114 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班甲組《熱力學》

本題主要在檢驗考生對熱力學基本定律、效率定義以及熵的概念的理解。

(1) Carnot 效率與等熵效率的差異：

• Carnot 效率 (Carnot Efficiency)：這是指一個理想的、可逆的熱機（Carnot 引擎）在兩個固定溫度熱源之間工作時的最大理論效率。它僅取決於高溫熱源溫度 $T_H$ 和低溫熱源溫度 $T_L$。
  $\eta_{Carnot} = 1 - \frac{T_L}{T_H}$
  Carnot 效率代表了在給定溫度條件下，任何熱機可能達到的最高效率極限。

• 等熵效率 (Isentropic Efficiency)：這通常用於評估實際的絕熱流體機械（如渦輪機、壓縮機、噴嘴）的性能。它將實際過程的性能與假想的、相同初始條件下的理想等熵過程的性能進行比較。

  • 對於渦輪機或噴嘴，等熵效率定義為實際的功輸出（或動能增加）與等熵過程的功輸出（或動能增加）之比。
  • 對於壓縮機，等熵效率定義為等熵過程的功輸入與實際的功輸入之比。
    $\eta_{isentropic, turbine} = \frac{W_{actual}}{W_{isentropic}} = \frac{h_{in} - h_{out, actual}}{h_{in} - h_{out, isentropic}}$
    $\eta_{isentropic, compressor} = \frac{W_{isentropic}}{W_{actual}} = \frac{h_{out, isentropic} - h_{in}}{h_{out, actual} - h_{in}}$
    等熵效率衡量的是實際過程與理想可逆絕熱過程的接近程度，它考慮了不可逆性（如摩擦）導致的損失。

主要差異：Carnot 效率是理論上的最高效率極限，與熱源溫度相關；等熵效率則是用來衡量實際絕熱設備相對於理想等熵過程的性能損失。Carnot 效率適用於熱機循環，而等熵效率適用於單一的絕熱流體機械過程。

(2) 熱力學定律的數學敘述：

• 熱力學第一定律 (1st Law of Thermodynamics)：能量守恆定律。對於一個封閉系統，在一個循環過程中，系統吸收的熱量等於系統對外做的功。或者，對於一個系統，其內能的變化等於傳遞給系統的熱量減去系統對外做的功。
  $\Delta U = Q - W$
  其中 $\Delta U$ 是系統內能的變化，$Q$ 是傳遞給系統的淨熱量，$W$ 是系統對外做的淨功。

• 熱力學第二定律 (2nd Law of Thermodynamics)：

  • 克勞修斯敘述 (Clausius Statement)：熱量不能自發地從低溫物體傳遞到高溫物體，除非同時有其他影響（如功的輸入）。
  • 開爾文-普朗克敘述 (Kelvin-Planck Statement)：不可能製造出一種循環工作的熱機，其唯一效果是從單一熱源吸收熱量，並將其完全轉化為功。
  • 熵的觀點 (Entropy Perspective)：對於任何孤立系統，其總熵永不減少，只會增加或保持不變（在可逆過程中）。
    $\Delta S_{system} \ge 0$
    對於一個封閉系統（可能與外界交換能量但無質量交換），熵的變化率為：
    $\frac{dS}{dt} = \frac{1}{T}\frac{dQ}{dt} + \dot{S}_{gen}$
    其中 $\dot{S}_{gen} \ge 0$ 是熵產生率，表示不可逆性。

• 熱力學第三定律 (3rd Law of Thermodynamics)：絕對零度（0 K）是一個無法達到的溫度。當系統的溫度趨近於絕對零度時，其熵趨近於一個常數（通常定義為零）。
  $\lim_{T \to 0K} S = S_0$
  如果選擇一個最穩定的基態，則 $S_0 = 0$。這意味著在絕對零度時，系統達到最低的能量狀態，且其微觀狀態的數量最少。

(3) 由 Clausius 不等式推導不可逆過程的熵變：
Clausius 不等式指出，對於任何一個循環過程，系統的熵變化為零，而系統與環境之間的熱量交換與溫度之比的積分（包括不可逆性產生的熵產生）必須大於或等於零。
$\oint \frac{\delta Q}{T} + S_{gen} = \Delta S_{system} = 0$
對於一個可逆循環：
$\oint_{rev} \frac{\delta Q_{rev}}{T} = 0$
對於一個不可逆循環：
$\oint_{irr} \frac{\delta Q_{irr}}{T} \le 0$
或者更精確地說，考慮熵產生項 $\dot{S}_{gen}$：

本題考驗對流體機械（噴嘴）的熱力學分析，特別是等熵效率的應用。

核心觀念：噴嘴是一個將流體內能和壓力能轉換為動能的裝置。絕熱過程意味著沒有熱量交換。等熵效率用於衡量實際過程與理想等熵過程的偏差。

已知條件：

• 入口壓力 $P_1 = 300$ kPa
• 入口溫度 $T_1 = 700$ K
• 初始速度 $V_1 \approx 0$
• 出口壓力 $P_2 = 100$ kPa
• 等熵效率 $\eta_{isentropic} = 90\% = 0.9$
• 比熱比 $k = 1.35$
• 定壓比熱 $C_p = 1.1$ kJ/kg·K

基本關係式：

• 理想氣體狀態方程：$PV = mRT$
• 定壓比熱與定容比熱關係：$C_p = C_v + R$
• 比熱比：$k = C_p / C_v$
• 從而可得氣體常數 $R = C_p - C_v = C_p - \frac{C_p}{k} = C_p \left( 1 - \frac{1}{k} \right) = 1.1 \left( 1 - \frac{1}{1.35} \right) \approx 1.1 \left( 1 - 0.7407 \right) \approx 1.1 \times 0.2593 \approx 0.2852$ kJ/kg·K。
• 噴嘴的能量方程（忽略重力勢能變化）：$h_1 + \frac{V_1^2}{2} = h_2 + \frac{V_2^2}{2}$
• 對於絕熱過程：$Q = 0$
• 焓變與溫度關係：$\Delta h = C_p \Delta T$
• 等熵過程的關係式：$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{k-1}{k}}$
• 等熵效率定義（對於噴嘴，出口動能的增加）：$\eta_{isentropic} = \frac{V_{2, actual}^2 / 2}{V_{2, isentropic}^2 / 2} = \frac{h_1 - h_{2, actual}}{h_1 - h_{2, isentropic}}$

解題步驟：

(1) The maximum possible exit velocity (理論上的最大出口速度)
最大可能的出口速度發生在理想等熵膨脹過程中，因為在相同出口壓力下，等熵膨脹能將最多的內能轉化為動能。
從能量方程（假設 $V_1 \approx 0$）：
$h_1 = h_{2, isentropic} + \frac{V_{2, isentropic}^2}{2}$
$\frac{V_{2, isentropic}^2}{2} = h_1 - h_{2, isentropic} = C_p (T_1 - T_{2, isentropic})$

首先，計算等熵膨脹後的出口溫度 $T_{2, isentropic}$：
$\frac{T_{2, isentropic}}{T_1} = \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{k-1}{k}}$
$\frac{k-1}{k} = \frac{1.35-1}{1.35} = \frac{0.35}{1.35} \approx 0.2593$
$T_{2, isentropic} = T_1 \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{k-1}{k}} = 700 \text{ K} \left( \frac{100 \text{ kPa}}{300 \text{ kPa}} \right)^{0.2593} = 700 \text{ K} \left( \frac{1}{3} \right)^{0.2593}$
$T_{2, isentropic} \approx 700 \text{ K} \times 0.7407 \approx 518.49$ K

現在計算最大可能的出口速度 $V_{2, isentropic}$：
$\frac{V_{2, isentropic}^2}{2} = C_p (T_1 - T_{2, isentropic})$
$\frac{V_{2, isentropic}^2}{2} = 1.1 \frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}} \times (700 - 518.49) \text{ K}$

本題旨在檢驗考生對熱力學第一、第二定律在實際應用（熱機、熱泵、冰箱）上的理解，並能推導和闡述相關的效率與性能係數。

核心觀念：

• 熱力學第一定律：能量守恆，在循環過程中，系統的淨熱量吸收等於淨功輸出。
• 熱力學第二定律：定義了能量轉換的方向性，限制了熱能轉換為功的效率，並引入了熵的概念。
• 熱機 (Heat Engine)：將熱能轉換為機械功的裝置。
• 熱泵 (Heat Pump)：將低溫熱源的熱量轉移到高溫熱源，但需要消耗功。
• 冰箱 (Refrigerator)：與熱泵功能相反，將熱量從低溫物體移走，並排放到較高溫的環境，需要消耗功。

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1. 熱力學第一定律與熱機、熱泵、冰箱

對於任何循環過程，熱力學第一定律可表述為：
$\sum Q_{net} = \sum W_{net}$
或者，對於一個從熱源 $Q_H$ 吸收熱量，向熱源 $Q_L$ 排放熱量，並產生淨功 $W_{net}$ 的系統：
$Q_H - Q_L = W_{net}$
（注意：此處 $Q_L$ 通常表示排放的熱量，為正值，故用減法；若將其視為系統吸收的負熱量，則為 $Q_H + Q_L = W_{net}$）。

• 熱機 (Heat Engine)：

  • 從高溫熱源 $Q_H$ 吸收熱量。
  • 向低溫熱源 $Q_L$ 排放熱量。
  • 輸出淨功 $W_{net} = Q_H - Q_L$。

• 熱泵 (Heat Pump)：

  • 從低溫熱源 $Q_L$ 吸收熱量。
  • 向高溫熱源 $Q_H$ 排放熱量。
  • 需要輸入淨功 $W_{net}$。
  • 根據第一定律：$Q_H = Q_L + W_{net}$。

• 冰箱 (Refrigerator)：

  • 從低溫物體（冷卻區）$Q_L$ 吸收熱量。
  • 向高溫環境（周圍）$Q_H$ 排放熱量。
  • 需要輸入淨功 $W_{net}$。
  • 根據第一定律：$Q_H = Q_L + W_{net}$。（與熱泵的能量流動方向相同，只是目標不同）

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2. 熱力學第二定律與熱機、熱泵、冰箱

熱力學第二定律限制了能量轉換的方向和效率。

• 熱機 (Heat Engine)：

  • 第二定律（開爾文-普朗克敘述）指出，不可能製造出單純從單一熱源吸收熱量並將其完全轉化為功的循環熱機。
  • 因此，熱機必須將一部分熱量排放到低溫熱源 ($Q_L > 0$)。
  • 熱效率 (Thermal Efficiency, $\eta_{th}$)：定義為輸出的淨功與吸收的熱量之比。
    $\eta_{th} = \frac{W_{net}}{Q_H}$
    將 $W_{net} = Q_H - Q_L$ 代入：
    $\eta_{th} = \frac{Q_H - Q_L}{Q_H} = 1 - \frac{Q_L}{Q_H}$

• 熱泵 (Heat Pump)：

  • 第二定律（克勞修斯敘述）指出，熱量不能自發地從低溫物體傳遞到高溫物體，必須藉助外部功。
  • 性能係數 (Coefficient of Performance, COP)：定義為期望的輸出（轉移到高溫熱源的熱量）與為達成此目的所消耗的功之比。
    $COP_{HP} = \frac{Q_H}{W_{net}}$
    將 $W_{net} = Q_H - Q_L$ 代入：
    $COP_{HP} = \frac{Q_H}{Q_H - Q_L}$

• 冰箱 (Refrigerator)：

  • 同樣需要消耗功來將熱量從低溫區移到高溫區。
  • 性能係數 (Coefficient of Performance, COP)：定義為期望的輸出（從低溫物體移走的熱量）與為達成此目的所消耗的功之比。
    $COP_R = \frac{Q_L}{W_{net}}$
    將 $W_{net} = Q_H - Q_L$ 代入：
    $COP_R = \frac{Q_L}{Q_H - Q_L}$

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3. Carnot 循環與反向 Carnot 循環

Carnot 循環是由兩個等溫過程和兩個絕熱過程組成的理想可逆循環，代表了在給定溫度範圍內熱機可能達到的最高效率。

• Carnot 熱機循環：
  • 過程 1-2：高溫熱源 $T_H$ 上的等溫膨脹，吸收熱量 $Q_H$。

核心觀念

此題利用第一定律與第二定律判斷壓縮過程是否：

• 可逆：熵產生量 $S_{\mathrm{gen}}=0$。
• 不可逆：熵產生量 $S_{\mathrm{gen}}>0$。
• 不可能：違反第二定律，故 $S_{\mathrm{gen}}<0$。

假設空氣為理想氣體，取

$$R=0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\qquad c_v=0.718\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\qquad c_p=1.005\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$$

環境溫度為

$$T_0=27+273.15=300.15\ \mathrm{K}$$

由初始狀態求空氣質量：

$$m=\frac{P_1V_1}{RT_1} =\frac{(200)(1)}{(0.287)(350)} \approx 1.99\ \mathrm{kg}$$

解題方法

過程滿足

$$PV^n=\text{定值}$$

因此

$$P_1V_1^n=P_2V_2^n$$

得到

$$V_2=V_1\left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{1/n} =2^{-1/n}\ \mathrm{m^3}$$

理想氣體方程式給出終態溫度：

$$\frac{T_2}{T_1} =\frac{P_2V_2}{P_1V_1} =2^{1-1/n}$$

所以

$$T_2=350\left(2^{1-1/n}\right)\ \mathrm{K}$$

邊界功為

$$W=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV =\frac{P_2V_2-P_1V_1}{1-n} \qquad (n\neq 1)$$

系統能量平衡為

$$Q-W=\Delta U$$

其中

$$\Delta U=mc_v(T_2-T_1)$$

故

$$Q=\Delta U+W$$

系統熵變為

$$\Delta S_{\mathrm{sys}} =mc_v\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) +mR\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$$

若熱量 $Q$ 與溫度固定為 $T_0$ 的環境交換，熵產生量為

$$S_{\mathrm{gen}} =\Delta S_{\mathrm{sys}}-\frac{Q}{T_0}$$

然而，題目並未提供多方指數 $n$，因此 $T_2$、$W$、$Q$ 與 $S_{\mathrm{gen}}$ 均無法唯一決定，過程分類也無法唯一決定。

三種分類的具體結果

若取 $n=1$

此時為等溫壓縮：

$$T_2=T_1=350\ \mathrm{K}$$

邊界功為

$$W=P_1V_1\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) =(200)(1)\ln\left(\frac{1}{2}\right) =-138.6\ \mathrm{kJ}$$

因為 $\Delta U=0$，所以

$$Q=W=-138.6\ \mathrm{kJ}$$

系統熵變為

本題考驗對熱力學第二定律中熵產生與熵變的理解，特別是對於熱傳過程的分析。

核心觀念：

• 熱力學第二定律：對於任何實際過程，系統的總熵（或孤立系統的熵）不會減少，只會增加或保持不變（可逆過程）。
• 熵產生 (Entropy Generation)：不可逆過程的標誌，代表過程中損失的「可用能量」。對於任何實際過程，熵產生率 $\dot{S}_{gen} \ge 0$。
• 熵變 (Entropy Change)：系統狀態的變化。對於一個封閉系統，其總熵變等於通過熱量傳遞引起的熵變加上系統內部的熵產生。
• 熱傳導：熱量從高溫物體流向低溫物體的過程，是一個典型的不可逆過程。

已知條件：

• 高溫熱源溫度 $T_H = 1500$ K
• 低溫熱源溫度 $T_L = 500$ K
• 熱傳速率（從高溫熱源到低溫熱源）$\dot{Q} = 800$ kJ/min
• 系統由兩個熱源和熱傳區域組成。

基本關係式：

• 對於一個封閉系統，在一個時間段 $\Delta t$ 內的熵變：$\Delta S_{system} = S_{gen} + \Delta S_{transfer}$。
• 在速率形式下：$\dot{S}_{system} = \dot{S}_{gen} + \dot{S}_{transfer}$。
• 對於熱量傳遞 $\dot{Q}$ 到溫度為 $T$ 的系統，引起的熵變速率為 $\dot{S}_{transfer} = \dot{Q}/T$。
• 對於不可逆過程，熵產生率 $\dot{S}_{gen} \ge 0$。
• 對於一個由熱源組成的系統，如果熱量從 $T_H$ 流向 $T_L$，則：
  • 高溫熱源的熵變速率：$\dot{S}_H = -\dot{Q}/T_H$ (因為熱量離開高溫熱源)
  • 低溫熱源的熵變速率：$\dot{S}_L = +\dot{Q}/T_L$ (因為熱量進入低溫熱源)
  • 總熵變速率：$\dot{S}_{total} = \dot{S}_H + \dot{S}_L$
  • 熵產生率：$\dot{S}_{gen} = \dot{S}_{total}$ (因為熱源是理想的，自身沒有熵產生，所有的熵增都來自於熱傳這個過程)

(1) The rate of entropy generation (in kJ/(K·min)) for the system.
「系統」在此處被定義為「兩個熱源和熱傳區域」。由於熱源的溫度是恆定的，它們的熵變是通過熱量傳遞來衡量的。熱傳區域本身沒有儲存能量（可以想像成一個非常薄的區域），它的角色是傳遞熱量。因此，整個系統的熵變化是由兩個熱源的熵變化之和構成的。由於熱傳是一個不可逆過程，它會產生熵。

熱量從 $T_H = 1500$ K 流向 $T_L = 500$ K，速率為 $\dot{Q} = 800$ kJ/min。

高溫熱源的熵變速率：
$\dot{S}_H = -\frac{\dot{Q}}{T_H} = -\frac{800 \text{ kJ/min}}{1500 \text{ K}}$

低溫熱源的熵變速率：
$\dot{S}_L = +\frac{\dot{Q}}{T_L} = +\frac{800 \text{ kJ/min}}{500 \text{ K}}$

核心觀念

本題是封閉系統的定質量過程，應使用熱力學第一定律：

$$\Delta U=Q+W_{\text{on}}$$

其中：

• $Q>0$：熱量傳入氮氣
• $Q<0$：熱量由氮氣傳出
• $W_{\text{on}}>0$：外界對氮氣作功

氮氣可視為理想氣體，且在此溫度範圍採定比熱：

$$\Delta U=mc_v(T_2-T_1)$$

氮氣的氣體常數與定容比熱取：

$$R_{N_2}=0.2968\ \text{kJ/(kg·K)}$$ $$c_v\approx0.743\ \text{kJ/(kg·K)}$$

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解題方法

1. 求氮氣質量

初態資料為：

$$P_1=300\ \text{kPa},\qquad V_1=0.8\ \text{m}^3,\qquad T_1=27^\circ\text{C}=300\ \text{K}$$

由理想氣體方程式：

$$P_1V_1=mR_{N_2}T_1$$

因此：

$$m=\frac{P_1V_1}{R_{N_2}T_1}$$ $$m=\frac{(300)(0.8)}{(0.2968)(300)} \approx2.70\ \text{kg}$$

2. 求內能變化

末態溫度為：

$$T_2=200^\circ\text{C}=473\ \text{K}$$

所以：

$$\Delta T=T_2-T_1=473-300=173\ \text{K}$$

氮氣內能增加量：

$$\Delta U=mc_v\Delta T$$ $$\Delta U=(2.70)(0.743)(173) \approx347\ \text{kJ}$$

3. 套用熱力學第一定律

題目給出「對氮氣所作的功」為：

$$W_{\text{on}}=80\ \text{kJ}$$

故：

$$\Delta U=Q+W_{\text{on}}$$

解得：