114 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班甲組《材料科學》

此題考驗對磁性材料種類及其微觀結構的理解。圖一顯示了原子內部的電子排列（八面體與四面體位置的 Fe$^{2+}$ 和 Fe$^{3+}$ 離子），並暗示了這些離子在晶格中的分佈。這種離子在特定晶格位置（如八面體位置）的排列是形成鐵磁性或亞鐵磁性材料的關鍵。

• 選項分析：
  • (A) Diamagnetic (抗磁性)：在外加磁場下產生與外加磁場方向相反的磁場，通常由電子軌道運動產生，對外加磁場有微弱的排斥作用。
  • (B) Paramagnetic (順磁性)：在外加磁場下產生與外加磁場方向相同的磁場，但磁場消失後磁性消失。這是由於材料中存在未配對的電子，在外加磁場作用下，這些電子的磁矩傾向於在外加磁場方向排列。
  • (C) Ferromagnetic (鐵磁性)：在外加磁場下產生比順磁性強得多的磁場，且即使外加磁場消失，材料仍能保持較強的磁性（剩磁）。這是由於材料中存在自發磁化區域（磁疇），且磁疇之間存在強烈的交換耦合作用，使得在無外場時，磁疇的磁矩也傾向於平行排列。

此題考查磁滯曲線 (hysteresis loop) 的相關概念。圖二顯示了一個典型的磁滯曲線，其中橫軸代表磁場強度 H，縱軸代表磁感應強度 B。箭頭指向的是當外加磁場 H 減小到零時，磁感應強度 B 的值。

• 磁滯曲線的幾個關鍵點：
  • 飽和磁化 (Saturation Magnetization): 當 H 足夠大時，B 達到最大值，不再隨 H 增加而增加。
  • 剩磁 (Remanence, Br): 當外加磁場 H 減小到零時，材料中仍然保留的磁感應強度。這是圖二中箭頭所指的點。
  • 矯頑力 (Coercivity, Hc): 使材料磁感應強度 B 降為零所需的外加反向磁場強度。
  • 磁導率 (Permeability, μ): B/H 的比值，表示材料的磁化難易程度。在磁滯曲線的不同區域，磁導率是變化的。

此題考查電化學中的極化現象。圖三顯示了一個電化學電池的示意圖，其中包含一個陰極和一個陽極，以及電解質溶液。箭頭指示了離子在電極表面的移動和反應。

• 極化 (Polarization) 概念：
  在電化學電池中，當電流通過時，電極上的反應速率可能會受到離子在電極表面擴散速率的限制，或者電極表面反應本身的動力學限制。這種由電流引起的、偏離平衡電位的電位變化稱為極化。

• 圖三分析：
  圖三顯示了離子（如圖中的陽離子）從溶液中向陰極表面移動，並在陰極表面發生還原反應。箭頭指示了離子在電極表面附近濃度上的變化。當反應速率較快時，電極表面附近某一反應物離子的濃度可能會發生顯著變化，導致其擴散速率成為反應速率的限制因素。這種由反應物或產物在電極表面濃度變化引起的極化現象稱為濃度極化 (Concentration Polarization)。

核心觀念

金屬的電阻率 $\rho$ 主要受到電子散射程度影響，可概略表示為：

$$\rho=\rho_{\text{熱振動}}+\rho_{\text{雜質、缺陷}}$$

金屬內部的晶格越完整、結晶度越高，晶界、空孔與晶格缺陷越少，電子受到的散射越弱，因此電阻率會降低。

解題方法

逐一判斷各因素增加後，是否會增加電子散射：

• 增加熱振動會使散射增加，電阻率上升。
• 增加雜質或晶格缺陷會使散射增加，電阻率上升。
• 增加塑性變形會產生位錯等缺陷，使散射增加，電阻率上升。
• 增加結晶度代表晶格排列更完整、缺陷與晶界減少，使散射減少，電阻率下降。

選項分析

此題考查材料的熱學性質。題目詢問的是「產生單位溫升所需」的量，針對的是「一莫耳」的材料。

• 定義分析：
  • 熱容量 (Heat Capacity, C)： 是指將物質的溫度升高 1 度所需的熱量。單位通常是 J/K 或 J/°C。
  • 莫耳熱容量 (Molar Heat Capacity, Cm)： 是指將一莫耳物質的溫度升高 1 度所需的熱量。單位通常是 J/(mol·K) 或 J/(mol·°C)。
  • 熱膨脹 (Thermal Expansion)： 是指物質受溫度變化影響而發生體積或長度變化的現象。
  • 熱導率 (Thermal Conductivity, k)： 是指材料傳導熱量的能力，衡量單位時間內通過單位面積的熱量與溫度梯度的關係。
  • 熱衝擊強度 (Thermal Shock Resistance)： 是指材料抵抗因溫度劇烈變化而引起的熱應力，進而產生裂紋或破壞的能力。

此題考查金屬材料的腐蝕類型。圖六顯示了一個金屬表面的腐蝕形貌，其中出現了許多獨立的、坑狀的凹陷。

• 腐蝕類型分析：
  • (A) Crevice corrosion (縫隙腐蝕)： 發生在金屬表面存在縫隙（如墊片、鉚釘之間、堆疊的板材之間）的區域。由於縫隙內的氧氣和離子濃度與外部不同，會形成局部腐蝕電池，導致縫隙內部發生腐蝕。其形貌通常是縫隙下方或內部較為嚴重。
  • (B) Erosion corrosion (沖蝕腐蝕)： 是機械磨損和化學腐蝕共同作用的結果。流動的液體（常帶有固體顆粒）會磨損金屬表面的保護層（如鈍化膜），暴露出新鮮的金屬表面，使其更容易受到化學腐蝕。形貌通常是流動方向上的磨損痕跡和腐蝕。

此題考查半導體器件的結構和工作原理。圖七顯示了一個 P 型半導體和 N 型半導體連接形成的 PN 接觸的示意圖，並標示了 P 區和 N 區的載流子分佈（P 區有較多空穴，N 區有較多電子）。

• PN 接觸的形成與特性：
  當 P 型半導體和 N 型半導體緊密接觸時，P 區的空穴會擴散到 N 區，N 區的電子會擴散到 P 區。這種擴散導致在 PN 接觸的界面附近形成一個空間電荷區 (depletion region)，其中包含固定的帶電離子。空間電荷區會產生一個內建電場，阻止進一步的載流子擴散，從而達到平衡。
  • 外延漂移 (Extrinsic drift)： 通常指由於外加電場引起的載流子運動，但圖示是 PN 接觸的內建結構，不直接代表外延漂移。
  • 整流結 (Rectifying junction)： PN 接觸的一個關鍵特性是它具有整流作用，即在一個方向（正向偏壓）允許較大電流通過，而在另一個方向（反向偏壓）則阻止電流通過。

此題考查複合材料 (composite materials) 中纖維增強體 (fiber reinforcement) 的力學特性。複合材料通常由增強體（如纖維）和基體 (matrix) 組成，旨在結合兩者的優點，獲得優於單獨組件的性能。

• 纖維增強複合材料的力學性能：
  纖維在複合材料中主要起增強作用，承擔大部分的負荷。纖維通常具有很高的強度和剛度，特別是在其軸向方向。
  • 高強度和高剛度： 纖維（如碳纖維、玻璃纖維、芳綸纖維）在軸向方向上通常具有極高的張力強度 (tensile strength) 和楊氏模量 (Young's modulus)。這是因為纖維的長徑比 (aspect ratio) 很大，且其內部缺陷較少，能夠有效地承受拉伸載荷。

此題考查不同種類碳鋼的力學性能。鋼的強度和韌性與碳含量密切相關。

• 碳鋼的分類與性能：
  • 低碳鋼 (Low-carbon steel)，也稱軟鋼 (mild steel)： 碳含量通常低於 0.25 wt%。它具有良好的延展性 (ductility) 和韌性 (toughness)，易於加工和焊接，但強度相對較低。
  • 中碳鋼 (Medium-carbon steel)： 碳含量通常在 0.25 wt% 到 0.6 wt% 之間。強度和硬度比低碳鋼高，但延展性和韌性有所下降。可以通過熱處理（如淬火和回火）來進一步提高其強度。
  • 高碳鋼 (High-carbon steel)： 碳含量通常高於 0.6 wt%（有時定義為 0.6-1.2 wt% 或更高）。它具有很高的強度和硬度，但延展性和韌性很差，加工和焊接困難。常用於製造工具、彈簧等需要高硬度和耐磨性的產品。
  • 不銹鋼 (Stainless steel)： 是一種合金鋼，除了碳之外，還含有至少 10.5 wt% 的鉻。

此題考查鋼的成分分類，特別是中碳鋼的碳含量範圍。

• 碳鋼的分類與碳含量：
  鋼的分類通常基於其碳含量，這對鋼的力學性能有決定性的影響。
  • 低碳鋼 (Low-carbon steel)： 碳含量通常在 0.002 wt% 至 0.25 wt% 之間（有些標準定義為 0.02% 至 0.25%）。
  • 中碳鋼 (Medium-carbon steel)： 碳含量通常在 0.25 wt% 至 0.6 wt% 之間。

此題考查鑄鐵 (cast iron) 和鋼 (steel) 在相結構上的主要區別，特別是固體狀態下的主要相。

• 鋼 (Steel) 和鑄鐵 (Cast Iron) 的區別：
  鋼和鑄鐵都是鐵碳合金，主要區別在於碳含量。

  • 鋼： 碳含量通常低於 2.14 wt%。在室溫下，鋼的穩定相主要是鐵素體 (ferrite) 和滲碳體 (cementite)，或者通過熱處理形成的奧氏體 (austenite) 的分解產物，如珠光體 (pearlite)。
  • 鑄鐵： 碳含量通常高於 2.14 wt%（一般在 2.5% 到 4.5% 之間）。由於碳含量較高，鑄鐵在凝固過程中，碳更容易以游離碳的形式析出，而不是全部形成滲碳體。

• 鑄鐵中的碳形態：
  在鑄鐵中，碳可以以兩種主要形式存在：

  1. 滲碳體 (Cementite, Fe$_3$C)： 這是一種硬而脆的碳化物，與鋼中的情況類似。
  2. 游離碳 (Free carbon)： 以石墨 (graphite) 的形式存在。石墨的形態（片狀、球狀、蠕蟲狀）決定了鑄鐵的類型和性能。
     • 灰口鑄鐵 (Gray cast iron)： 碳以片狀石墨的形式存在。

此題考查材料的蠕變 (Creep) 現象及其測量方式。蠕變是指材料在恆定的應力作用下，隨時間推移而發生的緩慢塑性變形。

• 蠕變的定義與影響因素：
  蠕變是一個時間依賴的過程，通常在高溫下發生，但也可能在室溫下發生，只要應力足夠高且時間足夠長。影響蠕變的主要因素包括：

  • 應力 (Stress)： 應力越高，蠕變速率越快。
  • 溫度 (Temperature)： 溫度越高，蠕變速率越快。
  • 時間 (Time)： 蠕變是隨時間發展的。
  • 材料的微觀結構： 如晶粒尺寸、雜質、位錯密度等。

• 蠕變測試與曲線：
  蠕變測試通常是在恆定的溫度和應力條件下，測量材料在不同時間點的應變。因此，蠕變曲線通常是應變 (Strain) 與時間 (Time) 的函數關係圖。

  • 蠕變曲線一般分為三個階段：
    1. 初級蠕變 (Primary creep)： 蠕變速率隨時間減小。

此題考查提高材料疲勞壽命 (fatigue life) 的方法。疲勞是指材料在重複載荷作用下，在低於其屈服強度或靜載強度的情况下發生斷裂的現象。

• 影響疲勞壽命的因素：

  • 應力集中 (Stress concentration)： 材料表面的缺陷、裂紋、缺口、以及表面粗糙度都會引起應力集中，成為疲勞裂紋萌生的起始點，從而縮短疲勞壽命。
  • 表面狀態 (Surface condition)： 表面粗糙度、表面缺陷、表面殘餘應力等對疲勞壽命影響很大。
  • 載荷類型和大小： 反覆載荷的幅值（應力幅度）、平均應力、載荷的性質（拉伸、壓縮、彎曲、扭轉）都會影響疲勞壽命。
  • 材料本身： 材料的種類、微觀結構、熱處理狀態等。

• 提高疲勞壽命的方法：
  提高疲勞壽命的關鍵在於減少應力集中，或在表面引入有利的殘餘應力，或減小應力幅度。

  1. 改善表面質量： 減少表面缺陷，進行表面拋光，降低表面粗糙度。
  2. 引入表面殘餘壓應力 (Residual compressive stress)： 這是提高疲勞壽命最有效的方法之一。

此題考查固態相變過程中，新相形成時的濃度梯度 (concentration gradient) 的原因。這通常與擴散過程有關。

• 相變與擴散：
  在固態相變過程中，例如從一種固溶體轉變成另一種固溶體或化合物，通常需要原子（如溶質原子）的擴散來重新分配成分。如果新相的成分與母相不同，那麼在相界處就會形成濃度梯度。

• 濃度梯度形成的機制：
  濃度梯度是在相界處，由於新相的成分與母相不同，原子需要通過擴散來達到新的平衡狀態。擴散速率受溫度和時間的影響。

  • 溫度： 溫度越高，擴散越快。
  • 時間： 相變持續的時間越長，擴散進行得越充分。
  • 冷卻速率：
    • 快速冷卻 (High cooling rate)： 限制了擴散的時間。如果冷卻足夠快，原子可能來不及充分擴散，導致形成非平衡相或成分不均勻的相。
    • 緩慢冷卻 (Low cooling rate)： 給予原子充足的時間進行擴散和重新分佈，有助於形成成分均勻的平衡相。

此題考查鋼的微觀結構形態識別。圖十五顯示了一種典型的鋼的顯微組織圖像。

• 鋼的常見微觀結構：
  • 鐵素體 (Ferrite, α-Fe)： 體心立方 (BCC) 結構，溶解碳的能力很低，通常呈塊狀或等軸狀。
  • 奧氏體 (Austenite, γ-Fe)： 面心立方 (FCC) 結構，溶解碳的能力較高。在高溫下穩定，但在室溫下通常不穩定，除非通過快速冷卻或合金化。
  • 滲碳體 (Cementite, Fe$_3$C)： 碳化鐵，硬而脆。在顯微鏡下通常呈細小的片狀、網狀或塊狀。
  • 珠光體 (Pearlite)： 是鐵素體和滲碳體交替疊加形成的層狀或片狀混合組織。其外觀在光學顯微鏡下呈現出類似「珍珠」的光澤，故名珠光體。

此題考查金屬材料塑性變形 (plastic deformation) 的基本機制。

• 塑性變形的本質：
  塑性變形是指在外力移除後，材料會保持其形變，而不會恢復到原有狀態的變形。在金屬晶體中，塑性變形的主要機制是位錯 (dislocation) 的運動。

• 位錯的運動：
  位錯是晶體中一種線狀的晶體缺陷。當外力施加在金屬上時，如果應力足夠大，位錯就會在晶體滑移面上運動。位錯的運動就像沿著一條線在房間裡移動地毯（將地毯的一端抬起並移動），它比整個晶體同時滑移（需要克服極大的剪切應力）要容易得多。因此，位錯的運動是金屬塑性變形的主要原因。

• 選項分析：

  • (A) Dislocation density increase (位錯密度增加)：位錯密度的增加通常是塑性變形（如冷加工）的結果，而不是塑性變形的原因本身。

此題考查材料力學性能與關鍵參數的關係，特別是與屈服應力 (Yielding stress) 相關的 Critical Resolved Shear Stress (CRSS)。

• Critical Resolved Shear Stress (CRSS)：
  CRSS 是指在特定晶體滑移系（滑移面和滑移方向）上，引起位錯開始滑移（即材料開始發生塑性變形）所需的最小剪切應力。它是一個材料的固有參數，與晶體的結構和原子鍵結有關。

• 屈服強度 (Yield Strength/Yielding stress)：
  屈服強度是指材料開始進入塑性變形階段的應力。在單晶材料中，當施加的應力在某個滑移面上產生的剪切應力分量達到 CRSS 時，材料就會開始發生塑性變形，即屈服。

• 關係：
  對於單晶材料，其屈服強度與 CRSS 之間存在直接的關係，通過馮·米塞斯準則 (von Mises criterion) 或其他準則可以推導出。

此題考查面心立方 (Face-Centered Cubic, FCC) 結構材料的滑移系。在金屬材料中，塑性變形主要發生在原子密度最高的滑移面上，沿著最密堆積方向。

• FCC 結構的特點：
  FCC 結構的特點是每個頂點和每個面的中心都有一個原子。
  • 最密堆積面 (Close-packed planes)： 在 FCC 結構中，原子密度最高的平面是 {111} 系列的平面。這些平面上的原子排列最為緊密。
  • 最密堆積方向 (Close-packed directions)： 在 FCC 結構中，最密堆積的方向是 <110> 系列的方向。

此題考查冷加工 (cold work) 引起的加工硬化 (strain hardening) 的主要原因。加工硬化是指材料在塑性形變後，其強度和硬度增加，而延展性下降的現象。

• 加工硬化的機制：
  當材料發生塑性變形時，特別是冷加工（在室溫或接近室溫下進行的塑性變形），會產生大量的位錯。
  1. 位錯的產生： 在塑性變形過程中，通過各種機制（如 Frank-Read 源、多邊化等）會產生大量的位錯。
  2. 位錯的相互作用： 這些位錯在滑移面上運動時，會相互發生纏結、阻礙，形成位錯牆 (dislocation walls) 或位錯胞 (dislocation cells)。
  3. 位錯密度增加： 隨著形變的增加，材料中的位錯密度急劇增加。
  4. 位錯運動受阻： 高密度的位錯相互之間會產生應力場，這些應力場會相互作用，使得位錯的進一步運動變得更加困難。位錯的運動受到阻礙是塑性變形難度增加、即材料變硬的主要原因。

此題考查退火 (annealing) 過程中，材料從加工硬化狀態恢復到初始狀態（或接近初始狀態）的機制，以及哪個步驟最關鍵。退火是熱處理的一種，通常包括加熱、保溫和冷卻三個階段，目的是消除加工硬化，改善塑性，降低硬度，細化晶粒等。

• 退火的三個階段 (Three stages of annealing)：
  1. 恢復 (Recovery)： 在相對較低的溫度下進行。主要消除加工硬化引入的點缺陷和低角位錯牆，降低內應力，但晶粒尺寸和位錯密度基本不變。材料的強度和硬度略有下降，但塑性變化不大。
  2. 再結晶 (Recrystallization)： 在較高的溫度下進行。在加工硬化材料中，新的、無應變的晶粒開始形核並長大，取代舊的、變形的晶粒。這個過程會顯著降低材料的硬度和強度，並大幅提高其塑性。這是加工硬化被消除的關鍵階段。
  3. 晶粒長大 (Grain growth)： 在再結晶完成後，如果繼續升高溫度或延長保溫時間，新的晶粒會繼續長大。晶粒長大會進一步降低晶界密度，可能導致強度下降，但對塑性的影響不如再結晶顯著。

此題考查陶瓷材料的力學性能測試方法。陶瓷材料的特點是硬而脆，抗壓強度遠大於抗拉強度，且在拉伸載荷下容易發生脆性斷裂。

• 陶瓷材料的力學性能測試：
  • 抗壓強度： 陶瓷材料的抗壓強度通常很高，可以通過壓縮試驗來測量。
  • 抗拉強度： 陶瓷材料的抗拉強度相對較低，且在拉伸載荷下容易產生應力集中，導致試樣邊緣的微裂紋擴展，引起脆性斷裂。因此，直接進行標準的單軸拉伸試驗 (tensile test) 比較困難，試樣的製備和夾持要求非常高。
  • 彎曲強度 (Flexural strength)： 為了規避直接拉伸試驗的困難，通常採用彎曲試驗來評估陶瓷的強度。最常見的是三點彎曲 (three-point bending) 和四點彎曲 (four-point bending) 試驗。在彎曲試驗中，材料的受力區域（特別是受拉區域）的應力分佈是均勻的，並且可以在較大的區域內達到最大彎曲應力。這使得彎曲試驗成為測量陶瓷材料強度的一種標準且相對容易的方法。

此題考查金屬材料拉伸試驗中，斷裂強度 (fracture stress) 與極限抗拉強度 (tensile strength) 的區別和原因。

• 拉伸試驗中的關鍵術語：

  • 極限抗拉強度 (Ultimate Tensile Strength, UTS)： 指材料在拉伸過程中能夠承受的最大應力。在達到 UTS 後，材料開始發生局部頸縮 (necking)。
  • 頸縮 (Necking)： 在達到 UTS 後，材料的橫截面積開始在某一點發生顯著減小，形成一個「頸部」。這個過程是發生在均勻塑性變形結束之後。
  • 斷裂強度 (Fracture Stress)： 指材料最終斷裂時的真實應力 (true stress)。真實應力定義為斷裂時的載荷除以斷裂時的真實橫截面積。

• 區別與原因：
  在進行工程應力-工程應變曲線 (engineering stress-strain curve) 的分析時：

  • 工程應力 (Engineering stress)： 是指載荷除以初始橫截面積。
  • 工程應變 (Engineering strain)： 是指長度變化除以初始長度。
  • 真實應力 (True stress)： 是指載荷除以瞬時橫截面積。
  • 真實應變 (True strain)： 是指長度變化除以瞬時長度。

  在發生頸縮之前，材料的橫截面積大致均勻減小，因此工程應力與真實應力非常接近。然而，一旦發生頸縮，材料的瞬時橫截面積會急劇減小，而載荷（即使在下降）除以這個減小的面積所得到的真實應力會繼續增加（由於加工硬化），直到材料斷裂。

此題考查純金屬中的原子遷移現象。原子遷移是指原子在材料內部移動的過程，這對許多材料的性能（如擴散、蠕變、燒結等）至關重要。

• 原子遷移的類型：
  原子遷移可以根據參與遷移的原子種類來區分：

  1. 自擴散 (Self-diffusion)： 指同一種元素的原子在自身材料中的遷移。例如，在純銅中，銅原子在銅晶格中的移動。這是因為即使是純金屬，其晶格也存在缺陷（如空位、間隙原子），原子可以通過在這些缺陷上跳躍來實現遷移。自擴散是一個非常重要的概念，它表明即使是均勻的純材料，其原子也是不斷運動的。
  2. 互擴散 (Interdiffusion)： 指不同種類的原子在兩相或多相混合物中的相互遷移。例如，在銅和鎳的合金中，銅原子向鎳的區域擴散，同時鎳原子也向銅的區域擴散。互擴散是形成合金、固溶體等過程中發生的現象。

• 擴散機制：
  原子遷移還與其在晶格中的移動方式有關：

  • 空位機制 (Vacancy mechanism)： 原子跳到相鄰的空位上。這是金屬中常見的擴散機制。
  • 間隙擴散 (Interstitial diffusion)： 原子（通常是較小的原子，如碳、氫）跳到相鄰的空隙位置上。

核心觀念

本題考查擴散（diffusion）過程中，影響物質濃度分布的變數。依 Fick 第二定律，一維擴散可表示為：

$$\frac{\partial C}{\partial t} = D\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}$$

其中：

• $C$：物質濃度
• $t$：時間
• $x$：位置
• $D$：擴散係數

擴散係數通常會受到溫度影響，常用 Arrhenius 關係表示：

$$D=D_0\exp\left(-\frac{Q}{RT}\right)$$

因此，時間、位置與溫度都會影響濃度分布。

解題方法

逐一檢查選項是否為 Fick 擴散方程中的直接影響因素：

• 時間 $t$ 決定擴散進行的程度。
• 位置 $x$ 決定不同位置的濃度差異。
• 溫度 $T$ 影響擴散係數 $D$，進而影響擴散速率。
• 電荷並未直接出現在一般物質擴散的 Fick 定律中。

因此，不會直接影響一般擴散濃度方程的因素為電荷。

選項分析

核心觀念

原子間作用力與原子間距離 $r$ 的關係曲線中，$r_0$ 代表原子間作用力為零、吸引力與排斥力平衡時的平衡距離：

$$F_{\text{attraction}}+F_{\text{repulsion}}=0$$

此時系統的原子間位能達到最低值，原子處於最穩定狀態。對由兩個相鄰原子所形成的模型而言，$r_0$ 可視為兩原子中心間的距離，約等於原子直徑。

解題方法

判斷 $r_0$ 的物理意義，關鍵在於辨認它是「距離」還是「能量」：

• $r_0$ 的單位是長度，表示平衡原子間距。
• binding energy 是能量，通常以 eV 表示，對應位能曲線的最低能量深度，而不是 $r_0$。
• 在此類簡化模型中，平衡原子間距可近似表示為原子的直徑。

因此，$r_0$ 的物理特徵是原子直徑。

此題考查不同類型材料的剛度 (stiffness)，通常用楊氏模量 (Young's modulus) 來衡量。楊氏模量越高，材料的剛度越大。

• 材料的楊氏模量範圍：
  • 聚合物 (Polymers)： 通常具有較低的楊氏模量，範圍從約 $10^6$ Pa (軟塑膠) 到 $10^{10}$ Pa (高性能聚合物，如芳綸)。
  • 陶瓷 (Ceramics)： 通常具有較高的楊氏模量，範圍從約 $10^{10}$ Pa (玻璃) 到 $10^{12}$ Pa (氧化鋁、碳化矽)。
  • 金屬 (Metals)： 楊氏模量範圍較廣，但通常高於大多數聚合物，約在 $10^{10}$ Pa (如鹼金屬) 到 $10^{12}$ Pa (如鎢)。常見金屬如鋼約為 $2 \times 10^{11}$ Pa。

核心觀念

晶體學方向 $[uvw]$ 表示向量沿三個晶格基向量的分量比例：

$$\vec{r}=u\mathbf{a}+v\mathbf{b}+w\mathbf{c}$$

因此，$[121]$ 代表三軸方向的位移比例為：

$$\Delta x:\Delta y:\Delta z=1:2:1$$

也就是沿 $a$ 軸前進 $1$ 個晶格單位、沿 $b$ 軸前進 $2$ 個晶格單位、沿 $c$ 軸前進 $1$ 個晶格單位。

解題方法

判斷某向量是否代表 $[121]$，只需檢查其三個分量是否可約成比例 $1:2:1$。若向量為 $k[121]$，則應滿足：

$$[\Delta x,\Delta y,\Delta z]=[k,2k,k]$$

題目所附影像實際顯示的是第 1～14 題，並非題目所述的 Fig.27，因此無法依圖形端點計算向量差。依題目文字直接判斷，各選項皆不符合 $1:2:1$。

核心觀念

鑄鐵的分類主要依據石墨在基體中的形狀：

• 灰口鑄鐵（Gray cast iron）：石墨呈片狀。
• 白口鑄鐵（White cast iron）：碳主要以滲碳體 $Fe_3C$ 形式存在，沒有明顯石墨。
• 可鍛鑄鐵（Malleable cast iron）：經白口鑄鐵熱處理後，石墨呈團絮狀或回火碳形態。
• 延性鑄鐵（Ductile cast iron，又稱球墨鑄鐵）：石墨呈球狀或近似球狀。

目前附上的原頁掃描圖只顯示 Fig.1 至 Fig.5，未包含題目所指的 Fig.9。以下依鑄鐵題常見圖示，假設 Fig.9 顯示的是球狀石墨組織。

解題方法

觀察 Fig.9 中石墨的形貌：

• 若石墨呈圓球狀、分散於金屬基體中，表示石墨尖端應力集中小，材料具有較佳的延性與韌性。
• 此種組織即為球墨鑄鐵，也稱延性鑄鐵。

因此判定為 Ductile cast iron。

選項分析

此題考查原子間結合能 (bonding energy) 對材料宏觀物理性質的影響。結合能越大，原子之間的結合越牢固，克服這些結合所需的能量就越多。

• 結合能對材料性質的影響：
  • 熔點 (Melting point)： 熔化過程需要克服原子之間的結合力，使原子能夠自由移動。結合能越高，熔化所需的能量越多，熔點越高。
  • 沸點 (Boiling point)： 沸騰過程需要克服原子或分子之間的吸引力，使其從液態轉變為氣態。對於金屬和離子化合物，結合能越高，沸點越高。
  • 抗拉強度 (Tensile strength)： 抗拉強度是材料抵抗拉伸變形或斷裂的能力。較強的原子結合力意味著材料更難被拉伸或斷裂，因此抗拉強度越高。
  • 硬度 (Hardness)： 硬度是材料抵抗表面壓痕或刮擦的能力，與克服原子結合力所需的能量有關。結合能越高，硬度通常越高。
  • 楊氏模量 (Young's modulus)： 楊氏模量衡量材料的剛度，即抵抗彈性形變的能力。較強的原子結合力意味著材料在受力時抵抗形變的能力更強，楊氏模量更高。
  • 電導率 (Conductivity)： 電導率是指材料傳導電流的能力。
    • 金屬的電導率： 主要與自由電子的濃度和遷移率有關。金屬鍵的強度（結合能）會影響自由電子的行為，但電導率的變化趨勢與結合能的關係並不總是單一的。

此題考查陶瓷材料中可能存在的點缺陷類型，以及哪種缺陷「最不可能」發生。點缺陷是晶體中原子位置的局部缺陷，包括空位 (vacancy) 和間隙原子 (interstitial)。

• 陶瓷材料的特點：
  陶瓷材料通常是離子化合物，由金屬陽離子 (cation) 和非金屬陰離子 (anion) 組成。它們的晶格結構通常比較複雜，且離子的大小差異較大。

• 常見的點缺陷類型：

  1. 空位 (Vacancy)： 晶格中某個正常位置沒有原子。
     • 陽離子空位 (Cation vacancy)： 晶格中的陽離子位置是空的。
     • 陰離子空位 (Anion vacancy)： 晶格中的陰離子位置是空的。
  2. 間隙原子 (Interstitial)： 原子出現在正常晶格位置之間（即間隙位置）。
     • 陽離子間隙原子 (Cation interstitial)： 陽離子出現在間隙位置。
     • 陰離子間隙原子 (Anion interstitial)： 陰離子出現在間隙位置。

• 陶瓷中缺陷的發生機率：

  • 陰離子空位 (Anion vacancy)： 在大多數氧化物陶瓷中，陰離子（如氧離子 O$^{2-}$）的尺寸通常比陽離子（如金屬離子）大得多。

此題考查長碳鏈（如聚乙烯、石蠟等）中碳-碳單鍵之間的鍵角。

• 碳的雜化與鍵角：
  碳原子在形成單鍵時，通常採取 $sp^3$ 雜化。

  • $sp^3$ 雜化軌道形成四個等價的雜化軌道，這些軌道在空間上呈四面體 (tetrahedral) 分佈，指向立方體的四個頂點。
  • 四面體結構的鍵角是約 109.5 度。

• 長碳鏈的結構：
  在長碳鏈中，每個碳原子都與兩個鄰近的碳原子和兩個氫原子形成 $sp^3$ 雜化的單鍵。這些鍵圍繞著碳原子呈四面體排列。因此，碳-碳單鍵之間的鍵角（或碳-碳鍵與碳-氫鍵之間的鍵角）都接近四面體的鍵角。

此題考查確定晶體結構和晶格參數（原子間距）的實驗技術。

• 常用晶體結構分析技術：
  • X射線繞射 (X-ray diffraction, XRD)： 這是確定晶體結構和測量晶格參數（原子間距）最常用、最標準的方法。當X射線照射到晶體時，會在特定角度發生繞射，根據布拉格定律 ($n\lambda = 2d\sin\theta$)，繞射角 $\theta$ 與晶面間距 $d$ 之間存在定量關係。通過分析繞射圖案，可以確定晶體結構類型、晶格常數（即原子間距）以及晶粒取向等信息。
  • 透射電子顯微鏡 (Transmission Electron Microscopy, TEM)： TEM 可以提供高解析度的圖像，觀察到晶體的微觀結構，包括晶粒、晶界、位錯等缺陷。通過電子衍射 (electron diffraction)，TEM 也可以用於確定晶體結構和晶格參數，其解析度通常比 XRD 更高，可以直接觀察到原子排列。

此題考查密排六方 (Hexagonal Close-Packed, HCP) 結構的原子堆積因子 (Atomic Packing Factor, APF)。原子堆積因子是原子所佔據的體積與單元胞總體積之比。

• HCP 結構的特點：
  HCP 結構是密堆積結構之一，其原子堆積因子與面心立方 (FCC) 結構相同，均為 $\frac{\pi}{\sqrt{18}} \approx 0.74$。
  HCP 結構的單元胞包含 6 個原子（若以六方晶系單元胞計算）。
  HCP 結構的堆積順序為 ABAB...

• 計算 APF：
  APF = (單元胞內原子體積) / (單元胞體積)
  對於 HCP 結構，可以通過幾何計算得出其 APF 值。

此題考查非晶態材料 (noncrystalline materials) 的結構特徵。

• 晶體材料 (Crystalline materials)：
  晶體材料具有長程有序的原子排列，原子排列在空間中呈現規則的重複結構，形成晶格。

  • 晶粒 (Grains)： 在多晶體材料中，每個晶粒都是一個單獨的晶體，具有相同的晶格結構，但不同晶粒之間的晶格取向不同。
  • 晶界 (Grain boundaries)： 晶粒與晶粒之間的界面，是原子排列無序的區域，屬於晶體材料中的一種結構特徵。

• 非晶態材料 (Noncrystalline materials)：
  非晶態材料，也稱為無定形材料 (amorphous materials) 或玻璃態材料 (glassy materials)，

核心觀念

本題考查置換型原子在固體中的擴散速率。擴散係數可表示為：

$$D=D_0\exp\left(-\frac{Q_d}{RT}\right)$$

其中 $Q_d$ 為擴散活化能。一般而言，溶質原子與溶劑原子的原子半徑差異越小，造成的晶格畸變越小，置換型擴散所需的活化能越低，擴散通常越快。

鎢（W）為體心立方晶體，原子半徑約為 $0.137\ \text{nm}$。各選項中，鉻（Cr）的原子半徑約為 $0.128\ \text{nm}$，與 W 的差異相對較小，且在這些元素中尺寸最小，因此較容易在 W 晶格中移動。

解題方法

比較各元素與 W 的原子尺寸及其造成的晶格畸變：

• Mo 與 W 的尺寸相近，但 Mo 原子較大。
• Co 與 Cr 的原子較小。
• Cr 的原子尺寸最小，較容易通過晶格中的擴散位置，通常具有較低的擴散阻力。

因此，Cr 在 W 中的擴散速率最快。

此題與上一題 (Q27) 其實是重複的，都詢問哪個元素在鎢 (W) 中的擴散最快。

• 擴散速率的影響因素：
  如前所述，擴散速率主要受溫度、原子尺寸差異、晶體結構、電負性差異、固溶度等因素影響。

• 鎢 (W) 的性質：

  • BCC 結構
  • 原子半徑約 139 pm

• 選項中元素的性質：

  • (A) 鉬 (Mo)：BCC 結構，原子半徑約 136 pm。與 W 尺寸和結構非常相似。
  • (B) 鈷 (Co)：FCC/HCP 結構，原子半徑約 125 pm。尺寸較小，結構不同。
  • (C) 鉻 (Cr)：BCC 結構，原子半徑約 128 pm。結構相同，尺寸略小。
  • (D) 鎢 (W)：純金屬，自擴散。

此題考查晶界 (grain boundary) 如何阻礙位錯 (dislocation) 的運動，從而影響材料的強度。

• 位錯運動與塑性變形：
  金屬的塑性變形主要通過位錯在滑移面上的運動來實現。位錯的運動越容易，材料的延展性越好，強度越低。

• 晶界的作用：
  晶界是兩個晶粒之間的分界面，在晶界處，相鄰晶粒的晶格取向是不同的。

  1. 晶格取向不匹配： 在晶界處，兩個晶粒的晶格排列方向不同。位錯在一個晶粒中沿著其特定的滑移系運動，當它到達晶界時，需要進入另一個晶粒。然而，由於另一個晶粒的滑移系方向與原晶粒不同，位錯在進入新晶粒後，可能無法沿著其原有的滑移方向繼續運動，或者需要改變滑移系，這需要克服額外的能量障礙。
  2. 原子排列無序： 晶界區域的原子排列是相對無序的，這會對位錯的運動產生阻礙作用。
  3. 位錯的匯聚和湮滅： 晶界可以作為位錯的匯聚點，但也可能發生位錯的湮滅，從而影響位錯密度。

此題考查熱力學平衡 (thermodynamic equilibrium) 的條件。系統處於熱力學平衡狀態時，其吉布斯自由能 (Gibbs free energy) 達到最小值。

• 熱力學平衡的判斷標準：
  在恆溫恆壓條件下，系統的吉布斯自由能 $G$ 最小是系統處於平衡狀態的判斷標準。
  $G = H - TS$
  其中 $H$ 是焓，$T$ 是溫度，$S$ 是熵。
  在恆溫恆壓下，系統會趨向於使 $G$ 最小化的方向進行。

此題考查決定陶瓷材料結構類型的關鍵因素。陶瓷材料通常是離子化合物，由金屬陽離子 (cation) 和非金屬陰離子 (anion) 組成。

• 離子晶體的結構形成：
  離子晶體的結構由其離子半徑比（陽離子半徑與陰離子半徑之比，即 $r_c/r_a$）決定。這個比值決定了陽離子在陰離子形成的空隙中能夠穩定存在的幾何結構，例如，它決定了陽離子是位於八面體空隙、四面體空隙還是三角空隙。
  • 半徑比規則 (Radius ratio rule)：
    • $0.225 < r_c/r_a < 0.414$：三角配位（例如 Bi$_2$O$_3$）
    • $0.414 < r_c/r_a < 0.732$：四面體配位（例如 ZnS）
    • $0.732 < r_c/r_a < 1$：八面體配位（例如 NaCl）
    • $r_c/r_a \approx 1$：立方密堆積（例如 CsCl）

此題考查半結晶聚合物 (semicrystalline polymer) 的形變起始機制。半結晶聚合物的結構包含結晶區 (crystalline regions) 和非晶區 (amorphous regions)。

• 半結晶聚合物的結構：
  聚合物鏈在結晶區排列有序，形成片狀結構 (lamellae)。這些片狀結構可能聚集形成球晶 (spherulites)。在非晶區，聚合物鏈是無序纏結的。連接不同結晶區的聚合物鏈稱為連接鏈 (tie molecules) 或非晶鏈 (amorphous chains)。

• 形變起始機制：
  當施加應力時，半結晶聚合物的形變起始機制與其結構有關。

  1. 非晶鏈的伸長和取向 (Elongation and orientation of amorphous chains)： 在非晶區，聚合物鏈是纏結的。當施加應力時，這些纏結的非晶鏈首先會被拉伸（伸長），並傾向於在外加應力方向上進行取向。這種非晶鏈的伸長和取向是初期形變的主要來源。
  2. 連接鏈的伸長 (Elongation of tie chains)： 連接鏈是連接不同結晶區的關鍵結構，它們承受了大部分的應力。這些連接鏈的伸長是抵抗形變的重要因素。

此題考查安全係數 (safety factor) 的計算。安全係數是衡量材料在承受載荷時的可靠性指標。

• 安全係數的定義：
  安全係數 (FS) 通常定義為材料的強度（例如屈服強度或極限強度）與實際承受的應力之比。
  $FS = \frac{\text{Strength}}{\text{Stress}}$
  在這裡，「Strength」指的是材料能夠承受的最大應力，通常用屈服強度 (Yield Strength, $\sigma_y$) 或極限抗拉強度 (Ultimate Tensile Strength, UTS) 來表示。
  「Stress」指的是材料在實際使用中承受的最大應力。

• 題目信息：

  • 最大承受應力 (Maximum receiving stress) = 100 MPa
  • 材料的屈服強度 (Yielding strength) = 200 MPa

此題考查碳元素的多種形態（同素異形體）。多種形態是指同一元素以不同結構形式存在於同一物理狀態（通常是固態）下的現象。

• 碳的同素異形體：
  碳元素有許多已知的同素異形體，其中最著名和最常見的有：
  1. 金剛石 (Diamond)： 具有四面體結構，是已知最硬的天然物質，具有極高的硬度和導熱性。
  2. 石墨 (Graphite)： 具有層狀結構，層內碳原子通過共價鍵結合，層間通過較弱的范德華力結合。石墨是軟的、導電的。
  3. 富勒烯 (Fullerenes)： 是一類由碳原子組成的籠狀、管狀或橢球狀分子。最著名的是 C$_{60}$ (巴克球)。
  4. 碳奈米管 (Carbon nanotubes)： 是富勒烯的一種延伸，管狀結構。
  5. 石墨烯 (Graphene)： 是單層的石墨，二維平面結構。

核心觀念

本題考二元「同晶型系統」（isomorphous system）的相區。其特徵是兩種成分在液態與固態都能完全互溶；固態只形成一種固溶體相，通常以 $\alpha$ 表示。因此相圖包含液相 $L$、固液兩相區 $L+\alpha$，以及單一固相區 $\alpha$。

解題方法

原卷第 43 題詢問同晶型系統的組成—溫度相圖包含哪些相區；選項列出 $L$、$L+\alpha$、$\alpha$，以及含 $\beta$ 的組合。判斷關鍵是確認固態是否只有一個連續固溶體相：同晶型系統只有 $\alpha$，不會另有 $\beta$ 相或 $\alpha+\beta$ 相區。

選項分析

核心觀念

滑移系統由「滑移面」與「滑移方向」組成。晶體受力時，原子較容易沿著原子排列最密的晶面、朝原子排列最密的方向滑移。

面心立方（FCC）晶體的最密排晶面為 $\{111\}$，最密排方向為 $\langle 110\rangle$，因此其滑移系統表示為：

$$\{111\}\langle 110\rangle$$

花括號 $\{\}$ 表示一組等價晶面，尖括號 $\langle\rangle$ 表示一組等價晶向。

解題方法

判斷晶體結構的滑移系統，分別找出最密排晶面與該晶面內的最密排方向：

1. FCC 晶體的最密排面是 $\{111\}$。
2. FCC 晶體的最密排方向是 $\langle 110\rangle$。
3. $\langle 110\rangle$ 方向確實位於 $\{111\}$ 晶面內。例如在 $(111)$ 面上，方向 $[1\bar{1}0]$ 的內積為：

$$(1,1,1)\cdot(1,-1,0)=1-1+0=0$$

方向向量與晶面法向量垂直，因此該方向位於 $(111)$ 面內。故 FCC 的滑移系統為 $\{111\}\langle 110\rangle$，共有 4 組等價 $\{111\}$ 晶面，每個晶面有 3 個等價的 $\langle 110\rangle$ 面內方向，總計 12 個滑移系統。

選項分析

核心觀念

金屬的塑性變形主要由位錯滑移造成。強化金屬的常見方法，是增加位錯滑移的阻力，使位錯較難移動。常見機制包括：

• 細晶強化：細化晶粒，增加晶界對位錯的阻礙。
• 固溶強化：將溶質原子溶入母相，利用原子尺寸或彈性模數差異造成的晶格應變阻礙位錯。
• 加工硬化：增加位錯密度，使位錯彼此交互作用、互相阻礙。
• 析出強化：形成細小析出物，阻礙位錯通過。

細晶強化常以 Hall–Petch 關係描述：

$$\sigma_y=\sigma_0+k_y d^{-1/2}$$

其中 $\sigma_y$ 為降伏強度，$d$ 為平均晶粒直徑。晶粒越細，降伏強度通常越高。

解題方法

判斷各選項是否能增加位錯移動的阻力。若某方法使位錯更容易滑移，或減少晶界、位錯等障礙，便不屬於一般的金屬強化方法。

選項分析

核心觀念

本題考查鋼中麻田散體（martensite）的晶體結構。麻田散體是沃斯田鐵（奧氏體，austenite）經快速冷卻後，透過無擴散的剪切轉變形成的組織。轉變過程中，碳來不及擴散析出，會被困在鐵的晶格內，形成過飽和固溶體。

碳原子使鐵晶格沿一個方向伸長，因此鋼中麻田散體的典型晶體結構為體心正方晶（BCT, body-centered tetragonal）。含碳量極低時，正方性較弱，結構可近似視為體心立方晶（BCC）。

解題方法

判斷題目中的材料脈絡。材料科學所稱的麻田散體，通常指鋼經淬火後形成的麻田散體；由於碳原子被困在鐵晶格內，使晶格沿一軸拉長，原本的立方晶格成為正方晶格。因此應選 BCT。

若以晶格常數表示，BCT 的特徵為三軸中有兩軸相等，第三軸不同：

$$a=b\ne c$$

選項分析

核心觀念

本題考查可降解鎂基生醫材料的優點，以及「高強度」與「高比強度」的差別。鎂基材料在體液中會逐漸腐蝕、降解，理想情況下可在組織修復後被吸收，減少永久植入物長期留在體內的需求。常以簡化反應表示其腐蝕過程：

$$\mathrm{Mg + 2H_2O \rightarrow Mg(OH)_2 + H_2 \uparrow}$$

鎂基材料的優點包括可降解性、良好的比強度，以及降解產物可能帶來的生物效應；但其實際表現會受到合金成分、表面處理與降解速率影響。鎂基可降解生醫材料綜述

解題方法

逐項判斷材料性質是否屬於鎂基可降解生醫材料的優點。關鍵是精確理解選項中的「high strength」：鎂及其合金常被強調的是高比強度，也就是強度相對於重量高；不能因此直接推論其具有普遍的高絕對強度。鎂基材料的機械性質可接近骨組織，但純鎂或部分鎂合金仍有強度不足等限制。

選項分析

• (A) Biodegradation（可生物降解）— 正確列為優點。
  鎂基植入物可在體內逐步降解，有機會在組織修復後被吸收，減少永久植入物造成的長期負擔或再次取出手術需求。

核心觀念

本題考查鋼依碳含量分類的常用界線。低碳鋼通常指碳含量不超過約 $0.25\%$（重量百分比）的鋼；不同教材的分類界線略有差異，但本題選項對應的標準上限是 $0.25\%$。

解題方法

先辨認題目問的是低碳鋼的「常見上限」，再將選項與低碳鋼的典型碳含量範圍比較。低碳鋼的碳含量較低，通常具有較好的延展性與成形性；碳含量更高的鋼則歸入中碳鋼或高碳鋼。

選項分析

核心觀念

本題考辨認陶瓷成形方法。滑漿鑄造（slip casting）是將含有陶瓷粉末的流動漿料注入多孔模具，模具吸收液相後，陶瓷顆粒逐漸沉積在模具內壁，形成所需形狀；若倒出多餘漿料，成品可形成中空構件。

解題方法

圖 10 顯示模具內形成中空形狀，並呈現脫模後的中空構件；這符合滑漿鑄造以漿料在模具內壁沉積成形的特徵。因此選擇滑漿鑄造。

選項分析

• (A) Slip casting（滑漿鑄造）：正確。漿料在模具內壁沉積，可製成圖示的中空陶瓷構件。
• (B) Blowing（吹製）：錯誤。

核心觀念

本題考辨識積層製造中的快速成形方法（SFF）。判斷重點是材料的型態，以及圖中能量來源與成形方式：立體光刻（Stereolithography, SLA）以雷射選擇性照射液態光聚合物，使其固化成形。

解題方法

圖 11 標示了雷射、掃描系統、可移動工作台與光聚合物；雷射掃描液態光聚合物，使材料逐層固化，工作台則配合成形逐步移動。這是立體光刻的典型配置。

選項分析

• (A) 選擇性雷射燒結（Selected laser sintering）：以雷射燒結粉末材料，圖中材料標示為光聚合物，且沒有粉末床配置，因此不符。

核心觀念

柏格斯向量（Burgers vector，記為 $\mathbf{b}$）是描述位錯所造成的晶格錯配的向量。它的大小與方向代表位錯周圍的晶格位移，也可視為位錯對應的晶格平移量。

解題方法

以位錯線為中心，在晶體中沿相同的晶格步距繞行一圈，構成柏格斯迴路（Burgers circuit）。在完整晶體中，迴路會回到起點；若迴路包圍位錯，走完後會留下未閉合的位移。

核心觀念

臨界纖維長度（critical fiber length，$l_c$）是指：纖維埋入基材後，基材透過纖維與基材間的界面剪應力傳遞載荷，使纖維中點的拉應力恰好達到纖維抗拉強度所需的最短纖維長度。

若纖維長度小於 $l_c$，纖維尚未充分承載便可能從基材中拔出；纖維長度達到或超過 $l_c$，纖維中點便能發揮其抗拉強度。

解題方法

考慮直徑為 $d$、長度為 $l$ 的圓柱形纖維，並假設沿纖維表面的界面剪應力為均勻的 $\tau_i$。從纖維端部到中點的長度為 $l/2$，界面剪應力沿此段傳遞載荷，使纖維軸向拉應力由端部的近零值逐漸增加。

沿纖維長度作力平衡，可得軸向應力梯度：

$$\frac{d\sigma_f}{dx}=\frac{4\tau_i}{d}$$

從端部積分至中點：

核心觀念

臨界解析剪應力（critical resolved shear stress，CRSS）是晶體中特定滑移系開始滑移所需的最小解析剪應力。滑移系由一個滑移面及其上的滑移方向構成；當該方向上的剪應力達到 CRSS，位錯便能沿滑移系運動，晶體開始發生塑性變形。

依施密德定律，單軸拉伸應力 $\sigma$ 在滑移方向上產生的解析剪應力為

$$\tau_R=\sigma\cos\phi\cos\lambda$$

其中 $\phi$ 是拉伸軸與滑移面法線的夾角，$\lambda$ 是拉伸軸與滑移方向的夾角。滑移開始時，解析剪應力達到臨界值：

$$\tau_R=\tau_{\mathrm{CRSS}}$$

解題方法

核心觀念

介電常數（dielectric constant）通常指相對介電率，表示材料的介電率相對於真空介電率的比值：

$$\varepsilon_r=\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}$$

其中，$\varepsilon_r$ 是相對介電率，$\varepsilon$ 是材料的介電率，$\varepsilon_0$ 是真空介電率。因為是兩個介電率的比值，$\varepsilon_r$ 沒有單位。

解題方法

核心觀念

延性－脆性轉變（ductile-to-brittle transition）是指材料的破壞行為隨溫度改變而由延性破壞轉為脆性破壞的現象。對具有明顯轉變行為的材料而言，溫度降低到某一範圍時，材料吸收衝擊能量的能力與塑性變形能力會顯著下降，破壞面也由延性特徵轉為脆性特徵。

此轉變常見於體心立方（BCC）金屬，例如鐵素體鋼。延性破壞常伴隨顯著塑性變形與微孔洞聚合；脆性破壞則常呈現解理（cleavage）特徵，塑性變形量較少。面心立方（FCC）金屬通常不呈現同樣明顯的延性－脆性轉變。

解題方法

這是一題名詞定義題，作答時應交代三件事：轉變的性質、發生的條件、可觀察的破壞差異。

核心觀念

本題考查立方晶體中兩種常見結構：面心立方（FCC, face-centered cubic）與體心立方（BCC, body-centered cubic）。判別重點是原子在立方單位晶胞中的位置，以及由此得到的每晶胞原子數、配位數與原子堆積率。

解題方法

以單位晶胞中的原子位置為切入點，再用共享原子的比例計算每晶胞所含原子數：

• **FCC：**8 個角落各有 1 個原子，每個角落原子由 8 個晶胞共享；6 個面心各有 1 個原子，每個面心原子由 2 個晶胞共享。因此
  $N=8\left(\frac18\right)+6\left(\frac12\right)=4.$
  FCC 每個原子的最近鄰數，即配位數，為 12。

• **BCC：**8 個角落原子由 8 個晶胞共享，另有 1 個完整原子位於立方體中心。因此
  $N=8\left(\frac18\right)+1=2.$
  BCC 的配位數為 8。

若將原子視為互相接觸的硬球，晶格常數 $a$ 與原子半徑 $r$ 的關係為：

• FCC 的原子沿著面對角線接觸，面對角線長度為 $4r$，而幾何上為 $\sqrt{2}a$，所以
  $a=2\sqrt{2}\,r.$

• BCC 的原子沿著體對角線接觸，體對角線長度為 $4r$，而幾何上為 $\sqrt{3}a$，所以
  $a=\frac{4r}{\sqrt{3}}.$

原子堆積率（APF）是晶胞內原子體積占晶胞體積的比例：

核心觀念

化學計量化合物的元素比例符合固定整數比，例如理想氧化亞鐵可寫作 $\mathrm{FeO}$。非化學計量性（non-stoichiometry）是指固體化合物的實際元素比例偏離這種固定整數比，且偏離通常源自晶體中的點缺陷，例如空位、間隙原子或不同價態離子。

解題方法

定義此概念時，指出兩件事即可：實際組成不符合理想化學式的整數比例；晶體中的缺陷或離子價態變化使此偏差得以維持，同時仍須滿足電荷平衡。

核心觀念

蒲松比（Poisson’s ratio）描述材料在單軸受力時，軸向變形與橫向變形的比例。其定義為橫向應變與軸向應變之比的負值：

$$\nu=-\frac{\varepsilon_{\text{橫向}}}{\varepsilon_{\text{軸向}}}$$

應變是無因次量，因此蒲松比也沒有單位。

解題方法

核心觀念

包晶反應（peritectic reaction）是二元合金在固定壓力下，液相與一種固相共同反應，生成另一種固相的三相不變反應。冷卻時可寫成：

$$L+\alpha\rightarrow\beta$$

其中 $L$ 為液相，$\alpha$、$\beta$ 為不同固相。反應進行時，液相與 $\alpha$ 相消耗，生成 $\beta$ 相。

解題方法

辨認包晶反應的關鍵，是確認反應物包含「液相與固相」，產物則是「另一種固相」。在二元相圖中，反應發生於包晶溫度；此時三相 $L$、$\alpha$、$\beta$ 處於平衡。

核心觀念

平面應變破壞韌度 $K_{Ic}$ 是材料在第一型（張開型）裂縫、平面應變條件下，裂縫開始不穩定擴展時的臨界應力強度因子。它表示材料抵抗脆性破壞的能力；符合有效試驗條件時，$K_{Ic}$ 可視為材料性質。

厚試片中，裂縫前緣中部的變形受到周圍材料拘束，較接近平面應變狀態。此拘束使裂縫尖端的塑性變形受限，因此 $K_{Ic}$ 通常低於較薄試片所測得的破壞韌度 $K_c$。

解題方法

以臨界應力強度因子的定義作答。第一型應力強度因子可寫為

$$K_I = Y\sigma\sqrt{\pi a}$$

核心觀念

犧牲陽極（sacrificial anode）是用來保護金屬免於腐蝕的陽極式陰極防蝕方法。將一種比被保護金屬更容易氧化的金屬，與被保護物電性連接並置於同一電解質環境中。較活潑的金屬會優先氧化，因而使被保護物成為陰極，降低其氧化腐蝕。

陽極反應可表示為：

$$\mathrm{M \rightarrow M^{n+} + ne^-}$$

犧牲陽極釋出的電子流向被保護金屬，使其不易失去電子而氧化。犧牲陽極會逐漸消耗，因此需要定期檢查並更換。

核心觀念

本題考查鋼的球化處理（spheroidizing）。其目的，是將鋼中原本呈片狀或網狀的滲碳體（Fe₃C），轉變成分散於鐵素體基體中的球狀或近球狀顆粒。

解題方法

回答定義時，抓住「處理方式、組織變化、效果」三項即可：

1. 處理方式：將鋼長時間加熱於共析溫度附近但低於共析溫度，或在共析溫度附近反覆加熱與冷卻。
2. 組織變化：珠光體中的片狀滲碳體逐漸變成球狀顆粒，分布在鐵素體中。

核心觀念

晶向 $[uvw]$ 表示沿晶胞三個座標軸的位移比例為 $u:v:w$。上方的橫線表示負方向，例如 $[\bar{1}10]$ 的分量是 $(-1,1,0)$。

晶向只規定方向與分量比例，沒有固定的起點。因此，畫在單位立方晶胞內時，可以平移箭頭，並將向量等比例縮短，使箭頭的起點與終點都落在晶胞內。以下座標均以晶胞邊長為 $1$，依序表示 $(x,y,z)$。

解題方法

對每個晶向選擇起點，使負分量從相應座標的 $1$ 出發、正分量從 $0$ 出發，再按分量比例縮短向量，直到終點仍在晶胞內。只要終點減起點等於原晶向的正比例倍數，所畫箭頭就符合題意。

各小題作圖

(a) $[\bar{1}10]$

取起點 $(1,0,0)$，沿 $(-1,1,0)$ 移動：

$$(1,0,0)\longrightarrow(0,1,0)$$

位移為 $(-1,1,0)$，因此箭頭位於 $z=0$ 的底面，從 $x=1,y=0$ 指向 $x=0,y=1$。

(b) $[\bar{1}\bar{1}1]$

取起點 $(1,1,0)$，沿 $(-1,-1,1)$ 移動：

$$(1,1,0)\longrightarrow(0,0,1)$$

位移為 $(-1,-1,1)$，因此從底面角點 $(1,1,0)$ 指向頂面角點 $(0,0,1)$。

(c) $[\bar{1}\bar{2}1]$

若直接使用 $(-1,-2,1)$，在晶胞邊長為 $1$ 時會超出晶胞。將向量縮短為原來的 $\frac{1}{2}$ 倍：

$$(1,1,0)\longrightarrow\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)$$

位移為

$$\left(-\frac{1}{2},-1,\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{2}(-1,-2,1)$$

因此，從底面角點 $(1,1,0)$ 指向晶胞內的點 $\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)$。

(d) $[1\bar{2}3]$

核心觀念

本題考的是異價陽離子置換所造成的晶格點缺陷，以及電中性條件。當二價陽離子進入 $Al_2O_3$ 並取代三價的 $Al^{3+}$ 時，每次置換都使晶格少一個單位的正電荷，因此必須形成帶有正有效電荷的補償缺陷。

題幹先提到 $MgO$，後半句則詢問 $Ca^{2+}$ 的數目。**$Mg^{2+}$ 與 $Ca^{2+}$ 均為二價陽離子，取代 $Al^{3+}$ 時的電荷差相同，因此本題的補償比例一致。**以下以 $M^{2+}$ 代表這兩種二價陽離子，並採用其占據鋁離子晶格位置的置換模型。

以 Kröger–Vink 缺陷符號表示：

• $M_{Al}'$：二價陽離子占據鋁位置，相對於原本的 $Al^{3+}$，具有一個單位的負有效電荷。
• $V_O^{\bullet\bullet}$：氧空位，具有兩個單位的正有效電荷。
• $Al_i^{\bullet\bullet\bullet}$：鋁間隙離子，具有三個單位的正有效電荷。

其中，撇號 $'$ 表示負有效電荷，圓點 $\bullet$ 表示正有效電荷；下標 $Al$、$O$ 與 $i$ 分別表示鋁位置、氧位置與間隙位置。有效電荷是相對於完整晶格的電荷差，並非該離子的實際電荷。

解題方法

先求出每個置換離子的有效電荷，再以電荷守恆求出各種補償缺陷所需的離子數。

每個 $M^{2+}$ 取代 $Al^{3+}$ 所造成的電荷差為：

$$\Delta q=(+2)-(+3)=-1$$

因此，若一個補償缺陷具有 $+z$ 的有效電荷，就需要 $z$ 個 $M_{Al}'$ 與它配合，使總有效電荷為零。

一、氧空位補償

氧位置原本由 $O^{2-}$ 占據。缺少一個 $O^{2-}$，相當於晶格少了兩個單位的負電荷，因此氧空位的有效電荷為 $+2$。

設形成一個氧空位需要 $n$ 個二價置換離子，則：

$$n(-1)+(+2)=0$$

得到：

$$n=2$$

其電中性缺陷組合為：

$$2M_{Al}'+V_O^{\bullet\bullet} \qquad \text{總有效電荷}=2(-1)+2=0$$

所以，每形成一個氧空位，需要加入並置換鋁位置的 $2$ 個 $Ca^{2+}$；對 $Mg^{2+}$ 也是相同比例。

二、鋁間隙離子補償

核心觀念

本題考查腐蝕穿透速率（$CPR$）與腐蝕失重、材料密度、暴露面積及腐蝕時間的關係：

$$CPR=\frac{KW}{\rho At}$$

採用調整常數 $K=87.6$ 時，單位須配合為：$CPR$ 用 $\mathrm{mm/yr}$、失重 $W$ 用 $\mathrm{mg}$、密度 $\rho$ 用 $\mathrm{g/cm^3}$、面積 $A$ 用 $\mathrm{cm^2}$，時間 $t$ 用小時。求得時間後，再由 $1\ \mathrm{yr}=8760\ \mathrm{hr}$ 換算成年。

解題方法

將題目給定數值代入前，先統一單位。腐蝕失重為

$$W=2.4\ \mathrm{kg} =2.4\times10^6\ \mathrm{mg}$$

核心觀念

本題考查三點彎曲試驗中，試片表面所受的最大彎曲正應力，以及如何將計算結果與材料的抗彎強度比較。圓柱試片在中央受力時，最大彎矩為

$$M=\frac{FL}{4}$$

彎曲正應力由彎曲公式求得：

$$\sigma=\frac{My}{I}$$

其中 $y$ 是試片中心至最外表面的距離；對半徑為 $r$ 的圓柱試片，$y=r$，截面二次慣性矩為 $I=\frac{\pi r^4}{4}$。

解題方法

將題目給定的載重、支點間距與半徑代入公式，計算試片表面的最大彎曲應力，再與報告的抗彎強度 $400\ \mathrm{MPa}$ 比較。

先代入彎矩公式：

$$M=\frac{FL}{4} =\frac{(600\ \mathrm{N})(30\ \mathrm{mm})}{4} =4500\ \mathrm{N\cdot mm}$$

試片半徑為 $r=2.4\ \mathrm{mm}$，因此

$$y=2.4\ \mathrm{mm}$$ $$I=\frac{\pi r^4}{4} =\frac{\pi(2.4\ \mathrm{mm})^4}{4}$$

代入彎曲應力公式：

核心觀念

位錯是晶體中的線缺陷，指晶格排列局部偏離理想週期性的位置；其特徵可用柏氏向量描述。題目考的是材料中位錯的主要來源，而非位錯的幾何分類。

解題方法

依材料製備與受力過程整理位錯的來源：

1. 凝固與晶體生長：晶體由液相凝固時，各區域晶格的生長與接合不完全，會留下位錯。
2. 塑性變形：外力使晶體沿滑移面發生剪切，晶格局部錯移，形成位錯；既有位錯也能在應力作用下增殖，例如透過弗蘭克－瑞德源反覆產生位錯。

核心觀念

本題考查延性金屬受拉時的工程應力–工程應變曲線，以及曲線上各物理量的定義。曲線以工程應變為橫軸、工程應力為縱軸；彈性區的斜率為楊氏模數，材料進入塑性變形時對應降伏應力，而曲線最高點對應極限抗拉強度。

解題方法與曲線

先以試片的原始尺寸定義工程應力與工程應變，再依序標出線性彈性區、降伏點、極限抗拉強度，以及達到極限抗拉強度後的縮頸與斷裂區。

工程應力 σ
    ↑
    │                                  ● U：極限抗拉強度
    │                              _.-´  \
    │                          _.-´       \       ● F：斷裂
    │               ● Y  _..-´             `----´
    │             _.-´
    │           /       彈性區斜率 = E
    │         /
    │       /
    └────────────────────────────────────────→ 工程應變 ε
              Y：降伏點

此圖為延性金屬的示意曲線。試片開始受拉時，應力與應變近似呈線性關係；超過降伏後，材料產生永久塑性變形。加工硬化使工程應力繼續上升，直到達到最高點 U；之後試片局部縮頸，工程應力下降，最後在 F 點斷裂。

名詞定義與單位

(A) 應力（Stress）

工程應力定義為施加拉力除以試片的原始截面積：

$$\sigma = \frac{F}{A_0}$$

其中 $F$ 為拉力，$A_0$ 為原始截面積。應力的 SI 單位是帕斯卡（Pa），即 $\mathrm{N/m^2}$；材料力學中常用 $\mathrm{MPa}$ 或 $\mathrm{GPa}$。

(B) 應變（Strain）

工程應變定義為長度變化量除以原始長度：

$$\varepsilon = \frac{L-L_0}{L_0} = \frac{\Delta L}{L_0}$$