114 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班甲組《流體力學》

核心觀念

本題考查矩形風管的：

1. 水力直徑
2. Reynolds number 與流況判定
3. Darcy–Weisbach 公式計算沿程壓降
4. 由 Moody 圖查 Darcy 摩擦因子

矩形管的水力直徑定義為

$$D_h=\frac{4A}{P}$$

其中 $A$ 為流通截面積，$P$ 為濕周。封閉矩形風管的濕周即為截面周長。

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(a) 水力直徑

矩形風管尺寸為

$$a=200\ \text{mm}=0.200\ \text{m}$$ $$b=150\ \text{mm}=0.150\ \text{m}$$

截面積：

$$A=ab=(0.200)(0.150)=0.0300\ \text{m}^2$$

濕周：

$$P=2(a+b)=2(0.200+0.150)=0.700\ \text{m}$$

因此水力直徑為

$$D_h=\frac{4A}{P} =\frac{4(0.0300)}{0.700} =0.1714\ \text{m}$$

所以

$$\boxed{D_h=0.171\ \text{m}}$$

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(b) 流況判定

Reynolds number 以水力直徑計算：

$$Re=\frac{VD_h}{\nu}$$

代入

$$V=4\ \text{m/s},\qquad D_h=0.1714\ \text{m},\qquad \nu_a=15.1\times10^{-6}\ \text{m}^2/\text{s}$$

得

$$Re =\frac{(4)(0.1714)}{15.1\times10^{-6}} \approx 4.54\times10^4$$

封閉管流通常可依下列範圍判定：

• $Re<2300$：層流
• $2300<Re<4000$：過渡流
• $Re>4000$：紊流

由於

$$Re\approx4.54\times10^4>4000$$

故流況為紊流：

$$\boxed{\text{紊流（turbulent flow）}}$$

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(c) 2 m 長度的壓降

1. 相對粗糙度

題目附表給出 galvanized steel 的粗糙度：

$$\varepsilon=0.15\ \text{mm} =1.50\times10^{-4}\ \text{m}$$

相對粗糙度為

核心觀念

本題考查二維不可壓縮流的：

• 流函數與速度分量的關係
• 渦度與旋轉流判斷
• 無旋流的 Bernoulli 方程式
• 固壁邊界條件與尖角處是否產生渦流

流函數 $\psi$ 與速度分量的定義為

$$u=\frac{\partial \psi}{\partial y},\qquad v=-\frac{\partial \psi}{\partial x}$$

其中 $u$ 為 $x$ 方向速度，$v$ 為 $y$ 方向速度。

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(a) 求速度 $u$ 與 $v$

已知

$$\psi=8xy\ \text{m}^2/\text{s}$$

因此

$$u=\frac{\partial \psi}{\partial y} =\frac{\partial(8xy)}{\partial y} =8x$$ $$v=-\frac{\partial \psi}{\partial x} =-\frac{\partial(8xy)}{\partial x} =-8y$$

所以速度場為

$$\boxed{u=8x\ \text{m/s}}$$ $$\boxed{v=-8y\ \text{m/s}}$$

速度向量可寫成

$$\vec{V}=8x\,\mathbf{i}-8y\,\mathbf{j}$$

在第一象限中，流體沿 $x$ 方向向右、沿 $y$ 方向向下流動。

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(b) 判斷旋轉流或無旋流

二維流動的 $z$ 方向渦度為

$$\omega_z=\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y}$$

由

$$u=8x,\qquad v=-8y$$

可得

$$\frac{\partial v}{\partial x}=0, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=0$$

因此

$$\omega_z=0-0=0$$

故流動為無旋流（irrotational flow）：

$$\boxed{\omega_z=0,\quad \text{流動為無旋流}}$$

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(c) 求點 $B$ 的壓力

1. 計算兩點速度

點 $A(1,2)$：

$$u_A=8(1)=8\ \text{m/s}$$ $$v_A=-8(2)=-16\ \text{m/s}$$

因此

$$V_A^2=u_A^2+v_A^2 =8^2+(-16)^2 =320\ \text{m}^2/\text{s}^2$$

點 $B(2,3)$：

$$u_B=8(2)=16\ \text{m/s}$$ $$v_B=-8(3)=-24\ \text{m/s}$$

因此

核心觀念

本題考查：

1. **控制體（Control Volume, CV）**與連續方程式。
2. 伯努力方程式。
3. 穩態線性動量方程式。
4. 作用力與反作用力，以求彎管 $D$ 對管道組合的支撐力。

由圖可知，水由 $C$ 流入，分別由 $A$ 與 $B$ 流出。$A$、$B$ 的管徑相同，且圖中未標示高度差，因此以下採用合理假設：

• 水為不可壓縮、穩態流。
• $A$、$B$ 均排至大氣，故 $p_A=p_B=0$（表壓）。
• $z_A=z_B=z_C$。
• 管內水流及管壁重量忽略。
• 兩出口因管徑與高度相同，流量平均分配。

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(a) 控制體與 CV 定義

控制體的選取

取包住彎管及其內部水體的控制體，邊界截面通過 $C$、$A$、$B$ 三處：

• $C$：流入截面，$D_C=60\ \text{mm}$。
• $A$、$B$：流出截面，$D_A=D_B=20\ \text{mm}$。
• 控制體邊界沿管壁包住管內流體。

考試作圖時，應在管內沿著管壁畫出封閉虛線，並在 $C$、$A$、$B$ 截面穿出。

CV 定義

控制體（CV）是流體力學中選定的一個固定或移動空間區域，用來分析流體通過其邊界時的質量、動量與能量變化。本題採用固定控制體，通過 $C$ 流入，經由 $A$、$B$ 流出。

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(b) 求 $C$ 點壓力

1. 連續方程式

$C$ 點流速為

$$V_C=4\ \text{m/s}$$

各截面積為

$$A_C=\frac{\pi}{4}(0.06)^2 =2.827\times10^{-3}\ \text{m}^2$$ $$A_A=A_B=\frac{\pi}{4}(0.02)^2 =3.142\times10^{-4}\ \text{m}^2$$

因此總流量為

$$Q=A_CV_C =(2.827\times10^{-3})(4) =1.131\times10^{-2}\ \text{m}^3/\text{s}$$

由於流量平均分配，

$$Q_A=Q_B=\frac{Q}{2} =5.655\times10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}$$

所以 $A$、$B$ 的流速為

$$V_A=V_B=\frac{Q/2}{A_A} =\frac{5.655\times10^{-3}}{3.142\times10^{-4}} =18\ \text{m/s}$$

2. 伯努力方程式

取 $C$ 到 $A$ 為伯努力方程式：

$$\frac{p_C}{\rho g} +\frac{V_C^2}{2g} +z_C = \frac{p_A}{\rho g} +\frac{V_A^2}{2g} +z_A$$

由於 $p_A=0$，且假設 $z_A=z_C$，

$$\frac{p_C}{\rho g} +\frac{4^2}{2g} = \frac{18^2}{2g}$$

因此

$$p_C = \frac{1}{2}\rho\left(18^2-4^2\right)$$

取水的密度 $\rho=1000\ \text{kg/m}^3$：

$$p_C = \frac{1}{2}(1000)(324-16) =154000\ \text{Pa}$$

故

$$\boxed{p_C=154\ \text{kPa（表壓）}}$$

若要求絕對壓力，取大氣壓 $p_{\text{atm}}=101.3\ \text{kPa}$：

$$p_{C,\text{abs}} =154+101.3 =255.3\ \text{kPa}$$

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(c) 求彎管 $D$ 所需的水平與垂直作用力

1. 質量流率

$$\dot m=\rho Q =(1000)(1.131\times10^{-2}) =11.31\ \text{kg/s}$$

由於 $A$、$B$ 各分得一半流量，

此題要求根據 Navier-Stokes 方程式，推導水和油薄膜在穩態下的速度分佈。此問題屬於牛頓流體在簡單幾何條件下的流動問題。

核心觀念：

1. Navier-Stokes 方程式：描述牛頓流體動量的守恆定律。
2. 穩態流 (Steady State)：流場的性質不隨時間變化，即 $\frac{\partial}{\partial t} = 0$。
3. 不可壓縮流 (Incompressible Flow)：密度 $\rho$ 為常數，且 $\nabla \cdot \vec{v} = 0$。
4. 牛頓流體 (Newtonian Fluid)：剪應力與應變率成正比，黏度 $\mu$ 為常數。
5. 無壓力梯度 (No pressure gradient)：$\frac{\partial p}{\partial x} = 0$。
6. 無重力 (No gravity)：$\vec{g} = 0$。
7. 二維流動 (2D Flow)：流動只發生在 x-y 平面，速度分量 $u, v$ 僅是 $x, y$ 的函數，且 $w=0$ (z 方向速度為零)。

解題過程：

1. 簡化 Navier-Stokes 方程式

給定的 Navier-Stokes 方程式為：
$\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \rho \vec{g}$

考慮以下條件：

• 穩態流：$\frac{\partial}{\partial t} = 0$。
• 二維流動：$\vec{v} = (u(x,y), v(x,y), 0)$。
• 無壓力梯度：$\frac{\partial p}{\partial x} = 0$。由於題目說「no pressure gradient between A and B」，且 A 和 B 在 x 方向上，這意味著 $\frac{\partial p}{\partial x} = 0$。同時，由於流動主要沿 x 方向，且沒有重力，我們也可以假設 $\frac{\partial p}{\partial y} = 0$。因此 $\nabla p = 0$。
• 無重力：$\vec{g} = 0$。
• 不可壓縮流：$\nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$。

簡化後的 Navier-Stokes 方程式在 x 和 y 方向分量為：

x 方向：
$\rho (u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y}) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu (\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}) + \rho g_x$
代入條件：$g_x=0$, $\frac{\partial p}{\partial x}=0$, $\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0$ (因為是二維流動)。
$\rho (u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y}) = \mu (\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2})$

y 方向：
$\rho (u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y}) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu (\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}) + \rho g_y$
代入條件：$g_y=0$, $\frac{\partial p}{\partial y}=0$ (假設), $\frac{\partial^2 v}{\partial z^2}=0$。
$\rho (u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y}) = \mu (\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2})$

2. 運動學假設

觀察圖 4，流動主要沿 x 方向，且速度 $u$ 僅是 y 的函數，而 $v=0$。這是因為流體被頂板帶著移動，而流體本身沒有在 y 方向上的初始速度或驅動力。
因此，我們可以做出以下假設：

• $u = u(y)$
• $v = 0$

根據不可壓縮條件 $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$：
$\frac{\partial u(y)}{\partial x} + \frac{\partial (0)}{\partial y} = 0$
$\frac{\partial u(y)}{\partial x} = 0$。
這表示 $u$ 確實不依賴於 $x$，即 $u=u(y)$。

將 $v=0$ 和 $u=u(y)$ 代入簡化後的 Navier-Stokes 方程式：

x 方向：
$\rho (u \frac{\partial u}{\partial x} + 0 \frac{\partial u}{\partial y}) = \mu (\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2})$
由於 $u$ 只依賴於 $y$，$\frac{\partial u}{\partial x} = 0$ 且 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0$。
$0 = \mu \frac{d^2 u}{d y^2}$
由於 $\mu \neq 0$，所以 $\frac{d^2 u}{d y^2} = 0$。

y 方向：
$\rho (u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y}) = \mu (\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2})$
代入 $v=0$：
$0 = \mu (0 + 0) = 0$。
y 方向的方程式自動滿足，並未提供額外資訊。

所以，核心的微分方程式是 $\frac{d^2 u}{d y^2} = 0$。

3. 求解速度分佈

對 $\frac{d^2 u}{d y^2} = 0$ 積分兩次，得到速度分佈的一般形式：
$u(y) = C_1 y + C_2$
其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是積分常數。

4. 應用邊界條件

我們有兩個流體層：水和油。它們共享相同的頂部和底部邊界，以及它們之間的界面。
圖 4 顯示，底部是固定的（速度為 0），頂部板以速度 $U$ 移動。
水層在底部（y=0），油層在水層上方（y=a），頂部板在油層上方（y=2a）。
但是，圖 4 顯示的是一個水層和一個油層，厚度均為 $a$。頂部板的速度為 $U$。
並且，A 和 B 點之間沒有壓力梯度。

Let's assume the coordinate system origin is at the bottom of the water layer.
So, $y=0$ is the bottom surface (fixed).
$y=a$ is the interface between water and oil.
$y=2a$ is the top surface of the oil, which is in contact with the moving plate.

邊界條件 (Boundary Conditions, BCs)：

• 底部邊界 (y=0)：流體與固定表面接觸，無滑移條件 (no-slip condition)。
  $u_{water}(0) = 0$。
• 頂部邊界 (y=2a)：流體與移動板接觸，無滑移條件。
  $u_{oil}(2a) = U$。
• 界面邊界 (y=a)：在水和油的界面處，速度連續且剪應力連續。
  • 速度連續：$u_{water}(a) = u_{oil}(a)$。