113 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班甲組《工程力學》

這題主要在考察學生對工程力學基本名詞的理解。

(a) Free body diagram (FBD)：
自由體圖（Free Body Diagram, FBD）是一個結構或系統中，將特定物件（或系統的一部分）從其周遭環境分離出來，並在圖上標示出所有作用於該物件上的外力與力矩的簡化圖示。繪製 FBD 是分析結構受力情況的第一步，能幫助我們清晰地識別所有作用力，並應用平衡方程式進行求解。

(b) Mohr's Circle：
莫爾圓（Mohr's Circle）是一種在二維應力狀態下，用圖形化的方式來表示應力轉換（stress transformation）的幾何方法。透過莫爾圓，可以方便地找出某一點在不同平面上的主應力（principal stresses）、最大剪應力（maximum shear stress）以及任意角度的應力狀態。它將三維應力問題簡化為二維平面應力問題的分析工具。

這題主要考察對不同支承類型與接觸面性質所產生反力與力的判斷。

(a) 圖示 (a)：
原圖顯示一個桿件，受到頂部的集中力 $F$ 和底部的 $P$。底部的支承是滾支承（roller support），它只能提供垂直於接觸面的反力。由於接觸面是水平的，滾支承只能提供一個鉛直向上的反力 $R_y$。同時，圖示的 FBD 中已標示出底部的反力 $R_y$ 和一個水平力 $P$，這是不正確的。一個滾支承不能產生水平力 $P$。而且，原圖中的 $F$ 應作用於桿件上，而不是在頂部邊緣。

修正後的 FBD：

1. 移除不應存在的水平力 $P$。
2. 在底部的滾支承處，標示一個鉛直向上的反力 $R_y$。
3. 頂部作用力 $F$ 應標示在桿件的適當位置（假設是頂部）。
4. 如果底部支承是固定端，則需要考慮三個反力（$R_x$, $R_y$, $M_R$）。但圖示為滾支承，故只有 $R_y$。
5. 原圖標示的 $M$ 似乎是力矩，但在此處與滾支承不符。

正確的 FBD 應該是：
作用於桿件上的力 $F$。
在底部滾支承處，有一個鉛直向上的反力 $R_y$。

(b) 圖示 (b)：
圖示為一個機構，由桿件 AB 和 BC 組成，通過鉸鏈連接。A 點為固定端支承（pin support），B 點為鉸鏈，C 點為滾支承（roller support）。

• A 點是固定端支承，可以提供兩個反力分量（$R_{Ax}$, $R_{Ay}$）以及一個反力矩 $M_A$。
• B 點是鉸鏈，只能提供一個反力，方向未知，通常標示為 $R_{Bx}$ 和 $R_{By}$。
• C 點是滾支承，只能提供一個垂直於接觸面的反力。由於接觸面是水平的，所以 C 點的反力 $R_C$ 是鉛直向上的。

核心觀念

本題考查桁架的零力構件判定。理想桁架中，各節點視為鉸接，構件只承受軸力。

常用判定規則如下：

1. 某無外力、無支承反力的節點只有兩根不共線構件，則兩根構件皆為零力構件。
2. 某無外力節點有三根構件，其中兩根共線，則第三根非共線構件為零力構件。
3. 判定出一根零力構件後，可將其移除，再對相鄰節點繼續使用上述規則。

---

解題方法

（a）

觀察右上方節點 $E$：

• 節點 $E$ 沒有外加集中力；
• 連接節點 $E$ 的構件只有水平構件 $\overline{BE}$ 與鉛直構件 $\overline{DE}$；
• 兩構件彼此不共線。

因此，依「無外力節點只有兩根不共線構件」的判定規則：

$$F_{BE}=0,\qquad F_{DE}=0$$

---

（b）

第一步：判定構件 $\overline{CG}$

觀察節點 $G$：

• $\overline{HG}$ 與 $\overline{GF}$ 位於同一直線上；
• $\overline{CG}$ 為非共線構件；
• 節點 $G$ 沒有外力或支承反力。

因此：

$$F_{CG}=0$$

第二步：判定構件 $\overline{DF}$

觀察節點 $D$：

核心觀念

本題考查剛體堆疊的靜力平衡與重心判定：

• 物體能保持穩定的必要條件：其重心的鉛直投影必須落在支承面內。
• 可將位於最底層磚塊上方的 $n-1$ 塊磚視為一個整體。
• 各磚重量相同，均為 $W$，因此上方磚塊整體的重心等於各磚塊重心位置的平均值。

解題方法

依圖 1，令最底層磚塊的左端為 $x=0$，其長度為 $L$。每往上一層，磚塊向右錯開距離 $d$。

第 $i$ 塊磚的重心位置為

$$x_i=\frac{L}{2}+(i-1)d,\qquad i=1,2,\ldots,n.$$

考慮最底層磚塊上方的 $n-1$ 塊磚，即第 $2$ 至第 $n$ 塊。它們的重心位置為

$$\bar{x} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=2}^{n} \left[\frac{L}{2}+(i-1)d\right].$$

整理得

$$\bar{x} = \frac{L}{2} + \frac{d}{n-1}\sum_{j=1}^{n-1}j.$$

由於

核心觀念

本題考查：

• 三角形分布載重的等效集中力。
• 靜力平衡方程式：
  $\sum F_y=0,\qquad \sum M=0$
• 剪力與分布載重的關係：
  $\frac{dV}{dx}=-w(x)$
• 彎矩與剪力的關係：
  $\frac{dM}{dx}=V(x)$

取 $x$ 軸自支承 $A$ 向右量，$0\le x\le 4.5$ m。圖中 $A$ 為鉸支承、$B$ 為滾支承，且 $AB=3$ m、$BC=1.5$ m。

以下取圖示 $C$ 點外加偶矩為順時針 $0.3\ \text{kN}\cdot\text{m}$。

---

一、求支承反力

三角形分布載重由 $A$ 點的 $0$ 線性增加至 $B$ 點的 $0.6\ \text{kN/m}$。

其合力為三角形面積：

$$W=\frac12(3)(0.6)=0.9\ \text{kN}$$

三角形載重的作用線位於大端起算 $1/3$ 底邊，因此距離 $A$：

$$x_W=3-\frac13(3)=2\ \text{m}$$

設 $A_y$、$B_y$ 為兩支承的垂直反力。

由 $A$ 點取力矩：

$$\sum M_A=0$$ $$3B_y-0.9(2)-0.3=0$$ $$B_y=0.7\ \text{kN}$$

再由垂直力平衡：

$$A_y+B_y-0.9=0$$ $$A_y=0.2\ \text{kN}$$

因此：

$$\boxed{A_y=0.2\ \text{kN}\uparrow}$$ $$\boxed{B_y=0.7\ \text{kN}\uparrow}$$

---

二、剪力函數 $V(x)$

分布載重函數為

$$w(x)=\frac{0.6}{3}x=0.2x\ \text{kN/m} \qquad (0\le x\le 3)$$

在 $A$ 至 $B$ 段取左側自由體：

$$V(x)=A_y-\int_0^x0.2s\,ds$$ $$V(x)=0.2-0.1x^2 \qquad (0\le x\le 3)$$

所以：

$$\boxed{V(x)=0.2-0.1x^2\ \text{kN}\qquad 0\le x<3}$$

在 $x=3$ m 左側：

$$V(3^-)=0.2-0.1(3)^2=-0.7\ \text{kN}$$

通過滾支承 $B$ 後，剪力跳升 $B_y=0.7$ kN：

$$V(3^+)=V(3^-)+0.7=0$$

$B$ 至 $C$ 間沒有分布載重，因此剪力保持為零：

$$\boxed{V(x)=0\ \text{kN}\qquad 3<x\le4.5}$$

---

三、彎矩函數 $M(x)$

在 $A$ 至 $B$ 段：

$$M(x)=A_yx-\int_0^x0.2s(x-s)\,ds$$

計算得：

$$M(x)=0.2x-\frac{0.1}{3}x^3$$

因此：

$$\boxed{M(x)=0.2x-\frac{x^3}{30}\ \text{kN}\cdot\text{m} \qquad 0\le x\le3}$$

在 $B$ 點：

核心觀念

本題考查三維剛體平衡與光滑軸頸軸承（smooth journal bearing）的反力判定。

光滑軸頸軸承不承受摩擦力，因此：

• 軸承可提供垂直於軸頸軸線的反力分量；
• 不提供沿軸頸軸線方向的反力；
• 不提供力偶反力矩。

管件系統達到平衡時，必須滿足三維剛體平衡方程式：

$$\sum \mathbf F=\mathbf 0$$ $$\sum \mathbf M_O=\mathbf 0$$

其中 $O$ 可取在其中一個軸承處，以減少未知反力矩項。

解題方法

先將整個管件 $ABC$ 視為單一剛體，繪製自由體圖。自由體圖應包含：

1. 題圖所示之外加力或重量；
2. 光滑軸頸軸承 $A$、$B$、$C$ 所提供的反力分量；
3. 各反力作用位置與其相對於取矩點的位置向量。

若三個軸承各自均為一般光滑軸頸軸承，則每一個軸承提供兩個相互垂直、且均垂直於軸頸軸線的反力分量。可表示為

$$\mathbf R_A=R_{A1}\mathbf e_{A1}+R_{A2}\mathbf e_{A2}$$ $$\mathbf R_B=R_{B1}\mathbf e_{B1}+R_{B2}\mathbf e_{B2}$$ $$\mathbf R_C=R_{C1}\mathbf e_{C1}+R_{C2}\mathbf e_{C2}$$

因此整個系統的平衡方程式為

$$\mathbf R_A+\mathbf R_B+\mathbf R_C+\sum \mathbf F_{\text{外力}}=\mathbf 0$$

取任意一點 $O$ 的力矩：

$$\mathbf r_A\times\mathbf R_A+ \mathbf r_B\times\mathbf R_B+ \mathbf r_C\times\mathbf R_C+ \sum\left(\mathbf r_i\times\mathbf F_i\right) =\mathbf 0$$

將上述向量方程式依 $x$、$y$、$z$ 方向展開，即可得到六個純量方程式，解出六個軸承反力分量。

未知數總數

每個光滑軸頸軸承提供兩個未知反力分量，因此

$$N_{\text{unknown}}=2+2+2=6$$

故本題未知數總數為：

$$\boxed{6\text{ 個}}$$