113 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班甲組《流體力學》

這題主要在考驗考生對流體力學基本概念的理解與定義。掌握這些基礎名詞的意義，是後續學習和解題的基石。

(a) Laminar flow and turbulent flow

解題思路：
這兩者是描述流體運動狀態的兩種基本模式，主要區別在於流體質點的運動軌跡和能量耗散方式。我們需要從流體質點的運動特性、流場的穩定性以及能量耗散的角度來定義它們。

詳解：

• 層流 (Laminar flow)：在層流中，流體質點沿著平滑、連續的軌跡運動，這些軌跡通常是平行的，且流體質點之間沒有顯著的混合。流體以薄層（或稱「層」）的形式滑動，每一層的速度都不同，但層與層之間的剪切應力是主要的能量耗散機制。層流通常發生在低流速、高黏度或小尺度通道中，其流動是穩定且可預測的。

• 紊流 (Turbulent flow)：在紊流中，流體質點的運動軌跡是混亂、隨機且不規則的。流體內部存在著大量的渦旋和脈動，導致流體質點之間發生劇烈的混合。這種混合大大增加了動量和能量的傳遞，使得紊流比層流具有更高的能量耗散。紊流通常發生在高流速、低黏度或大尺度通道中，其流動是複雜且難以精確預測的。

判斷依據：
區分層流與紊流最常用的無因次參數是雷諾數 (Reynolds number, Re)。

• 對於管內流動，一般認為當 $Re < 2300$ 時為層流，當 $Re > 4000$ 時為紊流，介於兩者之間為過渡區。
• 雷諾數的定義為：
  $Re = \frac{\rho V D}{\mu}$
  其中 $\rho$ 為流體密度， $V$ 為平均流速， $D$ 為特徵長度（例如管徑）， $\mu$ 為動力黏度。

【答案】

(b) Surface tension

解題思路：
表面張力是流體表面的一種特性，源於分子間的作用力。我們需要從分子層面解釋這種現象，並說明其對流體行為的影響。

詳解：
表面張力 (Surface tension) 是液體表面的一種物理現象，它是由於液體內部分子之間存在吸引力，而液體表面上的分子所受到的吸引力是不均勻的。處於液體內部的分子受到來自各個方向的吸引力，這些吸引力大致相互抵消。然而，處於液體表面的分子，其上方是氣體或真空，受到的吸引力主要來自液體內部，因此它們會受到一個指向液體內部的淨吸引力。這種不平衡的吸引力使得液體表面趨於收縮，表現為表面具有彈性薄膜的性質，好像有一層張力作用在表面上。

表面張力的大小通常用單位長度上的力（單位：N/m）或單位面積上的能量（單位：J/m²）來表示。它會影響液滴的形狀、毛細現象的發生以及氣泡的形成。

【答案】

(c) Dynamic viscosity and kinematic viscosity

解題思路：
這兩個是描述流體黏滯性的重要參數，但它們的物理意義和單位不同。需要分別定義它們，並說明它們之間的關係。

詳解：

• 動力黏度 (Dynamic viscosity)，也稱為絕對黏度，符號為 $\mu$。它表示流體抵抗剪切應力的能力，即流體內部的摩擦力。動力黏度越大，流體抵抗變形的能力越強，流動時的內摩擦力也越大。

核心觀念

流體加速度可分解為沿流線的切向加速度 $a_s$ 與指向曲率中心的法向加速度 $a_n$：

$$a_s=V\frac{\partial V}{\partial s}, \qquad a_n=\frac{V^2}{R}$$

其中 $s$ 沿流向增加。$a_s$ 的正負取決於流速沿流向增加或減少；直線流線的曲率半徑 $R\to\infty$，所以 $a_n=0$。有曲率且流速不為零時，$a_n>0$，方向指向曲率中心。

解題方法

圖中流向皆由箭頭由左向右；(a) 是平行、等距的直線流線，(b) 是沿流向收斂的直線流線，(c) 是沿流向分散且彎曲的流線。圖(a)標出的 $n$ 向上只用來示意該圖的座標；判斷 (c) 的 $a_n$ 時，依題目定義取指向曲率中心的方向。

先看流線間距判斷流速變化：流線收斂代表流管變窄，依連續性流速增加；流線分散代表流速減少。再看流線是否彎曲，判斷 $a_n$ 是否為零。

各流況判斷

核心觀念

本題使用定常流控制體的線性動量方程式：

$$\sum \vec F=\dot m(\vec V_{\text{out}}-\vec V_{\text{in}})$$

其中外力包括：

• A、B 截面的壓力作用力；
• 彎管壁對流體的作用力；
• 重力與支承力。

由於流動發生在水平面，重力不影響 $x$、$y$ 方向計算。題目未附上 Fig. 1 的彎管方向，以下採用標準 $90^\circ$ 彎管假設：流體由 A 沿 $+x$ 方向流入，經彎管後由 B 沿 $+y$ 方向流出。

控制體與已知量

控制體取包住彎管內部流體的區域，邊界通過 A、B 兩截面及彎管壁。

管徑：

$$D=0.100\ \text{m}$$

截面積：

$$A_c=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(0.100)^2}{4} =7.854\times10^{-3}\ \text{m}^2$$

質量流率：

$$\dot m=\rho_o A_c V =(900)(7.854\times10^{-3})(5) =35.34\ \text{kg/s}$$

故動量流率大小為：

$$\dot m V=(35.34)(5)=176.72\ \text{N}$$

壓力作用力大小：

$$pA_c=(80\,000)(7.854\times10^{-3}) =628.32\ \text{N}$$

以下將 $80\ \text{kPa}$ 視為表壓；若為絕對壓力，還需知道外界壓力才能扣除環境壓力。

動量方程式

速度向量為：

$$\vec V_A=5\mathbf i,\qquad \vec V_B=5\mathbf j$$

因此：

核心觀念

本題考查二維不可壓、無旋勢流的疊加：均勻流與點源的速度及流函數可以直接相加。圖中均勻流沿 $+x$ 方向，速度 $U=8\ \mathrm{m/s}$；點源位於原點，強度 $m=3\ \mathrm{m^2/s}$。

以極座標表示，均勻流與點源的流函數分別為

$$\psi_U=Ur\sin\theta,\qquad \psi_s=\frac{m}{2\pi}\theta.$$

點源的徑向速度為 $m/(2\pi r)$，方向沿徑向向外。

解題方法與推導

(a) 流函數

將兩種流動的流函數相加：

$$\psi=Ur\sin\theta+\frac{m}{2\pi}\theta =8r\sin\theta+\frac{3}{2\pi}\theta.$$

(b) 速度分量

先由流函數求極座標速度：

$$V_r=\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta} =U\cos\theta+\frac{m}{2\pi r}, \qquad V_\theta=-\frac{\partial\psi}{\partial r} =-U\sin\theta.$$

再用 $u=V_r\cos\theta-V_\theta\sin\theta$、$v=V_r\sin\theta+V_\theta\cos\theta$，得到直角座標速度分量：

$$u=U+\frac{m}{2\pi r}\cos\theta =8+\frac{3}{2\pi r}\cos\theta,$$ $$v=\frac{m}{2\pi r}\sin\theta =\frac{3}{2\pi r}\sin\theta.$$

其中 $r$ 以公尺計。

(c) 停滯點

停滯點須同時滿足 $u=0$、$v=0$。由 $v=0$ 得 $\sin\theta=0$，故 $\theta=0$ 或 $\pi$。代入 $u=0$：

• $\theta=0$ 時，$u=U+m/(2\pi r)>0$，不可能為零。
• $\theta=\pi$ 時，$u=U-m/(2\pi r)=0$，因此

好的，這是一題關於二維層流的流體力學問題，主要考驗學生對流場特性的分析能力，包含流線繪製、旋渦度判斷以及壓力分佈求解。我們將利用給定的速度分量和 Navier-Stokes 方程式來逐步解答。

(a) 繪製流線 (Streamlines)

流線是瞬間流場中，與速度向量平行的曲線。對於穩態流而言，流線與跡線 (pathlines) 和渦旋線 (streaklines) 是相同的。流線的定義是通過流場中某一點的所有速度向量都與該曲線相切。在二維情況下，流線的微分方程可以表示為：

$\frac{dx}{u} = \frac{dy}{v}$

其中 $u$ 和 $v$ 分別是 $x$ 和 $y$ 方向的速度分量。

給定的速度分量為：
$u = 6x$
$v = -6y$

將速度分量代入流線方程：
$\frac{dx}{6x} = \frac{dy}{-6y}$

為了求解這個微分方程，我們可以將其整理為：
$\frac{dx}{x} = -\frac{dy}{y}$

對兩邊積分：
$\int \frac{dx}{x} = -\int \frac{dy}{y}$
$\ln|x| = -\ln|y| + C_1$
$\ln|x| + \ln|y| = C_1$
$\ln|xy| = C_1$
$|xy| = e^{C_1}$
令 $C = \pm e^{C_1}$，則流線方程為：
$xy = C$

現在我們來分析不同 $C$ 值所對應的流線：

• 當 $C = 0$ 時：

  • $x = 0$ (y 軸)
  • $y = 0$ (x 軸)
    這兩條直線是流線。

• 當 $C > 0$ 時：

  • $y = C/x$
  • 這表示在第一象限 ($x>0, y>0$) 和第三象限 ($x<0, y<0$) 的雙曲線。

• 當 $C < 0$ 時：

  • 令 $C' = -C > 0$，則 $xy = -C'$，即 $y = -C'/x$。
  • 這表示在第二象限 ($x<0, y>0$) 和第四象限 ($x>0, y<0$) 的雙曲線。

流場的特性分析：

• 在第一象限 ($x>0, y>0$)：$u = 6x > 0$ (向右)，$v = -6y < 0$ (向下)。流體向右下方流動。
• 在第二象限 ($x<0, y>0$)：$u = 6x < 0$ (向左)，$v = -6y < 0$ (向下)。流體向左下方流動。
• 在第三象限 ($x<0, y<0$)：$u = 6x < 0$ (向左)，$v = -6y > 0$ (向上)。流體向左上方流動。
• 在第四象限 ($x>0, y<0$)：$u = 6x > 0$ (向右)，$v = -6y > 0$ (向上)。流體向右上方流動。

這種流動模式在原點 $(0,0)$ 匯聚，並從原點發散，類似於一個「匯點」(sink) 或「源點」(source) 的組合，但由於速度分量是 $6x$ 和 $-6y$，它實際上是一個「壓縮流」(stagnation point) 的情況，在原點速度為零。

繪製流線：
流線是雙曲線 $xy=C$。

• 在第一象限，流線從右上方向左下方彎曲。
• 在第二象限，流線從左上方向右下方彎曲。
• 在第三象限，流線從左下方向右上方彎曲。
• 在第四象限，流線從右下方向左上方彎曲。
• x 軸和 y 軸是流線。

這個流場的特徵是，在原點 $(0,0)$ 速度為零，流體從 x 軸正向和 y 軸負向匯聚到原點，然後從原點向 x 軸負向和 y 軸正向發散。或者反過來，在原點速度為零，流體從 x 軸負向和 y 軸正向匯聚到原點，然後從原點向 x 軸正向和 y 軸負向發散。由於 $u=6x$ 和 $v=-6y$，當 $x$ 增大時 $u$ 增大，當 $y$ 增大時 $v$ 減小（即負值增大）。這意味著在第一象限，流體向右下方流動；在第二象限，流體向左下方流動；在第三象限，流體向左上方流動；在第四象限，流體向右上方流動。

綜合以上分析，流線是通過原點的雙曲線族 $xy=C$。

【答案】流線為雙曲線族 $xy=C$，其中 $C$ 為常數。在第一、三象限為 $xy=C>0$，在第二、四象限為 $xy=C<0$。x 軸和 y 軸也是流線。

(b) 判斷流動是否為旋轉或無旋轉 (Rotational or Irrotational)

判斷流動是否為旋轉的標準是計算流體的渦旋度 (vorticity)。對於二維流動，渦旋度向量 $\vec{\omega}$ 的 $z$ 分量為：

$\omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}$

如果 $\omega_z = 0$，則流動是無旋轉的 (irrotational)；如果 $\omega_z \neq 0$，則流動是旋轉的 (rotational)。

給定的速度分量為：
$u = 6x$
$v = -6y$

計算偏導數：
$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial (-6y)}{\partial x} = 0$
$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial (6x)}{\partial y} = 0$

將偏導數代入渦旋度公式：
$\omega_z = 0 - 0 = 0$

由於渦旋度的 $z$ 分量為零，因此該流動是無旋轉的。

【答案】該流動是無旋轉的。

(c) 確定流體中的壓力分佈 $p = p(x, y)$，已知在點 $(0, 0)$ 時 $p = 0$

我們需要使用 Navier-Stokes 方程式來求解壓力分佈。題目給定了 Navier-Stokes 方程式，並且說明了流動是穩態 (steady)、不可壓縮 (incompressible)，密度 $\rho = 1$，重力可忽略 ($g_x = 0, g_y = 0$)。

Navier-Stokes 方程式（簡化形式）：
$\rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x} + \mu \left[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right]$