111 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班甲組《工程力學》

本題主要考察工程力學的基本名詞解釋，需要對質心、重心、達朗貝爾原理、拍頻現象、保守力以及角動量守恆定律有清晰的理解。

(a) 質心 (Center of Mass) 與重心 (Center of Gravity) 的數學形式：

質心 $\mathbf{r}_{cm}$ 的數學定義是物體質量分布的平均位置。對於一個由離散質量點 $m_i$ 組成的系統，其質心位置向量為：
$\mathbf{r}_{cm} = \frac{\sum m_i \mathbf{r}_i}{\sum m_i}$
對於連續體，則用積分表示：
$\mathbf{r}_{cm} = \frac{\int \mathbf{r} dm}{\int dm} = \frac{\int_V \mathbf{r} \rho dV}{\int_V \rho dV}$
其中 $dm = \rho dV$ 是微小質量，$\rho$ 是密度，$V$ 是物體的體積。

重心 $\mathbf{r}_{cg}$ 是物體所受重力的合力作用點。重力是作用在物體上各個微小質量上的重力向量的合向量。若重力場是均勻的（即重力加速度 $\mathbf{g}$ 在物體內處處相同且方向一致），則重心與質心是重合的。此時，作用在重心上的總重力為 $W = mg$。
$\mathbf{r}_{cg} = \frac{\sum m_i \mathbf{g} \cdot \mathbf{r}_i}{\sum m_i \mathbf{g}} = \frac{\mathbf{g} \cdot \sum m_i \mathbf{r}_i}{mg}$
若 $\mathbf{g}$ 是常向量，則：
$\mathbf{r}_{cg} = \frac{\mathbf{g} \cdot (m \mathbf{r}_{cm})}{mg} = \mathbf{r}_{cm}$
然而，若物體非常巨大，或者在強烈變化的重力場中，質心與重心可能不重合。

(b) 達朗貝爾原理 (D'Alembert's Principle)：
達朗貝爾原理將動力學問題（考慮慣性力）轉化為靜力學問題。它指出，作用在剛體上的一切外力與外力矩的合力（包括慣性力與慣性力矩）之和為零。慣性力是 $-m\mathbf{a}$，慣性力矩是 $-I\boldsymbol{\alpha}$（其中 $I$ 是轉動慣量，$\boldsymbol{\alpha}$ 是角加速度）。
對於一個質點，其運動方程 $F = ma$ 可寫成 $F - ma = 0$。這裡 $-ma$ 被稱為慣性力，它與外力 $F$ 平衡，使得系統處於「慣性力平衡」狀態。
對於剛體，其平動方程 $\sum F = ma_{cm}$ 和轉動方程 $\sum M = I_{cm} \alpha$ 可以寫成：
$\sum \mathbf{F} + \mathbf{F}_{inertial} = 0 \quad \text{and} \quad \sum \mathbf{M} + \mathbf{M}_{inertial} = 0$
其中 $\mathbf{F}_{inertial} = -m\mathbf{a}_{cm}$ 是慣性力，$\mathbf{M}_{inertial} = -I_{cm}\boldsymbol{\alpha}$ 是慣性力矩。

(c) 拍頻現象 (Beating Phenomenon)：
拍頻現象是指當兩個頻率相近的正弦波疊加時，會產生一種週期性振幅變化的現象。這種現象常見於兩個頻率接近的振動系統耦合時，例如兩個聲波或兩個機械振動。

核心觀念

剛體平面運動中，任一點 $X$ 的加速度為

$$\vec a_X = \vec a_O + \vec\alpha\times\vec r_{X/O} + \vec\omega\times \left(\vec\omega\times\vec r_{X/O}\right)$$

其中：

• $\vec a_O$：圓環中心 $O$ 的平移加速度。
• $\vec\alpha\times\vec r_{X/O}$：切向加速度。
• $\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r_{X/O})$：法向（向心）加速度。

由圖可知，$X$ 位於圓環最低點，且

$$r=0.5\ \text{m}$$

取向右為 $x$ 正方向、向上為 $y$ 正方向。

解題方法

圓環中心向右運動，但具有向左的減速度，因此

$$\vec a_O=-20\,\mathbf i\ \text{m/s}^2$$

圖示圓環為順時針旋轉，故

$$\vec\omega=-50\,\mathbf k\ \text{rad/s}$$

因為角速度正在減小，角加速度方向與角速度相反，因此

$$\vec\alpha=+10\,\mathbf k\ \text{rad/s}^2$$

點 $X$ 相對於圓心的位置向量為

$$\vec r_{X/O}=-0.5\,\mathbf j\ \text{m}$$

1. 切向加速度

$$\vec a_t = \vec\alpha\times\vec r_{X/O} = (10\mathbf k)\times(-0.5\mathbf j) = 5\mathbf i\ \text{m/s}^2$$

切向加速度方向向右。

2. 法向加速度

核心觀念

本題考查：

• 剛體平面運動的幾何速度關係
• 圓盤無滑動滾動：$v_Y=R\omega$
• 動能與位能守恆
• 均質圓盤轉動慣量：$I_X=\dfrac12m_XR^2$
• 均質細桿質心轉動慣量：$I_G=\dfrac1{12}m_YL^2$

設桿長 $L=1.2\ \text{m}$，圓盤中心為 $Y$，桿與水平夾角為 $\theta$。

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解題方法

由於套環 $Z$ 僅沿固定垂直軸運動，$Z$ 點的水平速度為零。桿長固定，因此

$$v_Y=L\sin\theta\,\dot{\theta}, \qquad v_Z=L\cos\theta\,\dot{\theta}.$$

其中 $v_Z$ 取向上為正。題目給定 $\theta=45^\circ$ 時套環向下運動，故

$$v_{Z1}=-1.5\ \text{m/s}.$$

因此

$$-1.5=(1.2)(\cos45^\circ)\dot{\theta}_1$$ $$\dot{\theta}_1=-1.768\ \text{rad/s}.$$

此時圓盤中心速度為

$$v_{Y1}=L\sin45^\circ\dot{\theta}_1=-1.5\ \text{m/s}.$$

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初始動能

圓盤為均質圓盤，且無滑動滾動，因此

$$T_X = \frac12m_Xv_Y^2+\frac12I_X\omega^2 = \frac12m_Xv_Y^2+\frac14m_Xv_Y^2 = \frac34m_Xv_Y^2.$$

桿的質心速度平方為

$$v_G^2=\frac{v_Y^2+v_Z^2}{4} =\frac{L^2\dot{\theta}^2}{4}.$$

故桿的總動能為

$$T_Y = \frac12m_Yv_G^2+\frac12I_G\dot{\theta}^2 = \frac16m_YL^2\dot{\theta}^2.$$

在 $\theta_1=45^\circ$ 時：

$$T_1 = \frac34(50)(1.5)^2 + \frac16(5)(1.2)^2(1.768)^2$$ $$T_1=84.375+3.750=88.125\ \text{J}.$$

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位能變化

圓盤中心高度不變，只有桿質心高度改變：

核心觀念

本題分為三個階段：

1. 球 X 下擺過程：使用機械能守恆。
2. 兩球碰撞瞬間：使用動量守恆與恢復係數關係。
3. 碰撞後共同上升：使用機械能守恆。

碰撞位置為最低點，球 X 的速度方向指向球 Y；球 Y 原先靜止。

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(a) 球 X 撞擊前的速度

球 X 由高度 $h=0.5\ \text{m}$ 由靜止下擺至最低點。忽略空氣阻力與摩擦力，機械能守恆：

$$mgh=\frac{1}{2}mv_X^2$$

約去質量 $m$：

$$v_X=\sqrt{2gh}$$

取 $g=9.8\ \text{m/s}^2$：

$$v_X=\sqrt{2(9.8)(0.5)} =\sqrt{9.8} \approx 3.13\ \text{m/s}$$

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(b) 碰撞後速度所使用的方程式

設碰撞後球 X、Y 的速度分別為 $v_X'$、$v_Y'$。

由於碰撞時間很短，外力衝量可忽略，因此沿碰撞方向使用動量守恆：

$$m v_X+m(0)=m v_X'+m v_Y'$$

整理得：

$$v_X=v_X'+v_Y'$$

若碰撞恢復係數為 $e$，則還需使用恢復係數定義：

$$e=\frac{\text{分離相對速度}}{\text{接近相對速度}} =\frac{v_Y'-v_X'}{v_X}$$

因此，求碰撞後兩球速度時，使用聯立方程式：

$$\begin{cases} m v_X=m v_X'+m v_Y'\\ e=\dfrac{v_Y'-v_X'}{v_X} \end{cases}$$

其中 $v_X=\sqrt{2gh}$。

本題考驗衝量-動量定理和平均力的計算。

核心觀念：

• 衝量-動量定理：物體動量的變化等於作用在物體上的淨衝量。 $\mathbf{I} = \Delta \mathbf{p} = \mathbf{p}_f - \mathbf{p}_i$。
• 動量：$\mathbf{p} = m\mathbf{v}$。
• 衝量與平均力的關係：$\mathbf{I} = \mathbf{F}_{avg} \Delta t$。

已知條件：

• 網球質量 $m = 0.2$ kg。
• 初始速度 $\mathbf{v}_{in} = 5\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 10\mathbf{k}$ m/s。
• 最終速度 $\mathbf{v}_{out} = 8\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 20\mathbf{k}$ m/s。
• 碰撞時間 $\Delta t = 0.01$ s。

(a) 網球受到的衝量 $\mathbf{I}$

衝量是物體動量的變化量。
首先計算初始動量 $\mathbf{p}_i$ 和最終動量 $\mathbf{p}_f$。
$\mathbf{p}_i = m \mathbf{v}_{in} = (0.2 \text{ kg}) (5\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 10\mathbf{k} \text{ m/s})$
$\mathbf{p}_i = (1.0\mathbf{i} + 0.4\mathbf{j} - 2.0\mathbf{k})$ kg·m/s。

$\mathbf{p}_f = m \mathbf{v}_{out} = (0.2 \text{ kg}) (8\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 20\mathbf{k} \text{ m/s})$
$\mathbf{p}_f = (1.6\mathbf{i} + 0.6\mathbf{j} + 4.0\mathbf{k})$ kg·m/s。