111 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班甲組《流體力學》

牛頓流體（Newtonian fluid）的定義是其剪應力（shear stress）與剪應變率（shear strain rate）成線性比例關係，比例常數為流體黏度（viscosity）。在剪應力-剪應變率的圖上，牛頓流體的關係會是一條通過原點的直線。

此題考驗白努利定律（Bernoulli's Equation）在血管中的應用。白努利定律描述了理想流體（無能量損失）在穩態流動時，壓力、速度和高度之間的關係。其基本形式為：

$P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{constant}$

其中：
$P$ 為靜壓力（static pressure）
$\rho$ 為流體密度
$v$ 為流體速度
$g$ 為重力加速度
$h$ 為高度

在討論血管時，通常假設流體為不可壓縮性（$\rho$ 為常數），且流動方向通常是水平的，因此高度差 $h$ 可以忽略不計。另外，題目也提到「no energy loss」，這表示白努利定律適用。

因此，對於水平流動且無能量損失的流體，白努利定律簡化為：
$P + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{constant}$

此題考驗對雷諾數（Reynolds Number, Re）不同範圍所代表的流態（flow regime）的認識。雷諾數是流體力學中一個無因次參數，用來預測流動模式。它表示慣性力與黏性力之比。

$Re = \frac{\rho v L}{\mu}$

其中：
$\rho$ 為流體密度
$v$ 為流體平均速度
$L$ 為特徵長度（例如管道直徑）
$\mu$ 為流體動力黏度

以下是常見的雷諾數範圍及其對應的流態（主要針對圓管流動）：

1. Re << 1 (通常指 Re < 10)：此時黏性力遠大於慣性力，流動非常緩慢且平穩，稱為蠕動流 (Creeping flow) 或史托克斯流（Stokes flow）。選項 A 正確。

2. Re < 2100 (或 2300)：此範圍內的流動通常是層流 (Laminar flow)，流體質點沿著平滑的軌跡移動，沒有顯著的混合。選項 B 正確。

此題考驗對哈根-泊肅葉定律（Hagen-Poiseuille Law）的理解。哈根-泊肅葉定律描述了在圓形管道中，穩定的、不可壓縮的、牛頓流體的層流流速。其流量（Flow Rate, $Q$）的公式為：

$Q = \frac{\pi R^4 \Delta P}{8 \mu L}$

其中：
$R$ 為管道的半徑
$\Delta P$ 為管道兩端的壓力差
$\mu$ 為流體的動力黏度
$L$ 為管道的長度

此題考驗對流體阻力（Drag Force）計算的理解，特別是當流速 $U$、密度 $\rho$ 和雷諾數 $Re$ 都相同時，如何比較不同形狀的物體所受的阻力。

流體阻力的計算公式為：
$F_D = \frac{1}{2} \rho U^2 C_D A$

其中：
$F_D$ 是阻力
$\rho$ 是流體密度
$U$ 是流體速度
$C_D$ 是阻力係數 (Drag Coefficient)
$A$ 是參考面積 (Reference Area)

題目中說明流速 $U$、流體密度 $\rho$ 和雷諾數 $Re$ 相同。由於雷諾數 $Re = \frac{\rho U L}{\mu}$，且 $\rho$, $U$, $\mu$ 都相同（因為 Re 相同且 L 在此題中是 b=1），這意味著物體的特徵長度 $L$ 也是相同的，即題目中的 $b=1$。

我們需要比較三種幾何形狀 (a)、(b)、(c) 的阻力。根據公式，阻力 $F_D$ 與阻力係數 $C_D$ 和參考面積 $A$ 的乘積成正比。

讓我們逐一分析：

形狀 (a): Square rod with rounded corners

• 參考面積 $A_a = b \times D$。根據圖示，D 是物體的厚度。若假設 b=1，則 A 似乎是 width x depth。圖中給了 A=bD。
• 阻力係數 $C_{Da} = 0.17$。
• 阻力 $F_{Da} = \frac{1}{2} \rho U^2 C_{Da} A_a = \frac{1}{2} \rho U^2 (0.17) (bD)$。

形狀 (b): Rounded equilateral triangle

• 參考面積 $A_b = b \times D$。圖中給了 A=bD。

核心觀念

本題考查傾斜平面上的靜水壓力與力矩平衡。以鉸鏈 $A$ 為取矩中心：

• 閘門重量作用於幾何中心。
• 靜水壓力作用於浸水面積的壓力中心。
• 平衡條件為鉸鏈 $A$ 的合力矩為零。

閘門長度 $L=2\ \mathrm{m}$、寬度 $b=1.5\ \mathrm{m}$，質量為

圖中 $\theta$ 為閘門與水平面的夾角。

解題方法

水深為 $d=1.5\ \mathrm{m}$，閘門浸水部分沿閘門方向的長度為

其浸水面積為

浸水面積形心位於水面下方 $2d/3$ 處，因此壓力中心距離鉸鏈 $A$ 沿閘門方向的距離為

傾斜平面上的合靜水壓力為

因此，靜水壓力對 $A$ 的力矩為

閘門重量為

其作用線距離鉸鏈的水平距離為

故重量力矩為

此題考驗極座標下的速度計算、連續性方程式的驗證以及白努利定律的應用。

已知條件：

• 二維流動的流函數 $\psi = 4r^{4/3} \sin (\frac{4}{3}\theta)$ m²/s。
• 流動發生在極座標系 $(r, \theta)$ 下。
• 圖 2 顯示了 A 和 B 兩點的位置。點 A 在 $(r, \theta) = (1, \pi/4)$，點 B 在 $(r, \theta) = (2, 0)$。
• Assume the flow is irrotational (implied by the hint for continuity and Bernoulli).

(A) Express the velocity in terms of r and $\theta$.

流函數 $\psi$ 與速度分量的關係如下：
徑向速度 $u_r = \frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}$
切向速度 $u_\theta = -\frac{\partial \psi}{\partial r}$

首先，計算 $\psi$ 對 $\theta$ 的偏微分：
$\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta} (4r^{4/3} \sin (\frac{4}{3}\theta))$
$= 4r^{4/3} \cos (\frac{4}{3}\theta) \cdot \frac{4}{3}$
$= \frac{16}{3} r^{4/3} \cos (\frac{4}{3}\theta)$

所以，徑向速度 $u_r$ 為：
$u_r = \frac{1}{r} \left( \frac{16}{3} r^{4/3} \cos (\frac{4}{3}\theta) \right)$
$u_r = \frac{16}{3} r^{1/3} \cos (\frac{4}{3}\theta)$ m/s。

接下來，計算 $\psi$ 對 $r$ 的偏微分：
$\frac{\partial \psi}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r} (4r^{4/3} \sin (\frac{4}{3}\theta))$
$= 4 \cdot \frac{4}{3} r^{1/3} \sin (\frac{4}{3}\theta)$
$= \frac{16}{3} r^{1/3} \sin (\frac{4}{3}\theta)$

所以，切向速度 $u_\theta$ 為：
$u_\theta = -\frac{\partial \psi}{\partial r} = -\frac{16}{3} r^{1/3} \sin (\frac{4}{3}\theta)$ m/s。

速度向量為 $\vec{v} = u_r \hat{r} + u_\theta \hat{\theta}$。

【答案】
$u_r = \frac{16}{3} r^{1/3} \cos (\frac{4}{3}\theta)$
$u_\theta = -\frac{16}{3} r^{1/3} \sin (\frac{4}{3}\theta)$

(B) Is the flow continuous or discontinuous? Prove it.

連續性方程式（Continuity Equation）對於不可壓縮流體（通常假設為此，除非另有說明）在二維極座標下為：
$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r u_r) + \frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} = 0$

我們需要將計算出的 $u_r$ 和 $u_\theta$ 代入此方程式進行驗證。

首先，計算 $r u_r$:
$r u_r = r \left( \frac{16}{3} r^{1/3} \cos (\frac{4}{3}\theta) \right) = \frac{16}{3} r^{4/3} \cos (\frac{4}{3}\theta)$

然後，對 $r u_r$ 關於 $r$ 微分：
$\frac{\partial}{\partial r}(r u_r) = \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{16}{3} r^{4/3} \cos (\frac{4}{3}\theta) \right)$
$= \frac{16}{3} \cdot \frac{4}{3} r^{1/3} \cos (\frac{4}{3}\theta)$
$= \frac{64}{9} r^{1/3} \cos (\frac{4}{3}\theta)$

所以，第一項 $\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r u_r)$ 為：
$\frac{1}{r} \left( \frac{64}{9} r^{1/3} \cos (\frac{4}{3}\theta) \right) = \frac{64}{9} r^{-2/3} \cos (\frac{4}{3}\theta)$

接下來，計算 $u_\theta$ 關於 $\theta$ 的微分：
$\frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\frac{16}{3} r^{1/3} \sin (\frac{4}{3}\theta) \right)$
$= -\frac{16}{3} r^{1/3} \cos (\frac{4}{3}\theta) \cdot \frac{4}{3}$
$= -\frac{64}{9} r^{1/3} \cos (\frac{4}{3}\theta)$

所以，第二項 $\frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial \theta}$ 為：

核心觀念

本題考查：

1. 質量流率
   $\dot m=\rho Q=\rho A v_A=\rho\pi r^2v_A$
2. 線動量方程：液體射流改變動量時，會對管子及駁船產生反作用力。
3. 靜止駁船的垂直力平衡：浮力必須平衡駁船與新增廢液的總重量。

假設管口流出方向如圖向左，駁船保持靜止，且忽略管內壓力推力、流速分布修正係數與空氣阻力。

解題方法

取管口附近的液體作控制體。液體以速度 $v_A$ 向左流出，因此液體獲得向左的動量；依牛頓第三定律，液體對駁船的反作用力向右。

管口截面積為

質量流率為

由線動量方程，液體受到的水平作用力大小為

因此液體對駁船的反作用力大小為

方向向右。為使駁船保持靜止，繫繩必須提供大小相等、方向向左的拉力。

(A) 繫繩張力

水平力平衡：

所以

若考慮動量修正係數 $\beta$，則可寫成

一般考試題目未特別指定時取 $\beta=1$。

(B) 駁船所需浮力

在時間 $\Delta t$ 內裝入的廢液質量為