112 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班甲組《流體力學》

此題考查流動可視化方法的定義及其時間依賴性。

• Streamlines (流線)：在某一瞬間，與流體速度向量垂直的曲線。流線是瞬時的，因此是時間依賴的。
• Streaklines (跡線)：在某一固定點，所有在不同時間通過該點的流體質點所留下的軌跡。跡線是時間依賴的，因為它描繪了隨時間變化的流體質點運動。

核心觀念

Stokes number 定義為粒子反應時間與流體特徵反應時間之比：

$$S_t=\frac{\tau_p}{\tau_f}$$

其中：

• $\tau_p$：粒子速度受到流體作用後，調整至接近流體速度所需的時間。
• $\tau_f$：流體速度場變化的特徵時間。

對於小型、低雷諾數粒子，粒子反應時間常表示為：

$$\tau_p=\frac{\rho_p d_p^2}{18\mu}$$

其中 $\rho_p$ 為粒子密度、$d_p$ 為粒徑、$\mu$ 為流體動力黏度。

$S_t$ 代表粒子慣性相對於流體流動變化速度的重要程度：

• $S_t\ll 1$：粒子反應快，能迅速追隨流體。
• $S_t\approx 1$：粒子與流體之間可能有明顯相對運動。
• $S_t\gg 1$：粒子反應慢，粒子慣性主導，無法迅速改變運動狀態。

解題方法

題目給定：

$$S_t\gg 1$$

由定義可知：

$$\tau_p\gg \tau_f$$

表示流體的速度與流線已經發生顯著變化，但粒子仍因慣性維持原本的運動方向與速度。當流體繞過障礙物時，流體會沿著彎曲流線改變方向；高 Stokes number 的粒子則不易跟隨這種急遽轉向。

因此，粒子會偏離流線，並可能直接撞擊原本位於其運動路徑上的障礙物。

故正確選項為：

$$\boxed{\text{A}}$$

選項分析

A) particles will hit an obstacle in their paths

正確。

當 $S_t\gg1$ 時，粒子慣性很大，流體即使繞過障礙物，粒子仍傾向維持原本的直線運動。粒子不易隨流體轉向，因此可能撞上障礙物。

核心觀念

本題考查黏性流體繞過圓柱時的雷諾數、邊界層、尾流與流動分離。以圓柱直徑 $D$、來流速度 $U$ 為特徵尺度，雷諾數為

$$\mathrm{Re}=\frac{\rho U D}{\mu}$$

其中 $\rho$ 是流體密度，$\mu$ 是動力黏度。雷諾數衡量慣性力相對於黏滯力的大小。

在高雷諾數的邊界層近似下，黏滯影響主要集中在物體表面附近；圓柱表面滿足無滑移條件，速度由壁面上的零值迅速增加至邊界層外緣的主流速度。圓柱後方若發生分離，會形成尾流。圓柱流場隨雷諾數改變，低雷諾數時可沒有分離；雷諾數增加後，尾流與渦旋逐漸形成。citeturn2view0turn2view1

解題方法

逐項檢查各敘述是否符合圓柱外流的基本特性，特別留意把「低雷諾數」與「高雷諾數」作絕對比較的敘述。分離發生時，邊界層內靠近壁面的流體因不利壓力梯度而減速；壁面剪應力降為零時達到分離點：

$$\tau_w=\mu\left(\frac{\partial u}{\partial n}\right)_w=0$$

分離後若壁面附近出現逆向流動，便形成回流區與尾流。對圓柱而言，極低雷諾數流動可平順地繞過圓柱；雷諾數增加至約 $4$ 時，才開始在下游分離並出現尾流渦旋。citeturn2view0

選項分析

A）A wake region is formed behind the object.

正確。圓柱表面發生分離後，下游會形成速度分布與外部主流不同的尾流區；尾流也可能進一步產生渦旋。此敘述符合一般有分離的圓柱外流情形。citeturn2view1

B）Viscous effects are negligible outside the boundary layer.

正確，這是高雷諾數邊界層近似的基本假設：黏滯效應集中在靠近物面的薄邊界層內，邊界層外的直接黏滯影響相對小。這項敘述應放在邊界層理論的適用情境下理解；極低雷諾數時，黏滯效應會遍及較大範圍，不能套用薄邊界層近似。

此題考查 Buckingham Pi 定理的應用，以確定無因次群的數量。

Buckingham Pi 定理指出，如果一個物理現象由 $n$ 個變量描述，其中包含 $k$ 個基本因次（例如長度 L, 質量 M, 時間 T），則該現象可以用 $m = n - k$ 個獨立的無因次群（Pi terms）來表達。

題目中給定的變量有：

1. Differential pressure ($\Delta p$)：壓力差。因次為 $[M L^{-1} T^{-2}]$。
2. Diameter ($D$)：直徑。因次為 $[L]$。
3. Density ($\rho$)：密度。因次為 $[M L^{-3}]$。
4. Viscosity ($\mu$)：黏度。因次為 $[M L^{-1} T^{-1}]$。
5. Velocity ($v$)：速度。因次為 $[L T^{-1}]$。

總共有 $n = 5$ 個變量。
基本因次有：質量 (M)，長度 (L)，時間 (T)。所以 $k = 3$。

根據 Buckingham Pi 定理，獨立的無因次群的數量為 $m = n - k = 5 - 3 = 2$。

因此，該問題可以用 2 個 Pi terms 來表達。

例如，我們可以選擇 $D, \rho, v$ 作為重複變量（Repeating Variables），它們包含了 M, L, T 三個基本因次。
然後，我們將 $\Delta p$ 和 $\mu$ 與這三個重複變量組合，形成兩個 Pi terms。

$\Pi_1 = \Delta p \cdot D^a \rho^b v^c$
$\Pi_2 = \mu \cdot D^d \rho^e v^f$

我們需要確保 $\Pi_1$ 和 $\Pi_2$ 是無因次的。
因次分析：
$\Delta p: [M L^{-1} T^{-2}]$
$D: [L]$

核心觀念

本題考查速度分量的物質導數（Material Derivative），也就是隨著流體微粒移動時，速度的時間變化率。

$x$ 方向速度分量 $u$ 的物質導數為

$$\frac{Du}{Dt} = \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z}.$$

其中：

• $\frac{\partial u}{\partial t}$：局部加速度
• $u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}$：對流加速度

解題方法

由圖可知流場為穩態流，且

$$u=U(y,z), \qquad v=0, \qquad u\neq 0,\quad w\neq 0.$$

因為 $u$ 只與 $y,z$ 有關，與 $x$ 無關，因此

$$\frac{\partial u}{\partial t}=0, \qquad \frac{\partial u}{\partial x}=0.$$

又因為 $v=0$，所以

$$v\frac{\partial u}{\partial y}=0.$$

代入物質導數公式：

$$\frac{Du}{Dt} = 0 + u(0) + 0\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right) + w\frac{\partial u}{\partial z}.$$

因此

$$\boxed{\frac{Du}{Dt}=w\frac{\partial u}{\partial z}}.$$

雖然流場是穩態的，$\frac{\partial u}{\partial t}=0$，但流體微粒沿著 $w$ 方向移動時，若 $u$ 隨 $z$ 改變，仍會產生對流加速度。

選項分析

• A)
  $\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}$
  這是一般形式的物質導數公式，但尚未依題目條件化簡；

此題要求定義五個流體力學相關的術語。

a) Fluid (流體)
流體是物質的一種狀態，能夠流動並適應其容器的形狀。它與固體不同，固體具有固定的形狀。流體包括液體和氣體。其主要特徵是它們對剪應力（shear stress）的抵抗能力很弱，即使是很小的持續剪應力也會使其產生形變（流動）。

b) Ideal fluid (理想流體)
理想流體是一種理論上的模型，它具有以下兩個特性：

1. 不可壓縮性 (Incompressibility)：流體的密度是恆定的，不隨壓力的變化而改變。
2. 無黏性 (Inviscid)：流體內部沒有摩擦力，即黏度為零。這意味著在流動過程中沒有能量損失，也沒有剪應力。

雖然現實中不存在完全的理想流體，但對於某些流動情況（例如，在邊界層外的高雷諾數流動），可以將流體近似為理想流體來簡化分析。

c) Vena Contracta (收縮管效應 / 實際收縮段)
當流體通過一個孔口或噴嘴流出時，其流束會在孔口下游的某一點處達到最小截面積，然後再逐漸擴展。這個流束達到最小截面積的點及其周圍的區域稱為 Vena Contracta。
在 Vena Contracta 處，流速達到最大，壓力達到最小。這個效應是由於流體在流經孔口時，由於邊界效應和流線的彎曲，導致流束發生收縮。
實際計算孔口或噴嘴的流量時，需要考慮 Vena Contracta 效應，引入收縮係數 (coefficient of contraction) 來修正理論流量。

d) Assumptions of Bernoulli Equation (白努利方程式的假設)
白努利方程式（Bernoulli's Equation）描述了理想流體在穩定流動中的能量守恆關係。其標準形式為：
$P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{constant}$
該方程式成立需要以下主要假設：

此題要求在給定的平面、二維、不可壓縮流場中，沿著與 x 軸重合的水平流線上，求解速度分量 $v$ 對 $y$ 的變化率、質點的加速度以及壓力梯度。

已知條件：

• 流動類型：平面、二維、不可壓縮流。
• 流線：水平，沿著 x 軸。這意味著在該流線上，質點的運動主要沿 x 方向，且 $v=0$ (因為是水平流線，且是二維平面流)。
• 速度分量 $u = x^2$。
• 流體：牛頓流體。

基本概念：

• 不可壓縮流連續方程式 (Continuity Equation for incompressible flow)：
  $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0$
  對於平面、二維流動，且 $w=0$，則為：
  $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$
• 物質導數 (Material Derivative)：描述一個跟隨流體質點運動的觀察者所看到的物理量隨時間的變化率。對於速度向量 $\vec{V} = (u, v, w)$，加速度 $\vec{a}$ 為：
  $\vec{a} = \frac{D\vec{V}}{Dt} = \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + (\vec{V} \cdot \nabla) \vec{V}$
  在三維情況下：
  $a_x = \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z}$
  $a_y = \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} + w \frac{\partial v}{\partial z}$
  $a_z = \frac{\partial w}{\partial t} + u \frac{\partial w}{\partial x} + v \frac{\partial w}{\partial y} + w \frac{\partial w}{\partial z}$
  對於平面、二維流動，且 $w=0$，則：
  $a_x = \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y}$
  $a_y = \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y}$
• 牛頓流體 Navier-Stokes 方程式 (Navier-Stokes Equations for Newtonian fluid)：
  $\rho \left( \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + (\vec{V} \cdot \nabla) \vec{V} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{V} + \rho \vec{g}$
  在 x 方向的動量方程式為：
  $\rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z} \right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right) + \rho g_x$
  對於平面、二維、不可壓縮流，且 $w=0$，$g_x$ 是重力在 x 方向的分量。

解題步驟：

(a) Determine an expression for the rate of change of the v component of velocity with respect to y (Hint: Continuity Equation).
根據題目描述，流動是平面、二維、不可壓縮流，且流線沿著 x 軸。
「流線沿著 x 軸」意味著在該流線上，質點的運動方向是 x 方向。
在二維平面流中，如果流線沿著 x 軸，則 $v=0$。
如果 $v=0$ 恆成立，那麼 $v$ 對 $y$ 的偏導數 $\frac{\partial v}{\partial y}$ 應該是 0。
但是，題目要求使用連續方程式。
對於不可壓縮流：$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$。
我們已知 $u = x^2$。
計算 $u$ 對 $x$ 的偏導數：
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2) = 2x$
將此結果代入連續方程式：
$2x + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$
所以，
$\frac{\partial v}{\partial y} = -2x$

注意： 這裡的「流線沿著 x 軸」可能指的是在某個特定的 x 值處，或者在整個流動中，速度向量 $\vec{V}$ 總是平行於 x 軸。如果後者成立，則 $v=0$ 恆成立，那麼 $\frac{\partial v}{\partial y} = 0$。
但如果 $u=x^2$ 且 $v$ 根據連續方程式決定，那麼 $v$ 就不一定是 0。
例如，如果 $\frac{\partial v}{\partial y} = -2x$，則 $v = -2xy + f(x)$，其中 $f(x)$ 是 $x$ 的任意函數。
如果我們進一步假設 $v$ 只依賴於 $y$（這與「流線沿著 x 軸」的直觀理解相悖，但我們需要滿足連續方程式），那麼 $f(x)$ 必須為常數，且 $v$ 必須為 0 才能滿足 $v=0$。
如果 $v=0$ 恆成立，那麼 $\frac{\partial v}{\partial y}=0$。
但題目要求用連續方程式求解，這暗示了 $\frac{\partial v}{\partial y}$ 可能不為零。

最合理的解釋是：
題目說「流動場」是平面、二維、不可壓縮的，並且「流線」恰好與 x 軸重合。
這意味著在我們考慮的這條特定的流線上，速度向量 $\vec{V}$ 始終沿著 x 方向，即 $v=0$。
但是，這並不意味著在整個流場中，$v$ 始終為 0。
連續方程式 $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$ 適用於整個流場。
我們已知 $u=x^2$ 並且 $\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$。
所以，$\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{\partial u}{\partial x} = -2x$。
這說明在其他地方，或者在 y 方向上，v 的變化率是 $-2x$。
然而，題目要求的是「Along this streamline」。
如果沿著這條流線 $v=0$ 恆成立，那麼 $\frac{\partial v}{\partial y}$ 應該是 0。

這裡存在一個潛在的矛盾。
如果 $v=0$ 恆成立，那麼 $\frac{\partial v}{\partial y}=0$。
但連續方程式給出 $\frac{\partial v}{\partial y} = -2x$。
這意味著 $v=0$ 這個條件可能只適用於「流線」本身，而不適用於整個流場。
或者，題目可能希望我們只考慮 $u=x^2$ 這個條件，並利用連續方程式來推導 $\frac{\partial v}{\partial y}$。

讓我們假設題目要求我們應用連續方程式，並且 $u=x^2$ 是流場中某處的速度分量。
那麼 $\frac{\partial v}{\partial y} = -2x$。
這是一個關於 $v$ 在 $y$ 方向變化率的表達式。

如果題目強烈暗示 $v=0$ 恆成立，那麼 $\frac{\partial v}{\partial y}$ 必須是 0。
但是，這就無法應用連續方程式來求解。

最可能的解釋是：
題目說「流線恰好與 x 軸重合」，這是指我們觀察的這條特定的流線上，$v=0$。
但連續方程式適用於整個流場，所以我們可以用 $u=x^2$ 來計算 $\frac{\partial u}{\partial x}$，然後根據連續方程式求 $\frac{\partial v}{\partial y}$。
這個 $\frac{\partial v}{\partial y} = -2x$ 是在整個流場中成立的。
即使在我們觀察的流線上 $v=0$，但這並不意味著 $\frac{\partial v}{\partial y}$ 在該流線上必須為 0。
例如，如果 $v = -2xy + C(x)$，那麼 $\frac{\partial v}{\partial y} = -2x$。
在這個流場中，如果我們考慮 $y=0$ 這條流線（即 $y=0$ 的水平線），那麼 $v(x, 0) = C(x)$。
如果我們要求沿著這條流線 $v=0$，那麼 $C(x)=0$。
此時，$v = -2xy$。
那麼 $\frac{\partial v}{\partial y} = -2x$。
所以，即使沿著 $y=0$ 這條流線 $v=0$，但 $\frac{\partial v}{\partial y}$ 卻是 $-2x$。
這似乎是合理的。

結論 (a)：
$\frac{\partial v}{\partial y} = -2x$

(b) Determine an expression for the acceleration of the particle (Hint: Material Derivative).
我們需要計算質點的加速度向量 $\vec{a} = (a_x, a_y)$。
流動是平面、二維、不可壓縮的。
已知 $u = x^2$。
從 (a) 部分，我們推導出 $\frac{\partial v}{\partial y} = -2x$。
由於流線沿著 x 軸，我們假設 $v=0$ 恆成立（至少在這條流線上）。
如果 $v=0$ 恆成立，那麼 $\frac{\partial v}{\partial t} = 0$, $\frac{\partial v}{\partial x} = 0$, $\frac{\partial v}{\partial y} = 0$。
但是，我們剛剛推導出 $\frac{\partial v}{\partial y} = -2x$，這與 $\frac{\partial v}{\partial y}=0$ 相矛盾，除非 $x=0$。

重新思考 $v=0$ 的含義。
「Horizontal streamline that coincides with the x axis」可能意味著我們只考慮 $y=0$ 這一條特定的流線。
在 $y=0$ 這條流線上，$v=0$。
連續方程式 $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$ 仍然適用於整個流場。
我們計算 $u$ 對 $x$ 的偏導數：$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$。
所以 $\frac{\partial v}{\partial y} = -2x$。
這意味著 $v$ 在 $y$ 方向上的變化率是 $-2x$。
然而，在 $y=0$ 這條流線上，$v=0$。

如果 $v=0$ 恆成立，則 $a_y = 0$。
那麼我們只需計算 $a_x$。
$a_x = \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y}$

核心觀念

速度勢函數 $\phi$ 的梯度就是速度場：

$$u=\frac{\partial \phi}{\partial x}, \qquad v=\frac{\partial \phi}{\partial y}.$$

垂直壁面位於 $x=0$，其法線方向為 $x$ 方向。因此，壁面無流體穿透的條件是法向速度 $u(0,y)=0$。題目給定的速度勢可視為實際源與壁面另一側等強鏡像源的疊加，兩源在壁面造成的法向速度互相抵消。

解題方法

將速度勢對 $x$、$y$ 分別微分，得到速度分量：

$$u=\frac{m}{2\pi} \left[ \frac{x-l}{(x-l)^2+y^2} + \frac{x+l}{(x+l)^2+y^2} \right],$$ $$v=\frac{m}{2\pi} \left[ \frac{y}{(x-l)^2+y^2} + \frac{y}{(x+l)^2+y^2} \right].$$

(a) 證明壁面無流

在壁面 $x=0$：

$$u(0,y)=\frac{m}{2\pi} \left[ \frac{-l}{l^2+y^2} + \frac{l}{l^2+y^2} \right]=0.$$

因為 $u$ 是垂直壁面的法向速度，$u(0,y)=0$ 表示沒有流體穿過壁面。

(b) 壁面上的速度分布

將 $x=0$ 代入 $v$：

$$v(0,y)=\frac{m}{2\pi} \left[ \frac{y}{l^2+y^2} + \frac{y}{l^2+y^2} \right] =\frac{m}{\pi}\frac{y}{l^2+y^2}.$$

因此壁面上的速度為