - d}{u - d}$

有了風險中性機率 $q$，期權在現時點的價格 $f$ 就是其未來預期支付額在風險中性世界下的現值：
$f = e^{-r} E_q[f_1]$
$f = e^{-r} [q f_u + (1-q) f_d]$

將 $q$ 代入：
$f = e^{-r} \left[ \left(\frac{e^r - d}{u - d}\right) f_u + \left(1 - \frac{e^r - d}{u - d}\right) f_d \right]$
$f = e^{-r} \left[ \frac{(e^r - d) f_u}{u - d} + \frac{(u - d) - (e^r - d)}{u - d} f_d \right]$
$f = e^{-r} \left[ \frac{(e^r - d) f_u}{u - d} + \frac{u - e^r}{u - d} f_d \right]$
$f = \frac{e^{-r}}{u - d} \left[ (e^r - d) f_u + (u - e^r) f_d \right]$
$f = \frac{1}{u - d} \left[ (1 - d e^{-r}) f_u + (u e^{-r} - 1) f_d \right]$

驗證與對照：
題目中給定 $ud=1$，即 $d=1/u$。
如果我們使用離散複利折現因子 $1/(1+r)$，則風險中性機率為 $q = \frac{(1+r) - d}{u - d}$。
期權價格為 $f = \frac{1}{1+r} [q f_u + (1-q) f_d]$。
$f = \frac{1}{1+r} \left[ \frac{(1+r) - d}{u - d} f_u + \left(1 - \frac{(1+r) - d}{u - d}\right) f_d \right]$
$f = \frac{1}{1+r} \left[ \frac{(1+r) - d}{u - d} f_u + \frac{u - (1+r)}{u - d} f_d \right]$

此題組聚焦於布朗運動 (Brownian Motion) 的性質、其與股價模型的關聯，以及最終引導至 Black-Scholes 期權定價公式。題目涵蓋了隨機過程、統計推論、以及金融衍生品定價等重要概念。

核心觀念：

• 布朗運動 (Brownian Motion)： 標準布朗運動 $B(t)$ 是一個具有零均值、單位變異數（時間 $t$ 成正比）、獨立增量和連續軌跡的隨機過程。
• 增量： $B(t_i) - B(t_{i-1})$ 的分佈取決於時間間隔 $t_i - t_{i-1}$。
• 風險中性定價 (Risk-Neutral Pricing)： 在風險中性世界下，所有資產的預期報酬率為無風險利率 $r$。
• 幾何布朗運動 (Geometric Brownian Motion)： 股價模型，描述股價的對數服從帶漂移項的布朗運動。
• 最大概似估計 (Maximum Likelihood Estimation, MLE)： 在給定數據的情況下，尋找最能解釋該數據的參數值。
• 隱含波動率 (Implied Volatility)： 期權市場價格反推得到的波動率。

---

(a). $B(t_1), B(t_2), \dots, B(t_k)$ 的聯合密度函數 (5%)

核心概念： 布朗運動具有獨立增量。這意味著，任意兩個不同時間區間的增量是獨立的。

解題步驟：
我們知道：

1. $B(t_1)$ 是獨立於 $B(t_2)-B(t_1), B(t_3)-B(t_2), \dots$ 的。
2. $B(t_1) \sim N(0, t_1)$，其密度函數為 $f_{B(t_1)}(b_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi t_1}} e^{-\frac{b_1^2}{2t_1}}$。
3. $B(t_i) - B(t_{i-1})$ 是一個時間間隔為 $t_i - t_{i-1}$ 的布朗運動增量，且其均值為 0，變異數為 $t_i - t_{i-1}$。
   所以 $B(t_i) - B(t_{i-1}) \sim N(0, t_i - t_{i-1})$，其密度函數為 $f_{B(t_i)-B(t_{i-1})}(b_i-b_{i-1}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi (t_i - t_{i-1})}} e^{-\frac{(b_i-b_{i-1})^2}{2(t_i-t_{i-1})}}$。

由於增量是獨立的，我們可以將聯合密度函數寫成各個增量密度函數的乘積。
我們需要 $B(t_1), B(t_2), \dots, B(t_k)$ 的聯合密度。
我們可以將 $B(t_i)$ 表示為一系列增量的和：
$B(t_1) = B(t_1) - B(0)$
$B(t_2) = B(t_1) + (B(t_2) - B(t_1))$
$B(t_3) = B(t_2) + (B(t_3) - B(t_2)) = B(t_1) + (B(t_2) - B(t_1)) + (B(t_3) - B(t_2))$
...
$B(t_k) = B(t_{k-1}) + (B(t_k) - B(t_{k-1}))$

令 $\Delta t_i = t_i - t_{i-1}$ (其中 $t_0 = 0$)，則 $B(t_i) - B(t_{i-1}) \sim N(0, \Delta t_i)$。
$B(t_i)$ 的密度函數是 $f_{B(t_i)}(b_i)$。
$B(t_1), B(t_2), \dots, B(t_k)$ 的聯合密度函數 $f(b_1, b_2, \dots, b_k)$ 可以通過Jacobian 變換從增量的聯合密度轉換而來，或者直接利用獨立增量的性質。

由於 $B(t_1), B(t_2)-B(t_1), \dots, B(t_k)-B(t_{k-1})$ 是獨立的隨機變數，它們的聯合密度是各自分密度的乘積。
$f(B(t_1), B(t_2)-B(t_1), \dots, B(t_k)-B(t_{k-1})) = f_{B(t_1)}(b_1) \cdot f_{B(t_2)-B(t_1)}(b_2-b_1) \cdot \dots \cdot f_{B(t_k)-B(t_{k-1})}(b_k-b_{k-1})$
$= \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi t_1}} e^{-\frac{b_1^2}{2t_1}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi (t_2-t_1)}} e^{-\frac{(b_2-b_1)^2}{2(t_2-t_1)}}\right) \dots \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi (t_k-t_{k-1})}} e^{-\frac{(b_k-b_{k-1})^2}{2(t_k-t_{k-1})}}\right)$

現在我們需要從增量的聯合密度轉換到 $B(t_1), B(t_2), \dots, B(t_k)$ 的聯合密度。
令 $Y_1 = B(t_1)$, $Y_2 = B(t_2)-B(t_1), \dots, Y_k = B(t_k)-B(t_{k-1})$。
則 $B(t_1) = Y_1$, $B(t_2) = Y_1+Y_2$, ..., $B(t_k) = Y_1+Y_2+\dots+Y_k$。
這是一個線性變換。Jacobian 矩陣為單位矩陣，所以 Jacobian 的行列式為 1。
因此，聯合密度函數 $f(b_1, b_2, \dots, b_k)$ 為：
$f(b_1, b_2, \dots, b_k) = f_{Y_1}(b_1) f_{Y_2}(b_2-b_1) \dots f_{Y_k}(b_k-b_{k-1})$
$f(b_1, b_2, \dots, b_k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi t_1}} e^{-\frac{b_1^2}{2t_1}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi (t_2-t_1)}} e^{-\frac{(b_2-b_1)^2}{2(t_2-t_1)}} \cdots \frac{1}{\sqrt{2\pi (t_k-t_{k-1})}} e^{-\frac{(b_k-b_{k-1})^2}{2(t_k-t_{k-1})}}$
$f(b_1, b_2, \dots, b_k) = \left( \prod_{i=1}^{k} \frac{1}{\sqrt{2\pi (t_i - t_{i-1})}} \right) \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{k} \frac{(b_i - b_{i-1})^2}{t_i - t_{i-1}}\right)$
其中 $t_0 = 0$ 且 $b_0 = 0$。

【答案】$f(b_1, b_2, \dots, b_k) = \left( \prod_{i=1}^{k} \frac{1}{\sqrt{2\pi (t_i - t_{i-1})}} \right) \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{k} \frac{(b_i - b_{i-1})^2}{t_i - t_{i-1}}\right)$，其中 $t_0=0, b_0=0$。

---

(b). $B(t)$ 和 $B(s)$ 的協方差 $\text{Cov}(B(t), B(s))$，其中 $s<t$ (5%)

核心概念： 布朗運動的增量是獨立的。這意味著，對於 $s < t$，我們可以將 $B(t)$ 表示為 $B(s)$ 加上一個從 $s$ 到 $t$ 的增量。
$B(t) = B(s) + (B(t) - B(s))$

解題步驟：
根據協方差的性質，$\text{Cov}(X+Y, Z) = \text{Cov}(X, Z) + \text{Cov}(Y, Z)$。
$\text{Cov}(B(t), B(s)) = \text{Cov}(B(s) + (B(t) - B(s)), B(s))$
$= \text{Cov}(B(s), B(s)) + \text{Cov}(B(t) - B(s), B(s))$

由於布朗運動具有獨立增量，在時間 $s$ 之前的增量（即 $B(s)$）與時間區間 $(s, t]$ 的增量 ($B(t) - B(s)$) 是獨立的。
因此，$\text{Cov}(B(t) - B(s), B(s)) = 0$。

所以，
$\text{Cov}(B(t), B(s)) = \text{Cov}(B(s), B(s))$
$\text{Cov}(B(s), B(s))$ 是 $B(s)$ 的變異數，即 $Var(B(s))$。
根據布朗運動的定義，$Var(B(s)) = s$。

因此，$\text{Cov}(B(t), B(s)) = s$。

推廣：
對於任意 $t_1, t_2 > 0$， $\text{Cov}(B(t_1), B(t_2)) = \min(t_1, t_2)$。
在此題中，由於 $s < t$，所以 $\min(s, t) = s$。

【答案】$\text{Cov}(B(t), B(s)) = s$。

---

(c). 給定 $B(t) = C$ 時，$B(s)$ 的條件分佈，其中 $s<t$ (5%)

核心概念： 利用布朗運動的獨立增量和高斯分佈的性質來求解條件分佈。

解題步驟：
我們要求 $B(s)$ 的分佈，已知 $B(t) = C$ 且 $s < t$。
我們可以將 $B(t)$ 表示為：
$B(t) = B(s) + (B(t) - B(s))$

已知：

• $B(s) \sim N(0, s)$
• $B(t) - B(s) \sim N(0, t-s)$
• $B(s)$ 和 $B(t) - B(s)$ 是獨立的。

我們有 $B(t) = C$。代入上式：
$C = B(s) + (B(t) - B(s))$

我們要找的是 $B(s)$ 的分佈。我們知道 $B(s)$ 是 $N(0, s)$ 分佈的。
考慮 $B(s)$ 的條件期望值 $E[B(s) | B(t) = C]$ 和條件變異數 $Var(B(s) | B(t) = C)$。

利用高斯聯合分佈的性質：
設 $X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)$ 且 $Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2)$，若 $\text{Cov}(X, Y) = \rho \sigma_X \sigma_Y$，則
$E[X | Y=y] = \mu_X + \rho \frac{\sigma_X}{\sigma_Y} (y - \mu_Y)$
$Var(X | Y=y) = \sigma_X^2 (1 - \rho^2)$

在此問題中，我們將 $X = B(s)$ 和 $Y = B(t)$。
$\mu_X = E[B(s)] = 0$
$\sigma_X^2 = Var(B(s)) = s \implies \sigma_X = \sqrt{s}$
$\mu_Y = E[B(t)] = 0$
$\sigma_Y^2 = Var(B(t)) = t \implies \sigma_Y = \sqrt{t}$
$\text{Cov}(B(s), B(t)) = s$ (由 part (b) 得到)
$\rho = \frac{\text{Cov}(B(s), B(t))}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{s}{\sqrt{s} \sqrt{t}} = \sqrt{\frac{s}{t}}$

應用條件期望值公式：
$E[B(s) | B(t) = C] = \mu_X + \rho \frac{\sigma_X}{\sigma_Y} (C - \mu_Y) = 0 + \sqrt{\frac{s}{t}} \frac{\sqrt{s}}{\sqrt{t}} (C - 0) = \frac{s}{t} C$

應用條件變異數公式：
$Var(B(s) | B(t) = C) = \sigma_X^2 (1 - \rho^2) = s \left(1 - \left(\sqrt{\frac{s}{t}}\right)^2\right) = s \left(1 - \frac{s}{t}\right) = \frac{s(t-s)}{t}$

由於 $B(s)$ 和 $B(t)$ 聯合服從高斯分佈，其條件分佈也是高斯分佈。
因此，$B(s)$ 在 $B(t) = C$ 的條件下，服從一個均值為 $\frac{s}{t} C$、變異數為 $\frac{s(t-s)}{t}$ 的常態分佈。

$B(s) | B(t) = C \sim N\left(\frac{s}{t} C, \frac{s(t-s)}{t}\right)$

【答案】$B(s)$ 在 $B(t) = C$ 的條件下，服從一個均值為 $\frac{s}{t} C$、變異數為 $\frac{s(t-s)}{t}$ 的常態分佈。
$B(s) | B(t) = C \sim N\left(\frac{s}{t} C, \frac{s(t-s)}{t}\right)$。

---

(d). 風險中性測度下 $S(T)$ 的均值與變異數 (10%)

核心概念： 股價模型 $S(T) = S(0) \exp\{(r-0.5\sigma^2)T+\sigma B(T)\}$ 描述了股價的對數服從一個帶有漂移項的布朗運動。

解題步驟：
令 $X = \ln(S(T))$。
$X = \ln(S(0)) + (r - 0.5\sigma^2)T + \sigma B(T)$

我們知道 $B(T) \sim N(0, T)$。
因此，$(r - 0.5\sigma^2)T + \sigma B(T)$ 的分佈為：
均值：$E[(r - 0.5\sigma^2)T + \sigma B(T)] = (r - 0.5\sigma^2)T + \sigma E[B(T)] = (r - 0.5\sigma^2)T + \sigma \cdot 0 = (r - 0.5\sigma^2)T$
變異數：$Var[(r - 0.5\sigma^2)T + \sigma B(T)] = Var((r - 0.5\sigma^2)T) + Var(\sigma B(T)) + 2 \text{Cov}((r - 0.5\sigma^2)T, \sigma B(T))$
由於 $(r - 0.5\sigma^2)T$ 是常數，其變異數為 0。
$Var(\sigma B(T)) = \sigma^2 Var(B(T)) = \sigma^2 T$。
因此，變異數為 $\sigma^2 T$。

所以，$X = \ln(S(T))$ 服從常態分佈：
$X \sim N\left(\ln(S(0)) + (r - 0.5\sigma^2)T, \sigma^2 T\right)$

現在我們要求 $S(T)$ 的均值和變異數。
$S(T) = e^X$
由於 $e^X$ 是一個對數常態分佈 (Log-Normal Distribution) 的隨機變數。
如果 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，則 $e^X \sim \text{LogNormal}(\mu, \sigma^2)$。
其均值為 $E[e^X] = e^{\mu + \sigma^2/2}$。
其變異數為 $Var(e^X) = (e^{\sigma^2} - 1) e^{2\mu + \sigma^2}$。

在我們的問題中：
$\mu = \ln(S(0)) + (r - 0.5\sigma^2)T$
$\sigma^2$ (這裡的 $\sigma^2$ 是 $X$ 的變異數) $= \sigma^2 T$ (注意：原題目中的 $\sigma$ 是對數股價的波動率，這裡的 $\sigma^2$ 是 $X$ 的變異數，其值恰好也是 $\sigma^2 T$。為了區分，我們使用 $\mu_X$ 和 $\sigma_X^2$ 表示 $X$ 的均值和變異數)。
$\mu_X = \ln(S(0)) + (r - 0.5\sigma^2)T$
$\sigma_X^2 = \sigma^2 T$

均值 $E[S(T)]$：
$E[S(T)] = E[e^X] = e^{\mu_X + \sigma_X^2/2}$
$E[S(T)] = e^{\left(\ln(S(0)) + (r - 0.5\sigma^2)T\right) + (\sigma^2 T)/2}$
$E[S(T)] = e^{\ln(S(0)) + rT - 0.5\sigma^2 T + 0.5\sigma^2 T}$
$E[S(T)] = e^{\ln(S(0)) + rT} = S(0) e^{rT}$

這符合風險中性定價的預期：在風險中性世界下，資產的預期價值是其現值的無風險利率折現。

變異數 $Var(S(T))$：
$Var(S(T)) = Var(e^X) = (e^{\sigma_X^2} - 1) e^{2\mu_X + \sigma_X^2}$
$Var(S(T)) = (e^{\sigma^2 T} - 1) e^{2(\ln(S(0)) + (r - 0.5\sigma^2)T) + \sigma^2 T}$
$Var(S(T)) = (e^{\sigma^2 T} - 1) e^{2\ln(S(0)) + 2rT - \sigma^2 T + T\sigma^2 + \sigma^2 T}$
$Var(S(T)) = (e^{\sigma^2 T} - 1) e^{2\ln(S(0)) + 2rT + \sigma^2 T}$
$Var(S(T)) = (e^{\sigma^2 T} - 1) (S(0))^2 e^{2rT + \sigma^2 T}$
$Var(S(T)) = (e^{\sigma^2 T} - 1) (S(0) e^{rT})^2 e^{\sigma^2 T}$
$Var(S(T)) = (e^{\sigma^2 T} - 1) (E[S(T)])^2 e^{\sigma^2 T}$

【答案】
均值：$E[S(T)] = S(0) e^{rT}$
變異數：$Var(S(T)) = (e^{\sigma^2 T} - 1) (S(0) e^{rT})^2 e^{\sigma^2 T}$

---

(e). 標的資產為股票的期權理論價值 (10%)

核心概念： 在風險中性世界下，任何衍生品的價格等於其預期未來支付額的折現值。Black-Scholes 公式是基於此原理推導出來的。

解題步驟：
在風險中性測度下，股票價格 $S(T)$ 的動態為：
$dS(t) = r S(t) dt + \sigma S(t) dB(t)$
其中 $B(t)$ 是標準布朗運動， $r$ 是無風險利率， $\sigma$ 是波動率。