108 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班甲組《材料力學》

此題考查陶瓷材料中常見的點缺陷類型。陶瓷材料由陽離子和陰離子組成，其晶格結構中可能出現的點缺陷包括：

1. 陽離子空位 (Cation Vacancy)：陽離子離開其正常晶格位置。
2. 陰離子空位 (Anion Vacancy)：陰離子離開其正常晶格位置。
3. 陽離子間隙原子 (Cation Interstitial)：陽離子位在非正常晶格位置。
4. 陰離子間隙原子 (Anion Interstitial)：陰離子位在非正常晶格位置。

在陶瓷材料中，由於陰離子（通常是較大的氧離子或鹵素離子）的離子半徑遠大於陽離子（如金屬離子），陰離子較難進入間隙位置。因此，陰離子間隙原子 (anion interstitial) 的形成機率相對較低，甚至可以說是不太可能發生。

此題考查六方密堆積 (Hexagonal Close-Packed, HCP) 結構的原子堆積因子 (Atomic Packing Factor, APF)。

HCP 結構是一種密堆積結構，其原子堆積因子計算如下：
$APF = \frac{\text{體積 of atoms in unit cell}}{\text{體積 of unit cell}}$

對於 HCP 結構，其單位晶胞的體積為 $V_{cell} = a^2 c \sin(60^\circ) \times 2 = \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 c$（注意：HCP 單位晶胞並非簡單的六角柱，而是由兩個基底層和中心層組成，實際計算時常使用一個簡化的六角柱，其中包含 3 個完整的原

此題考查原子間的典型距離。原子間的距離通常是納米 (nm) 或埃 (Å) 的數量級。

1 奈米 (nm) = $10^{-9}$ 公尺 (m)
1 埃 (Å) = $10^{-10}$ 公尺 (m) = 0.1 奈米 (nm)

金屬、陶瓷或高分子材料中，相鄰原子的直徑或鍵長通常在幾個埃到幾十個埃之間。

• 例如，金屬中的原子半徑大約在 0.1 nm 到 0.3 nm 之間。
• 因此，兩個相鄰原子的距離（大約是兩個原子半徑之和）也通常在這個範圍內。

讓我們來分析選項：
(A) 0.1 nm：這相當於 1 埃。這是一個非常小的原子尺寸，但對於某些輕元素或離子來說是可能的。
(B) 0.3 nm：這相當於 3 埃。這是一個非常典型的原子或離子尺寸範圍。

此題考查用於觀察微小生物（如蟲子）的顯微鏡類型。雖然題目中沒有直接顯示圖片，但通常這類問題會附上一張需要顯微鏡才能觀察到的微小生物圖像。根據常見的顯微鏡應用，我們可以推斷。

• 光學顯微鏡 (Optical Microscopy)：解析度約為 200 nm (0.2 μm)。可以觀察到較大的細胞、細菌，甚至一些較大的原生動物或昆蟲的整體結構，但對於細節，如細胞器或非常小的結構，則力有未逮。
• 掃描電子顯微鏡 (Scanning Electron Microscopy, SEM)：解析度可達 1-10 nm。SEM 能夠產生高解析度的三維表面影像，非常適合觀察樣品的表面形貌，如昆蟲的體表結構、毛髮、口器等細節。
• 穿透式電子顯微鏡 (Transmission Electron Microscopy, TEM)：解析度可達 0.1 nm 以下。TEM 觀察的是樣品穿透電子束後形成的影像，主要用於觀察樣品的內部結構，如細胞器、病毒、晶體結構等。它通常需要將樣品製備成非常薄的切片。

此題考查影響金屬零件（如齒輪）表面顏色的加工或熱處理方法。齒輪的表面顏色可能因氧化、塗層或材料本身的改變而變深。

• (A) Forged (鍛造)：鍛造是通過壓力改變金屬的形狀，通常不會直接導致表面顏色變深，除非進行後續的熱處理或表面處理。
• (B) Case hardened (表面硬化)：表面硬化是一種熱處理工藝，通過在工件表面引入碳、氮或其他元素，並進行淬火，從而提高表面硬度。這個過程通常會在表面形成一層氧化物或碳化物，或者改變表層的微觀結構，導致表面顏色變深（例如，呈現藍色、黑色或深灰色）。

此題考查在鐵基體中，不同元素擴散速率的比較。擴散速率受多種因素影響，包括擴散原子的大小、與基體原子的相互作用、以及溫度等。然而，對於固體中的擴散，通常可以參考原子的大小和它們在晶格中的位置（間隙式或取代式擴散）。

• 鐵 (Fe)：是基體材料。
• 鉬 (Mo)、鉻 (Cr)、鎢 (W)：這些都是金屬元素，體積相對較大，在鐵基體中通常以取代式擴散 (substitutional diffusion) 的方式進行。

核心觀念

本題考查晶體材料的滑移與「臨界解析剪應力」Critical Resolved Shear Stress, CRSS 的關係。

當外加拉應力作用於單晶材料時，真正造成滑移的不是整體拉應力，而是作用在特定滑移系統上的解析剪應力。依據 Schmid 定律：

$$\tau_R=\sigma\cos\phi\cos\lambda$$

其中：

• $\tau_R$：滑移面上的解析剪應力
• $\sigma$：外加單軸拉應力
• $\phi$：拉伸方向與滑移面法線的夾角
• $\lambda$：拉伸方向與滑移方向的夾角

當解析剪應力達到材料的臨界解析剪應力 $\tau_{\text{CRSS}}$ 時，晶體開始滑移，宏觀上即表現為降伏：

$$\tau_{\text{CRSS}} = \sigma_y\cos\phi\cos\lambda$$

因此，CRSS 直接決定材料開始產生塑性變形時所需的降伏應力 $\sigma_y$。

解題方法

判斷關鍵在於「開始滑移」所對應的力學行為。

滑移開始的條件為：

$$\tau_R=\tau_{\text{CRSS}}$$

代入 Schmid 定律：

$$\sigma_y\cos\phi\cos\lambda = \tau_{\text{CRSS}}$$

在晶體取向固定時，$\cos\phi\cos\lambda$ 為固定值，因此：

$$\sigma_y = \frac{\tau_{\text{CRSS}}}{\cos\phi\cos\lambda}$$

可見，CRSS 與材料開始降伏時的降伏強度直接相關，故正確答案為降伏強度。

選項分析

(A) Tensile strength

Tensile strength 是材料在拉伸試驗中能承受的最大工程應力，通常對應最大拉應力點：

$$\sigma_{\text{UTS}} = \frac{P_{\max}}{A_0}$$

此題考查鎳鈦合金 (Nitinol) 的形狀記憶效應所涉及的相變。

形狀記憶合金 (Shape Memory Alloys, SMA) 的獨特性能源於其在特定溫度範圍內發生的可逆相變。Nitinol (Ni-Ti 合金) 是最常見的形狀記憶合金之一。

形狀記憶效應的基礎是兩種晶體結構之間的相變：

1. 奧氏體 (Austenite)：通常是高溫相，結構較為規則和對稱，原子排列較為穩定。
2. 麻田散體 (Martensite)：通常是低溫相，結構較為複雜，且可能存在多種變體，具有較大的形變自由度。

在 Nitinol 中，形狀記憶效應的過程是：

• 在較高溫度下，合金處於奧氏體相 (Austenite)。
• 當溫度降低時，奧氏體相會轉變為麻田散體相 (Martensite)。這個相變是無擴散的 (diffusionless)，並且會伴隨有顯著的晶格畸變。
• 在麻田散體相中，可以通過外力使麻田散體變體發生重排，產生宏觀的形變，但這種形變是可逆的。
• 當溫度升高超過某一臨界溫度時，麻田散體相會自發地轉變回奧氏體相。由於奧氏體相的結構是固定的，合金會恢復到其原始的形狀。

此題考查塑性變形 (plastic deformation) 的微觀機制。

塑性變形是指材料在應力去除後，仍然保持永久性形變的現象。在晶體材料中，塑性變形的主要機制是 位錯的運動 (motion of dislocations)。

• 位錯 (Dislocation)：是晶體結構中的線缺陷。
• 位錯的運動 (Motion of Dislocations)：當外加應力超過材料的降伏強度時，位錯會在晶格中移動。位錯的移動使得晶格面之間發生相對滑動，從而導致宏觀的塑性變形。
• 位錯的存在 (Existence of Dislocations)：塑性變形的前提是材料中存在位錯。沒有位錯，材料的塑性變形將非常困難，需要非常高的應力（理論強度）。

核心觀念

陶瓷材料具有以下特性：

• 抗壓強度高。
• 抗拉強度低。
• 脆性大，幾乎沒有塑性變形。
• 對表面裂縫、缺口與夾持應力非常敏感。

因此，陶瓷材料不適合直接進行一般金屬常用的拉伸試驗。試片在夾持及施加拉力時容易因偏心、滑移或夾持處應力集中而提前破壞，造成測試結果不穩定。

工程上通常利用**彎曲試驗（flexural test）**間接測定陶瓷的抗拉強度。彎曲試片時，一側承受拉應力，另一側承受壓應力；陶瓷通常會在受拉側的最大缺陷處開始破壞，因此可由破壞時的彎曲應力評估其抗拉強度。

以三點彎曲試驗為例，矩形試片的最大彎曲應力為

$$\sigma_{\max}=\frac{3PL}{2bh^2}$$

其中：

• $P$：破壞時的載重
• $L$：支承間距
• $b$：試片寬度
• $h$：試片厚度

此最大應力位於試片外表面，受拉側的表面通常是陶瓷最先破壞的位置。

解題方法

題目問的是「用來測試陶瓷材料抗拉強度的試驗」。

判斷重點不是單看「抗拉強度」三個字，而是考慮陶瓷的脆性與試驗可行性：

1. 陶瓷直接拉伸時，夾持處容易產生應力集中。
2. 陶瓷幾乎沒有塑性變形，微小裂縫就可能導致突然破壞。
3. 彎曲試驗能在試片受拉側產生拉應力。
4. 由破壞載重計算最大彎曲應力，即可評估陶瓷的抗拉強度。

因此，工程與材料試驗中通常採用 flexural test 測定陶瓷的抗拉性能，正確選項為 (D)。

選項分析

(A) tensile test

錯誤。

拉伸試驗確實是直接測量材料抗拉強度的基本方法，但陶瓷屬於脆性材料，直接拉伸時容易受到以下因素影響：

此題考查鐵碳合金的微觀組織。

鐵碳合金的性能很大程度上取決於其微觀組織。常見的組織包括：

• α-鐵素體 (α-ferrite)：體心立方 (BCC) 結構，固溶碳的溶解度很低（室溫下約 0.022 wt% C），硬度較低，延性較好。
• 滲碳體 (Cementite, Fe3C)：一種金屬間化合物，碳含量固定 (6.7 wt% C)，硬度很高，脆性很大。
• 奧氏體 (Austenite)：面心立方 (FCC) 結構，在較高溫度下穩定，固溶碳的能力較強。

此題考查面心立方 (FCC) 晶體結構中最容易發生的滑移系統 (slip system)。

在金屬材料中，塑性變形主要通過位錯在特定晶面（滑移面, slip plane）上的滑移來實現。滑移系統由一個滑移面和一個滑移方向組成。

對於 FCC 結構，滑移通常發生在原子密度最高的晶面上，即 {111} 族晶面。
在 {111} 族晶面中，原子排列最緊密的滑移方向是 <110> 族方向。

FCC 結構有 4 組 {111} 族晶面：(111), (11$\bar{1}$), (1$\bar{1}$1), ($\bar{1}$11)。
每組晶面有 3 個 <110> 族方向：例如，在 (111) 晶面上，有 [110], [1$\bar{1}$0], [101], [10$\bar{1}$], [011], [01$\bar{1}$]。

此題考查蠕變 (creep) 測試的數據表示方式。

蠕變是指材料在恆定的應力或載荷作用下，隨時間推移而發生的緩慢塑性變形。蠕變測試通常用於評估材料在高溫下的長期穩定性。

蠕變測試的典型步驟是：

1. 施加一個恆定的載荷 (load) 或應力 (stress) 在樣品上。
2. 在恆定的溫度下，記錄樣品在不同時間點的變形量 (strain)。

因此，蠕變的行為是時間的函數，並且與應力有關。最能直觀描述蠕變過程的數據圖是 應變隨時間的變化曲線 (strain vs time)。

在蠕變曲線中，通常可以觀察到三個階段：

1. 初級蠕變 (Primary creep)：蠕變速率隨時間逐漸減小。

此題考查碳含量對鐵基材料（如鋼）機械性質的影響。

碳是鋼中最主要的合金元素，它極大地影響鋼的性能。通常情況下，隨著碳含量的增加，鋼的性能會發生如下變化：

• 抗拉強度 (Tensile strength)：增加。碳原子可以形成碳化物 (Fe3C)，這些碳化物是硬質相，可以顯著提高鋼的強度。
• 硬度 (Hardness)：增加。這是強度增加的直接體現。
• 延性 (Ductility)：降低。硬質的碳化物析出，以及晶粒細化（在某些熱處理下），會阻礙位錯運動，使得材料在斷裂前能發生的塑性變形量減少。
• 韌性 (Toughness)：通常先略有增加然後下降。在低碳含量範圍內，碳的加入可以細化晶粒，提高韌性。

此題考查可見光的光譜範圍。

可見光是指人眼能夠感知到的電磁波譜的一部分。其波長範圍大約在 400 奈米 (nm) 到 700 奈米 (nm) 之間。

讓我們將選項轉換為奈米單位：

• 1 奈米 (nm) = $10^{-9}$ 公尺 (m)

(A) 5 x $10^{-10}$ m = 0.5 x $10^{-9}$ m = 0.5 nm。這個波長屬於 X 射線範圍。
(B) 5 x $10^{-7}$ m = 500 x $10^{-9}$ m = 500 nm。

核心觀念

本題考查純鈦（pure titanium）的材料性質，尤其是楊氏係數（elastic modulus，簡稱彈性模數）$E$。

在材料力學中，線彈性範圍內的正應力與正應變關係為：

$$\sigma=E\varepsilon$$

其中：

• $\sigma$：正應力
• $\varepsilon$：正應變
• $E$：楊氏係數，代表材料抵抗拉伸或壓縮變形的能力

$E$ 越大，表示材料越不容易發生彈性變形；$E$ 越小，表示材料相對柔軟。楊氏係數是材料本身的機械性質，不能由密度直接計算。

解題方法

題目已給出純鈦的密度為 $4.5\ \text{g/cm}^3$，但要求的是彈性模數。密度僅用來說明鈦具有低密度、質量輕的特性，並非解答彈性模數所需的計算資料。

純鈦的典型楊氏係數約為：

$$E_{\text{Ti}}\approx 107\ \text{GPa}$$

因此選取：

$$\boxed{E=107\ \text{GPa}}$$

選項分析

此題考查鑄鐵 (cast irons) 的碳含量範圍。

鑄鐵是鐵碳合金的一大類，與鋼 (steel) 的主要區別在於碳含量。

• 鋼 (Steel)：碳含量通常低於 2.14 wt%。
• 鑄鐵 (Cast Iron)：碳含量通常 高於 2.14 wt%。

在鑄鐵內部，根據碳的形態和含量，還可以進一步細分。例如：

• 灰口鑄鐵 (Gray Cast Iron)：碳含量通常在 2.5-4.0 wt% 之間，碳以片狀石墨的形式存在。
• 球墨鑄鐵 (Ductile Iron / Nodular Cast Iron)：碳含量通常在 3.0-4.5 wt% 之間，碳以球狀石墨的形式存在。
• 白口鑄鐵 (White Cast Iron)：碳含量通常在 2.0-4.0 wt% 之間，碳以滲碳體 (Fe3C) 的形式存在，硬度高，但脆性也大。

此題考查纖維增強複合材料的增強效率因子 (reinforcement efficiency factor)。

在纖維增強複合材料中，纖維的取向對其承受載荷的能力至關重要。當纖維與外加應力方向平行時，增強效果最好。然而，在實際應用中，纖維的取向可能不盡相同。

當纖維是隨機取向 (randomly oriented) 但均勻分佈時，其承受載荷的效率會降低。題目中提到「within a specific plane and stress direction in the plane of the fiber」，這表示纖維雖然是隨機的，但它們都位於一個平面上，並且外加應力也在這個平面內。

對於這種情況，增強效率因子 (η) 通常與纖維的取向分佈有關。

此題考查金屬成形 (forming operations) 的基本原理。

金屬成形是指通過外力改變金屬工件的形狀和尺寸的過程。要實現永久性的形狀改變，必須克服材料的降伏強度，使其發生 塑性變形 (plastic deformation)。

• 彈性變形 (Elastic deformation)：在外力去除後，材料會恢復其原始形狀。這種變形是可逆的，不能用於永久改變形狀。
• 塑性變形 (Plastic deformation)：在外力去除後，材料會保持部分或全部的形變。

非化學計量 (Non-stoichiometry)

定義：
非化學計量是指在化合物中，組成的原子或離子的比例不符合其理論化學計量比的現象。這在許多固體材料，特別是離子化合物和氧化物中很常見。

原因：
非化學計量通常是由於材料在合成或高溫條件下，晶格中出現缺陷（如空位、間隙原子、取代原子）所導致。這些缺陷的形成是為了維持材料的電中性或降低系統的自由能。

例子：

1. 金屬氧化物：許多金屬氧化物，如氧化亞鐵 (FeO)，其理論化學計量比為 Fe:O = 1:1。但實際上，FeO 的結構中常常存在鐵空位，導致其化學式更接近於 $Fe_{1-x}O$，其中 $x$ 是一個小於 1 的正數。

各向異性 (Anisotropic)

定義：
各向異性是指材料的物理性質（如力學性質、熱學性質、光學性質、電學性質等）在不同方向上表現出不同的值。

與各向同性 (Isotropic) 的對比：
各向同性材料的性質在所有方向上都是相同的。

原因：
材料的各向異性通常源於其內部結構的不對稱性，例如：

1. 晶體結構：許多晶體（特別是低對稱性的晶體，如單斜晶系、三斜晶系）的原子排列在不同方向上是不均勻的，導致其力學、光學等性質表現出方向性。例如，石墨的層狀結構使其在垂直於層面的方向和平行於層面的方向上，導電性、力學強度差異很大。
2. 加工過程：某些加工過程，如軋製、拉伸、擠壓，會使材料內部產生織構 (texture) 或定向的微觀結構（如纖維狀、片狀結構），從而產生宏觀的各向異性。

布氏向量 (Burgers Vector, $\vec{b}$)

定義：
布氏向量是描述晶體中位錯 (dislocation) 的一個重要參數。它是一個向量，其大小和方向定義了通過晶格的位錯線時，晶格的相對位移量。更具體地說，布氏向量可以通過在位錯線周圍畫一個閉合的回路 (Burgers circuit) 來定義：在沒有位錯的完美晶格中，這個回路也是閉合的；而在含有位錯的晶格中，當從回路的一個點出發，按照與位錯周圍相同的方式移動相同的步數，回到起點時，回路將不會閉合。從起點到終點的向量就是布氏向量。

特性：

1. 大小和方向：布氏向量的大小和方向對於確定位錯的類型（刃位錯、螺位錯或混合位錯）及其對材料性質的影響至關重要。
2. 位錯類型：
   • 刃位錯 (Edge Dislocation)：布氏向量 $\vec{b}$ 垂直於位錯線方向。

穩態擴散 (Steady-state diffusion)

定義：
穩態擴散是指在擴散過程中，物質的濃度分佈不隨時間變化，即單位時間內通過單位面積的擴散通量 (flux) 保持恆定。換句話說，進入某區域的擴散物質速率等於離開該區域的擴散物質速率。

菲克第一定律 (Fick's First Law) 是描述穩態擴散的數學關係式：
$J = -D \frac{dC}{dx}$
其中：

• $J$ 是擴散通量 (flux)，表示單位時間內通過單位面積的物質量。
• $D$ 是擴散係數 (diffusion coefficient)，它是一個與溫度、材料性質相關的常數，表示物質擴散的難易程度。
• $\frac{dC}{dx}$ 是濃度梯度 (concentration gradient)，表示物質濃度隨空間位置的變化率。負號表示擴散方向是從高濃度區域向低濃度區域。

臨界纖維長度 (Critical Fiber Length, $l_c$)

定義：
臨界纖維長度是指在纖維增強複合材料中，纖維長度必須達到的最小值，才能使其承受的載荷完全轉移到基體材料中。當纖維的長度小於臨界纖維長度時，纖維的增強效果將受到限制，因為纖維兩端的載荷傳遞不足。

理論基礎：
臨界纖維長度的概念基於纖維與基體之間的界面剪切強度。當纖維承受拉伸應力時，該應力需要通過纖維與基體之間的剪切應力來傳遞。

假設纖維為圓柱形，半徑為 $r_f$，長度為 $l_f$。
基體材料對纖維的有效剪切強度為 $\tau_{eff}$。
纖維承受的拉伸應力為 $\sigma_f$。

當纖維長度足夠大時，纖維兩端的載荷可以通過界面剪切應力完全傳遞。此時，纖維承受的應力 $\sigma_f$ 達到其自身的極限強度 $\sigma_{f,max}$。

通過對纖維受力分析，可以推導出臨界纖維長度 $l_c$ 的公式。常見的推導結果為：

比模數 (Specific Modulus) 或稱 比剛度 (Specific Stiffness)

定義：
比模數是指材料的楊氏模數 (Young's modulus, $E$) 與其密度的比值。它衡量了材料在單位質量下抵抗彈性變形的能力。

$\text{Specific Modulus} = \frac{E}{\rho}$
其中：

• $E$ 是楊氏模數 (單位：GPa 或 psi)。
• $\rho$ 是材料的密度 (單位：g/cm³ 或 kg/m³)。

物理意義：
比模數是一個重要的設計參數，尤其是在需要減輕結構重量的應用中（例如航空航太、汽車工業、體育用品等）。具有高比模數的材料，在承受相同載荷時，其產生的彈性變形相對較小，並且結構的重量也相對較輕。

延性-脆性轉變 (Ductile-to-Brittle Transition)

定義：
延性-脆性轉變是指某些材料（特別是具有體心立方 (BCC) 晶體結構的金屬，如低碳鋼）的斷裂行為會隨著溫度、應變速率或應力狀態的改變而發生從延性斷裂 (ductile fracture) 到脆性斷裂 (brittle fracture) 的轉變。

現象描述：

• 高溫或低應變速率或受拉應力較小：材料表現為延性斷裂。延性斷裂通常伴隨明顯的宏觀塑性變形（如頸縮），斷口表面呈現纖維狀或海綿狀。
• 低溫或高應變速率或受拉應力較大：材料表現為脆性斷裂。脆性斷裂通常伴隨很小的塑性變形，斷口表面呈現晶粒狀或平直的解理斷裂。

轉變溫度 (Transition Temperature)：
存在一個溫度範圍，在這個範圍內，材料的斷裂行為從延性迅速轉變為脆性。這個溫度範圍通常被稱為延性-脆性轉變溫度區 (Ductile-Brittle Transition Temperature, DBTT)。對於不同的應用或測試方法，DBTT 的定義可能略有不同（例如，基於衝擊功、斷裂韌性等）。

平面應變斷裂韌性 (Plane Strain Fracture Toughness, $K_{Ic}$)

定義：
平面應變斷裂韌性是描述脆性材料抵抗裂紋擴展能力的參數。它定義為在平面應變條件下，材料抵抗裂紋擴展的臨界應力強度因子。

平面應變條件 (Plane Strain Condition)：
平面應變條件是指在裂紋尖端的應力狀態中，垂直於裂紋擴展平面（通常是 xy 平面）的應變分量為零 ($\epsilon_z = 0$)，而應力分量 $\sigma_z$ 則不為零，且通常等於泊松比乘以其他兩個應力分量的和 ($\sigma_z = \nu (\sigma_x + \sigma_y)$)。這種條件通常發生在厚度遠大於裂紋尺寸的試樣中，或者在裂紋尖端附近。

斷裂韌性 ($K_{Ic}$) 的意義：
$K_{Ic}$ 是材料固有的韌性指標。當作用在裂紋尖端的應力強度因子 ($K$) 達到 $K_{Ic}$ 時，材料將發生不穩定斷裂，裂紋會迅速擴展。
$K = \sigma \sqrt{\pi a} Y$
其中：

• $K$ 是應力強度因子。
• $\sigma$ 是施加的遠場應力。
• $a$ 是裂紋的尺寸（長度或深度）。
• $Y$ 是一個與試樣幾何形狀和裂紋類型有關的函數。

過冷 (Supercooling)

定義：
過冷是指液體或氣體被冷卻到其凝固點或液化點以下，但仍保持液體或氣體狀態，而沒有發生凝固或液化的現象。這個未達到平衡相變點的狀態稱為過冷狀態。

產生原因：
物質在相變時，通常需要一個「成核中心」來開始新的相的形成。

• 在液體凝固過程中，成核中心可以是：
  • 雜質顆粒 (impurities)。
  • 容器壁的表面。
  • 材料本身的團簇。
• 如果沒有足夠的成核中心，或者成核中心被抑制（例如，通過純化液體或使用光滑的容器），那麼液體就可以被冷卻到其平衡凝固點以下而不會凝固。

過冷程度：
過冷的程度取決於材料的性質、純度以及環境條件。一些材料可以被過冷到很低的溫度，而另一些材料則很容易凝固。

過冷狀態的解除：
過冷狀態是不穩定的。一旦施加足夠的擾動，例如：

• 加入一個小的晶體種子 (seeding)：引入一個與液體相同相的晶體。

泊松比 (Poisson's Ratio, $\nu$)

定義：
泊松比是材料在單軸受力時，橫向應變與軸向應變之比的絕對值。它描述了材料在受力變形時，其橫截面尺寸收縮或膨脹的程度。

數學表達式：
當材料受到單軸拉伸應力 $\sigma_x$ 時，會在 $x$ 方向產生軸向應變 $\epsilon_x$，同時在 $y$ 和 $z$ 方向（垂直於 $x$ 方向）產生橫向應變 $\epsilon_y$ 和 $\epsilon_z$。
泊松比 $\nu$ 定義為：
$\nu = -\frac{\epsilon_{transverse}}{\epsilon_{axial}} = -\frac{\epsilon_y}{\epsilon_x} = -\frac{\epsilon_z}{\epsilon_x}$
其中 $\epsilon_{axial}$ 是沿受力方向的應變，$\epsilon_{transverse}$ 是垂直於受力方向的應變。負號是因為在拉伸時，軸向應變為正（伸長），而橫向應變為負（收縮），泊松比通常取正值。

物理意義：

• 價值範圍：對於大多數常見的各向同性固體材料，泊松比的取值範圍在 0 到 0.5 之間。

間隙擴散 (Interstitial Diffusion) vs. 互擴散 (Interdiffusion)

1. 間隙擴散 (Interstitial Diffusion)

• 定義：指原子通過晶格中的間隙位置 (interstitial sites) 在固體中移動的過程。
• 擴散原子：通常是尺寸較小的原子，例如碳 (C)、氮 (N)、氫 (H) 在金屬中的擴散，或金屬離子在某些氧化物中的擴散。
• 機制：擴散原子從一個間隙位置移動到相鄰的另一個間隙位置。這個過程不需要空位 (vacancy) 的存在，因此擴散速率通常較快，尤其是在較低溫度下。
• 條件：要求擴散原子在晶格中具有可以容納的間隙位置，且原子尺寸相對較小，能夠在這些間隙中移動。
• 例子：
  • 碳原子在鐵中的擴散。
  • 氧原子在二氧化鋯中的擴散。

2. 互擴散 (Interdiffusion)

• 定義：指在兩種或多種不同成分的固體接觸時，由於濃度梯度引起的原子互相擴散的過程。這是一個更廣泛的概念，包含了所有導致組分混合的擴散過程。
• 擴散原子：可以是基體原子，也可以是溶質原子。
• 機制：互擴散通常是通過 取代式擴散 (substitutional diffusion) 和 間隙式擴散 (interstitial diffusion) 這兩種基本機制來實現的。
  • 取代式擴散：原子從一個晶格點位移動到相鄰的空位。這需要空位存在，且擴散原子與基體原子尺寸相近。
  • 間隙式擴散：如上所述。
• 條件：要求存在濃度梯度，並且有相應的擴散機制（取代式或間隙式）能夠發生。
• 例子：
  • 銅與鎳的固溶體形成過程。

弗蘭克爾缺陷 (Frenkel Defect) 和肖特基缺陷 (Schottky Defect)

這兩種缺陷是描述離子晶體（如陶瓷、鹽類）中點缺陷 (point defects) 的兩種主要類型。

1. 弗蘭克爾缺陷 (Frenkel Defect)

• 定義：弗蘭克爾缺陷是由於一個陽離子 (cation) 或陰離子 (anion) 離開其在晶格中的正常位置，進入相鄰的間隙位置 (interstitial site) 所形成的缺陷。
• 形成：一個離子（通常是較小的陽離子）從其正常晶格位置移動到晶格間隙中，形成一個陽離子空位 (cation vacancy) 和一個陽離子間隙原子 (cation interstitial)。
• 特點：
  • 電中性：弗蘭克爾缺陷不會改變整個晶體的電中性，因為離子只是從一個位置轉移到另一個位置。
  • 相對密度變化小：由於沒有離子離開晶體，材料的總體密度變化不大。
  • 常見於：離子半徑差異較大的化合物，例如 AgCl, AgBr, ZnS, CdCl₂。因為較小的陽離子更容易進入間隙位置。
• 表示：通常用 (陽離子空位 + 陽離子間隙原子) 來表示。例如，對於 AX 型化合物，一個弗蘭克爾缺陷可以表示為 $V_A^+ + A_i^+$。

2. 肖特基缺陷 (Schottky Defect)

• 定義：肖特基缺陷是由於晶格中缺少一個或多個離子所形成的缺陷，這些離子離開了晶體，導致晶格中出現空位。
• 形成：
  • 單純肖特基缺陷：一個陽離子離開晶格，留下一個陽離子空位。
  • 馬克爾肖特基缺陷 (Equimolar Schottky defect)：為了維持電中性，通常需要等量的陽離子和陰離子空位同時產生。例如，對於 AX 型化合物，一個肖特基缺陷可以表示為 $V_A^+ + V_X^-$。

熔模鑄造 (Investment Casting) vs. 帶式鑄造 (Tape Casting)

這兩種是不同的製造工藝，用於生產不同類型的產品。

1. 熔模鑄造 (Investment Casting)

• 概述：也稱為失蠟法 (lost-wax casting)，是一種精密鑄造工藝，用於生產複雜形狀、高精度和光滑表面的金屬零件。
• 工藝步驟：
  1. 製作蠟模 (wax pattern)：根據零件的最終形狀，用蠟製作出與之完全相同的模型。
  2. 製作陶瓷殼模 (ceramic shell mold)：將蠟模浸入陶瓷漿料中，重複多次，然後烘乾，形成一個堅固的陶瓷殼模。
  3. 脫蠟 (dewaxing)：將陶瓷殼模加熱，使蠟模融化並流出，留下一個中空的陶瓷模腔。
  4. 焙燒殼模 (firing the shell)：將陶瓷殼模在高溫下焙燒，以去除殘餘蠟並提高殼模強度。
  5. 澆注金屬 (pouring metal)：將熔化的金屬合金澆入預熱的陶瓷殼模中。
  6. 冷卻與脫殼 (cooling and shakeout)：金屬冷卻凝固後，打破陶瓷殼，取出鑄件。
• 特點：
  • 高精度：尺寸精度高，表面光潔度好。
  • 適用於複雜形狀：可以製造非常複雜、帶有內腔或薄壁的零件。
  • 材料廣泛：適用於各種金屬合金，包括高熔點合金。
  • 成本較高：生產週期較長，工藝複雜，單件成本較高。
• 應用：航空發動機葉片、醫療植入物、精密儀器零件、高級槍械零件等。

2. 帶式鑄造 (Tape Casting)

• 概述：帶式鑄造是一種薄膜沉積技術，通常用於製備陶瓷薄片或帶材。它也稱為流延法。
• 工藝步驟：
  1. 製備漿料 (slurry preparation)：將陶瓷粉末與有機粘結劑、分散劑、溶劑等混合，製成均勻的漿料。
  2. 流延 (casting)：將漿料通過一個由精密間隙控制的刮刀 (doctor blade) 流過一個平坦的基底（如輸送帶），形成一層均勻厚度的濕膜。

疲勞壽命 (Fatigue Life) vs. 疲勞強度 (Fatigue Strength)

這兩個術語都與材料在重複載荷下的性能有關，但它們描述的是不同的概念。

1. 疲勞壽命 (Fatigue Life, $N_f$)

• 定義：指材料在給定的應力水平下，經歷多少次載荷循環後會發生斷裂。它是一個壽命指標，通常用循環次數來表示。
• 描述：疲勞壽命是一個隨機變量，受到應力幅度、應力比、材料性質、表面狀態、環境因素等多種因素的影響。
• 表示：通常用 $N_f$ 表示，例如，某材料在 100 MPa 的應力下，其疲勞壽命為 $10^5$ 次循環。
• S-N 曲線 (Stress-Number of cycles curve)：疲勞壽命是 S-N 曲線上的縱坐標（應力）與橫坐標（循環次數）的關係。

2. 疲勞強度 (Fatigue Strength)

• 定義：指材料在給定的循環次數下（例如 $10^3$、$10^6$ 次循環）能夠承受的最大應力。它是一個應力指標。
• 描述：疲勞強度是 S-N 曲線上特定循環次數對應的應力值。
• 表示：例如，某材料在 $10^6$ 次循環下的疲勞強度為 150 MPa。
• 疲勞極限 (Fatigue Limit / Endurance Limit)：對於某些材料（如鋼），S-N 曲線會趨於一條水平線，這個水平線對應的應力就是疲勞極限。在低於疲勞極限的應力下，材料可以無限次循環而不發生斷裂。

主要區別：

縫隙腐蝕 (Crevice Corrosion) vs. 點蝕 (Pitting Corrosion)

這兩種都是金屬在特定環境下發生的局部腐蝕形式，它們都具有高度的破壞性，因為腐蝕集中在小區域，容易在短時間內穿透材料。

1. 縫隙腐蝕 (Crevice Corrosion)

• 定義：指在金屬表面的縫隙區域（如墊圈、螺栓連接處、沉澱物下方、疊層板之間等）發生的局部腐蝕。
• 發生條件：
  1. 存在縫隙：需要一個狹窄、封閉或半封閉的縫隙區域。
  2. 電解質溶液：縫隙內充滿電解質溶液。
  3. 氧氣差：縫隙內的氧氣濃度低於縫隙外的自由表面。
• 機制：
  1. 在縫隙外部，金屬表面暴露於較高濃度的氧氣，發生陰極反應（如 $O_2 + 2H_2O + 4e^- \rightarrow 4OH^-$）。
  2. 縫隙內的金屬由於氧氣供應受阻，成為陽極，發生陽極反應（金屬溶解，如 $M \rightarrow M^{n+} + ne^-$）。
  3. 陽離子 $M^{n+}$ 在縫隙內積聚。為了維持電中性，陰離子（通常是 $Cl^-$）會從縫隙外部遷移到縫隙內部，與陽離子結合形成鹽類。
  4. 縫隙內的 $OH^-$ 濃度降低，pH 值下降，形成酸性環境，進一步加速金屬的溶解和腐蝕。
• 特點：
  • 腐蝕發生在隱蔽的縫隙區域。
  • 腐蝕速率可能很高，容易導致穿孔。
  • 難以檢測，因為腐蝕區域被遮蔽。

2. 點蝕 (Pitting Corrosion)

• 定義：指金屬表面上出現小的、局部的凹坑（點蝕坑）的腐蝕形式。
• 發生條件：
  1. 鈍化膜的破壞：通常發生在能夠形成鈍化膜（passivation film）的材料上，如不銹鋼、鋁合金。
  2. 局部鈍化膜破壞：鈍化膜在某些點上被破壞，例如由於氯離子 ($Cl^-$) 的吸附或局部化學不穩定性。
  3. 陽極溶解：被破壞的點成為陽極，發生金屬溶解。

共晶反應 (Eutectic Reaction) vs. 共析反應 (Eutectoid Reaction)

這兩種都是相圖中常見的描述相變的反應類型，它們都涉及兩種或多種物相之間的平衡轉變，但起始和結束的物相不同。

1. 共晶反應 (Eutectic Reaction)

• 定義：在液體相 (Liquid, L) 中，當溫度降低到一個特定的共晶溫度 ($T_E$) 時，液體會同時轉變為兩種固體相 ($\alpha$ 和 $\beta$)。
• 數學表達式：
  $L \xrightarrow{T_E} \alpha + \beta$
  其中：
  • $L$ 代表液體相。
  • $\alpha$ 和 $\beta$ 代表兩種不同的固體相。
• 特點：
  • 起始相：單一液體相。
  • 結束相：兩種固體相。
  • 發生溫度：在固定的共晶溫度 $T_E$ 下發生。
  • 共晶點：共晶反應發生時的溫度和成分被稱為共晶溫度和共晶成分。共晶成分的液體在冷卻到共晶溫度時，會形成具有最低熔點的共晶混合物。
• 例子：
  • 鉛-錫合金 (Pb-Sn) 相圖：在約 18.3 wt% Sn 的成分下，於 183°C 發生共晶反應。
  • 鐵碳合金相圖中的液相線與固相線的最低點（雖然鐵碳相圖中通常不直接稱為共晶，但其機制類似）。

2. 共析反應 (Eutectoid Reaction)

• 定義：在單一固體相 ($\gamma$) 中，當溫度降低到一個特定的共析溫度 ($T_{eutectoid}$) 時，該固體相會同時轉變為兩種不同的固體相 ($\alpha$ 和 $\beta$)。
• 數學表達式：
  $\gamma \xrightarrow{T_{eutectoid}} \alpha + \beta$
  其中：
  • $\gamma$ 代表單一固體相。
  • $\alpha$ 和 $\beta$ 代表兩種不同的固體相。
• 特點：

工程應力 (Engineering Stress) vs. 真應力 (True Stress)

在材料力學和材料科學中，應力 (stress) 是描述材料內部抵抗外力作用的強度指標。有兩種常用的應力定義：工程應力與真應力。它們的區別在於計算時使用的面積是原始的（名義）面積還是變形後的（瞬時）面積。

1. 工程應力 (Engineering Stress, $\sigma_e$)

• 定義：工程應力定義為外加載荷除以材料試樣的初始（或名義）橫截面積。
• 數學表達式：
  $\sigma_e = \frac{F}{A_0}$
  其中：
  • $F$ 是施加的外力。
  • $A_0$ 是材料試樣的初始橫截面積。
• 特點：
  • 計算簡單：在實驗過程中，初始面積 $A_0$ 是已知的，且在實驗結束前不需要知道樣品的實際變形情況。
  • 適用範圍：在材料發生較小形變時，工程應力與真應力非常接近。在大多數材料的拉伸試驗初期，工程應力曲線是常用的。
  • 局限性：當材料發生顯著塑性變形時，樣品的橫截面積會減小，而工程應力會因為分母 $A_0$ 固定而與實際情況脫節，可能出現應力下降（如頸縮現象），這與材料實際承受的應力情況不符。

2. 真應力 (True Stress, $\sigma_t$)

• 定義：真應力定義為外加載荷除以材料試樣的瞬時（或變形後）橫截面積。
• 數學表達式：
  $\sigma_t = \frac{F}{A}$
  其中：
  • $F$ 是施加的外力。
  • $A$ 是材料試樣在受力時的瞬時橫截面積。
• 關係：對於發生塑性變形的材料，其體積近似恆定，即 $A_0 \epsilon_0 = A \epsilon$。因此，橫截面積 $A$ 可以表示為 $A = A_0 \frac{L_0}{L} = A_0 (1 + \epsilon_e)^{-1}$，其中 $\epsilon_e = \frac{L-L_0}{L_0}$ 是工程應變。

核心觀念

本題考查面心立方晶格（FCC）的單位晶胞結構與密度計算。

密度定義為

$$\rho=\frac{\text{單位晶胞質量}}{\text{單位晶胞體積}}$$

FCC 單位晶胞包含的原子數為

$$n=4$$

原因是：

• 8 個頂點原子各貢獻 $\frac18$ 個原子，共 $1$ 個；
• 6 個面心原子各貢獻 $\frac12$ 個原子，共 $3$ 個。

因此總原子數為 $1+3=4$。

---

解題方法

1. 由原子半徑求晶格常數

FCC 結構中，原子沿著面的對角線互相接觸。

面的對角線長度為

$$\sqrt{2}a$$

而沿面對角線排列的原子半徑總長為

$$4r$$

因此

$$\sqrt{2}a=4r$$

得到晶格常數

$$a=\frac{4r}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}r$$

代入 $r=0.1431\ \text{nm}$：

$$a=2\sqrt{2}(0.1431)$$ $$a\approx 0.4047\ \text{nm}$$

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2. 求單位晶胞體積

立方晶胞體積為

$$V_c=a^3$$

先將晶格常數換成公分：

$$0.4047\ \text{nm} =0.4047\times10^{-7}\ \text{cm} =4.047\times10^{-8}\ \text{cm}$$

因此

$$V_c=(4.047\times10^{-8})^3$$ $$V_c\approx 6.63\times10^{-23}\ \text{cm}^3$$

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3. 求單位晶胞質量

鋁的原子量為 $27\ \text{g/mol}$，而一莫耳含有阿伏加德羅常數

此題考查摻雜 (doping) 導致的缺陷形成，特別是在離子化合物中。

核心觀念：
在離子晶體中，為了維持電中性，當摻雜物種引入時，會產生相應的空位或其他缺陷來平衡電荷。

已知條件：

• 基體材料：CaO (氧化鈣)。Ca 離子帶 +2 電荷 ($Ca^{2+}$)，O 離子帶 -2 電荷 ($O^{2-}$)。
• 摻雜劑：Li₂O (氧化鋰)。Li 離子帶 +1 電荷 ($Li^{+}$)，O 離子帶 -2 電荷 ($O^{2-}$)。
• 摻雜方式：$Li^{+}$ 離子取代 $Ca^{2+}$ 位置。

分析：

1. 電荷不平衡：
   在 CaO 晶格中，一個 $Ca^{2+}$ 離子帶 +2 電荷。
   當一個 $Li^{+}$ 離子（帶 +1 電荷）取代一個 $Ca^{2+}$ 位置時，晶格中會出現一個正電荷的「虧損」。
   具體來說，原本一個 $Ca^{2+}$ 位置有 +2 的正電荷，現在被一個 $Li^{+}$ 取代，變成了 +1 的正電荷。
   因此，每引入一個 $Li^{+}$，整體正電荷就減少了 1 個單位。

2. 維持電中性：
   為了維持整個晶體的電中性，必須有額外的負電荷來補償這個正電荷的虧損，或者說，必須有額外的正電荷來填補這個空缺。
   在離子晶體中，常見的電荷平衡機制是產生空位。

   • 如果我們引入一個 $Li^{+}$ 來取代 $Ca^{2+}$，導致淨電荷減少 1。
   • 為了補償這個 +1 的電荷虧損，我們可以想像在晶格中出現一個「負電荷」的缺陷。
   • 在離子晶體中，最常見的產生負電荷缺陷的方式是 產生陽離子空位。一個陽離子空位相當於缺少了一個帶正電的離子，從而表現出相對於周圍晶格的「負電荷」效應（相對於原來充滿離子的位置）。

   更精確的電荷平衡分析：
   假設我們引入 $N$ 個 $Li^{+}$ 離子，它們取代 $N$ 個 $Ca^{2+}$ 位置。
   總電荷變化來自摻雜：$N \times (+1 \text{ for } Li^{+}) - N \times (+2 \text{ for } Ca^{2+}) = -N$ (相對於原來全是 $Ca^{2+}$ 的情況)。
   為了補償這個 -N 的淨電荷，我們需要在晶格中引入帶 +N 電荷的缺陷。
   最直接的方式是產生陽離子空位。

此題考查摻雜 (doping) 導致的缺陷形成，特別是在離子化合物中。

核心觀念：
在離子晶體中，為了維持電中性，當摻雜物種引入時，會產生相應的空位或其他缺陷來平衡電荷。

已知條件：

• 基體材料：CaO (氧化鈣)。Ca 離子帶 +2 電荷 ($Ca^{2+}$)，O 離子帶 -2 電荷 ($O^{2-}$)。
• 摻雜劑：CaCl₂ (氯化鈣)。Ca 離子帶 +2 電荷 ($Ca^{2+}$)，Cl 離子帶 -1 電荷 ($Cl^{-}$)。
• 摻雜方式：$Cl^{-}$ 離子取代 $O^{2-}$ 位置。

分析：

1. 電荷不平衡：
   在 CaO 晶格中，一個 $O^{2-}$ 離子帶 -2 電荷。
   當一個 $Cl^{-}$ 離子（帶 -1 電荷）取代一個 $O^{2-}$ 位置時，這個位置的負電荷就減少了 1 個單位。
   具體來說，原本一個 $O^{2-}$ 位置有 -2 的負電荷，現在被一個 $Cl^{-}$ 取代，變成了 -1 的負電荷。
   因此，每引入一個 $Cl^{-}$，整體負電荷就減少了 1 個單位，相當於正電荷增加了 1 個單位。

2. 維持電中性：
   為了維持整個晶體的電中性，必須有額外的負電荷來補償這個正電荷的增加（或負電荷的虧損）。
   在離子晶體中，常見的電荷平衡機制是產生空位。

   • 如果我們引入一個 $Cl^{-}$ 來取代 $O^{2-}$，導致淨電荷（相對於原來都是 $O^{2-}$ 的情況）增加了 +1。
   • 為了補償這個 +1 的淨電荷，我們需要在晶格中引入帶 -1 電荷的缺陷。
   • 最直接的方式是產生氧離子空位。一個氧離子空位 ($V_O^{2-}$) 代表缺少了一個帶 -2 電荷的離子，相當於引入了 +2 的「有效電荷」效應（相對於原本是完整的 $O^{2-}$ 離子）。

   更精確的電荷平衡分析：
   假設我們引入 $N$ 個 $Cl^{-}$ 離子，它們取代 $N$ 個 $O^{2-}$ 位置。
   總電荷變化來自摻雜：$N \times (-1 \text{ for } Cl^{-}) - N \times (-2 \text{ for } O^{2-}) = +N$ (相對於原來全是 $O^{2-}$ 的情況)。
   為了補償這個 +N 的淨電荷，我們需要在晶格中引入帶 -N 電荷的缺陷。
   最直接的方式是產生氧離子空位。

此題要求計算承受特定載荷的結構件所需的重量，並根據重量對不同合金進行排序。

核心觀念：
結構件不發生塑性變形，意味著其承受的最大應力必須小於或等於其降伏強度。為了最小化重量，我們需要找到在滿足強度要求的條件下，密度最小的材料。

已知條件：

• 結構件長度 ($L$)：150 mm = 0.15 m
• 承受載荷 ($F$)：60,000 N
• 材料數據：見上表（降伏強度 $\sigma_y$，密度 $\rho$）

分析步驟：

A. 計算所需重量

1. 確保不發生塑性變形：
   結構件承受的應力 ($\sigma$) 必須小於或等於其降伏強度 ($\sigma_y$)。
   $\sigma = \frac{F}{A} \le \sigma_y$
   其中 $A$ 是結構件的橫截面積。

2. 最小化重量：
   結構件的體積 ($V$) = 面積 ($A$) × 長度 ($L$)。
   結構件的質量 ($m$) = 體積 ($V$) × 密度 ($\rho$) = $A \times L \times \rho$。
   結構件的重量 ($W$) = 質量 ($m$) × 重力加速度 ($g$)。通常在比較重量時，我們可以只比較質量。

   為了最小化質量（重量），我們需要找到滿足強度條件的最小面積 $A$，同時考慮密度 $\rho$。
   從 $\sigma \le \sigma_y$ 可得 $A \ge \frac{F}{\sigma_y}$。
   為了使質量最小，我們應選擇最小的面積，即 $A_{min} = \frac{F}{\sigma_y}$。
   那麼，最小質量 $m_{min} = A_{min} \times L \times \rho = \frac{F}{\sigma_y} \times L \times \rho$。

   這個公式表明，對於相同的載荷和長度，質量與 $\frac{\rho}{\sigma_y}$ 成正比。這個比值稱為比強度 (specific strength) 的倒數。我們希望這個比值越小越好（即比強度越高越好）。

3. 計算每種合金的最小質量：
   我們需要計算 $\frac{\rho}{\sigma_y}$ 的值，然後根據這個值來計算質量。
   為了方便計算，將降伏強度 MPa 轉換為 Pa，密度 g/cm³ 轉換為 kg/m³。
   1 MPa = $10^6$ Pa
   1 g/cm³ = 1000 kg/m³

   Alloy	$\sigma_y$ (MPa)	$\rho$ (g/cm³)	$\frac{\rho}{\sigma_y}$ (g/cm³ / MPa)	$\frac{\rho}{\sigma_y}$ (kg/m³ / Pa)	$m_{min} = \frac{F \times L}{\sigma_y} \times \rho$ (kg)
   Brass	415	8.5	$8.5 / 415 \approx 0.02048$	$0.02048 \times 10^{-3} / 10^6 = 2.048 \times 10^{-8}$	$\frac{60000 \times 0.15}{415 \times 10^6} \times 8500 \approx 0.03277$
   Ductile Iron	276	7.1	$7.1 / 276 \approx 0.02572$	$0.02572 \times 10^{-3} / 10^6 = 2.572 \times 10^{-8}$	$\frac{60000 \times 0.15}{276 \times 10^6} \times 7100 \approx 0.04891$
   Aluminum	310	2.7	$2.7 / 310 \approx 0.00871$	$0.00871 \times 10^{-3} / 10^6 = 0.871 \times 10^{-8}$	$\frac{60000 \times 0.15}{310 \times 10^6} \times 2700 \approx 0.01742$

此題考查纖維增強複合材料的設計，需要判斷是否能同時滿足所需的模量和比重限制。

核心觀念：
複合材料的性能（如模量、密度）可以用其組分材料的性能和體積分數來估算。

• 模量估算：採用混合法則 (Rule of Mixtures)。對於連續、取向一致的纖維增強複合材料，沿纖維方向的模量可以近似為：
  $E_c = E_f V_f + E_m V_m$
  其中 $E_c$ 是複合材料的模量，$E_f$ 是纖維的模量，$E_m$ 是基體的模量，$V_f$ 是纖維的體積分數，$V_m$ 是基體的體積分數。通常 $V_m = 1 - V_f$。
• 密度（比重）估算：採用混合法則。
  $\rho_c = \rho_f V_f + \rho_m V_m$
  其中 $\rho_c$ 是複合材料的密度，$\rho_f$ 是纖維的密度，$\rho_m$ 是基體的密度，$V_f$ 和 $V_m$ 分別是纖維和基體的體積分數。
  題目中給出的是比重 (Specific Gravity)，這可以視為相對於水的密度，在計算上與密度類似。

已知條件：

• 目標複合材料：連續、取向一致的碳纖維增強環氧樹脂。
• 目標模量 ($E_{c,target}$) $\ge$ 83 GPa。
• 目標比重 ($\rho_{c,target}$) $\le$ 1.40。
• 組分材料數據：
  • 碳纖維 (f)：$E_f = 260$ GPa, $\rho_f = 1.80$
  • 環氧樹脂 (m)：$E_m = 2.4$ GPa, $\rho_m = 1.25$

分析步驟：

1. 檢查模量要求：
我們需要找到一個纖維體積分數 $V_f$，使得複合材料沿纖維方向的模量 $E_c \ge 83$ GPa。
使用混合法則：
$E_c = E_f V_f + E_m (1 - V_f)$
$E_c = 260 V_f + 2.4 (1 - V_f)$
$E_c = 260 V_f + 2.4 - 2.4 V_f$
$E_c = 257.6 V_f + 2.4$

為了使 $E_c \ge 83$ GPa：
$257.6 V_f + 2.4 \ge 83$
$257.6 V_f \ge 83 - 2.4$
$257.6 V_f \ge 80.6$
$V_f \ge \frac{80.6}{257.6} \approx 0.3129$

所以，為了達到所需的模量，碳纖維的體積分數 $V_f$ 必須大於或等於約 0.3129 (或 31.29%)。

此題考查 BCC 晶體結構中，特定應力方向和滑移系統下的解析剪切應力 (resolved shear stress, $\tau_{res}$) 的計算。

核心觀念：
在單晶材料中，塑性變形發生在特定的滑移系統上，即由一個滑移面 (slip plane) 和一個滑移方向 (slip direction) 組成。外加應力在滑移系統上的投影（解析剪切應力）決定了滑動發生的難易程度。
解析剪切應力 ($\tau_{res}$) 的計算公式為：
$\tau_{res} = \sigma \cos\phi \cos\lambda$
其中：

• $\sigma$ 是外加應力的大小。
• $\phi$ 是外加應力方向向量與滑移面法向量之間的夾角。
• $\lambda$ 是外加應力方向向量與滑移方向向量之間的夾角。
  $\cos\phi$ 和 $\cos\lambda$ 的值可以通過計算外加應力方向向量、滑移面法向量和滑移方向向量的點積來獲得。

已知條件：

• 晶體結構：體心立方 (BCC)。
• 外加應力：單軸拉伸應力 $\sigma = 2.75$ MPa。
• 外加應力方向：[010]。
• 計算的滑移系統：
  1. 滑移面：(110)，滑移方向：[111] (題目中 [711] 應為 [111] 或其他 BCC 常用滑移方向，這裡假設為 [111])。
  2. 滑移面：(101)，滑移方向：[111] (同上，假設為 [111])。

BCC 結構的滑移系統：
BCC 結構最常見的滑移系統是 {110}<111> 和 {112}<111>。題目中給出的滑移面是 (110) 和 (101)，這屬於 {110} 族晶面。題目中給出的滑移方向是 [711]，這不是一個標準的 BCC 滑移方向。BCC 的滑移方向通常是 <111> 或 <110>。
假設滑移方向為 [111]，因為這是 BCC 最常見的滑移方向。如果題目確實是 [711]，那麼需要使用該向量。但根據常規，[111] 更為合理。我們將計算兩種情況。

計算步驟：

情況 1：滑移面 (110)，滑移方向 [111]

• 外加應力方向向量 $\vec{u} = [0, 1, 0]$。
• 滑移面法向量 $\vec{n} = [1, 1, 0]$ (來自 (110) 面)。
• 滑移方向向量 $\vec{s} = [1, 1, 1]$ (假設)。

計算 $\cos\phi$：
$\vec{u} \cdot \vec{n} = |\vec{u}| |\vec{n}| \cos\phi$
$\vec{u} \cdot \vec{n} = (0)(1) + (1)(1) + (0)(0) = 1$
$|\vec{u}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$
$1 = 1 \times \sqrt{2} \times \cos\phi$
$\cos\phi = \frac{1}{\sqrt{2}}$

計算 $\cos\lambda$：
$\vec{u} \cdot \vec{s} = |\vec{u}| |\vec{s}| \cos\lambda$
$\vec{u} \cdot \vec{s} = (0)(1) + (1)(1) + (0)(1) = 1$
$|\vec{u}| = 1$
$|\vec{s}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$
$1 = 1 \times \sqrt{3} \times \cos\lambda$
$\cos\lambda = \frac{1}{\sqrt{3}}$

計算解析剪切應力 $\tau_{res}$：
$\tau_{res} = \sigma \cos\phi \cos\lambda = (2.75 \text{ MPa}) \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\tau_{res} = 2.75 \times \frac{1}{\sqrt{6}} \text{ MPa} \approx 2.75 \times \frac{1}{2.449} \text{ MPa} \approx 1.123 \text{ MPa}$

情況 2：滑移面 (101)，滑移方向 [111]

• 外加應力方向向量 $\vec{u} = [0, 1, 0]$。
• 滑移面法向量 $\vec{n} = [1, 0, 1]$ (來自 (101) 面)。
• 滑移方向向量 $\vec{s} = [1, 1, 1]$ (假設)。

計算 $\cos\phi$：
$\vec{u} \cdot \vec{n} = |\vec{u}| |\vec{n}| \cos\phi$
$\vec{u} \cdot \vec{n} = (0)(1) + (1)(0) + (0)(1) = 0$
$|\vec{u}| = 1$
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
$0 = 1 \times \sqrt{2} \times \cos\phi$
$\cos\phi = 0$

計算 $\cos\lambda$：
$\vec{u} \cdot \vec{s} = |\vec{u}| |\vec{s}| \cos\lambda$
$\vec{u} \cdot \vec{s} = (0)(1) + (1)(1) + (0)(1) = 1$
$|\vec{u}| = 1$
$|\vec{s}| = \sqrt{3}$
$1 = 1 \times \sqrt{3} \times \cos\lambda$
$\cos\lambda = \frac{1}{\sqrt{3}}$

計算解析剪切應力 $\tau_{res}$：
$\tau_{res} = \sigma \cos\phi \cos\lambda = (2.75 \text{ MPa}) \times 0 \times \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\tau_{res} = 0 \text{ MPa}$

若滑移方向為 [711] (不常見，但按題目給出計算)

• 滑移方向向量 $\vec{s} = [7, 1, 1]$。
• $|\vec{s}| = \sqrt{7^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1 + 1} = \sqrt{51}$。

情況 1.1：滑移面 (110)，滑移方向 [711]

• $\vec{u} = [0, 1, 0]$, $\vec{n} = [1, 1, 0]$, $\cos\phi = 1/\sqrt{2}$。
• $\vec{u} \cdot \vec{s} = (0)(7) + (1)(1) + (0)(1) = 1$
• $\cos\lambda = \frac{\vec{u} \cdot \vec{s}}{|\vec{u}| |\vec{s}|} = \frac{1}{1 \times \sqrt{51}} = \frac{1}{\sqrt{51}}$

此題是 III.5.(a) 的延續，要求根據計算出的解析剪切應力值，判斷哪個滑移系統最有利於滑動。

核心觀念：
滑移系統最有利於滑動，意味著其解析剪切應力 ($\tau_{res}$) 最高。這是因為材料的降伏強度（開始發生塑性變形）由臨界解析剪切應力 (CRSS) 決定。當 $\tau_{res}$ 達到 CRSS 時，滑動開始。因此，具有最高 $\tau_{res}$ 的滑移系統最容易被激活。

計算結果回顧 (假設滑移方向為 [711] 如題目所示)：

• 滑移系統 1：(110) 面，[711] 方向

  • 外加應力方向 $\vec{u} = [0, 1, 0]$
  • 滑移面法向量 $\vec{n} = [1, 1, 0]$
  • 滑移方向向量 $\vec{s} = [7, 1, 1]$
  • $\cos\phi = \frac{1}{\sqrt{2}}$
  • $\cos\lambda = \frac{1}{\sqrt{51}}$
  • 解析剪切應力 $\tau_{res, 1} = \sigma \cos\phi \cos\lambda = 2.75 \text{ MPa} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{51}} \approx 0.272 \text{ MPa}$

• 滑移系統 2：(101) 面，[711] 方向

  • 外加應力方向 $\vec{u} = [0, 1, 0]$
  • 滑移面法向量 $\vec{n} = [1, 0, 1]$
  • 滑移方向向量 $\vec{s} = [7, 1, 1]$
  • $\cos\phi = 0$
  • $\cos\lambda = \frac{1}{\sqrt{51}}$
  • 解析剪切應力 $\tau_{res, 2} = \sigma \cos\phi \cos\lambda = 2.75 \text{ MPa} \times 0 \times \frac{1}{\sqrt{51}} = 0 \text{ MPa}$

判斷最有利的滑移系統：
比較計算出的解析剪切應力值：
$\tau_{res, 1} \approx 0.272 \text{ MPa}$
$\tau_{res, 2} = 0 \text{ MPa}$

由於 $\tau_{res, 1} > \tau_{res, 2}$，因此，具有 (110) 滑移面和 [711] 滑移方向的滑移系統是最有利於滑動的。

此題要求繪製典型金屬合金的拉伸工程應力-應變曲線，標示關鍵點，並疊加壓縮應力-應變曲線，解釋兩者差異。

1. 拉伸工程應力-應變曲線 (Tensile Engineering Stress-Strain Curve)

典型金屬合金在拉伸試驗中的工程應力-應變曲線，通常包含以下幾個階段和關鍵點：

• 彈性區 (Elastic Region)：在應力較低時，應力與應變近似呈線性關係。去除應力後，材料會恢復到原始形狀。
  • 斜率：楊氏模數 ($E$)。
• 降伏點 (Yielding)：當應力達到降伏強度 ($\sigma_y$) 時，材料開始發生顯著的塑性變形。
  • 降伏強度：標示著從彈性變形轉向塑性變形的臨界應力。
• 塑性變形區 (Plastic Deformation Region)：
  • 應變硬化 (Strain Hardening)：隨著應變增加，材料的強度也隨之增加，表現為應力-應變曲線的斜率逐漸增大（雖然是工程應力，但實際材料強度在增加）。
  • 極限抗拉強度 (Ultimate Tensile Strength, UTS, $\sigma_{UTS}$)：曲線的最高點，代表材料在拉伸過程中能承受的最大應力。
• 頸縮與斷裂 (Necking and Fracture)：超過 UTS 後，材料在某一點開始發生局部縮頸 (necking)，真實應力持續增加但工程應力因面積減小而下降，直到斷裂。
  • 斷裂強度：在斷裂點的工程應力值。

圖示標示：
在繪製曲線時，需要標示：

• 縱軸 (y-axis)：工程應力 (Engineering Stress, $\sigma_e$)
• 橫軸 (x-axis)：工程應變 (Engineering Strain, $\epsilon_e$)
• (a) Stress：圖中的縱軸。
• (b) Strain：圖中的橫軸。
• (e) Young's modulus：彈性區的斜率。
• (c) Yielding strength：開始顯著塑性變形時的應力值。
• (d) Ultimate tensile strength：曲線的最高點對應的應力值。
• 斷裂點：曲線結束的位置。

2. 壓縮工程應力-應變曲線 (Compressive Engineering Stress-Strain Curve)

將壓縮曲線疊加在同一張圖上。

3. 差異解釋

對於大多數金屬合金：

此題考查三點彎曲試驗中，脆性材料（氧化鋁）在給定載荷下的斷裂判斷。

核心觀念：
三點彎曲試驗的目的是測定材料的彎曲強度 (flexural strength)。脆性材料的斷裂發生在其承受的最大彎曲應力達到其彎曲強度時。
對於三點彎曲，最大彎曲應力 ($\sigma_{max}$) 發生在試樣的受拉表面（底部），並且其值與載荷、支架間距和試樣尺寸有關。

已知條件：

• 材料：氧化鋁 (Aluminum Oxide, $Al_2O_3$)
• 報告的彎曲強度 ($\sigma_{flexural}$)：400 MPa
• 試樣半徑 ($r$)：2.5 mm = 0.0025 m
• 支架間距 ($L$)：25 mm = 0.025 m
• 施加的載荷 ($F$)：625 N

計算步驟：

1. 計算試樣的橫截面慣性矩 (Moment of Inertia, $I$)
   對於圓形截面，慣性矩為 $I = \frac{\pi r^4}{4}$。
   $I = \frac{\pi (0.0025 \text{ m})^4}{4} \approx \frac{3.14159 \times (3.90625 \times 10^{-11} \text{ m}^4)}{4} \approx 3.068 \times 10^{-11} \text{ m}^4$

2. 計算試樣的最大彎曲應力 ($\sigma_{max}$)
   在三點彎曲試驗中，最大彎曲應力發生在試樣底部（距離中性軸最遠處），其公式為：
   $\sigma_{max} = \frac{FL}{4I} y_{max}$
   其中，$y_{max}$ 是距離中性軸最遠的距離，對於圓形截面， $y_{max} = r$。
   $\sigma_{max} = \frac{FLr}{4I}$
   代入數值：
   $\sigma_{max} = \frac{(625 \text{ N}) \times (0.025 \text{ m}) \times (0.0025 \text{ m})}{4 \times (3.068 \times 10^{-11} \text{ m}^4)}$

此題要求判斷在 III.7.(a) 的答案中是否能達到 100% 的確定性，並解釋原因。

答案：
不會 100% 確定。

原因解釋：

1. 材料的均勻性與缺陷：

   • 題目中給出的彎曲強度 400 MPa 是該材料的報告值或平均值。實際材料可能存在內部缺陷（如微裂紋、孔洞、雜質）或表面缺陷。
   • 這些缺陷會導致應力集中，使得在局部區域，實際承受的應力可能遠高於根據宏觀尺寸計算出的平均應力。
   • 脆性材料（如氧化鋁）對缺陷非常敏感。即使平均應力遠低於彎曲強度，如果存在足夠大的或位置不佳的缺陷，也可能在較小的載荷下發生斷裂。
   • 因此，報告的彎曲強度是一個統計平均值，不能保證所有試樣在所有情況下都達到或超過此強度。

2. 試驗條件的影響：

   • 表面狀況：試樣表面的光滑度、是否存在劃痕等都會影響其真實強度。
   • 載荷施加方式：載荷施加的均勻性、載荷的穩定性、試驗機的精度等都可能引入誤差。
   • 環境因素：溫度、濕度等也可能對脆性材料的強度產生影響。