115 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班丁組《工程力學》

本題主要在測試考生對工程力學基本名詞的理解程度。

(a) 剛體 (Rigid body)：
剛體是指在受力作用下，其內部各點之間的相對位置保持不變的物體。在實際應用中，剛體是一個理想化的模型，用於簡化力學分析。真實物體在受力後都會發生變形，但當變形量遠小於物體的尺寸，且對所研究的問題影響不大時，就可以將其視為剛體。

(b) 帕普斯與古爾迪努斯定理 (Theorems of Pappus and Guldinus)：
這兩個定理是關於旋轉體體積和表面積的計算。

1. 帕普斯第一定理 (Pappus's First Theorem)：由一個平面圖形繞其所在平面內不通過該圖形的任何一點的軸旋轉所生成的旋轉體的表面積，等於該平面圖形的周長乘以其形心在通過旋轉軸的平面上所形成的圓周長。
   $A = L \cdot 2\pi R$
   其中 $A$ 為旋轉體的表面積，$L$ 為平面圖形的周長，$R$ 為平面圖形形心到旋轉軸的距離。
2. 帕普斯第二定理 (Pappus's Second Theorem)：由一個平面圖形繞其所在平面內不通過該圖形的任何一點的軸旋轉所生成的旋轉體的體積，等於該平面圖形的面積乘以其形心在通過旋轉軸的平面上所形成的圓周長。
   $V = A_{area} \cdot 2\pi R$
   其中 $V$ 為旋轉體的體積，$A_{area}$ 為平面圖形的面積，$R$ 為平面圖形形心到旋轉軸的距離。

(c) 面積的一階矩與二階矩 (1st moment of area and 2nd moment of area)：

1. 面積的一階矩 (1st moment of area)：對於一個平面區域 $A$，其面積的一階矩是將區域內每個微小面積 $dA$ 乘以其到某參考軸的距離 $y$ (或 $x$)，然後對整個區域積分。
   以 y 軸為參考軸，面積的一階矩為 $Q_y = \int_A x \, dA$。
   以 x 軸為參考軸，面積的一階矩為 $Q_x = \int_A y \, dA$。
   面積的一階矩與形心位置有關。

核心觀念

本題考查桁架的：

1. 零力構件判斷
2. 支承反力計算
3. 節點法（method of joints）
4. 桁架構件的拉力、壓力判定

零力構件常用判斷規則：

• 無外力或支承反力作用的節點，若僅有兩根不共線構件，則兩者皆為零力構件。
• 無外力作用的節點，若有三根構件，其中兩根共線，則第三根為零力構件。

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解題方法

一、計算支承反力

桁架跨度為

$$AE=1.5+1.5+1.5+1.5=6\ \text{m}$$

兩個集中力皆為 $6\ \text{kN}$，作用位置為：

• $G$ 點：距離 $A$ 點 $3\ \text{m}$
• $F$ 點：距離 $A$ 點 $4.5\ \text{m}$

對 $A$ 點取力矩：

$$\sum M_A=0$$ $$E_y(6)-6(3)-6(4.5)=0$$

因此

$$E_y=\frac{18+27}{6}=7.5\ \text{kN}$$

再由鉛直方向力平衡：

$$A_y+E_y-6-6=0$$ $$A_y=12-7.5=4.5\ \text{kN}$$

水平方向沒有外力，因此

$$A_x=0$$

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二、由節點判斷零力構件

1. 節點 $B$

$B$ 點沒有外力，且 $BA$ 與 $BC$ 不共線，因此：

$$F_{BA}=0,\qquad F_{BC}=0$$

2. 節點 $D$

$D$ 點沒有外力，且 $DC$ 與 $DE$ 不共線，因此：

$$F_{DC}=0,\qquad F_{DE}=0$$

3. 節點 $H$

$HA$ 與 $HG$ 共線，且 $H$ 點沒有外力；第三根構件為 $HI$，因此：

$$F_{HI}=0$$

4. 節點 $I$

由圖可知 $IA$ 與 $IC$ 共線。又因為 $HI=0$，$I$ 點沒有外力，故非共線構件 $IG$ 為零力構件：

$$F_{IG}=0$$

因此所有零力構件為：

$$\boxed{BA,\ BC,\ DC,\ DE,\ HI,\ IG}$$

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三、求構件 $IC$ 的內力

觀察節點 $A$。由於 $AB$ 為零力構件，節點 $A$ 僅剩 $AH$ 與 $AI$ 承受力。

由圖中幾何尺寸，構件 $AI$ 的水平、鉛直投影分別為 $1.5\ \text{m}$、$2\ \text{m}$，長度為：

核心觀念

本題考查：

• 簡支梁支承反力
• 均布載重下的剪力圖與彎矩圖
• 剪力與彎矩的關係
  $\frac{dM}{dx}=V$
• 最大彎矩發生於剪力為零的位置
• 梁的危險截面與補強策略

由圖可知，梁長 $L=4\ \text{m}$，全跨承受均布載重

$$w=300\ \text{N/m}$$

且 $A$ 點施加逆時針力偶

$$M_0=300\ \text{N}\cdot\text{m}$$

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解題方法：求支承反力

均布載重的合力為

$$W=wL=300(4)=1200\ \text{N}$$

作用位置在梁中央，即距離 $A$ 點 $2\ \text{m}$ 處。

設 $A$ 點鉸支承反力為 $A_y$，$B$ 點滾輪反力為 $B_y$。

垂直力平衡

$$\sum F_y=0$$ $$A_y+B_y-1200=0$$

取 $A$ 點力矩

逆時針為正：

$$\sum M_A=0$$ $$4B_y-1200(2)+300=0$$

因此

$$B_y=525\ \text{N}$$ $$A_y=1200-525=675\ \text{N}$$

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(a) 剪力圖

令 $x$ 從 $A$ 點向右量，$0\leq x\leq4$。

截面左側的剪力為

$$V(x)=A_y-wx$$

代入數值：

$$\boxed{V(x)=675-300x\quad(\text{N})}$$

主要位置之剪力如下：

• $A$ 點右側：
  $V(0^+)=675\ \text{N}$
• 剪力為零：
  $675-300x=0$
  $\boxed{x=2.25\ \text{m}}$
• $B$ 點左側：
  $V(4^-)=675-300(4)=-525\ \text{N}$
• 通過 $B$ 點後，受到 $B_y=525\ \text{N}$ 向上反力，剪力跳回零。

因此剪力圖為一直線：

$$\boxed{ V_A=+675\ \text{N},\quad V=0\text{ 於 }x=2.25\ \text{m},\quad V_{B^-}=-525\ \text{N} }$$

力偶不會造成剪力圖跳躍。

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彎矩圖

由 $A$ 點的逆時針集中力偶，梁在 $A$ 點右側具有負彎矩：

$$M(0^+)=-300\ \text{N}\cdot\text{m}$$

截面彎矩為

$$M(x)=M(0^+)+\int_0^x V(s)\,ds$$

因此

$$M(x)=-300+\int_0^x(675-300s)\,ds$$ $$\boxed{M(x)=-300+675x-150x^2\quad(\text{N}\cdot\text{m})}$$

重要位置

在 $A$ 點：

$$\boxed{M_A=-300\ \text{N}\cdot\text{m}}$$

彎矩為零的位置：

$$-300+675x-150x^2=0$$

解得

$$\boxed{x=0.5\ \text{m}}$$

核心觀念

本題考查三角形截面通過形心的面積慣性矩、慣性積，以及利用莫爾圓求：

• 主慣性軸方向；
• 最大面積慣性矩 $I_{\max}$；
• 最小面積慣性矩 $I_{\min}$。

由圖 3，截面為兩股長均為 $3\ \text{cm}$ 的等腰直角三角形，取 $x$、$y$ 軸分別平行於兩股直角邊。

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解題方法

對邊長為 $b=h=3\ \text{cm}$ 的直角三角形，面積為

$$A=\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}(3)(3)=4.5\ \text{cm}^2$$

以直角頂點為暫時參考點，形心座標為

$$\bar{x}=\frac{b}{3}=1\ \text{cm}, \qquad \bar{y}=\frac{h}{3}=1\ \text{cm}$$

將慣性矩平移至形心 $C$，可得：

$$I_x=\frac{bh^3}{36} =\frac{(3)(3^3)}{36} =2.25\ \text{cm}^4$$ $$I_y=\frac{hb^3}{36} =\frac{(3)(3^3)}{36} =2.25\ \text{cm}^4$$

由於三角形斜邊為下降方向，形心慣性積為

$$I_{xy}=-\frac{b^2h^2}{72} =-\frac{(3^2)(3^2)}{72} =-1.125\ \text{cm}^4$$

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(a) 主慣性軸角度

主軸方向滿足

$$\tan 2\theta_p = \frac{-2I_{xy}}{I_y-I_x}$$

代入 $I_x=I_y$：

$$\tan 2\theta_p = \frac{-2(-1.125)}{2.25-2.25} \rightarrow \infty$$

因此

$$2\theta_p=90^\circ$$ $$\theta_p=45^\circ$$

兩條主慣性軸互相垂直，因此另一條主軸為

$$\theta_p+90^\circ=135^\circ$$

利用慣性矩轉換式：

$$I_u=\frac{I_x+I_y}{2} +\frac{I_x-I_y}{2}\cos 2\theta -I_{xy}\sin 2\theta$$

核心觀念

本題考查剛體在三維空間中的平衡：

$$\sum \mathbf F=\mathbf 0,\qquad \sum \mathbf M_A=\mathbf 0$$

受力包括：

1. 板重 $W=75\ \text{N}$，作用於矩形板的幾何中心，方向鉛直向下。
2. 纜線張力 $\mathbf T_{EF}$，作用於 $E$ 點，方向沿 $EF$ 指向 $F$。
3. 鉸鏈 $A、B$ 的反力。

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(a) 自由體圖

矩形板的自由體圖應標示：

• 板中心的重量 $W=75\ \text{N}$，方向為 $-\mathbf j$。
• $E$ 點的纜線張力

$$\mathbf T_{EF}=T\,\mathbf u_{EF}$$

其中

$$\mathbf u_{EF} = \frac{\overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{EF}|}$$

• $A、B$ 兩鉸鏈對板的反作用力。

若鉸鏈反力以三分量表示，則可寫成

$$\mathbf R_A=A_x\mathbf i+A_y\mathbf j+A_z\mathbf k$$ $$\mathbf R_B=B_x\mathbf i+B_y\mathbf j+B_z\mathbf k$$

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(b) 纜線張力

先取 $A$ 點力矩。由於鉸鏈 $A$ 的反力作用線通過 $A$，力矩為零；若 $A、B$ 位於同一鉸鏈軸線，鉸鏈反力對該軸的力矩亦為零，因此可利用力矩平衡求張力：

$$\sum \mathbf M_A = \overrightarrow{AE_G}\times(-75\mathbf j) + \overrightarrow{AE}\times\mathbf T_{EF} = \mathbf 0$$

其中 $E_G$ 為矩形板重心。

纜線力向量必須依照圖中座標寫成