114 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班乙組《電子學》

核心觀念

本題考查半導體的基本定義、導電特性，以及摻雜後形成的 $p$ 型與 $n$ 型半導體。核心關係如下：

• 本徵半導體：電子與電洞數量相等，$n=p=n_i$。
• $n$ 型半導體：電子為多數載子，電洞為少數載子。
• $p$ 型半導體：電洞為多數載子，電子為少數載子。
• 熱平衡下遵守質量作用定律：

$$np=n_i^2$$

其中 $n$ 為自由電子濃度、$p$ 為電洞濃度、$n_i$ 為本徵載子濃度。

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解題方法

先說明半導體的材料與導電特性，再由摻雜元素的價電子數判斷其類型，最後比較兩者的主要載子、少數載子與雜質離子。

一、半導體的定義與基本性質

半導體是導電能力介於導體與絕緣體之間的材料，常見材料包括矽（Si）與鍺（Ge）。其主要特性如下：

1. 具有能隙

半導體的價帶與導帶之間存在有限能隙 $E_g$。在絕對零度時，電子大多位於價帶，導帶幾乎沒有自由電子，因此導電性很低。

當溫度升高或接受光照時，部分價帶電子可獲得能量越過能隙進入導帶，形成自由電子；價帶中留下的空缺則稱為電洞。

2. 電子與電洞共同導電

半導體的電流由兩類載子共同造成：

• 導帶中的自由電子
• 價帶中的電洞

在外加電場下，電子與電洞均可產生定向運動，因此半導體不同於金屬只以自由電子為主要導電載子。

3. 導電率隨溫度上升而增加

半導體的導電率可表示為：

$$\sigma=q(n\mu_n+p\mu_p)$$

其中：

• $q$：基本電荷量
• $n$：電子濃度
• $p$：電洞濃度
• $\mu_n$：電子遷移率
• $\mu_p$：電洞遷移率

溫度升高時，熱能可產生更多電子—電洞對，使 $n$ 與 $p$ 增加，導致導電率上升。這與金屬的導電率通常隨溫度升高而下降不同。

4. 導電性可藉由摻雜控制

在純半導體中加入少量特定雜質，可大幅改變自由電子或電洞的濃度，這種過程稱為摻雜（doping）。因此半導體的導電特性可以被精確控制。

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二、$n$ 型半導體

1. 摻雜方式

以矽為例，矽原子具有四個價電子，會與周圍四個矽原子形成共價鍵。

若在矽晶體中摻入具有五個價電子的五價雜質，例如磷（P）、砷（As）或銻（Sb），其中四個價電子可參與共價鍵，剩下的一個價電子只需很少能量即可成為自由電子。

這類雜質稱為施體雜質（donor），形成的半導體稱為 $n$ 型半導體。

2. 電荷載子

$n$ 型半導體中：

• 多數載子：自由電子
• 少數載子：電洞

由於自由電子濃度增加，通常有：

$$n\gg p$$

若施體完全游離且未考慮補償摻雜，可近似寫成：

$$n\approx N_D$$

其中 $N_D$ 為施體濃度。再由質量作用定律：

$$p=\frac{n_i^2}{n}$$

可知電子濃度增加後，電洞濃度相對降低。

3. 雜質離子的電性

施體原子釋放一個電子後，會留下帶正電的施體離子 $D^+$。但半導體整體仍近似維持電中性，因為自由電子的負電荷會與施體離子的正電荷相互平衡。

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三、$p$ 型半導體

1. 摻雜方式

核心觀念

本題考查 $p$ 型與 $n$ 型半導體接合後的 PN 接面形成機制，重點包括：

• 多數載子因濃度差產生擴散。
• 接面附近留下不可移動的離子，形成空乏區。
• 空乏區中的固定電荷建立內建電場。
• 內建電場造成漂移電流，最後與擴散電流達到平衡。

其中：

• $p$ 型半導體的多數載子為電洞，摻雜後留下帶負電的受體離子 $A^-$。
• $n$ 型半導體的多數載子為電子，摻雜後留下帶正電的施體離子 $D^+$。

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一、接合前的 $p$ 型與 $n$ 型材料

接合前，兩側各自維持電中性：

$$p\text{ 型：電洞濃度高，固定受體離子為 }A^-$$ $$n\text{ 型：電子濃度高，固定施體離子為 }D^+$$

可用下圖表示：

接合前

p 型材料                         n 型材料
電洞很多                         電子很多

  h+  h+  h+  h+       |       e−  e−  e−  e−
  A−  A−  A−  A−       |       D+  D+  D+  D+

        電中性                         電中性

此時兩種材料尚未直接接觸，沒有因濃度差所產生的接面電場。

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二、接合後的載子擴散

將 $p$ 型與 $n$ 型材料接合後：

1. $n$ 側電子濃度高，電子向電子濃度低的 $p$ 側擴散。
2. $p$ 側電洞濃度高，電洞向電洞濃度低的 $n$ 側擴散。
3. 電子與電洞在接面附近相遇並互相復合。

由於電子離開 $n$ 側接面附近，留下帶正電的施體離子 $D^+$；電洞離開 $p$ 側接面附近，留下帶負電的受體離子 $A^-$。

接合後初期的擴散

p 型側                         n 型側
                         ← 電子擴散
        電洞擴散 →
    
  A−  A−  A−  |  接面  |  D+  D+  D+
               ↑
          電子與電洞復合

擴散主要發生在接面附近。遠離接面的區域仍保有大量可移動多數載子，因此稱為準中性區。

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三、空乏區的形成

接面附近的可移動載子因擴散與復合而減少，留下固定不動的離子：

• $p$ 側接面附近留下 $A^-$。
• $n$ 側接面附近留下 $D^+$。

這個缺乏自由電子與自由電洞的區域稱為空乏區（depletion region），也稱空間電荷區。

平衡狀態下的 PN 接面

        p 型準中性區       空乏區          n 型準中性區

   h+  h+  h+      A− A− A− | D+ D+ D+       e−  e−  e−
                    ←  Wp  → ←  Wn  →

             p 側                         n 側
        負受體離子區                  正施體離子區

                 空乏區寬度：
                 W = Wp + Wn

空乏區內的淨電荷密度可近似寫成：

$$\rho(x)= \begin{cases} -qN_A, & -x_p<x<0\\[4pt] +qN_D, & 0<x<x_n\\[4pt] 0, & \text{其他區域} \end{cases}$$

其中：

• $q$：基本電荷量。
• $N_A$：受體濃度。
• $N_D$：施體濃度。
• $x_p$：空乏區延伸至 $p$ 側的距離。
• $x_n$：空乏區延伸至 $n$ 側的距離。

核心觀念

本題考查雙極性接面電晶體（BJT）的：

1. 三層半導體結構與三個端點。
2. 主動區（active mode）中的偏壓條件。
3. 少數載子注入、傳輸與收集所形成的集極電流。
4. 電流關係式：

$$I_E=I_C+I_B$$

以及共射極電流增益：

$$\beta=\frac{I_C}{I_B}$$

BJT 的電流同時涉及電子與電洞兩種載子，因此稱為「雙極性」電晶體。

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解題方法

作答時可依序說明「結構」與「主動區工作原理」：

• 結構部分：指出三個摻雜程度不同的半導體區域及其端點。
• 工作原理部分：先寫出兩個接面在主動區的偏壓狀態，再說明載子由射極注入、穿越基極，最後被集極收集。
• 最後補上基極電流與集極電流的來源，以及三端電流關係式。

以下以最常見的 NPN 型 BJT 說明；PNP 型的工作原理相同，只是載子種類與電壓極性相反。

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（a）BJT 的結構

BJT 由三層半導體組成，形成兩個 PN 接面：

$$\text{射極—基極接面（EBJ）}$$

以及

$$\text{集極—基極接面（CBJ）}$$

三個區域與端點如下。

1. 射極（Emitter, E）

射極為重摻雜區，主要功能是大量注入載子至基極。

以 NPN 電晶體為例，射極為 $n^+$ 型；以 PNP 電晶體為例，射極為 $p^+$ 型。重摻雜可提高射極向基極注入載子的能力。

2. 基極（Base, B）

基極為很薄且輕摻雜的區域，位於射極與集極之間。

以 NPN 電晶體為例，基極為 $p$ 型；以 PNP 電晶體為例，基極為 $n$ 型。基極薄且摻雜濃度低，可使大部分由射極注入的載子穿越基極，而不在基極中復合。

3. 集極（Collector, C）

集極通常為中度摻雜，面積較大，主要功能是收集由射極注入並穿越基極的載子。

集極面積較大有助於承受較高電壓與 dissipate 熱量；實際答題可表述為「承受較高的集極—基極反向偏壓與功率耗散」。

因此，NPN 型的結構可表示為：

$$n^+ - p - n$$

PNP 型則為：

$$p^+ - n - p$$

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（b）BJT 主動區的工作原理

1. 主動區的偏壓條件

以 NPN 型 BJT 為例，主動區必須滿足：

• 射極—基極接面正向偏壓。
• 集極—基極接面反向偏壓。

因此其端點電壓大致符合：

$$V_C>V_B>V_E$$

對一般矽製 NPN 電晶體，射極—基極電壓約為：

$$V_{BE}\approx 0.7\text{ V}$$

而集極電壓必須高於基極，使集極—基極接面維持反向偏壓。

PNP 型的極性完全相反，主動區條件為：

$$V_E>V_B>V_C$$

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2. 射極向基極注入載子

在 NPN 型中，射極是重摻雜的 $n^+$ 型，基極是輕摻雜的 $p$ 型。

當射極—基極接面正向偏壓時：

• 射極中的多數載子電子跨越耗盡區，注入基極。
• 基極中的電洞也會注入射極，但數量相對較少。

由於射極摻雜遠重於基極，主要注入電流由電子構成。這也是射極重摻雜的主要原因。

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3. 載子穿越薄基極

電子進入基極後，成為基極中的少數載子。由於基極很薄且摻雜濃度低，大部分電子可以透過擴散與漂移穿過基極。

核心觀念

本題考查 MOSFET 的基本結構、端點功能，以及由端電壓決定的三種操作區域。分析時通常以增強型 NMOS 為例，定義：

• $V_{GS}=V_G-V_S$：閘極—源極電壓
• $V_{DS}=V_D-V_S$：汲極—源極電壓
• $V_{TH}$：臨界電壓
• $I_D$：由汲極流向源極的傳統電流
• $V_{OV}=V_{GS}-V_{TH}$：過驅電壓

其中 $V_{OV}$ 代表閘極電壓超過臨界值的程度，也是判斷操作區域的重要量。

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解題方法

解題可分成兩個部分：

1. 先說明 MOSFET 的四個端點與內部結構，特別是閘極如何利用電場控制通道。
2. 再以 $V_{GS}$ 是否超過 $V_{TH}$，以及 $V_{DS}$ 與 $V_{OV}$ 的大小關係，判斷截止區、線性區與飽和區。

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一、MOSFET 的結構與端點功能

1. 基本結構

以增強型 NMOS 為例，元件主要由下列部分構成：

• 基板（body 或 substrate）：通常為 $p$ 型半導體。
• 源極（source, S）與汲極（drain, D）：在 $p$ 型基板中形成兩個高濃度 $n^+$ 區域。
• 閘極（gate, G）：位於源極與汲極之間的上方。
• 氧化層（oxide）：位於閘極與半導體表面之間，通常為二氧化矽，具有絕緣作用。

閘極與半導體之間隔著氧化層，因此閘極幾乎沒有直流電流流入：

$$I_G \approx 0$$

這也是 MOSFET 具有高輸入阻抗的主要原因。

2. 閘極的作用

當 $V_{GS}$ 小於臨界電壓 $V_{TH}$ 時，閘極下方沒有足夠的電子形成連續導電通道，源極與汲極之間幾乎不導通。

當 $V_{GS}>V_{TH}$ 時，閘極產生的電場會吸引電子聚集在氧化層下方，使閘極下方形成 $n$ 型反轉層，也就是連接源極與汲極的通道。此時，通道導電能力主要受到 $V_{GS}$ 控制。

因此，閘極是 MOSFET 的控制端，其電壓決定通道是否形成，以及通道的導電程度。

3. 源極的作用

源極是載子進入通道的一端。對 NMOS 而言，主要載子為電子，電子由源極進入通道並往汲極移動；在傳統電流定義下，$I_D$ 由汲極流向源極。

源極電壓也常作為電路中的參考電位，因此 MOSFET 的控制條件通常使用 $V_{GS}$ 而不是單獨使用 $V_G$。

4. 汲極的作用

汲極是載子離開通道的一端。汲極與源極之間施加 $V_{DS}$ 後，通道內會形成電場，促使載子產生漂移電流。

在許多基本電路中，汲極電位高於源極，因此：

$$V_{DS}>0$$

雖然源極與汲極在結構上常具有近似對稱性，但在實際電路中會依端電壓與偏壓方式定義其功能。

5. 基板端

完整的 MOSFET 具有第四個端點：基板或本體端 $B$。實際積體電路中，基板常與源極連接，使本體效應減小，並避免源極—本體或汲極—本體接面被正向偏壓。

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二、MOSFET 的操作區域

以下以增強型 NMOS、忽略通道長度調變為例說明。

1. 截止區（cut-off region）

條件

$$V_{GS}<V_{TH}$$

此時閘極電壓不足以形成反轉通道，源極與汲極之間沒有完整的導電路徑。

特性

理想模型下：

$$I_D=0$$

實際元件仍有極小的次臨界電流，但在基本電路分析中通常忽略。

物理意義

MOSFET 相當於關閉的開關，汲極端與源極端之間不導通。

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2. 線性區／三極區（linear／triode region）

條件

$$V_{GS}>V_{TH}$$

且

$$0\leq V_{DS}<V_{GS}-V_{TH}$$

也就是：

$$0\leq V_{DS}<V_{OV}$$

此時通道已形成，且從源極延伸至汲極，尚未發生夾止。

電流公式

NMOS 的汲極電流為：

$$I_D = \mu_n C_{\mathrm{ox}}\frac{W}{L} \left[ (V_{GS}-V_{TH})V_{DS} -\frac{V_{DS}^{2}}{2} \right]$$

其中：

• $\mu_n$：電子遷移率
• $C_{\mathrm{ox}}$：單位面積閘極氧化層電容
• $W$：通道寬度
• $L$：通道長度

當 $V_{DS}$ 很小時，二次項可忽略，因此：

$$I_D \approx \mu_n C_{\mathrm{ox}}\frac{W}{L} (V_{GS}-V_{TH})V_{DS}$$

此時 $I_D$ 與 $V_{DS}$ 近似成正比，MOSFET 表現得像一個由 $V_{GS}$ 控制的電阻。

物理意義

線性區常用於：

• 類比開關
• 傳輸閘
• 可變電阻
• 小訊號放大器的低電壓操作

閘極電壓越高，反轉層的載子濃度越大，通道電阻越小。

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3. 飽和區（saturation region）

條件

首先必須形成通道：

$$V_{GS}>V_{TH}$$

接著汲極—源極電壓需滿足：

$$V_{DS}\geq V_{GS}-V_{TH}$$

亦即：

$$V_{DS}\geq V_{OV}$$

飽和發生的原因

沿著通道從源極走向汲極時，局部通道電位逐漸升高，使通道相對於閘極的有效電壓逐漸降低。

在汲極端，當：

核心觀念

本題考查 BJT 共基極放大器（Common-Base Amplifier, CB）的：

• 電路結構與偏壓方式
• 小訊號輸入電阻、輸出電阻
• 電壓增益推導
• 低頻、中頻、高頻響應
• 基極旁路電容對交流接地效果的影響

共基極放大器的特徵是：

1. 輸入端在射極。
2. 輸出端在集極。
3. 基極對交流訊號而言接地。
4. 電壓增益為正，相位不反相。
5. 輸入電阻低、輸出電阻高。
6. 高頻特性通常優於共射極放大器，適合高頻電路。

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解題方法與電路圖

a. 共基極放大器電路

典型 NPN 共基極放大器如下：

                         VCC
                          |
                         RC
                          |
              vo <--------●------ C
                          |       \
                         RL       |\
                                  | \
                         R1       |  \
VCC ────────────────┬──/\/\──┐     |   \
                    |       |     |    \
                    |       B-----|     \
                    |       |     |      \
                   R2      CB     |       \
                    |       |     |        \
                   GND     GND    |         \
                                  |          E
                                  |          ●──── vo? 
                                  |          |
                                  |         vi
                                  |          |
                                  |         Cin
                                  |          |
                                 GND        vs

較標準的連接方式為：

• $R_1$、$R_2$：形成基極直流偏壓。
• $C_B$：將基極在交流訊號下接地。
• $C_{in}$：輸入耦合電容，將交流訊號送入射極。
• $R_C$：集極負載電阻。
• $R_L$：外接負載。
• 輸入端：射極。
• 輸出端：集極。
• 基極：交流接地。

直流分析時，$C_B$、$C_{in}$ 視為開路；中頻小訊號分析時，電容視為短路，因此基極為交流接地。

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b. 特性與應用

i. 主要特性

1. 輸入電阻低

由射極看入 BJT 的小訊號電阻為

$$r_e=\frac{1}{g_m+\frac{1}{r_\pi}}$$

由於

$$g_m=\frac{I_C}{V_T},\qquad r_\pi=\frac{\beta}{g_m}$$

因此

$$r_e = \frac{1}{g_m\left(1+\frac{1}{\beta}\right)} = \frac{\beta}{\beta+1}\frac{1}{g_m}$$

定義

$$\alpha=\frac{\beta}{\beta+1}$$

可得

$$r_e=\frac{\alpha}{g_m} \approx \frac{1}{g_m} \approx \frac{V_T}{I_E}$$

在室溫下 $V_T\approx 25\text{ mV}$，所以当 $I_E=1\text{ mA}$ 時，

$$r_e\approx \frac{25\text{ mV}}{1\text{ mA}}=25\Omega$$

故 CB 放大器的輸入電阻通常為數十歐姆至數百歐姆，明顯低於共射極放大器。

2. 輸出電阻高

在忽略晶體管輸出電阻 $r_o$ 時，輸出端主要看到集極電阻：

$$R_{out}\approx R_C$$

若考慮晶體管本身的 $r_o$，則在射極為交流接地時：

$$R_{out}\approx R_C\parallel r_o$$

因此輸出電阻通常較高。

3. 電壓增益為正

射極電壓上升時，集極電流上升，使 $R_C$ 上的壓降增加，集極電壓下降。然而共基極的輸入電壓定義在射極，射極電壓上升會使 $v_{be}$ 下降，集極電流反而下降，集極電壓上升。因此輸入與輸出同相。

中頻且忽略 $r_o$ 時：

$$A_v=\frac{v_o}{v_i} \approx g_m(R_C\parallel R_L) \approx \frac{R_C\parallel R_L}{r_e}$$

由於 $r_e$ 很小，CB 的電壓增益可以很高。

4. 電流增益略小於 1

共基極的電流增益為

$$A_i=\frac{i_c}{i_e}=\alpha$$

其中

$$\alpha=\frac{\beta}{\beta+1}<1$$

但其電壓增益可大於 1，因此功率增益仍可大於 1。

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ii. 實際應用

1. 高頻與射頻放大器

CB 放大器的輸入電阻低，且基極交流接地，可減少輸入與輸出間的回授。基極—集極電容 $C_\mu$ 不會產生嚴重的米勒效應，因此適合：

• 射頻前級放大器
• 寬頻電壓放大器
• 50 歐姆訊號介面

2. Cascode 電路

CB 電晶體可接在共射極級的上方，形成 Cascode 放大器。上方 CB 級能固定下方晶體管的集極電壓變化，降低米勒效應並提高：

• 輸出電阻
• 電壓增益
• 頻寬
• 輸入輸出隔離度

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c. 小訊號分析與推導

以下假設：

• BJT 工作於主動區。
• 中頻操作，耦合電容與旁路電容視為短路。
• 基極為理想交流接地。
• $r_o$ 先忽略。
• 集極等效負載為

$$R_C'=R_C\parallel R_L$$

i. 電壓增益推導

輸入電壓加在射極：

$$v_e=v_i$$

因基極交流接地：

$$v_b=0$$

因此

$$v_{be}=v_b-v_e=-v_i$$

BJT 的小訊號集極電流為

$$i_c=g_mv_{be}$$

代入 $v_{be}=-v_i$：

$$i_c=-g_mv_i$$

負號表示以傳統集極電流方向表示時，射極輸入訊號造成的交流集極電流方向與原定義相反。

集極電阻上的輸出電壓為

$$v_o=-i_cR_C'$$

因此

$$v_o=-(-g_mv_i)R_C'$$

得到

$$\boxed{ A_v=\frac{v_o}{v_i}=g_mR_C' }$$

又因為

$$r_e\approx \frac{1}{g_m}$$

所以

$$\boxed{ A_v\approx \frac{R_C\parallel R_L}{r_e} }$$

若使用 $T$ 模型並考慮 $\alpha$：

$$i_c=\alpha i_e$$

而

$$i_e=\frac{v_i}{r_e}$$

故

$$v_o=i_cR_C' =\alpha\frac{v_i}{r_e}R_C'$$

所以更精確地寫成

$$\boxed{ A_v=\frac{\alpha(R_C\parallel R_L)}{r_e} }$$

由於 $\alpha\approx 1$，常近似為

$$A_v\approx \frac{R_C\parallel R_L}{r_e}$$

若考慮 $r_o$

以混合 $\pi$ 模型分析，集極端 KCL 為

$$\frac{v_o}{R_C'} +\frac{v_o-v_i}{r_o} -g_mv_i=0$$

整理：

a. 電路圖

                         VDD
                          │
              ┌───────────┴───────────┐
              │                       │
          M3（PMOS）               M4（PMOS）
        二極體接法                   鏡射管
       G、D 相接 ●───────────────● G
              │                       │
              │                       ├──── vo
              │                       │
          M1（NMOS）               M2（NMOS）
       G ← vi1                      vi2 → G
              │                       │
              └───────────┬───────────┘
                          │
                      尾電流源 ISS
                    小訊號電阻 RSS
                          │
                         VSS

$M_1,M_2$ 為差動對；$M_3,M_4$ 為 PMOS 電流鏡主動負載；輸出取自 $M_2,M_4$ 的共同汲極。假設元件匹配、各 MOS 工作於飽和區。

b. 共模增益

令

$$v_{i1}=v_{i2}=v_{cm}$$

因電路對稱，兩管的小訊號汲極電流相同。設共同源極電壓為 $v_s$，忽略體效應，則

$$i_{d1}=i_{d2}=g_m(v_{cm}-v_s)$$

尾端小訊號電流為

$$\frac{v_s}{R_{SS}}=i_{d1}+i_{d2} =2g_m(v_{cm}-v_s)$$

因此

$$v_s=\frac{2g_mR_{SS}}{1+2g_mR_{SS}}v_{cm}$$

各支路電流為

$$i_{d1}=i_{d2} =\frac{g_m}{1+2g_mR_{SS}}v_{cm}$$

令電流鏡小訊號電流傳輸比為 $m$，即

$$i_{M4}=m i_{d1}$$

核心觀念

本題考查三個重點：

1. 電流鏡負載 MOS 差動放大器的基本結構與工作原理。
2. 共模增益 $A_{CM}$：兩個輸入端同時施加相同訊號時，輸出端產生的增益。
3. 共模拒斥比 CMRR：差動放大能力相對於共模訊號放大能力的大小。

定義輸入訊號為

$$v_{id}=v_1-v_2$$ $$v_{icm}=\frac{v_1+v_2}{2}$$

輸出電壓可表示為

$$v_o=A_{DM}v_{id}+A_{CM}v_{icm}$$

其中 $A_{DM}$ 為差動增益，$A_{CM}$ 為共模增益。

---

一、電路圖

採用 NMOS 差動輸入對、PMOS 電流鏡負載，以及尾端定電流源。$M_1$、$M_2$ 為差動對，$M_3$、$M_4$ 為 PMOS 電流鏡，$M_5$ 為尾端電流源。

                         VDD
                          │
                    ┌─────┴─────┐
                    │           │
                  M3（PMOS）   M4（PMOS）
                二極體接法       電流鏡輸出
                    │           │
                    ● vx        ● vo
                    │           │
                    └──Gate─────┘
                    │           │
                   D│          D│
                M1（NMOS）   M2（NMOS）
                G           G
              v1│         v2│
                    S───┬───S
                        │
                     尾端節點
                        │
                    M5 定電流源
                        │
                       VSS

其中：

• $v_1$、$v_2$：差動輸入端。
• $M_1$、$M_2$：NMOS 差動輸入對。
• $M_3$、$M_4$：PMOS 電流鏡負載。
• $v_x$：電流鏡參考節點，$M_3$ 為二極體接法。
• $v_o$：單端輸出端，位於 $M_2$ 與 $M_4$ 的汲極。
• $M_5$：尾端定電流源，提供差動對的總偏壓電流。

差動輸入電流的變化會先出現在 $M_1$，再經由 $M_3$、$M_4$ 電流鏡複製到輸出端，因此能將差動訊號轉換為單端輸出。

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二、共模增益 $A_{CM}$

1. 共模輸入條件

共模輸入時，兩個輸入端施加相同電壓：

$$v_1=v_2=v_{icm}$$

設差動對的共同源極電壓為 $v_s$，尾端電流源的小訊號等效電阻為 $R_T$。

由於兩顆輸入晶體管完全匹配，兩者的汲極電流變化相同。每一支 NMOS 的小訊號汲極電流為

$$\Delta i_d=g_m(v_{icm}-v_s)$$

因此尾端總電流變化為

$$\Delta i_T =2g_m(v_{icm}-v_s)$$

另一方面，尾端電流源可用 $R_T$ 表示，所以

$$\Delta i_T=\frac{v_s}{R_T}$$

令兩式相等：

$$\frac{v_s}{R_T} = 2g_m(v_{icm}-v_s)$$

整理得

$$v_s=2g_mR_T(v_{icm}-v_s)$$ $$v_s+2g_mR_Tv_s=2g_mR_Tv_{icm}$$

因此

$$v_s= \frac{2g_mR_T}{1+2g_mR_T}v_{icm}$$

輸入晶體管的有效閘源電壓為

$$v_{gs} =v_{icm}-v_s$$

代入上式：

$$v_{gs} = v_{icm} \left( 1-\frac{2g_mR_T}{1+2g_mR_T} \right)$$

所以

$$v_{gs} = \frac{v_{icm}}{1+2g_mR_T}$$

這表示尾端電流源的輸出電阻越大，共模輸入造成的有效 $v_{gs}$ 越小，共模增益也越低。

---

2. 一般單端輸出模型

若先將電流鏡負載視為一般單端主動負載，輸出等效電阻為 $R_o$，則輸出電壓約為

$$v_o=-g_mv_{gs}R_o$$

代入

$$v_{gs} = \frac{v_{icm}}{1+2g_mR_T}$$

得到

$$v_o = -\frac{g_mR_o}{1+2g_mR_T}v_{icm}$$

因此共模增益為

$$\boxed{ A_{CM} = \frac{v_o}{v_{icm}} = -\frac{g_mR_o}{1+2g_mR_T} }$$

若尾端電流源非常理想，則 $R_T\to\infty$，因此

$$A_{CM}\to 0$$

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3. 電流鏡負載的理想抵銷

對於本題的理想匹配電流鏡負載，共模輸入使 $M_1$、$M_2$ 的電流變化相同：

$$\Delta i_{d1}=\Delta i_{d2}$$

$M_3$、$M_4$ 電流鏡會將 $M_1$ 的電流變化複製到輸出支路，因此

$$\Delta i_{M4}=\Delta i_{d1}$$

輸出端的淨小訊號電流為

$$\Delta i_o = \Delta i_{M4}-\Delta i_{d2}$$

由於

核心觀念

本題考查運算放大器（operational amplifier, OPA）在生醫訊號擷取與放大電路中的基本特性、差動放大原理、儀表放大器架構，以及實際設計時的雜訊與安全問題。

理想運算放大器具有：

$$A_v\to\infty,\qquad R_{in}\to\infty,\qquad R_{out}\to 0$$

在負回授、線性工作區中，常用兩項「虛短」與「虛斷」條件：

$$v_+\approx v_-$$ $$i_+\approx i_-\approx 0$$

生醫訊號通常具有「訊號振幅小、頻率低、容易受環境干擾」的特性，因此 OPA 除了要有高增益，也必須具備高輸入阻抗、低輸出阻抗、低雜訊、高共模抑制比與足夠的頻寬。

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解題方法

各小題可依照下列邏輯作答：

1. 先說明生醫訊號的特性與放大器需求。
2. 再用差動放大器說明如何放大兩電極間的微小差值並抑制共模雜訊。
3. 接著說明儀表放大器如何利用多個 OPA 提供高輸入阻抗、高共模抑制比與精確增益。
4. 最後提出兩項實際設計挑戰，並各自配對解決方法。

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a. 運算放大器的特性與要求

1. 高輸入阻抗

生醫訊號來源，例如皮膚電極、腦電極，其訊號源阻抗通常不低。若放大器輸入阻抗太小，會造成電極與放大器之間形成負載效應，使量測訊號衰減。

輸入電壓可表示為：

$$v_{in,amp}=v_s\frac{R_{in}}{R_s+R_{in}}$$

其中 $R_s$ 為訊號源阻抗。當 $R_{in}\gg R_s$ 時：

$$v_{in,amp}\approx v_s$$

因此 OPA 應具有極高輸入阻抗，以減少對人體訊號源的負載，並降低電極極化與接觸阻抗變化造成的影響。

2. 低輸出阻抗

低輸出阻抗可使放大器有效驅動後級電路，例如濾波器、類比數位轉換器（ADC）或資料擷取系統，同時降低負載變化造成的輸出電壓誤差。

理想情況下：

$$R_{out}\approx 0$$

實際 OPA 雖非零，但在負回授作用下可大幅降低等效輸出阻抗。

3. 足夠且穩定的增益

ECG、EEG 等訊號的振幅通常遠小於一般電子訊號，必須使用高增益放大器將其提升至 ADC 可有效解析的範圍。

閉迴路增益主要由外部電阻決定，例如非反相放大器：

$$A_v=1+\frac{R_f}{R_1}$$

使用負回授設定增益具有兩項優點：

• 增益由精密電阻決定，穩定度高。
• 可降低對 OPA 本身開迴路增益變化的依賴。
• 可改善線性度並降低失真。

不過，增益不能無限制提高，必須考慮 OPA 的增益頻寬積（GBW）與輸出擺幅。

4. 低輸入等效雜訊

生醫訊號本身很微弱，因此 OPA 的輸入電壓雜訊與輸入電流雜訊可能與有效訊號同一量級，造成訊噪比降低。

常見雜訊包括：

• 熱雜訊
• $1/f$ 閃爍雜訊
• 輸入電壓雜訊
• 輸入電流雜訊
• 電源與電磁耦合雜訊

對高阻抗電極而言，輸入電流雜訊經過訊號源阻抗後會轉換成電壓雜訊：

$$v_{n,i}=i_nR_s$$

因此必須依照訊號源阻抗選擇低電壓雜訊或低電流雜訊的 OPA。

5. 高共模抑制比

兩個電極量測到的訊號可表示為：

$$v_1=v_{cm}+\frac{v_d}{2}$$ $$v_2=v_{cm}-\frac{v_d}{2}$$

其中：

$$v_d=v_1-v_2$$

為差動訊號，$v_{cm}$ 為共模訊號。放大器輸出可寫成：

$$v_o=A_dv_d+A_{cm}v_{cm}$$

理想差動放大器希望 $A_{cm}=0$。共模抑制比定義為：

$$\mathrm{CMRR}=\left|\frac{A_d}{A_{cm}}\right|$$

以分貝表示：

$$\mathrm{CMRR}_{dB}=20\log_{10}\left|\frac{A_d}{A_{cm}}\right|$$

CMRR 越高，越能抑制電源線干擾與人體耦合的環境雜訊。

6. 其他重要要求

生醫應用也重視：

• 低輸入偏移電壓與低偏移漂移：避免低頻訊號被直流誤差淹沒。
• 足夠的輸入共模範圍：確保電極直流偏壓不使 OPA 飽和。
• 足夠的輸出擺幅：避免輸出碰到電源軌而失真。
• 足夠頻寬與適當轉換速率：完整保留訊號頻帶。
• 低功耗與低電壓操作：適合穿戴式與電池供電設備。
• 適當的輸入保護：避免靜電、突波與電極故障損壞電路。

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b-i. OPA 在微弱生醫訊號放大中的應用

1. 訊號放大流程

以 ECG 為例，人體表面兩個電極所量測到的電壓差可能只有毫伏等級；EEG 訊號則通常更小，可能只有微伏等級。

基本訊號鏈如下：

$$\text{電極} \rightarrow \text{輸入緩衝} \rightarrow \text{差動放大} \rightarrow \text{濾波} \rightarrow \text{ADC}$$

第一級通常使用高輸入阻抗的 OPA 作為緩衝器，使電極不被負載。後續利用差動放大器放大兩電極之間的有效電壓差。

若差動放大器的差動增益為 $A_d$，則：

$$v_o=A_d(v_1-v_2)$$

例如：

$$v_1=1.205\ \mathrm{V},\qquad v_2=1.200\ \mathrm{V}$$

則：

$$v_d=v_1-v_2=5\ \mathrm{mV}$$

若 $A_d=100$，輸出為：

$$v_o=100(5\ \mathrm{mV})=0.5\ \mathrm{V}$$

此時微小的生醫訊號便能被 ADC 有效解析。

2. 差動放大與共模雜訊抑制

環境中的 50 Hz 或 60 Hz 電源干擾，常會以近似相同的大小耦合到兩個電極，因此屬於共模訊號。

設兩個輸入為：

$$v_1=v_{s1}+v_n$$ $$v_2=v_{s2}+v_n$$

差動放大器相減後：

$$v_1-v_2=(v_{s1}+v_n)-(v_{s2}+v_n)$$ $$v_1-v_2=v_{s1}-v_{s2}$$

理想情況下，共模雜訊 $v_n$ 會被抵消，只留下真正的生醫差動訊號。

核心觀念

本題考查分壓偏壓共射極放大器的直流工作點、小訊號模型，以及旁路電容對交流等效電路的影響。直流分析時，耦合與旁路電容視為開路；交流中頻分析時，視為短路，因此 $R_{E2}$ 被電容旁路，交流退化電阻只剩 $R_{E1}$。

小訊號參數採用室溫熱電壓 $V_T=25\,\text{mV}$。題目 c 的小訊號參數第三個符號未顯示，依標準 BJT 小訊號參數列出 $r_\pi$。

a. 直流偏壓設計

採用 $\beta$ 很大，故 $I_C\approx I_E=1\,\text{mA}$，且基極分壓電流取 $I_E/10=0.1\,\text{mA}$。

基極電壓指定為：

$$V_B=\frac{V_{CC}}{3}=\frac{12}{3}=4\,\text{V}$$

因此：

$$R_{B2}=\frac{V_B}{0.1\,\text{mA}}=40\,\text{k}\Omega$$ $$R_{B1}=\frac{V_{CC}-V_B}{0.1\,\text{mA}}=80\,\text{k}\Omega$$

發射極直流電壓為 $V_E=V_B-V_{BE}=4-0.7=3.3\,\text{V}$，故：

$$R_E=R_{E1}+R_{E2}=\frac{V_E}{I_E} =\frac{3.3\,\text{V}}{1\,\text{mA}} =3.3\,\text{k}\Omega$$

集極最低電壓不得低於 $V_B$，而集極需有 $\pm1\,\text{V}$ 擺幅，因此設定 $V_C=V_B+1=5\,\text{V}$。於是：

$$R_C=\frac{V_{CC}-V_C}{I_C} =\frac{12-5}{1\,\text{mA}} =7\,\text{k}\Omega$$

b. $\beta=100$ 時的實際直流值

將分壓器化為戴維寧等效：

$$V_{TH}=4\,\text{V},\qquad R_{TH}=R_{B1}\parallel R_{B2} =80\,\text{k}\Omega\parallel40\,\text{k}\Omega =26.67\,\text{k}\Omega$$

基極電流為：

$$I_B=\frac{V_{TH}-V_{BE}}{R_{TH}+(\beta+1)R_E} =\frac{4-0.7}{26.67\,\text{k}\Omega+101(3.3\,\text{k}\Omega)} \approx9.17\,\mu\text{A}$$

因此：

$$I_E=(\beta+1)I_B\approx0.926\,\text{mA}$$ $$I_C=\beta I_B\approx0.917\,\text{mA}$$ $$V_B=V_{BE}+I_E R_E \approx0.7+(0.926\,\text{mA})(3.3\,\text{k}\Omega) \approx3.76\,\text{V}$$ $$V_C=V_{CC}-I_C R_C \approx12-(0.917\,\text{mA})(7\,\text{k}\Omega) \approx5.58\,\text{V}$$

c. 小訊號參數

在上述直流工作點：

$$g_m=\frac{I_C}{V_T} =\frac{0.917\,\text{mA}}{25\,\text{mV}} \approx36.7\,\text{mS}$$ $$r_e\approx\frac{V_T}{I_E} =\frac{25\,\text{mV}}{0.926\,\text{mA}} \approx27.0\,\Omega$$