108 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班乙組《電子學》

核心觀念

本題考查類比電子學中的四個基本術語：

1. 頻率響應（frequency response）：描述電路增益或阻抗隨頻率變化的特性。
2. 電流鏡（current mirror）：利用晶體管匹配特性複製參考電流的偏壓與電流源電路。
3. 差動增益與共模增益：描述差動放大器對差動輸入與共同輸入訊號的放大能力。
4. 齊納二極體（Zener diode）：利用反向崩潰區維持近似固定端電壓的二極體。

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a) 頻率響應（Frequency Response）

定義

頻率響應是指電路的輸出對輸入之比，隨輸入訊號頻率變化的關係。對線性電路而言，常以轉移函數表示：

$$H(j\omega)=\frac{V_o(j\omega)}{V_i(j\omega)}$$

其中：

• $\omega=2\pi f$ 為角頻率；
• $f$ 為頻率；
• $|H(j\omega)|$ 為增益大小；
• $\angle H(j\omega)$ 為相位差。

因此，頻率響應包含兩部分：

1. 幅頻響應：增益大小 $|H(j\omega)|$ 隨頻率的變化。
2. 相頻響應：輸出與輸入之間的相位差隨頻率的變化。

低頻、中頻與高頻

放大器的頻率響應通常分成三個區域：

• 低頻區：耦合電容與旁路電容的容抗較大，造成增益下降。
• 中頻區：電容影響通常可忽略，增益近似為固定值 $A_M$。
• 高頻區：晶體管內部接面電容、寄生電容及米勒效應造成增益下降。

常用的低截止頻率與高截止頻率分別為 $f_L$ 和 $f_H$。在截止頻率處，增益降為中頻增益的 $1/\sqrt{2}$：

$$|A(f_c)|=\frac{A_M}{\sqrt{2}}\approx 0.707A_M$$

以分貝表示時，這相當於下降 $3.01\ \text{dB}$，通常近似為 $-3\ \text{dB}$。

放大器的頻寬為：

$$BW=f_H-f_L$$

若低截止頻率遠小於高截止頻率，常近似寫成：

$$BW\approx f_H$$

一階系統範例

對一階低通電路：

$$H(j\omega)=\frac{A_M}{1+j\omega/\omega_H}$$

其增益大小為：

$$|H(j\omega)|= \frac{A_M}{\sqrt{1+(\omega/\omega_H)^2}}$$

當 $\omega=\omega_H$ 時：

$$|H(j\omega_H)|=\frac{A_M}{\sqrt{2}}$$

這就是高頻截止點的由來。

解題技巧與常見陷阱

• 頻率響應不只描述增益大小，也包含相位。
• 頻寬不是單純指「可通過的最高頻率」，一般定義為 $f_H-f_L$。
• $-3\ \text{dB}$ 代表電壓增益變為 $0.707$ 倍，功率增益變為 $0.5$ 倍。
• 高頻增益下降常與寄生電容及米勒效應有關；低頻增益下降則常與外接耦合、旁路電容有關。

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b) 電流鏡（Current Mirror）

定義

電流鏡是一種利用匹配晶體管，將一支路的參考電流複製到另一支路的電路。其主要功能是提供：

• 穩定的偏壓電流；
• 主動式負載；
• 差動放大器的尾電流源；
• 積體電路中的定電流源。

電流鏡可以使用 BJT 或 MOSFET 實現。

BJT 電流鏡原理

以兩個匹配的 NPN BJT 為例。將晶體管 $Q_1$ 的集極與基極相接，使其成為二極體接法。若 $Q_1$ 與 $Q_2$ 的基極相連，則兩者具有相同的 $V_{BE}$。

若忽略基極電流，則：

$$I_{C1}\approx I_{C2}$$

因此，參考支路中的 $I_{REF}$ 可被複製為輸出電流 $I_O$：

$$I_O\approx I_{REF}$$

更精確地考慮 BJT 基極電流，兩支路的基極電流皆約為 $I_C/\beta$，所以：

$$I_{REF}=I_O+I_{B1}+I_{B2}$$

若兩顆晶體管匹配，且 $I_{C1}=I_{C2}=I_O$，則：

$$I_{REF}=I_O+\frac{I_O}{\beta}+\frac{I_O}{\beta}$$

得到：

$$I_O=\frac{I_{REF}}{1+2/\beta} =\frac{\beta}{\beta+2}I_{REF}$$

當 $\beta\gg 1$ 時：

$$I_O\approx I_{REF}$$

MOS 電流鏡原理

對兩個匹配的 MOSFET，若兩者具有相同的 $V_{GS}$，且均工作於飽和區：

$$I_D=\frac{1}{2}k_n(V_{GS}-V_{TN})^2$$

因此，若元件尺寸相同，則：

$$I_O\approx I_{REF}$$

若輸出晶體管與參考晶體管的尺寸比例為：

$$\frac{(W/L)_O}{(W/L)_{REF}}=m$$

則：

$$I_O\approx mI_{REF}$$

這是比例式電流鏡的基本原理。

電流鏡的工作條件

輸出晶體管必須維持在適當工作區。以 NMOS 電流鏡為例，輸出電壓必須滿足：

$$V_{DS}\geq V_{GS}-V_{TN}$$

才能保持在飽和區並近似輸出定電流。

若輸出電壓過低，晶體管進入三極區，輸出電流會受到輸出電壓影響，電流鏡的複製誤差增加。

解題技巧與常見陷阱

• 電流鏡的核心不是「兩支路電壓相同」，而是匹配晶體管具有相同的 $V_{BE}$ 或 $V_{GS}$。
• BJT 電流鏡若忽略基極電流，可直接寫 $I_O\approx I_{REF}$；若題目要求精確值，必須考慮 $\beta$。
• MOS 電流鏡必須檢查輸出晶體管是否處於飽和區。
• 輸出端具有有限輸出電阻，因此實際電流不會完全與輸出電壓無關；利用 cascode 結構可提高輸出電阻與電流穩定度。

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c) 差動增益與共模增益

差動輸入與共模輸入

差動放大器有兩個輸入電壓 $v_1$ 與 $v_2$。可將其分解為差動訊號與共模訊號：

$$v_d=v_1-v_2$$ $$v_{cm}=\frac{v_1+v_2}{2}$$

因此：

$$v_1=v_{cm}+\frac{v_d}{2}$$ $$v_2=v_{cm}-\frac{v_d}{2}$$

差動增益

差動增益 $A_d$ 定義為輸出差動電壓與輸入差動電壓的比值：

核心觀念

圖一為典型兩級 CMOS 運算放大器：

• $Q_1,Q_2$：PMOS 差動輸入對。
• $Q_3,Q_4$：NMOS 電流鏡主動負載，將差動電流轉為單端輸出。
• $Q_5$：PMOS 尾電流源。
• $Q_6,Q_7$：第二級共源放大器。
• $Q_8$：偏壓電流鏡基準管。
• $C_C$：米勒補償電容，低頻增益推導時視為開路。

以下假設所有 MOSFET 均工作於飽和區，元件匹配，忽略體效應與通道長度調變以外的高階效應。

令第一級輸出節點為 $v_x$，第二級輸出為 $v_o$，差動輸入為

$$v_d=v_+-v_-.$$

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解題方法：分成兩級求增益

第一級差動增益

差動輸入作用下，

$$v_{gs1}=\frac{v_d}{2},\qquad v_{gs2}=-\frac{v_d}{2}.$$

因此 $Q_1,Q_2$ 產生大小相等、方向相反的汲極小訊號電流。經過 $Q_3,Q_4$ 電流鏡後，兩個小訊號電流在單端輸出節點相加，因此輸出等效電流約為

$$i_x=g_{m1}v_d.$$

第一級輸出電阻為

$$R_{o1}=r_{o2}\parallel r_{o4}.$$

故第一級電壓增益為

$$A_{v1}=\frac{v_x}{v_d} \simeq g_{m1}(r_{o2}\parallel r_{o4}).$$

若考慮第一級輸出節點同時受到 $Q_7$ 的閘極輸入電阻影響，由於 MOS 閘極小訊號電阻近似無限大，通常不影響上述結果。

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第二級電壓增益

第二級由 PMOS $Q_7$ 與 NMOS $Q_6$ 組成共源放大器。

第二級輸出電阻為

$$R_{o2}=r_{o6}\parallel r_{o7}.$$

因此第二級增益為

$$A_{v2}=\frac{v_o}{v_x} \simeq -g_{m7}(r_{o6}\parallel r_{o7}).$$

負號表示第二級共源放大器具有反相作用。

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電壓增益

兩級串聯，因此總電壓增益為

$$A_v=A_{v1}A_{v2}.$$

代入前述結果：

$$A_v \simeq -g_{m1}g_{m7} (r_{o2}\parallel r_{o4}) (r_{o6}\parallel r_{o7}).$$

因此電壓增益的大小為

$$\boxed{ |A_v| \simeq g_{m1}g_{m7} (r_{o2}\parallel r_{o4}) (r_{o6}\parallel r_{o7}) }$$

若假設各管的 $g_m$ 與 $r_o$ 相同，即

$$g_{m1}\simeq g_{m7}=g_m,\qquad r_{o2}\simeq r_{o4}\simeq r_{o6}\simeq r_{o7}=r_o,$$

則

$$R_{o1}=R_{o2}=\frac{r_o}{2},$$

所以

$$\boxed{ |A_v|\simeq \frac{g_m^2r_o^2}{4} }$$

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共模增益與 CMRR

共模輸入

共模輸入定義為

$$v_{cm}=\frac{v_++v_-}{2}.$$

若 $Q_1,Q_2$ 完全匹配，且 $Q_3,Q_4$ 電流鏡完全匹配，當兩個輸入同時變動時：

核心觀念

本題考查 Widlar 電流源利用「兩顆匹配 BJT 的 $V_{BE}$ 差值」與發射極電阻 $R_E$ 產生較小輸出電流的原理。

假設：

• $Q_1$、$Q_2$ 為匹配的 NPN BJT。
• 兩者基極相連，因此 $V_{B1}=V_{B2}$。
• 忽略基極電流，故 $I_{REF}\approx I_{C1}$、$I_O\approx I_{C2}$。
• 兩顆電晶體皆工作於正向主動區。

解題方法與推導

由圖可知，$Q_1$ 的發射極接地，而 $Q_2$ 的發射極串接電阻 $R_E$ 接地。因此：

$$V_{BE1}=V_B$$ $$V_{BE2}=V_B-I_OR_E$$

所以兩者的基極—射極電壓差為

$$V_{BE1}-V_{BE2}=I_OR_E$$

BJT 的集極電流關係式為

$$I_C=I_S e^{V_{BE}/V_T}$$

由於 $Q_1$、$Q_2$ 匹配，具有相同的 $I_S$，因此

$$\frac{I_{C1}}{I_{C2}} = \frac{I_S e^{V_{BE1}/V_T}} {I_S e^{V_{BE2}/V_T}} = e^{(V_{BE1}-V_{BE2})/V_T}$$

代入 $V_{BE1}-V_{BE2}=I_OR_E$，並令 $I_{C1}\approx I_{REF}$、$I_{C2}\approx I_O$：

$$\frac{I_{REF}}{I_O} = e^{I_OR_E/V_T}$$

因此 Widlar 電流源的輸入與輸出電流關係為

核心觀念

本題考查生醫訊號量測中，為何使用儀表放大器（instrumentation amplifier, IA），以及它相較於一般運算放大器放大電路的優點。

生物電訊號，例如心電圖（ECG）、腦電圖（EEG）與肌電圖（EMG），通常具有以下特性：

1. 訊號振幅很小，常為 $\mu\text{V}$ 至數 mV。
2. 訊號以兩個電極間的差動電壓表示。
3. 電極與人體容易接收到 50/60 Hz 電源雜訊、電磁干擾等共模訊號。
4. 訊號源阻抗較高，放大器若輸入阻抗不足會造成負載效應。
5. 需要在不明顯扭曲原始訊號的情況下，提供穩定且可調整的增益。

因此，生醫訊號前端通常使用具有高輸入阻抗、高共模抑制比與低雜訊的儀表放大器。

解題方法

將兩個電極量測到的電壓表示為

$$v_1=v_s+v_{cm}$$ $$v_2=v_{cm}$$

其中 $v_s$ 是真正的生物差動訊號，$v_{cm}$ 是同時耦合到兩個電極的共模干擾。

儀表放大器的輸出可寫成

$$v_o=A_d(v_1-v_2)+A_{cm}v_{cm}$$

理想情況下，儀表放大器只放大差動訊號，因此

$$A_{cm}=0$$

代入上式：

$$v_o=A_d[(v_s+v_{cm})-v_{cm}]$$

因此

$$v_o=A_dv_s$$

共模干擾會在相減過程中被消除，而真正的生物電訊號則被差動增益 $A_d$ 放大。

實際電路仍會殘留少量共模訊號，其抑制能力以共模抑制比表示：

$$\mathrm{CMRR}=\left|\frac{A_d}{A_{cm}}\right|$$

以分貝表示為

$$\mathrm{CMRR}_{dB} = 20\log_{10}\left|\frac{A_d}{A_{cm}}\right|$$

CMRR 越高，代表電路越能抑制共模干擾。

使用儀表放大器的主要原因

1. 高輸入阻抗，避免負載效應

生物電極與人體組織的訊號源阻抗可能較高。儀表放大器的輸入端通常由兩個非反相放大器構成，具有很高的輸入阻抗，因此輸入電流很小。

這可避免量測電路大幅改變電極電壓，使量測結果更接近人體原本的生物電訊號。

                 VCC（交流接地）
                  │
                 R_C
                  │
       v_o ◄──────● C
                  │
             Q（NPN）
                  │
       v_i ───────● E
                  │
                 I_E
                  │
                 GND

基極 B 由偏壓電路固定，並以旁路電容使其成為交流接地。

採用中頻小訊號模型，忽略 Early effect 時，基極為交流接地，故

$$v_{be}=v_b-v_e=-v_i$$

射極輸入電流大小為

$$i_i \approx g_m v_i$$

因此輸入電阻

核心觀念

本題考查 $npn$ BJT 在正向主動區的少數載子擴散電流。假設：

• 發射極—基極接面正向偏壓 $V$。
• 基極—集極接面反向偏壓，故集極端可視為少數載子的收集端。
• 元件處於低注入條件。
• 中性區內的少數載子以擴散為主。
• 忽略基極內的複合，或將複合效應以擴散長度 $L_n,L_p$ 表示。

對 $npn$ BJT 而言：

• 發射極為 $n$ 型區，少數載子是電洞，濃度為 $p_n$。
• 基極為 $p$ 型區，少數載子是電子，濃度為 $n_p$。

因此集極電流由兩部分組成：

1. 電洞由基極注入發射極所造成的電流。
2. 電子由發射極注入基極並被集極收集所造成的電流。

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解題方法

一、少數載子平衡濃度

在熱平衡時，由質量作用定律：

$$p_{n0}=\frac{n_i^2}{N_D}$$ $$n_{p0}=\frac{n_i^2}{N_A}$$

其中：

• $N_D$：發射極 $n$ 型區的施體濃度。
• $N_A$：基極 $p$ 型區的受體濃度。
• $n_i$：半導體本質載子濃度。

正向偏壓 $V$ 加在發射極—基極接面後，接面邊界的少數載子濃度變為：

$$p_n(0)=p_{n0}e^{V/V_T}$$ $$n_p(0)=n_{p0}e^{V/V_T}$$

所以邊界處的過剩少數載子濃度為：

$$\Delta p_n(0) =p_n(0)-p_{n0} =p_{n0}\left(e^{V/V_T}-1\right)$$ $$\Delta n_p(0) =n_p(0)-n_{p0} =n_{p0}\left(e^{V/V_T}-1\right)$$

這正是題目所提示的關係式。

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二、發射極中的電洞擴散電流

發射極是 $n$ 型材料，其中的少數載子為電洞。過剩電洞濃度沿著發射極中性區衰減，其濃度梯度近似為：

$$\left.\frac{d\Delta p_n}{dx}\right|_{x=0} \approx -\frac{\Delta p_n(0)}{L_p}$$

由電洞擴散電流公式：

$$J_p=-qD_p\frac{dp_n}{dx}$$

取電流大小得：

$$J_{pE} = qD_p\frac{\Delta p_n(0)}{L_p}$$

代入 $\Delta p_n(0)$：

$$J_{pE} = q\frac{D_p}{L_p}p_{n0} \left(e^{V/V_T}-1\right)$$

乘上接面面積 $A$：

$$I_{pE} = Aq\frac{D_p}{L_p}p_{n0} \left(e^{V/V_T}-1\right)$$

再代入 $p_{n0}=n_i^2/N_D$：

核心觀念

圖 4 為雙級疊接電流鏡。右側輸出支路由 $Q_1$、$Q_2$、$Q_3$ 串接而成：

• $Q_1$：電流鏡的基本晶體管；
• $Q_2$、$Q_3$：兩級 cascode 晶體管，用來提高輸出電阻。

輸出電阻定義為

$$R_{\text{out}}=\frac{\Delta v_o}{\Delta i_o}.$$

在小訊號分析中，假設各晶體管具有相同的 $g_m$ 與 $r_o$，且 $g_mr_o\gg 1$。

解題方法

輸出端位於 $Q_3$ 的汲極。先觀察單級 cascode 的效果：

若 $Q_1$ 的汲極電阻約為 $r_{o1}$，加入 $Q_2$ 後，$Q_2$ 的跨導會抑制 $Q_1$ 汲極電壓的變動，使等效電阻提高為

$$R_{12}\approx g_{m2}r_{o2}r_{o1}.$$

再加入第二級 cascode 晶體管 $Q_3$，同樣會再提高一個約 $g_{m3}r_{o3}$ 的倍數，因此

$$R_{\text{out}} \approx g_{m3}r_{o3}R_{12}.$$

代入 $R_{12}$：