112 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班甲組《工程力學》

本題為基本觀念題，主要測試考生對工程力學中幾個重要名詞的理解程度。

(a) 虛功原理 (Principle of virtual work)：
虛功原理是分析靜力平衡系統的一種方法。其核心概念是：若一虛擬的、微小的虛位移（此位移不實際發生，僅為一數學上的假設）施加於一處於靜力平衡的系統，則系統上所有作用力（包括外力與約束力）所做的虛功總和必為零。此原理可應用於分析複雜結構的力，而無需直接求解所有未知反力。

(b) 迴轉半徑 (Radius of gyration)：
迴轉半徑是一個描述物體質量分佈的幾何量，常用於結構穩定性分析，特別是柱的挫屈（buckling）問題。對於一個繞著某軸線的物體，其迴轉半徑 $k$ 定義為：假設將物體的總質量集中於距離該軸線為 $k$ 的一個點上，則此集中質量所產生的慣量矩（moment of inertia）與原物體的慣量矩相等。數學上，對於一個面積 $A$ 的平面區域，其迴轉半徑 $k_x$ 和 $k_y$ 分別為 $k_x = \sqrt{I_x/A}$ 和 $k_y = \sqrt{I_y/A}$，其中 $I_x$ 和 $I_y$ 分別為繞 $x$ 軸和 $y$ 軸的面積慣量矩。對於一個質量為 $m$ 的物體，繞某軸線的迴轉半徑 $k$ 定義為 $k = \sqrt{I/m}$，其中 $I$ 為繞該軸線的質量慣量矩。

(c) 彈性與非彈性碰撞 (Elastic and plastic impact)：
碰撞是兩個物體在短時間內相互作用的過程。

• 彈性碰撞 (Elastic impact)：在彈性碰撞中，動量守恆，同時系統的總動能也守恆。這意味著碰撞前後物體的總動能沒有損失。在理想情況下，這是最常見的定義，但實際上完全彈性的碰撞非常罕見。
• 非彈性碰撞 (Plastic impact)：在非彈性碰撞中，動量守恆，但系統的總動能不守恆，部分動能會轉化為熱能、聲能或形變能。

核心觀念

本題考查：

1. 落下物體的能量轉換，求碰撞前鎚子的速度。
2. 完全塑性碰撞的動量守恆。
3. 碰撞後以功－能定理分析樁的貫入運動。

鎚子與樁完全黏在一起運動，因此碰撞後的總質量為

$$m_H+m_p=\frac{W_H+W_p}{g}.$$

解題方法

鎚子由高度 $h=6\ \text{m}$ 自由落下，碰撞前速度為

$$v_H=\sqrt{2gh} =\sqrt{2(10)(6)} =\sqrt{120} =10.954\ \text{m/s}.$$

碰撞前樁靜止。由完全塑性碰撞的動量守恆：

$$\frac{W_H}{g}v_H = \frac{W_H+W_p}{g}v,$$

因此碰撞後共同速度

$$v=\frac{W_H}{W_H+W_p}v_H =\frac{600}{600+2800}(10.954) =1.933\ \text{m/s}.$$

碰撞後鎚子與樁的動能，以 $\text{kg-force}\cdot\text{m}$ 表示為

$$T_0 = \frac{1}{2}\frac{W_H+W_p}{g}v^2 = \frac{1}{2}\frac{3400}{10}(1.933)^2 \approx 635.3\ \text{kgf}\cdot\text{m}.$$

若依題目字面，地面向上的阻力為 $3000\ \text{kgf}$，而鎚子與樁在貫入過程中合計向下的重量為

核心觀念

本題考查「平面剛體速度分析」與「滑動銷相對速度」：

• 桿 $AB$ 以 $B$ 為固定點旋轉，因此
  $\vec v_A=\vec\omega_{AB}\times\vec r_{A/B}.$
• 銷 $A$ 在桿 $OR$ 的槽內滑動，因此 $A$ 的速度可分解為：
  $\vec v_A=\vec v_{A,\text{隨桿 }OR}+\vec v_{A/OR}.$
• 隨桿 $OR$ 的速度垂直於 $OA$；相對滑動速度則沿著 $OR$。

依圖中尺寸，取 $O$ 為原點：

$O=(0,0),\qquad A=(12,20)\ \text{cm},\qquad B=(42,0)\ \text{cm}.$

因此

$\vec r_{A/B}=(-30\,\mathbf i+20\,\mathbf j)\ \text{cm}.$

圖示角速度為順時針，故

$\vec\omega_{AB}=-5\,\mathbf k\ \text{rad/s}.$

---

解題方法

1. 求銷 $A$ 的絕對速度

$$\vec v_A =\vec\omega_{AB}\times\vec r_{A/B} =(-5\mathbf k)\times(-30\mathbf i+20\mathbf j).$$

利用

$$\mathbf k\times\mathbf i=\mathbf j,\qquad \mathbf k\times\mathbf j=-\mathbf i,$$

可得

$$\vec v_A =100\,\mathbf i+150\,\mathbf j\ \text{cm/s}.$$

---

2. 分解為桿 $OR$ 的轉動速度與相對滑動速度

桿 $OR$ 的角速度設為 $\omega_{OR}\mathbf k$，則

$$\vec r_{A/O}=12\,\mathbf i+20\,\mathbf j\ \text{cm}.$$

銷 $A$ 隨桿 $OR$ 的速度為

核心觀念

本題考查平面桁架的：

• 支承反力計算
• 截面法（method of sections）
• 桁架構件的拉力與壓力判定
• 靜力平衡方程式：

$$\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0$$

圖中共有 $6$ 個面板，每面板長 $6\ \text{m}$，因此：

$$AG=6(6)=36\ \text{m}$$

桁架中央點 $D$ 高度為 $8\ \text{m}$，上弦桿為直線，因此左半部各節點高度按比例增加。

---

解題方法：先求支承反力

忽略支承的水平反力，只考慮鉛直反力 $A_y$ 與 $G_y$。

對整個桁架取 $A$ 點力矩：

$$\sum M_A=0$$ $$G_y(36)-50(6)-80(12)-30(24)=0$$ $$G_y=\frac{50(6)+80(12)+30(24)}{36} =55\ \text{kN}$$

再由鉛直力平衡：

$$A_y+G_y-50-80-30=0$$ $$A_y=160-55=105\ \text{kN}$$

---

截面位置

以截面切過 $DC$、$DJ$、$KJ$ 三根桿件，取左側部分分析。

各點座標可表示為：

$$A(0,0),\quad B(6,\tfrac83),\quad C(12,\tfrac{16}3), \quad D(18,8),\quad J(18,0),\quad K(12,0)$$

---

求 $KJ$ 桿力

對 $D$ 點取力矩，可消去 $DC$ 與 $DJ$ 的作用力：

$$\sum M_D=0$$

外力力矩為：

$$-105(18)+50(12)+80(6)+8F_{KJ}=0$$

因此：

$$-1890+600+480+8F_{KJ}=0$$ $$F_{KJ}=101.25\ \text{kN}$$

假設拉力方向後所得為正，因此：

$$\boxed{KJ=101.25\ \text{kN}\text{（拉力）}}$$

---

求 $DC$ 桿力

對 $J$ 點取力矩，可消去 $DJ$ 與 $KJ$。

桿件 $DC$ 的方向向量為：

$$\overrightarrow{CD} =\left(6,\frac83\right)$$

其長度為：

核心觀念

本題涉及：

• 二力構件與三力構件的受力判斷；
• 靜力平衡條件：
  $\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0$
• 胡克定律：
  $F_s=k\Delta s$

其中 $F_s$ 為彈簧力，$k$ 為彈簧常數，$\Delta s$ 為彈簧伸長量。

解題方法與資訊判定

圖中可確認彈簧連接 $A$、$C$，並在 $B$ 點受到向下外力 $P$。但是題目沒有提供：

1. 彈簧原長或伸長量 $\Delta s$；
2. $A$、$C$ 支承的確切型式與反力方向；
3. 足以由幾何關係求出變形量的尺寸或位移條件。

若 $A$、$C$ 為固定鉸支承，彈簧力分別作用於兩根桿的端點。對上桿 $AB$ 取 $A$ 點力矩時，彈簧力作用線通過 $A$，力矩為零；對下桿 $CB$ 取 $C$ 點力矩時亦然。