113 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班乙組《電子學》

核心觀念

本題考查微電子學中四個常見概念：

1. 半導體載子因電場與濃度梯度所產生的漂移與擴散。
2. 旁路電容與耦合電容在電路中的交流訊號處理功能。
3. Bode 圖中的 $3$-dB 頻率與頻寬意義。
4. 三維積體電路（3D-IC）的結構與優點。

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a) Drift and Diffusion：漂移與擴散

漂移（drift）

漂移是指帶電載子受到電場作用而產生的定向運動。

• 電子帶負電，移動方向與電場方向相反。
• 電洞帶正電，移動方向與電場方向相同。
• 傳統電流方向定義為正電荷移動方向，因此電子電流方向與電子移動方向相反。

在半導體中，電子與電洞的漂移電流密度分別為

$$J_{n,\text{drift}}=q n\mu_n E$$ $$J_{p,\text{drift}}=q p\mu_p E$$

其中：

• $q$：基本電荷量
• $n,p$：電子與電洞濃度
• $\mu_n,\mu_p$：電子與電洞遷移率
• $E$：電場強度

載子的平均漂移速度為

$$v_{n,\text{drift}}=\mu_n E$$ $$v_{p,\text{drift}}=\mu_p E$$

這裡的漂移速度是平均速度。載子仍會因晶格熱振動而進行隨機熱運動，但在外加電場下會疊加一個具有方向性的平均速度。

擴散（diffusion）

擴散是由載子濃度不均勻所造成的運動。載子會因隨機熱運動，從高濃度區域移向低濃度區域，即使沒有外加電場也能發生。

電子與電洞的擴散電流密度為

$$J_{n,\text{diffusion}}=qD_n\frac{dn}{dx}$$ $$J_{p,\text{diffusion}}=-qD_p\frac{dp}{dx}$$

其中 $D_n,D_p$ 為電子與電洞的擴散係數。負號差異來自電子帶負電，以及電流方向與電子移動方向相反的定義。

因此，一維情況下的總電流密度為

$$J_n=q n\mu_n E+qD_n\frac{dn}{dx}$$ $$J_p=q p\mu_p E-qD_p\frac{dp}{dx}$$

擴散係數與遷移率之間具有 Einstein relation：

$$\frac{D_n}{\mu_n}=\frac{D_p}{\mu_p}=\frac{kT}{q}$$

其中 $k$ 是波茲曼常數，$T$ 是絕對溫度。

解題技巧

判斷兩者的關鍵如下：

• 有電場造成定向移動：漂移。
• 有濃度梯度造成由高濃度往低濃度移動：擴散。
• 漂移的驅動力是電場 $E$。
• 擴散的驅動力是濃度梯度 $\nabla n$ 或 $\nabla p$。

在 PN 接面中，接面附近的載子會先因濃度差擴散，形成空乏區與內建電場；內建電場又造成漂移電流。熱平衡時，漂移電流與擴散電流大小相等、方向相反，總電流為零。

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b) Bypass Capacitor 與 Coupling Capacitor

Bypass Capacitor：旁路電容

旁路電容通常接在電源與接地之間，用來將電源線上的交流雜訊導向接地，避免雜訊進入電路。

電容的阻抗為

$$Z_C=\frac{1}{j\omega C}$$

其大小為

$$|Z_C|=\frac{1}{2\pi f C}$$

頻率越高，電容阻抗越低。因此：

• 對直流而言，電容近似開路，不會短路電源。
• 對高頻雜訊而言，電容呈低阻抗，可將雜訊旁路至接地。
• 電源電壓因而較穩定，放大器或數位電路的供電干擾降低。

旁路電容也能在電路瞬間需要較大電流時，暫時提供局部電荷，減少電源線上的電壓突降。

常見配置是將小容量、高頻特性良好的陶瓷電容放置在 IC 電源腳附近；較大容量的電容則用來抑制較低頻率的電源波動。

旁路電容的主要功能

1. 濾除電源上的高頻雜訊。
2. 穩定電源電壓。
3. 降低電源阻抗。
4. 減少電路間經由電源線產生的干擾。

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Coupling Capacitor：耦合電容

耦合電容串接在訊號源與下一級電路之間，用來傳遞交流訊號，同時隔離兩級電路的直流偏壓。

對直流而言，

$$f=0 \quad\Rightarrow\quad |Z_C|\to\infty$$

因此耦合電容阻擋直流，避免前級的 DC operating point 直接改變後級的偏壓。

對交流而言，當頻率足夠高時，

$$|Z_C|=\frac{1}{2\pi f C}$$

變小，交流訊號便能通過電容傳至下一級。

耦合電容與周圍的等效電阻會形成高通電路。若電容看到的等效電阻為 $R_{\text{eq}}$，則低截止頻率約為

$$f_L=\frac{1}{2\pi R_{\text{eq}}C}$$

當輸入頻率低於 $f_L$ 時，訊號會受到明顯衰減；高於 $f_L$ 後，交流訊號較能完整通過。

旁路與耦合電容的比較

類型	典型接法	主要通過或抑制的訊號	主要功能
旁路電容	電源對地	將高頻雜訊導向接地	穩定電源、降低雜訊
耦合電容	訊號路徑串聯	通過交流、阻擋直流	隔離偏壓、傳遞訊號

解題技巧

看到以下關鍵字即可快速判斷：

• 「電源、雜訊、接地」：旁路電容。
• 「級間、隔離 DC、傳遞 AC」：耦合電容。
• 旁路電容通常是並聯接法。
• 耦合電容通常是串聯接法。

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c) Bode Plot 中的 3-dB Point

定義

$3$-dB point 是指功率相對於中頻或低頻基準值下降 $3$ dB 的頻率點。

分貝定義為

$$G_{\text{dB}}=10\log_{10}\left(\frac{P}{P_{\text{ref}}}\right)$$

當功率下降為基準值的一半時，

$$10\log_{10}\left(\frac{P}{P_{\text{ref}}}\right) =10\log_{10}\left(\frac{1}{2}\right) \approx -3.01\ \text{dB}$$

若負載阻抗不變，功率與電壓平方成正比，因此

$$\frac{P}{P_{\text{ref}}} = \left(\frac{V}{V_{\text{ref}}}\right)^2$$

所以在 $3$-dB 點，

核心觀念

本題考查自動體外心臟去顫器（Automated External Defibrillator, AED）的醫療功能，以及電子學與微電子技術在其系統設計中的應用。

AED 的主要目的，是在患者發生心室顫動（ventricular fibrillation, VF）或無脈搏心室頻脈（pulseless ventricular tachycardia, pVT）等可電擊心律不整時，透過電極片施加短時間、高能量的電流脈衝，使大量心肌細胞同時去極化，終止混亂的電氣活動，讓心臟有機會恢復由正常節律主導的收縮。

AED 並非直接「用電把心臟重新啟動」，也不是對所有心律不整都適用。若患者為心室停止（asystole）或無脈搏電氣活動（PEA），通常不屬於可電擊節律，AED 會判定不建議電擊。

電擊能量可概念化表示為

$$E=\int v(t)i(t)\,dt$$

若以近似定值電壓與電流估算，則有

$$E\approx VIt$$

實際 AED 多採用雙相波形（biphasic waveform），由高壓電路先將能量儲存在電容器中，再按照控制器設定的波形與能量輸出至患者胸部。

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解題方法

本題可分成兩個部分回答：

1. 說明 AED 要解決的生理問題。
2. 說明微電子專業如何實現安全、準確且可靠的 AED。

一、AED 的主要用途

心室顫動時，心肌各部位的電氣活動彼此不同步，心臟無法有效收縮與輸出血液。AED 透過胸壁電極片提供電擊，使心肌細胞在短時間內大範圍去極化，暫時中斷異常電氣迴路。

若心臟的起搏與傳導系統仍具備恢復能力，電擊後可能重新建立正常節律。因此，AED 的核心功能是：

• 偵測患者的心電圖（ECG）。
• 判斷是否為可電擊心律。
• 在必要時產生並輸出適當能量的電擊。
• 以語音或螢幕指示操作者完成操作。
• 監測輸出與安全狀態，避免不當放電。

AED 的目的可整理為：

對可電擊的致命性心律不整施加受控電擊，以終止異常心律並提高恢復正常心跳的機會。

二、微電子專業對 AED 設計的貢獻

微電子技術可應用在 AED 的感測、訊號處理、控制、功率轉換與安全保護等部分。

1. 心電訊號擷取

AED 必須先取得患者的 ECG 訊號。電極片接收到的訊號通常很微弱，且容易受到肌電干擾、電源雜訊、接觸阻抗變化及動作伪影影響。

因此需要：

• 儀表放大器或低雜訊放大器，提高微弱 ECG 訊號的可辨識度。
• 高輸入阻抗設計，降低對人體訊號的負載。
• 類比濾波器，抑制高頻雜訊與工頻干擾。
• 類比數位轉換器（ADC），將 ECG 轉換為數位資料。
• 電極接觸檢測電路，確認電極片是否正確貼附。

訊號擷取可用下列概念表示：

$$V_{\text{out}}=G\left(V_{+}-V_{-}\right)$$

其中 $G$ 為放大器增益，$V_{+}$ 與 $V_{-}$ 為差動輸入訊號。差動放大可降低兩輸入端共同受到的雜訊，即提高共模抑制比（CMRR）。

2. 心律判讀與數位訊號處理

微控制器、數位訊號處理器或特定應用積體電路（ASIC）可執行：

• QRS 波群偵測。
• 心率與週期分析。
• 心室顫動的頻譜與不規則性判斷。
• 心室頻脈的速率與持續時間判定。
• 動作或雜訊造成的錯誤訊號排除。

控制器根據分析結果判斷是否允許電擊。判斷流程必須高度可靠，因為：

• 將不可電擊節律誤判為可電擊，可能造成危險。
• 將可電擊節律誤判為不可電擊，則可能延誤急救。

a）電路設計

          +15 V
            │
         RC = 1 kΩ
            │
      ┌─────┴─────┐
      │C          C│
+15 V─RB─B  Q1     │ Q2
 100 kΩ   E────────B
                   E
                   │
                  GND

$Q_1$、$Q_2$ 的集極相接，$Q_1$ 射極接至 $Q_2$ 基極，輸出取自 $Q_2$ 射極。

b）總電流增益

以流入 $Q_1$ 的基極電流 $I_B$ 為準：

$$\beta_{\text{total}} =\beta_1\beta_2+\beta_1+\beta_2$$ $$=100\times100+100+100 =10200$$

常用近似值為 $\beta_{\text{total}}\approx\beta_1\beta_2=10000$。

c）主動區計算

兩顆電晶體共產生 $2V_{BE}=1.4\text{ V}$：

核心觀念

本題考查共射極（CE）放大器在三個頻率區域的等效電路與頻率響應：

1. 低頻帶：耦合電容 $C_{C1}$、$C_{C2}$ 與射極旁路電容 $C_E$ 的電抗不可忽略，形成高通效應。
2. 中頻帶：$C_{C1}$、$C_{C2}$、$C_E$ 視為短路，高頻寄生電容視為開路，電壓增益近似為固定值。
3. 高頻帶：電晶體內部的 $C_{\pi}$ 與 $C_{\mu}$ 產生低通效應，使增益下降。

圖 2 為分壓偏壓 CE 放大器，其中 $C_{C1}$ 為輸入耦合電容、$C_{C2}$ 為輸出耦合電容、$C_E$ 為射極旁路電容。

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一、中頻帶增益

令

$$R_B=R_{B1}\parallel R_{B2}$$ $$R_C'=R_C\parallel r_o$$

若考慮負載 $R_L$，輸出端等效電阻為

$$R_O=R_C\parallel r_o\parallel R_L$$

在中頻時，$C_{C1}$、$C_{C2}$ 與 $C_E$ 皆視為短路，因此射極為交流接地。

輸入電阻為

$$R_{in}=R_B\parallel r_{\pi}$$

訊號源實際加到基極的電壓為

$$v_b=v_{sig}\frac{R_{in}}{R_{sig}+R_{in}}$$

共射極小訊號電壓增益為

$$\frac{v_o}{v_b}\simeq -g_mR_O$$

因此，由訊號源至輸出的中頻電壓增益為

$$A_M=\frac{v_o}{v_{sig}} = -g_mR_O \frac{R_{in}}{R_{sig}+R_{in}}$$

若忽略訊號源內阻，則可簡化為

$$A_M\simeq -g_mR_O$$

負號表示共射極放大器具有 $180^\circ$ 相位反轉。

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二、低頻帶轉移函數

低頻時，三個電容分別造成三個高通極點。採用各電容獨立作用的近似法，可寫成

$$A_L(s) \simeq A_M \left(\frac{s}{s+\omega_{L1}}\right) \left(\frac{s}{s+\omega_{L2}}\right) \left(\frac{s}{s+\omega_{LE}}\right)$$

其中三個低頻角頻率分別如下。

1. 輸入耦合電容 $C_{C1}$

$C_{C1}$ 所看到的等效電阻近似為

$$R_{C1} = R_{sig} + \left[ R_B\parallel \left(r_{\pi}+(\beta+1)R_E\right) \right]$$

因此

$$\omega_{L1} = \frac{1}{C_{C1}R_{C1}}$$

或以頻率表示：

$$f_{L1}=\frac{1}{2\pi C_{C1}R_{C1}}$$

低頻時，$C_{C1}$ 的阻抗

$$|Z_{C_{C1}}|=\frac{1}{\omega C_{C1}}$$

很大，輸入訊號大部分落在電容上，因此增益降低。

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2. 輸出耦合電容 $C_{C2}$

$C_{C2}$ 所看到的等效電阻近似為

$$R_{C2}=R_C\parallel r_o+R_L$$

因此

$$\omega_{L2} = \frac{1}{C_{C2}R_{C2}}$$

或

$$f_{L2} = \frac{1}{2\pi C_{C2}R_{C2}}$$

當頻率很低時，$C_{C2}$ 阻抗很大，集極訊號無法有效傳送至負載 $R_L$。

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3. 射極旁路電容 $C_E$

$C_E$ 與 $R_E$ 並聯。當頻率升高時，$C_E$ 將射極交流接地，使 $R_E$ 不參與中頻增益；當頻率降低時，$C_E$ 的旁路作用變弱，射極負回授增強，增益下降。

令射極端所見等效電阻近似為

$$R_{CE} = R_E\parallel \left[ r_e+ \frac{R_{sig}\parallel R_B}{\beta+1} \right]$$

其中

$$r_e\simeq \frac{1}{g_m}$$

因此

$$\omega_{LE} = \frac{1}{C_ER_{CE}}$$

或

$$f_{LE} = \frac{1}{2\pi C_ER_{CE}}$$

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4. 低頻總轉移函數

因此，低頻近似轉移函數為

$$\boxed{ A_L(s) \simeq A_M \frac{s}{s+\omega_{L1}} \frac{s}{s+\omega_{L2}} \frac{s}{s+\omega_{LE}} }$$

低頻截止角頻率通常取三者中最大者：

$$\omega_L\simeq \max\{\omega_{L1},\omega_{L2},\omega_{LE}\}$$ $$f_L\simeq \max\{f_{L1},f_{L2},f_{LE}\}$$

在主導極點近似下，低頻增益可寫為

$$A_L(s)\simeq A_M\frac{s}{s+\omega_L}$$

當 $\omega\ll\omega_L$ 時，增益隨頻率上升，每增加一個主要低頻極點，漸近斜率增加 $20\ \mathrm{dB/dec}$。

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三、高頻帶轉移函數

高頻時，電晶體內部的寄生電容不可忽略，主要包括：

• 基極—射極電容：$C_{\pi}$
• 基極—集極電容：$C_{\mu}$

由於共射極放大器的電壓增益為負，$C_{\mu}$ 會產生米勒效應，使輸入端等效電容大幅增加。

1. 輸入端米勒等效電容

令基極至集極的電壓增益為

$$A_v\simeq -g_mR_O$$

則輸入端等效電容為

$$C_{Mi}=C_{\mu}(1-A_v)$$

因此

$$C_{in,H} = C_{\pi}+C_{\mu}(1-A_v)$$

由於 $A_v<0$，可近似為

$$C_{in,H} \simeq C_{\pi}+C_{\mu}(1+g_mR_O)$$

核心觀念

本題考查二階低通濾波器的頻率響應與共振峰值位置。給定

$$T(s)=\frac{a_0}{s^2+s\frac{\omega_0}{Q}+\omega_0^2}$$

其中：

• $\omega_0$：自然角頻率
• $Q$：品質因數
• $a_0$：低頻增益常數

令 $s=j\omega$，即可得到頻率響應 $T(j\omega)$。

解題方法與推導

代入 $s=j\omega$：

$$T(j\omega) = \frac{a_0}{(j\omega)^2+j\omega\frac{\omega_0}{Q}+\omega_0^2}$$

因為 $(j\omega)^2=-\omega^2$，所以

$$T(j\omega) = \frac{a_0}{\omega_0^2-\omega^2+j\omega\frac{\omega_0}{Q}}$$

其幅值平方為

$$|T(j\omega)|^2 = \frac{|a_0|^2} {(\omega_0^2-\omega^2)^2+ \left(\frac{\omega\omega_0}{Q}\right)^2}$$

要使 $|T(j\omega)|$ 最大，等價於使分母最小。令

$$x=\omega^2$$

則分母可寫成

$$D(x) = (\omega_0^2-x)^2+\frac{x\omega_0^2}{Q^2}$$

展開：

$$D(x) = x^2-2\omega_0^2x+\omega_0^4 +\frac{x\omega_0^2}{Q^2}$$

對 $x$ 微分並令其為零：