109 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班乙組《電子學》

核心觀念

本題考查五個電子學基本名詞，重點包括：

• 半導體元件的結構與控制方式。
• 二極體、BJT、MOSFET 的端點與工作原理。
• CMOS 電路的組成與低功耗特性。
• 電路中「接地」作為電壓參考點與訊號回流路徑的意義。

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解題方法

名詞解釋可依序回答四個面向：

1. 元件或電路的結構。
2. 端點及其功能。
3. 電流或電壓的控制方式。
4. 主要工作特性與實際用途。

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a) Diode（二極體）

二極體是由一個 P 型半導體與 N 型半導體接合而成的兩端元件，兩個端點分別稱為陽極（anode）與陰極（cathode）。

PN 接面附近會形成耗盡區與內建電位。二極體的電流主要由外加電壓決定，其理想化特性為：

• 順向偏壓：陽極電壓高於陰極，二極體導通。
• 逆向偏壓：陽極電壓低於陰極，二極體截止，僅有很小的逆向飽和電流。
• 逆向電壓過大：可能進入崩潰區，產生大量逆向電流。

實際二極體的電流—電壓關係可用 Shockley 方程式表示：

$$I_D=I_S\left(e^{\frac{V_D}{nV_T}}-1\right)$$

其中 $I_S$ 為逆向飽和電流，$n$ 為理想因子，$V_T$ 為熱電壓。室溫下，矽二極體順向導通電壓常近似為 $0.7\text{ V}$，但此數值會隨電流、溫度與元件種類改變。

二極體常用於整流、限幅、箝位、偵測、保護與穩壓電路。

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b) BJT（雙極性接面電晶體）

BJT 是 Bipolar Junction Transistor，雙極性接面電晶體 的縮寫，利用電子與電洞兩種載子傳導，因此稱為「雙極性」。

BJT 有三個端點：

• Emitter，射極 $E$
• Base，基極 $B$
• Collector，集極 $C$

BJT 分為 NPN 與 PNP 兩類。以 NPN 為例，射極與集極為 N 型半導體，基極為很薄且摻雜濃度較低的 P 型半導體。

在主動區中，基極—射極接面順向偏壓，基極—集極接面逆向偏壓。此時小基極電流可以控制較大的集極電流：

$$I_C\approx \beta I_B$$

並且滿足：

$$I_E=I_C+I_B$$

其中 $\beta$ 為共射極電流增益。

BJT 的主要工作區如下：

工作區	基極—射極接面	基極—集極接面	主要用途
截止區	逆向或未導通	逆向	開關關閉
主動區	順向	逆向	線性放大
飽和區	順向	順向	開關導通

BJT 的輸入控制量主要是基極—射極電壓，常見矽 BJT 導通時約有：

$$V_{BE}\approx 0.7\text{ V}$$

BJT 具有較高的跨導與良好的類比放大能力，但需要基極電流，且輸入阻抗通常低於 MOSFET。

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c) MOSFET（金氧半場效電晶體）

MOSFET 是 Metal-Oxide-Semiconductor Field-Effect Transistor，金氧半場效電晶體 的縮寫。它利用閘極電場控制通道導電程度，屬於電壓控制元件。

MOSFET 有四個端點：

• Source，源極 $S$
• Gate，閘極 $G$
• Drain，汲極 $D$
• Body 或 Bulk，基體 $B$

閘極與半導體通道之間隔著氧化層，因此閘極在理想情況下幾乎沒有直流電流，輸入阻抗很高。

以增強型 NMOS 為例：

• 當 $V_{GS}<V_{TH}$ 時，沒有足夠的反轉層，元件截止。
• 當 $V_{GS}>V_{TH}$ 時，形成電子通道，元件導通。
• 閘極電壓越高，通道導電能力通常越強。

在長通道模型中，NMOS 的線性區電流為：

$$I_D=\mu_n C_{ox}\frac{W}{L} \left[(V_{GS}-V_{TH})V_{DS}-\frac{V_{DS}^2}{2}\right]$$

當：

$$V_{DS}\geq V_{GS}-V_{TH}$$

MOSFET 進入飽和區，其汲極電流近似為：

核心觀念

本題考查折疊式疊接 CMOS 運算放大器的差動增益。中頻小訊號下，差動增益可寫成

$$A_{vd}=\frac{v_o}{v_d} =G_{md}R_{\mathrm{out}}, \qquad v_d=v_+-v_-.$$

其中：

• $G_{md}$：差動輸入對輸出端所形成的等效跨導。
• $R_{\mathrm{out}}$：由輸出端看入電路的等效輸出電阻。
• 疊接結構的主要作用是提高 $R_{\mathrm{out}}$，因此提高電壓增益。

以下採用常見小訊號假設：晶體管匹配、忽略 body effect、偏壓源為交流接地，且 $g_m r_o\gg 1$。

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一、差動輸入所產生的電流

令

$$v_+=+\frac{v_d}{2},\qquad v_-=-\frac{v_d}{2}.$$

對匹配的 NMOS 差動對 $Q_1,Q_2$ 而言：

$$\Delta i_{d1}=g_{m1}\frac{v_d}{2},$$ $$\Delta i_{d2}=-g_{m2}\frac{v_d}{2}.$$

若 $g_{m1}=g_{m2}=g_m$，則

$$\Delta i_{d1}=+\frac{g_m v_d}{2}, \qquad \Delta i_{d2}=-\frac{g_m v_d}{2}.$$

折疊式架構將這兩個差動電流分別折疊至輸出側。透過 $Q_5\sim Q_8$ 所形成的電流鏡，兩部分電流在輸出端具有相同的作用方向，因此輸出端的等效小訊號電流為

$$i_o = \frac{g_m v_d}{2} + \frac{g_m v_d}{2} = g_m v_d.$$

因此，差動跨導為

$$G_{md}=g_m.$$

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二、輸出端等效電阻

輸出端 $v_o$ 由上方的 PMOS 支路與下方的 NMOS 疊接支路共同決定。

上拉支路

輸出端上方主要由 $Q_4$ 提供輸出電阻。若上方偏壓電流源視為理想電流源，則

$$R_{\mathrm{up}}\simeq r_{o4}.$$

若考慮偏壓電流源的有限輸出電阻，則可改寫為

$$R_{\mathrm{up}}\simeq r_{o4}\parallel r_{o,\mathrm{bias}}.$$

下拉疊接支路

輸出端下方由 $Q_6$ 與 $Q_8$ 疊接而成。兩個 MOS 疊接後的等效輸出電阻約為

$$R_{\mathrm{down}} \simeq r_{o6}+r_{o8} +g_{m6}r_{o6}r_{o8}.$$

由於 $g_mr_o\gg1$，通常可取主要項

$$R_{\mathrm{down}} \simeq g_{m6}r_{o6}r_{o8}.$$

因此輸出端總等效電阻為

以三顆匹配 NPN 電晶體構成 Wilson 電流鏡：$Q_1、Q_2$ 為基本電流鏡，$Q_3$ 的基極接 $Q_2$ 集極（輸出端），射極接 $Q_1、Q_2$ 的共基極節點，集極接參考電流端，形成負回授。

              IREF                         Io
                ↓                          ↓
          ┌─────●─────C Q3           ┌────●────C Q2
          │             B─────────────┘
          │             E
          │             │
          ●────C Q1─────●────B Q2
          │     B       │
          │             │
          E             E
          │             │
         GND           GND

核心觀念

本題考查兩種基本半導體元件的實體剖面結構、摻雜型態與各端點位置：

• $npn$ BJT：由兩個 $n$ 型區域夾住一個很薄的 $p$ 型基極。
• N-channel MOSFET：以 $p$ 型基板為本體，在兩個 $n^+$ 型區域之間，利用閘極電壓誘導出電子通道。

題目要求的是 physical structure（實體結構），重點是畫出半導體層、絕緣層與金屬接點，不只是畫電路符號。

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一、$npn$ BJT 的實體結構

1. 結構示意圖

                 E（金屬接點）
                    │
             ┌─────────────┐
             │  n+ 發射極  │
             └─────────────┘
                    │
             ┌─────────────┐
             │   p 基極    │ ← 很薄、摻雜較輕
             └─────────────┘
                    │
             ┌─────────────┐
             │   n 集極    │ ← 面積較大、耐較高電壓
             └─────────────┘
                    │
                 C（金屬接點）

                 B（金屬接點）
                    │
                 接觸 p 基極

較完整的實際剖面可表示為：

                         E
                         │
                    ┌───────┐
                    │  n+   │  發射極
                    └───┬───┘
                        │
                    ┌───┴───┐
                    │   p   │  基極，厚度很薄
                B ──┤       ├──
                    └───┬───┘
                        │
                    ┌───┴────────┐
                    │     n      │  集極
                    │            │
                    └──────┬─────┘
                           │
                           C

2. 各區域功能

發射極 $n^+$

發射極為重摻雜的 $n$ 型半導體，主要功能是提供大量電子。$n^+$ 表示其摻雜濃度高於集極，能提高電子注入基極的效率。

基極 $p$

基極為 $p$ 型半導體，且具有下列特性：

• 厚度很薄；
• 摻雜濃度低於發射極；
• 讓由發射極注入的電子大部分能穿越基極，到達集極。

基極若過厚，電子在通過基極途中容易與電洞再結合，電晶體的電流增益會下降。

集極 $n$

集極為 $n$ 型半導體，通常具有較大的面積，且摻雜濃度低於發射極。集極需要承受較大的反向偏壓，因此設計上必須兼顧崩潰電壓與散熱能力。

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二、$npn$ BJT 的接面與偏壓

$npn$ BJT 具有兩個 $p$-$n$ 接面：

$$\text{Emitter-Base Junction}: n^+-p$$ $$\text{Collector-Base Junction}: p-n$$

在正常主動區操作時：

• 發射極—基極接面為順向偏壓；
• 集極—基極接面為反向偏壓。

電子由 $n^+$ 發射極注入薄的 $p$ 型基極，接著被反向偏壓的集極—基極接面電場吸引至集極，形成主要的集極電流。

常用的電流關係為：

$$I_E=I_C+I_B$$

以及：

$$I_C\approx \beta I_B$$

其中 $\beta$ 為共射極電流增益。

BJT 畫圖得分重點

完整答案至少應標示：

1. 上方為 $n^+$ 發射極 $E$；
2. 中間為很薄的 $p$ 型基極 $B$；
3. 下方為 $n$ 型集極 $C$；
4. 基極接點必須接在 $p$ 區；
5. 發射極與集極同為 $n$ 型，但發射極通常重摻雜、集極通常面積較大。

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三、N-channel MOSFET 的實體結構

1. 結構示意圖

核心觀念

本題考查以微電子學中的負回授與主動元件，製作「可調式定電流源」。定電流源的基本條件是：

$$I_{\text{load}} \approx \text{constant}$$

亦即負載電阻或人體阻抗改變時，負載電流仍由設定值決定，而不是由負載電阻決定。對 tDCS 而言，電流大小必須可調，且在治療期間維持穩定。

核心方法是：

1. 以可調參考電壓 $V_{\text{SET}}$ 設定目標電流。
2. 以感測電阻 $R_S$ 將電流轉換成電壓。
3. 使用運算放大器負回授，強制感測電壓等於 $V_{\text{SET}}$。
4. 由運算放大器驅動 MOSFET 或 BJT，調整其導通程度，使負載電流保持固定。

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解題方法：運算放大器搭配 MOSFET

可採用下圖概念製作定電流吸收器：

       +V
        │
       負載
        │
        D
      N-MOSFET
        S──── R_S ─── GND
        │
      V_SENSE
        │
     OP AMP 反相端
OP AMP 輸出 ───── Gate
V_SET ─────── OP AMP 非反相端

其中負載接在電源與 MOSFET 汲極之間，MOSFET、感測電阻與負載串聯。

1. 設定參考電壓

以電位器、數位類比轉換器或微控制器輸出電壓，產生可調的設定電壓：

$$V_{\text{SET}}=0\sim V_{\text{REF}}$$

為避免電位器雜訊直接影響治療電流，可先以緩衝器或低通濾波器處理 $V_{\text{SET}}$。

2. 負回授使兩輸入端電壓相等

理想運算放大器在負回授正常工作時滿足虛短路條件：

$$V_+=V_-$$

因此：

$$V_{\text{SENSE}}=V_{\text{SET}}$$

感測電阻上的電壓為：

$$V_{\text{SENSE}}=I_S R_S$$

所以負載電流為：

$$\boxed{I_S=\frac{V_{\text{SET}}}{R_S}}$$

由於 MOSFET 的閘極電流近似為零，且 MOSFET 的源極電流近似等於汲極電流：

$$I_{\text{load}}\approx I_D\approx I_S$$

因此：

$$\boxed{I_{\text{load}}\approx \frac{V_{\text{SET}}}{R_S}}$$

調整 $V_{\text{SET}}$ 即可調整輸出電流。

3. 電流調整範例

若選擇：

$$R_S=1\,\text{k}\Omega$$

且令：

$$V_{\text{SET}}=0\sim 2\,\text{V}$$

則：

$$I_{\text{load}}=\frac{V_{\text{SET}}}{1\,\text{k}\Omega} =0\sim 2\,\text{mA}$$

若 tDCS 所需最大電流為 $2\,\text{mA}$，此設計即可透過 $V_{\text{SET}}$ 連續調整輸出電流。

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為何負載變動時電流仍能維持固定

假設負載阻抗增加，使 MOSFET 汲極電流有下降趨勢，感測電阻上的電壓便會下降：

$$V_{\text{SENSE}}<V_{\text{SET}}$$

運算放大器會提高輸出電壓，使 MOSFET 更導通，將電流拉回：

$$V_{\text{SENSE}}=V_{\text{SET}}$$

若負載阻抗降低，使電流有上升趨勢，則：

$$V_{\text{SENSE}}>V_{\text{SET}}$$

運算放大器會降低閘極驅動電壓，使 MOSFET 導通程度下降，電流回到設定值。

因此，負載變化主要由 MOSFET 兩端電壓吸收，負載電流則由 $V_{\text{SET}}$ 與 $R_S$ 決定。

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定電流源的工作限制

核心觀念

本題考查 電流鏡的面積比例、BJT 小訊號參數，以及共射極放大器的電壓增益與輸入／輸出電阻。

電晶體工作於主動區時，電流鏡的輸出電流與電晶體面積成正比；BJT 的小訊號參數為

$$r_o=\frac{|V_A|}{I_C},\qquad g_m=\frac{I_C}{V_T},\qquad r_\pi=\frac{\beta}{g_m}$$

其中室溫下取 $V_T\approx25\,\text{mV}$。

解題方法與推導

(a) 求電流 $I$

參考支路電阻上的電壓為 $3-0.7=2.3\,\text{V}$，所以流經 $Q_3$ 的參考電流為

$$I_{\text{REF}}=\frac{3-0.7}{46\,\text{k}\Omega} =50\,\mu\text{A}$$

$Q_2$ 的面積是 $Q_3$ 的五倍，忽略基極電流後，鏡射電流為

$$I=I_{C2}=5I_{\text{REF}}=250\,\mu\text{A}$$

(b) 求 $r_{o1}$、$r_{o2}$ 與集極總電阻

直流時 $Q_1$、$Q_2$ 串接於輸出支路，因此兩者集極電流大小皆為 $250\,\mu\text{A}$。由 $r_o=|V_A|/I_C$：

$$r_{o1}=r_{o2} =\frac{30\,\text{V}}{250\,\mu\text{A}} =120\,\text{k}\Omega$$

交流小訊號下，電源視為接地，輸出端看到兩個輸出電阻並聯：

$$R_{\text{集極}}=r_{o1}\parallel r_{o2} =120\,\text{k}\Omega\parallel120\,\text{k}\Omega =60\,\text{k}\Omega$$

(c) 求 $r_{\pi1}$ 與 $g_{m1}$

核心觀念

本題考查：

1. BJT 電流鏡：相同 $V_{BE}$ 下，集極電流與電晶體面積成正比。
2. Early effect：輸出電阻 $$r_o=\frac{|V_A|}{I_C}$$
3. BJT 小訊號模型： $$g_m=\frac{I_C}{V_T},\qquad r_\pi=\frac{\beta}{g_m}$$
4. 主動負載 CE 放大器：輸出端的等效電阻為 $r_{o1}$ 與 $r_{o2}$ 的並聯。

以下採室溫熱電壓 $V_T=25\text{ mV}$。

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(a) 求電流 $I$

由圖，$Q_3$ 為二極體接法，且其基極—射極電壓為 $0.7\text{ V}$。因此參考電流為

$$I_{\text{REF}} = \frac{3-0.7}{46\text{ k}\Omega} = \frac{2.3}{46\text{ k}\Omega} = 50\ \mu\text{A}$$

由於 $Q_2$ 與 $Q_3$ 的 $V_{BE}$ 相同，且忽略基極電流，集極電流比例等於電晶體面積比例：

$$\frac{I_{C2}}{I_{C3}} = \frac{A_2}{A_3} = 5$$

所以

$$I_{C2}=5I_{\text{REF}} =5(50\ \mu\text{A}) =250\ \mu\text{A}$$

輸出節點在直流工作點必須滿足流入與流出電流相等，因此

$$I=I_{C2}=250\ \mu\text{A}$$

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(b) 求 $r_{o1}$、$r_{o2}$ 與總電阻

在直流工作點，$Q_1$ 與 $Q_2$ 的集極電流大小皆為

$$I_{C1}=I_{C2}=250\ \mu\text{A}$$

由 Early effect：

$$r_o=\frac{|V_A|}{I_C}$$

因此

$$r_{o1} = \frac{30\text{ V}}{250\ \mu\text{A}} = 120\text{ k}\Omega$$ $$r_{o2} = \frac{30\text{ V}}{250\ \mu\text{A}} = 120\text{ k}\Omega$$

輸出端看到的總小訊號電阻為兩者並聯：

$$R_{\text{total}} = r_{o1}\parallel r_{o2}$$ $$R_{\text{total}} = 120\text{ k}\Omega\parallel120\text{ k}\Omega = 60\text{ k}\Omega$$

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(c) 求 $r_{\pi1}$ 與 $g_{m1}$

對 $Q_1$ 而言，

$$I_{C1}=250\ \mu\text{A}$$

跨導為