113 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班甲組《材料科學》

本題考查材料中的點缺陷、線缺陷與面缺陷的定義。

• 點缺陷 (Point Defect)：指的是晶體結構中局部區域的缺陷，例如空位 (vacancy)、間隙原子 (interstitial atom) 或取代原子 (substitutional atom)。
• 線缺陷 (Linear Defect)：又稱位錯 (dislocation)，是晶體結構中原子排列的一維缺陷。

本題考查材料的各向異性 (Anisotropy) 的定義。

• 各向異性 (Anisotropy)：指材料的物理性質（如力學性質、電學性質、光學性質等）隨晶體取向的不同而變化。這在單晶材料中尤其明顯，多晶材料中的晶粒取向隨機時，宏觀上可能表現為各向同性，但若晶粒有择優取向，則會呈現各向異性。

此題需要根據圖示判斷醫用裝置的種類。圖 1 顯示的是一個中空的管狀結構，用於連接血管或導引體液。

• (A) Tubing：泛指各種管子，可能是醫用，也可能不是。
• (B) Vascular graft：血管移植物，用於替代或修補受損的血管。圖示的結構與血管移植物的外觀和用途相符，通常是中空管狀，用於連接血管。

此題需要根據圖示判斷醫用裝置的種類。圖 2 顯示的是一個瓣膜結構，有數個瓣葉，用於控制血液單向流動，這明顯是心臟瓣膜。

本題考查不同顯微鏡和光譜儀的操作條件。高真空環境對於電子束的穩定傳輸和樣品表面分析至關重要。

• (A) Optical microscopy (光學顯微鏡)：在常壓下操作即可。
• (B) X-ray (X射線)：X射線衍射 (XRD) 或X射線螢光 (XRF) 等技術通常不需要高真空，但X射線成像技術（如X光機）可以在常壓或低真空下進行。
• (C) FTIR (傅立葉轉換紅外光譜儀)：在常壓下操作，通常需要密閉的樣品室以避免空氣中的水氣和二氧化碳干擾。

本題考查 SEM (Scanning Electron Microscopy, 掃描式電子顯微鏡) 的工作原理及其與其他成像技術的比較。SEM 使用聚焦的電子束掃描樣品表面，並偵測與表面相互作用產生的二次電子或背散射電子來形成影像。

• (A) Optical microscopy (光學顯微鏡)：使用可見光作為成像光源，與 SEM 的電子束不同。
• (B) X-ray (X射線)：X射線成像通常是利用穿透性差異，與 SEM 掃描表面並偵測表面信號的原理不同。
• (C) FTIR (傅立葉轉換紅外光譜儀)：是光譜分析技術，不是成像技術。

核心觀念

晶體方向 $[uvw]$ 表示向量在 $x$、$y$、$z$ 三個晶軸上的分量比例：

因此，$[121]$ 代表：

三個指數必須化為最簡整數比，且方向為正 $x$、正 $y$、正 $z$。

解題方法

由圖中座標軸判定，選項 B 的向量可表示為：

將各分量同乘 $2$：

所以其方向指數為：

本題考查金屬加工方法及其表面特徵。圖 4 顯示了一個齒輪，其表面（特別是齒面）呈現較深的顏色。這通常表示經過了表面處理，以提高硬度、耐磨性或耐腐蝕性。

• (A) Forged (鍛造)：是一種塑性加工方法，通常用於製造高強度零件。鍛造後，零件的顏色通常與其本體材料顏色一致，除非有後續的表面處理。
• (B) Case hardened (表面硬化)：是一種熱處理工藝，通過在金屬零件表面形成一層高硬度、耐磨損的硬化層，而內部保持韌性。常見的表面硬化方法包括滲碳 (carburizing)、氮化 (nitriding) 和感應加熱淬火 (induction hardening)。

本題考查材料力學測試方法。圖 5 顯示了一個測試裝置，包括一個擺錘 (pendulum)、一個樣品支架、以及指示測試結果的標尺。這種裝置通常用於測試材料的衝擊強度 (Impact Strength)。

• (A) Energy：雖然衝擊測試會測量能量，但「Energy」本身不是測試的名稱。
• (B) Gravity：重力與測試本身無直接關係，除非是利用重力勢能。

核心觀念

金屬晶體中的空孔（vacancy）是指晶格位置上缺少一個原子的點缺陷。空孔數量主要由熱平衡決定，其平衡空孔濃度為

其中：

• $N_v$：空孔數目
• $N$：總晶格位置數
• $S_v$：空孔形成熵
• $Q_v$：空孔形成能
• $k$：波茲曼常數
• $T$：絕對溫度

在一般判斷題中，最重要的關係是

溫度升高時，原子具有較高的熱振動能，更多原子能克服形成空孔所需的能量，因此空孔數量會快速增加。

解題方法

題目問金屬內部空孔數量「主要取決於」何者，應從點缺陷的熱平衡關係判斷。

由公式可知，溫度 $T$ 位於指數項的分母，對空孔數量具有非常顯著的影響。即使空孔形成能 $Q_v$ 固定，溫度升高也會使

變得較不負，因而使空孔濃度呈指數增加。

因此，空孔數量最主要取決於溫度。

選項分析

(A) crystal structure

晶體結構會影響原子排列、鍵結環境與空孔形成能 $Q_v$，因此確實可能影響空孔濃度。

本題考查材料的結合能 (bonding energy) 與其物理性質的關係。結合能是指將材料中的原子或分子分開所需克服的能量，結合能越高，原子間的束縛力越強。

• (A) Melting point (熔點)：熔化是克服原子間的結合力，使材料從固態變為液態的過程。結合能越高，熔點通常越高。
• (B) Conductivity (導電性)：導電性，特別是金屬的導電性，主要與自由電子的濃度和遷移率有關，而非原子間的結合能。雖然結合能強的金屬可能電子較不易逸出，但導電性更多取決於電子結構和晶體缺陷。

本題考查擴散 (diffusion) 在固態金屬中的行為，特別是哪些元素在鐵中的擴散速率較快。擴散速率受多種因素影響，包括擴散原子的尺寸、化學性質、與基體金屬的交互作用，以及溫度等。通常，尺寸較小且在基體中以間隙式擴散 (interstitial diffusion) 方式移動的原子，擴散速率較快。

• (A) Mo (鉬)、(C) Cr (鉻)、(D) W (鎢)：這些都是金屬元素，在鐵（Fe）中通常是以固溶形式存在，並且尺寸較大，擴散方式以取代式擴散 (substitution

本題考查二次鍵結 (Secondary Bonding) 的來源。二次鍵結，也稱為範德華力 (Van der Waals forces)，是原子或分子之間較弱的吸引力，與一次鍵結（離子鍵、共價鍵、金屬鍵）的強度差異很大。

二次鍵結主要有以下幾種來源：

1. 永久偶極-永久偶極作用 (Dipole-Dipole Interaction)：由具有永久偶極矩的分子之間產生。
2. 永久偶極-誘導偶極作用 (Dipole-Induced Dipole Interaction)：由永久偶極矩的分子誘導非極性分子產生偶極矩，進而產生吸引力。

本題考查不同種類材料的楊氏模數 (Young's Modulus)，楊氏模數是衡量材料剛度或稱「韌性」(stiffness) 的指標。

• 金屬 (Metals)：通常具有較高的楊氏模數，一般在 50-400 GPa 範圍內。
• 陶瓷 (Ceramics)：許多陶瓷材料（如氧化物、碳化物、氮化物）具有非常高的楊氏模數，通常比金屬更高，例如氧化鋁可達 400 GPa，碳化矽可達 400-500 GPa。

本題考查碳的同素異形體 (allotropes)。同素異形體是指同一元素以兩種或兩種以上不同結構形式存在。

• (A) Fullerenes (富勒烯)：如 C60，是碳的一種同素異形體，由碳原子組成籠狀、管狀或橢球狀結構。
• (B) Diamond (金剛石)：是碳的一種同素異形體，具有極為堅硬的四面體結構。

本題考查形狀記憶合金 (Shape Memory Alloy, SMA) 的相變機制。形狀記憶合金在特定溫度下會發生可逆的相變，使其能夠在加熱時恢復到預設的形狀。

形狀記憶效應主要發生在兩種相之間：

• 麻田散鐵相 (Martensite)：在較低溫度下的非穩定相，具有較低的對稱性，容易發生變形。
• 奧氏體相 (Austenite)：在較高溫度下的穩定相，具有較高的對稱性。

形狀記憶效應的工作原理是：

1. 在較低溫度下，材料處於麻田散鐵相，可以被塑性變形。
2. 當加熱到一定溫度（通常高於麻田散鐵相的重組溫度 A_s 或 A_f），材料會轉變回奧氏體相。
3. 在轉變過程中，材料會恢復到其原始的奧氏體相的形狀。

本題考查共析轉變 (eutectoid transformation) 的驅動力。共析轉變是指在一個單一固體相在高於某一溫度時分解成兩種不同固體相的過程。例如，鋼中的奧氏體 (austenite) 在共析溫度 (727°C) 下轉變為波來鐵 (pearlite)，即鐵素體 (ferrite) 和碳化物 (cementite) 的混合物。

相變的發生通常需要驅動力，這個驅動力來源於系統能量的降低。

• (A) Diffusion (擴散)：擴散是原子在固態中遷移的過程，是相變發生的必要條件，因為原子需要重新排列形成新的相。然而，擴散本身不是相變的「驅動力」，而是相變發生的「機制」。
• (B) Supercooling (過冷)：過冷是指將物質的溫度降低到其正常凝固點或相變點以下，但物質仍保持液態或原有固態。

本題考查鋼的熱處理過程中不同微觀結構的形成溫度範圍。這些結構都是由鐵素體 (ferrite) 和滲碳體 (cementite) 組成，只是它們的形態和分佈不同。

• 波來鐵 (Pearlite)：由片狀的鐵素體和滲碳體交替組成。
  • 細波來鐵 (Fine Pearlite)：在較低的溫度（接近共析溫度 727°C）下，經過較短的過冷時間形成，滲碳體片較薄，間距較小。
  • 粗波來鐵 (Coarse Pearlite)：在較高的溫度（遠離共析溫度）或較長的退火時間下形成，滲碳體片較厚，間距較大。
• 球狀化鐵素體 (Spheroidite)：是波來鐵或麻田散鐵經過長時間高溫退火後，滲碳體片狀結構轉變為球狀顆粒狀，通常在接近或略低於共析溫度的溫度下形成。

本題考查鋼的各種熱處理後微觀結構的力學性能，特別是強度。強度通常與材料的晶粒細度、缺陷密度、以及相的形態和硬度有關。

• 麻田散鐵 (Martensite)：是鋼在淬火 (quenching) 後形成的一種過飽和的碳在 $\alpha$-Fe 中的固溶體，具有非常高的硬度和強度，但同時脆性也較大。
• 回火麻田散鐵 (Temper Martensite)：是將淬火得到的麻田散鐵進行回火處理後形成的結構。回火會使過飽和的碳析出形成細小的碳化物，並降低內應力，從而提高韌性，但強度和硬度會有所下降。

本題考查相圖 (Phase Diagram) 的基本概念。圖 6 是銅 (Cu) 和銀 (Ag) 的二元相圖。

• 組元 (Components)：相圖中的組元是指獨立的化學實體，它們的濃度可以獨立變化。在這個 Cu-Ag 相圖中，只有銅和銀兩種金屬，因此是二元體系，有 2 個組元。

• 相 (Phases)：相是指在系統中具有均勻化學成分和相同晶體結構的區域。在一個給定的溫度和成分下，相圖會顯示出系統中存在的相。

  • 在 Cu-Ag 相圖中，我們可以觀察到：
    • 純 Cu 和純 Ag 的區域。
    • 固溶體區域 ($\alpha$ 和 $\beta$)。
    • 共晶點 (eutectic point) 處的液相和兩固溶體。
    • 在某些溫度和成分下，可能同時存在液相、$\alpha$ 相和 $\beta$ 相。

  題目問的是「how many components and phases respectively?」。這句話的問法有些含糊。它可能是在問：

  1. 這個相圖總共有多少個組元，以及在特定條件下最多能有多少個相？
  2. 這個相圖總共有多少個組元，以及圖中顯示的相的總數？

  讓我們假設問題是指：這個相圖的體系有多少個組元，以及在圖中顯示的相的數量。

  • 組元：明顯是 Cu 和 Ag，所以是 2 個組元。
  • 相：在圖中，我們可以看到：
    • 液相 (Liquid, L)
    • $\alpha$ 相 (Cu-rich solid solution)

本題考查鋼的微觀結構識別。圖 7 顯示了鋼的微觀結構圖像。仔細觀察圖像，可以看到由兩種不同成分或形態組成的區域。其中，較亮的區域是鐵素體 ($\alpha$-ferrite)，較暗的區域是碳化物（在此情況下為滲碳體，Fe3C）。這兩種相以層狀或片狀交替排列的結構，是典型的波來鐵 (Peralite) 的特徵。

本題考查二元相圖中的特殊反應類型，特別是包晶反應 (peritectic reaction)。包晶反應是發生在固體相和液相之間，生成另一種固體相的反應。其一般形式為：Liquid + Solid1 $\rightarrow$ Solid2。

圖 8 是一個二元相圖，其中標示了 A, B, C, D, E 幾個點。我們需要識別出代表包晶反應的點。

在二元相圖中，通常有以下幾種特殊的反應點：

• 共晶反應 (Eutectic reaction)：Liquid $\rightarrow$ Solid1 + Solid2 (在一個固定溫度下，液相轉變為兩種固相)。
• 包晶反應 (Peritectic reaction)：Liquid + Solid1 $\rightarrow$ Solid2 (在一個固定溫度下，液相與一種固相反應生成另一種固相)。

本題考查影響材料疲勞壽命 (fatigue life) 的因素及改善方法。疲勞壽命是指材料在循環載荷作用下發生斷裂前所能承受的循環次數。

• (A) Applied tension on material (施加拉伸應力)：持續的拉伸應力會增加材料的總應力，可能縮短疲勞壽命，特別是當拉伸應力接近材料的屈服強度時。
• (B) Surface roughness (表面粗糙度)：表面缺陷，如劃痕、毛刺等，是應力集中源，容易引發疲勞裂紋萌生，因此表面越粗糙，疲勞壽命越短。

核心觀念

位錯密度（dislocation density）定義為單位體積內所含的位錯總線長：

其中：

• $\rho_d$：位錯密度
• $L_{\text{total}}$：材料內所有位錯的總長度
• $V$：材料體積

由於位錯是晶體中的線缺陷，因此位錯密度的量綱為「長度除以體積」。

解題方法

若以毫米作為長度單位，則：

因此，位錯密度的單位為每平方毫米，即 $\text{mm}^{-2}$。

選項分析

• (A) mm：錯誤。
  $\text{mm}$ 是長度單位，僅能描述單一位錯線段的長度，不能表示單位體積內的位錯總量。

本題考查楊氏模數 (Young's Modulus) 的單位。楊氏模數是衡量材料抵抗彈性形變能力的指標，定義為材料在單軸拉伸或壓縮時，應力 (stress) 與應變 (strain) 的比值。

楊氏模數 $E = \frac{\sigma}{\epsilon}$
其中：

• $\sigma$ (stress) 是應力，單位是 力/面積，例如 N/m² (Pascal, Pa)。

本題考查用於測試材料力學性質的儀器或標準。

• (A) ASTM (American Society for Testing and Materials)：ASTM 是一個國際標準化組織，制定了眾多材料測試的標準和規範，但 ASTM 本身不是測試儀器。

核心觀念

滑移系統是「滑移面＋面內滑移方向」的組合。計算數量時，要數出晶體中可供位錯滑移的不同面族與方向族組合。常見金屬晶體中，體心立方（BCC）可有多組滑移面族，因此幾何上可列出的滑移系統最多。

解題方法

比較各結構常見的滑移系統數量：

• BCC：常見滑移面族包括 $\{110\}$、$\{112\}$、$\{123\}$，滑移方向為 $\langle 111\rangle$。合計可列出 $12+12+24=48$ 個滑移系統。
• FCC：主要滑移系統為 $\{111\}\langle 110\rangle$。有 4 個等價滑移面，每個面內有 3 個滑移方向，共 $4\times3=12$ 個。
• HCP：最容易啟動的是基面滑移，通常列為 3 個基面滑移系統；其他非基面滑移系統是否啟動，取決於材料與條件。整體而言，HCP 的滑移選擇通常比 BCC 少。NPTEL 教材、晶體塑性回顧
• BCT：體心四方結構的滑移系統會受材料與晶格參數影響；

本題考查增強材料強度的方法。強度是指材料抵抗永久變形的行為。

• (A) Quench (淬火)：淬火是快速冷卻金屬（特別是鋼）的過程，通過形成細小的麻田散鐵結構，可以顯著提高材料的硬度和強度。
• (B) Grain size increase (晶粒尺寸增大)：根據 Hall-Petch 定律，材料的屈服強度與晶粒尺寸的平方根成反比 ($\sigma_y = \sigma_0 + k d^{-1/2}$)。因此，減小晶粒尺寸可以提高強度，而增大晶粒尺寸會降低強度。

本題考查常見的硬度測試方法。硬度測試是測量材料抵抗表面壓痕或刮擦的能力。

• (A) Vickers (維氏硬度)：使用金剛石方形錐壓痕器，通過測量壓痕的對角線長度來計算硬度。
• (B) Brinell (布氏硬度)：使用硬質合金球壓痕器，通過測量壓痕直徑來計算硬度。

本題考查臨界分解剪切應力 (Critical Resolved Shear Stress, CRSS) 與材料力學性質的關係。CRSS 是指在特定滑移系上，材料開始發生滑移（塑性變形）所需的最小剪切應力。

• CRSS 的定義本身就是一種剪切應力。
• Yielding strength (屈服強度)：對於多晶材料，由於晶粒取向不同，滑移的發生與外加應力（通常是拉伸或壓縮應力）和晶面取向有關。屈服強度是材料開始發生顯著塑性變形時的應力。在單晶材料中，當外加應力通過方向因子 (Schmid factor) 轉換為滑移系上的剪切應力，並達到 CRSS 時，就會發生滑移，表現為屈服。因此，CRSS 直接決定了材料的屈服強度。

本題考查金屬彈性變形 (elasticity) 的本質。彈性變形是指在外力去除後，材料能夠恢復到原有形狀的變形。

• (A) Bond stretch (鍵伸長)：金屬中的原子通過金屬鍵結合在一起。當施加外力時，原子間的平均距離會發生微小的變化，即金屬鍵被拉伸或壓縮。這種鍵的伸長是可逆的，當外力去除後，鍵會恢復到原來的長度，從而使材料恢復原狀。這是彈性變形的主要原因。

核心觀念

陶瓷材料具有以下特性：

• 抗壓強度高。
• 抗拉強度低。
• 脆性大，幾乎沒有塑性變形。
• 對表面裂縫、缺口與夾持應力非常敏感。

因此，陶瓷材料不適合直接進行一般金屬常用的拉伸試驗。試片在夾持及施加拉力時容易因偏心、滑移或夾持處應力集中而提前破壞，造成測試結果不穩定。

工程上通常利用**彎曲試驗（flexural test）**間接測定陶瓷的抗拉強度。彎曲試片時，一側承受拉應力，另一側承受壓應力；陶瓷通常會在受拉側的最大缺陷處開始破壞，因此可由破壞時的彎曲應力評估其抗拉強度。

以三點彎曲試驗為例，矩形試片的最大彎曲應力為

其中：

• $P$：破壞時的載重
• $L$：支承間距
• $b$：試片寬度
• $h$：試片厚度

此最大應力位於試片外表面，受拉側的表面通常是陶瓷最先破壞的位置。

解題方法

題目問的是「用來測試陶瓷材料抗拉強度的試驗」。

判斷重點不是單看「抗拉強度」三個字，而是考慮陶瓷的脆性與試驗可行性：

1. 陶瓷直接拉伸時，夾持處容易產生應力集中。
2. 陶瓷幾乎沒有塑性變形，微小裂縫就可能導致突然破壞。
3. 彎曲試驗能在試片受拉側產生拉應力。
4. 由破壞載重計算最大彎曲應力，即可評估陶瓷的抗拉強度。

因此，工程與材料試驗中通常採用 flexural test 測定陶瓷的抗拉性能，正確選項為 (D)。

選項分析

(A) tensile test

錯誤。

拉伸試驗確實是直接測量材料抗拉強度的基本方法，但陶瓷屬於脆性材料，直接拉伸時容易受到以下因素影響：

本題考查鋼中麻田散鐵 (martensite) 的晶體結構。麻田散鐵是鋼在淬火過程中形成的一種非平衡相，其形成是奧氏體 (austenite) 在快速冷卻時，碳原子來不及擴散而發生無擴散的馬氏體轉變 (martensitic transformation)。

• 在碳含量較低的鋼中，麻田散鐵的晶體結構是體心四方 (Body-Centered Tetragonal, BCT)。這是因為碳原子進入奧氏體（FCC）形成麻田散鐵時，嵌入到四面體或八面體間隙中，導致晶格發生畸變，從立方體變為四方體。

本題考查鋼的微觀結構。題目描述的結構是 $\alpha$-ferrite（鐵素體）和 Fe3C（滲碳體）以交替層狀排列。

• (A) Austenite (奧氏體)：是 FCC 結構，是高溫穩定的相。
• (B) Bainite (貝氏體)：由鐵素體和細小的碳化物組成，但碳化物形態不是層狀的。
• (C) Cementite (滲碳體)：是 Fe3C 化合物，是鋼中的硬相。

本題考查回火 (tempering) 對鋼性能的影響。回火是將淬火後的麻田散鐵加熱到一定溫度並保溫後冷卻的熱處理過程。回火的主要目的是降低脆性，提高韌性，同時也對強度和硬度產生影響。

• 回火溫度升高時，會發生以下變化：
  • 韌性 (Toughness) 和延展性 (Ductility)：隨著回火溫度的升高，細小的碳化物會聚集長大，形成粗大的球狀碳化物，同時殘餘奧氏體也會轉變為波來鐵或貝氏體。這會導致材料的強度和硬度下降，但韌性和延展性顯著提高。
  • 強度 (Strength) 和硬度 (Hardness)：回火麻田散鐵的強度和硬度高於未回火麻田散鐵，但隨著回火溫度的進一步升高，碳化物顆粒長大，位錯密度降低，強度和硬度都會下降。

本題考查退火 (annealing) 對材料性能的影響。退火是一種熱處理工藝，通常包括加熱到一定溫度，保溫，然後緩慢冷卻。退火的主要目的是消除內應力，軟化材料，提高延展性和韌性，改善加工性能。

• (A) Ductility (延展性)：退火過程中，材料中的位錯會重新排列和湮滅，晶粒會重新結晶和長大，這些過程都會降低材料的強度和硬度，但會顯著提高延展性和韌性。

本題考查安全係數 (safety factor) 的計算。安全係數定義為材料的強度（通常是屈服強度或極限強度）與實際承受的最大應力之比。

安全係數 (SF) = $\frac{\text{材料強度}}{\text{最大承受應力}}$

核心觀念

本題考的是金屬拉伸試驗中「抗拉強度」與「斷裂應力」的差異，以及頸縮現象對工程應力的影響。

工程應力定義為

其中 $F$ 為拉伸載荷，$A_0$ 為試片原始截面積。

抗拉強度（tensile strength，通常指工程應力–應變曲線的最大值）為

斷裂應力若以工程應力表示，則為斷裂瞬間的載荷除以原始截面積：

對具有延性的金屬而言，試片達到抗拉強度後會發生頸縮（necking）。頸縮區的局部截面積快速減小，承載載荷也隨之下降，因此斷裂時的工程應力通常低於抗拉強度。

解題方法

觀察典型延性金屬的工程應力–工程應變曲線：

1. 試片均勻變形，載荷持續增加。
2. 曲線達到最大工程應力，此點即為抗拉強度。
3. 最大載荷後，試片局部形成頸縮。
4. 頸縮使試片的承載能力下降，拉伸載荷 $F$ 減小。
5. 由於工程應力仍以固定的原始面積 $A_0$ 計算，因此斷裂時

所以，造成「斷裂應力通常低於抗拉強度」的直接原因是頸縮。

本題考查描述材料延展性 (ductility) 的指標，特別是在斷裂點。延展性是指材料在斷裂前發生塑性變形的能力。

• (A) % elongation (% 伸長率)：伸長率是指材料在斷裂時，其斷裂後的總長度與原始長度之差，除以原始長度，再乘以 100%。它直接反映了材料在斷裂前能夠被拉伸多少，是衡量延展性最重要的指標之一。

核心觀念

晶界是兩個晶粒之間的界面。相鄰晶粒通常具有不同的晶體取向，因此其滑移面與滑移方向不會連續對接。

位錯在晶粒內移動時，必須沿特定的滑移系統運動。當位錯抵達晶界，若相鄰晶粒的晶體取向不同，原位錯的滑移面與滑移方向通常無法直接延伸進入下一晶粒，必須重新組合、轉換滑移系統，或需要更大的外加應力才能穿越晶界。因此，晶界會阻礙位錯運動，造成材料的降伏強度提高，這就是細晶強化的基礎。

常用 Hall–Petch 關係表示晶粒尺寸對強度的影響：

其中 $\sigma_y$ 為降伏強度，$\sigma_0$ 為晶格摩擦應力，$k_y$ 為材料常數，$d$ 為平均晶粒尺寸。晶粒越細，晶界越多，位錯越容易受到阻礙，材料強度越高。

解題方法

判斷晶界阻礙位錯的主要原因，應觀察相鄰晶粒之間的「晶體取向」與「滑移系統」是否相容。

題幹詢問晶界為何能阻礙位錯通過。相鄰晶粒具有不同的晶體取向時：

1. 兩晶粒的晶格排列方向不同。
2. 滑移面與滑移方向通常無法在晶界處連續銜接。
3. 位錯難以直接由一個晶粒延伸至另一個晶粒。
4. 位錯可能在晶界前累積形成位錯塞積，必須增加外加應力才可繼續變形。

因此，正確原因是相鄰晶粒具有不同的晶體學方向。

選項分析

(A) Atomic order

核心觀念

本題考查鋼材依碳含量所作的分類。

低碳鋼（low-carbon steel，又稱 mild steel）通常指碳含量約為：

其中「常見的上限」通常採用質量百分比 $0.25\%$。低碳鋼具有良好的延性、韌性、焊接性與加工性，但硬度及強度相對較低。

常見分類如下：

不同教材的分界數值可能略有差異，但本題選項對應的是最常用的分類方式。

解題方法

題目詢問 low-carbon steel 的 common upper limit，也就是低碳鋼碳含量範圍的上界。

依材料科學中最常見的鋼材分類：

本題考查鑄鐵 (cast iron) 和鋼 (steel) 的區別，特別是主要相的不同。鋼和鑄鐵的區別在於碳含量。鋼的碳含量通常低於 2.14 wt%，而鑄鐵的碳含量高於 2.14 wt%。

由於鑄鐵的碳含量較高，在凝固和隨後的熱處理過程中，碳的溶解度大大降低，大部分碳會以碳化物或石墨的形式析出。

• 在鋼中，碳主要以固溶於鐵素體中的形式存在，或者與鐵形成波來鐵、麻田散鐵等結構。
• 在鑄鐵中，除了可能含有鐵素體、波來鐵等結構外，由於碳含量高，碳會以石墨 (Graphite) 或滲碳體 (Cementite, Fe3C) 的形式大量析出。

根據鑄鐵的種類，碳的形態不同：

• 灰口鑄鐵 (Gray cast iron)：碳主要以石墨片的形式存在。

核心觀念

本題考查鑄鐵中石墨形態與鑄鐵種類的關係：

• 灰口鑄鐵：石墨呈片狀。
• 白口鑄鐵：碳主要以滲碳體（cementite，$Fe_3C$）存在，顯微組織中沒有明顯石墨。
• 可鍛鑄鐵（malleable cast iron）：石墨經熱處理後呈不規則團絮狀或回火碳形態。
• 球墨鑄鐵（ductile cast iron）：石墨呈近似球狀或 nodular 形態，可改善應力集中，因此延性較佳。

解題方法

觀察 Fig. 9 可見基體中分布許多近似圓形、球狀的黑色石墨顆粒。石墨不是片狀、團絮狀，也不是完全不存在，因此判定為球墨鑄鐵。

球狀石墨可降低片狀石墨尖端造成的應力集中，使材料具有較高的強度與延性，這也是球墨鑄鐵又稱 ductile cast iron 的原因。

選項分析

本題考查金屬成型工藝。圖 10 顯示了一個金屬成型過程。圖示中有一個模具 (die)，一個加熱的金屬坯料 (blank)，以及施加力的方向。金屬坯料被加熱後，被置於模具中，然後施加壓力使其成型。

• (A) Rolling (軋製)：通常用於將金屬板材或棒材軋成所需形狀，需要輥輪。圖示沒有輥輪。
• (B) Die casting (壓鑄)：將熔融金屬在高壓下注入模具。圖示中的金屬坯料似乎是固態或半固態，而不是熔融金屬。

本題考查材料的幾何形狀和尺寸對其物理性質的影響。

• (A) Resistance (電阻)：電阻的定義是 $R = \rho \frac{L}{A}$，其中 $\rho$ 是電阻率，L 是導體的長度，A 是導體的橫截面積。因此，電阻的數值直接與導體的長度和橫截面積（即幾何形狀和尺寸）有關。

Burgers vector (柏氏向量)

柏氏向量是描述位錯 (dislocation) 的一個重要向量，它代表了在晶體中引入或移動一個位錯時，原子排列所發生的相對位移。

具體來說，柏氏向量的定義和意義如下：

1. 定義：在一個含有位錯的晶體中，選擇一個閉合的迴路，該迴路從某一點出發，經過晶體，最終回到出發點。如果在一個沒有位錯的理想晶體中，這個迴路必然是閉合的。然而，在有位錯的晶體中，這個迴路將不再閉合。從迴路的起點到終點的向量，就是柏氏向量 ($\vec{b}$)。
2. 方向與大小：柏氏向量的方向和大小取決於位錯的類型。
   • 對於刃位錯 (edge dislocation)，柏氏向量垂直於位錯線。
   • 對於螺位錯 (screw dislocation)，柏氏向量平行於位錯線。

Crevice corrosion (縫隙腐蝕)

縫隙腐蝕是金屬在特定環境下，由於局部區域被鈍化膜或異物（如沉積物、污垢、密封件、螺栓連接處等）遮蔽，形成一個狹窄的縫隙，導致該縫隙內部的腐蝕速率顯著高於周圍暴露區域的局部腐蝕現象。

形成機制：

1. 鈍化膜的破壞與溶解：在縫隙內部，由於氧氣供應受限，導致鈍化膜（如果存在）難以維持穩定，或者在某些離子（如氯離子）的作用下被局部破壞。
2. 氧氣濃差電池的形成：縫隙外部的區域與大氣或溶液充分接觸，氧氣濃度高，形成陰極區域。縫隙內部氧氣供應受阻，氧氣濃度低，形成陽極區域。
3. 金屬離子的積聚與水解：在陽極區域，金屬發生氧化（如 M → M⁺ + e⁻）。這些金屬離子進入縫隙內的電解液中。
4. 氯離子的富集：為了維持電中性，帶負電的離子（如 Cl⁻）會從外部溶液向縫隙內部遷移，進一步加劇腐蝕。

Crystal system (晶系)

晶系是根據晶體結構的對稱性，將所有晶體按照其晶軸 (crystallographic axes)、晶軸夾角 (interaxial angles) 和晶胞參數 (unit cell parameters) 的不同組合，劃分為七大類別的分類系統。這七大晶系及其基本特徵如下：

1. 立方晶系 (Cubic)：

   • 晶軸：a = b = c
   • 晶軸夾角：$\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ$
   • 對稱性最高，具有四個三次方對稱軸。
   • 常見結構：簡單立方 (SC)，體心立方 (BCC)，面心立方 (FCC)。

2. 四方晶系 (Tetragonal)：

   • 晶軸：a = b ≠ c
   • 晶軸夾角：$\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ$
   • 具有一個四次方對稱軸。

3. 斜方晶系 (Orthorhombic)：

   • 晶軸：a ≠ b ≠ c
   • 晶軸夾角：$\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ$
   • 具有三個互相垂直的二方對稱軸或鏡面。

Electronegativity (電負度)

電負度是衡量一個原子在化學鍵中吸引共享電子對能力的相對強弱的指標。它是一個無量綱的數值，通常使用鮑林 (Pauling) 電負度標度來表示。

主要特點和意義：

1. 相對值：電負度是一個相對的概念，它不是直接測量得到的物理量，而是根據化合物的鍵能、偶極矩等熱力學數據計算得出的。
2. 週期性趨勢：
   • 在週期表中，從左到右，電負度趨勢增加。這是因為原子核對價電子的吸引力增強，原子半徑減小。
   • 在週期表中，從上到下，電負度趨勢減小。這是因為原子半徑增大，價電子離原子核的距離增加，原子核對價電子的吸引力減弱。
3. 元素電負度差異與鍵的性質：
   • 大差異（通常 > 1.7）：當兩個原子之間的電負度差異很大時，它們之間形成的化學鍵主要是離子鍵 (ionic bond)，即電子幾乎完全轉移給電負度較大的原子。

Frenkel Defect (弗蘭克爾缺陷) 和 Schottky Defect (肖特基缺陷)

這兩種是晶體中常見的點缺陷 (point defects)，主要存在於離子晶體中。它們描述了晶體結構中原子或離子的空缺或錯位。

1. Schottky Defect (肖特基缺陷)

• 定義：肖特基缺陷是指在離子晶體中，由於熱激勵，一對陽離子空位 (cation vacancy) 和陰離子空位 (anion vacancy) 的形成。
• 特點：
  • 電荷守恆：由於陽離子和陰離子是以相同的比例從晶格中移除，因此整個晶體保持電中性。
  • 體積變化小：雖然產生了空位，但由於陽離子和陰離子尺寸的差異，肖特基缺陷對晶體體積的影響相對較小。
  • 常見於鹼金屬鹵化物：如 NaCl、KCl 等。
• 對性質的影響：肖特基缺陷會影響晶體的離子導電性（因為離子可以在空位處遷移）和熱力學性質。

2. Frenkel Defect (弗蘭克爾缺陷)

• 定義：弗蘭克爾缺陷是指一個陽離子（通常尺寸較小）離開其在晶格中的正常位置，移動到相鄰的間隙位置 (interstitial site)，從而同時產生一個陽離子空位和一個陽離子間隙原子。
• 特點：
  • 電荷守恆：由於只是陽離子位置的移動，沒有離子的進出，因此晶體保持電中性。
  • 體積變化小：由於沒有離子的移除，這種缺陷對晶體體積的影響非常小。
  • 常見於陽離子尺寸遠小於陰離子的晶體：如 AgCl、AgBr、ZnS 等。

FCC vs BCC for structure of material (面心立方 vs. 體心立方結構)

FCC (Face-Centered Cubic, 面心立方) 和 BCC (Body-Centered Cubic, 體心立方) 是兩種最常見的金屬晶體結構。它們在原子排列、堆積密度、滑移系數量等方面存在顯著差異，進而影響材料的機械性能。

1. FCC (Face-Centered Cubic, 面心立方)

• 原子排列：在立方體的八個頂點各有一個原子，在每個面的中心各有一個原子。
• 原子數 (每單位晶胞)：8 個頂點原子 + 6 個面中心原子 / 2 = 4 個原子。
• 堆積密度 (Atomic Packing Factor, APF)：0.74 (最高堆積密度，與 HCP 相同)。
• 配位數 (Coordination Number)：12 (每個原子周圍有 12 個最近鄰原子)。
• 滑移系：最常見的滑移系是 {111}<110>，共有 12 個滑移系（4 個 {111} 晶面 × 3 個 <110> 方向）。滑移面是原子密排面。
• 常見材料：鋁 (Al), 銅 (Cu), 金 (Au), 銀 (Ag), 鎳 (Ni), 鉛 (Pb), 鐵 (Fe) 在高溫下的 $\gamma$ 相 (奧氏體)。
• 力學性能特點：通常具有較好的延展性、韌性，易於加工硬化。

2. BCC (Body-Centered Cubic, 體心立方)

• 原子排列：在立方體的八個頂點各有一個原子，在立方體中心有一個原子。
• 原子數 (每單位晶胞)：8 個頂點原子 / 2 + 1 個中心原子 = 2 個原子。
• 堆積密度 (APF)：0.68 (比 FCC 低)。
• 配位數 (Coordination Number)：8 (每個原子周圍有 8 個最近鄰原子)。
• 滑移系：最常見的滑移系是 {110}<111>，共有 12 個。但 BCC 的滑移面不是嚴格的密排面，且滑移行為對溫度敏感。通常認為 BCC 結構的滑移系數量比 FCC 多，或至少與 FCC 相當，但滑移所需的應力通常較高，且隨溫度升高而降低。
• 常見材料：鐵 (Fe) 在室溫下的 $\alpha$ 相 (鐵素體), 鉻 (Cr), 鎢 (W), 鉬 (Mo)。
• 力學性能特點：通常具有較高的強度和硬度，但延展性相對較差，尤其是在低溫下容易發生脆性斷裂。

總結比較：

Hardenability (淬透性)

淬透性是指材料（特別是鋼）在熱處理過程中，能夠通過淬火形成麻田散鐵 (martensite) 的深度或程度。換句話說，它衡量的是在給定冷卻條件下，材料內部能夠維持較高硬度（即形成較多麻田散鐵）的能力。

影響淬透性的因素：

1. 化學成分：
   • 碳含量：碳是形成麻田散鐵的必要元素，但它對淬透性的影響相對較小，主要影響硬度。
   • 合金元素：許多合金元素，如錳 (Mn)、鉬 (Mo)、鉻 (Cr)、鎳 (Ni)、硼 (B) 等，可以顯著提高鋼的淬透性。這些合金元素通過在相變過程中延緩波來鐵和貝氏體的形成，從而使麻田散鐵能夠在更慢的冷卻速率下形成。
2. 奧氏體晶粒尺寸：較大的奧氏體晶粒尺寸通常會提高淬透性，因為晶界是麻田散鐵成核的有利位置，較大的晶粒意味著較少的晶界。

Investment Casting (精密鑄造 / 熔模鑄造)

精密鑄造，也稱為熔模鑄造 (lost-wax casting)，是一種複雜的鑄造工藝，用於製造形狀複雜、尺寸精確、表面光潔度高的金屬零件。其名稱中的「精密」和「熔模」體現了其工藝特點。

工藝步驟：

1. 製作熔模 (Pattern Making)：

   • 首先，使用蠟 (wax) 或其他易熔材料，通過注塑等方式製作出與最終零件形狀完全一致的熔模。
   • 對於複雜的零件，可以將多個熔模組合成一個澆注系統（稱為「蠟件組件」）。

2. 製殼 (Shell Making)：

   • 將熔模浸入預先配製好的耐火材料漿液（通常是陶瓷漿）中。
   • 然後，在漿液表面撒上耐火材料砂粒，以增強殼體的強度。
   • 重複浸漿和撒砂的過程數次，直到形成足夠厚度的陶瓷殼（稱為「熔模殼」）。

3. 熔解熔模 (Dewaxing)：

   • 將乾燥後的熔模殼在烘箱中加熱，使蠟模熔化並從殼體中流出，留下一個精確的空腔。

Hypereutectoid alloy (過共析合金)

過共析合金是指在二元合金相圖中，其成分位於共析點 (eutectoid point) 右側，即合金的共析成分 (eutectoid composition) 含量大於該合金的實際成分。

以鋼為例：

• 鋼的共析反應發生在 727°C 的共析溫度，共析成分約為 0.77 wt% C。
• 過共析鋼 (Hypereutectoid steel)：是指碳含量大於 0.77 wt% 的鋼。
• 共析鋼 (Eutectoid steel)：是指碳含量恰好為 0.77 wt% 的鋼，其在共析溫度下直接轉變為 100% 的波來鐵。
• 亞共析鋼 (Hypoeutectoid steel)：是指碳含量小於 0.77 wt% 的鋼。

過共析鋼的特點：

LED (Light-Emitting Diode, 發光二極體)

LED 是一種半導體元件，當電流通過時，能夠將電能直接轉換為光能發光。它是一種固態光源，與傳統的白熾燈或螢光燈相比，具有體積小、能耗低、壽命長、響應快、顏色多樣等優點。

工作原理：

LED 的核心是一個 p-n 結 (p-n junction)，它是由兩種不同類型的半導體材料（p 型和 n 型）在界面處形成的。

• p 型半導體：含有較多的空穴 (holes) 作為多數載流子。
• n 型半導體：含有較多的自由電子 (electrons) 作為多數載流子。

當對 LED 施加 正向偏壓 (forward bias) 時，即陽極連接到 p 型半導體，陰極連接到 n 型半導體，外部電壓會促使電子從 n 型區域向 p 型區域移動，空穴從 p 型區域向 n 型區域移動。在 p-n 結附近，這些少數載流子（在 n 型區的空穴，在 p 型區的電子）會與多數載流子複合。

發光機制：

Mixed Dislocation (混合位錯)

混合位錯是一種同時具有刃位錯 (edge dislocation) 和螺位錯 (screw dislocation) 特徵的位錯。換句話說，它的柏氏向量 ($\vec{b}$) 與位錯線方向 ($\vec{u}$) 既不完全垂直，也不完全平行，而是成一個角度。

特點：

1. 柏氏向量與位錯線的關係：

   • 對於刃位錯，$\vec{b} \perp \vec{u}$。
   • 對於螺位錯，$\vec{b} \parallel \vec{u}$。
   • 對於混合位錯，$\vec{b}$ 與 $\vec{u}$ 成一個角度 $\theta$ ($0^\circ < \theta < 90^\circ$)。

2. 運動方式：混合位錯的運動方式也兼具刃位錯和螺位錯的特點。

   • 刃位錯的運動（滑移）是沿著與柏氏向量垂直的滑移面進行的。
   • 螺位錯的運動（攀移，climb）可以沿著任何方向，不僅僅局限於滑移面，但需要原子擴散。

Poisson's ratio (蒲松比 / 泊松比)

蒲松比（符號通常為 $\nu$ 或 $\mu$）是材料力學中的一個重要參數，它描述了材料在單軸拉伸或壓縮變形時，橫向應變 (lateral strain) 與軸向應變 (axial strain) 的比值。

定義：

當材料受到單軸拉伸或壓縮時，除了在受力方向上發生應變外，在垂直於受力方向的橫向上也會發生應變。

• 軸向應變 ($\epsilon_{axial}$)：沿著受力方向的應變。
• 橫向應變 ($\epsilon_{lateral}$)：垂直於受力方向的應變。

蒲松比定義為：
$\nu = -\frac{\epsilon_{lateral}}{\epsilon_{axial}}$

符號的意義：

負號出現在公式中，是因為在單軸拉伸時，軸向應變是正的（材料變長），而橫向應變是負的（材料變細）；在單軸壓縮時，軸向應變是負的（材料變短），而橫向應變是正的（材料變粗）。

本題要求繪製金屬合金的拉伸和壓縮應力-應變曲線，並解釋兩者差異。

1. 拉伸應力-應變曲線 (Tensile Engineering Stress-Strain Curve)

繪製一條典型的金屬合金的拉伸應力-應變曲線，並標示出關鍵點：

• 應力 (Stress, $\sigma$)：定義為外力 $F$ 除以材料的原始橫截面積 $A_0$。單位：帕斯卡 (Pa) 或 兆帕 (MPa) 或 吉帕 (GPa)。
• 應變 (Strain, $\epsilon$)：定義為材料的長度變化 $\Delta L$ 除以原始長度 $L_0$。單位：無量綱 (dimensionless)，常以百分比表示。
• 楊氏模數 (Young's Modulus, $E$)：曲線在彈性區的斜率。代表材料抵抗彈性拉伸變形的能力。 $E = \frac{\sigma}{\epsilon}$ (彈性區)。單位：Pa。
• 屈服強度 (Yield Strength, $\sigma_y$)：材料開始發生顯著塑性變形（永久變形）的應力。通常定義為 0.2% 應變下的應力（0.2% offset yield strength）。
• 極限抗拉強度 (Ultimate Tensile Strength, UTS)：曲線所能達到的最高應力點。
• 斷裂強度 (Fracture Strength)：材料斷裂時的工程應力。

示意圖：

graph TD
    O(Origin) -- Elastic Region --> A(Yield Point)
    A -- Plastic Region --> B(Ultimate Tensile Strength)
    B -- Necking --> C(Fracture Point)

    subgraph Stress-Strain Curve
        O -- Slope E --> A
        A -- Increase --> B
        B -- Decrease --> C
    end

    style O fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px
    style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style B fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style C fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px

    %% Annotations
    note left of O: Origin (0,0)
    note right of A: Yield Strength (σ_y)
    note right of B: Ultimate Tensile Strength (UTS)
    note right of C: Fracture Strength
    note right of O: Young's Modulus (E)

圖示說明：

• 原點 (Origin)：應力為 0，應變為 0。
• 彈性區 (Elastic Region)：應力與應變近似呈線性關係，斜率為楊氏模數 $E$。此區變形是可逆的。
• 屈服點 (Yield Point, $\sigma_y$)：開始發生顯著塑性變形。
• 塑性區 (Plastic Region)：應力與應變呈非線性關係，變形是永久性的。
• 極限抗拉強度 (UTS)：曲線最高點。
• 頸縮 (Necking)：在 UTS 後，材料開始發生局部頸縮，橫截面積減小。
• 斷裂點 (Fracture Point)：材料斷裂。

2. 壓縮應力-應變曲線 (Compressive Engineering Stress-Strain Curve)

將壓縮應力-應變曲線疊加在拉伸曲線上。

• 壓縮應力：通常定義為負值，或在圖中表示為 y 軸的正向上方（與拉伸應力方向相反）。
• 壓縮應變：通常定義為負值，或在圖中表示為 x 軸的負向。

示意圖（疊加壓縮曲線）：

本題要求確定圖示單位晶胞中平面的 Miller 指數。圖 10 顯示了一個單位晶胞，並標示了三個平面。我們需要為每個平面確定其 Miller 指數。

Miller 指數確定步驟：

1. 確定晶軸：首先確定座標系統，通常以單位晶胞的三個邊為 x, y, z 軸。
2. 確定截距：找到平面與每個晶軸的截距。截距通常以單位晶胞的邊長為單位。如果平面通過原點，則需要將晶胞平移，或者使用其平行平面。
3. 取倒數：將截距值取倒數。
4. 簡化為最小整數比：將倒數值化為最簡整數比。如果倒數中有分數，則將所有數乘以最小公倍數，使其成為整數。
5. 括號表示：將簡化後的整數寫在括號內，即 (hkl)。如果某個截距是無限大（平面平行於某個軸），則其倒數為 0。如果截距是負的，則在該數字上方加一橫線（如 $\bar{1}$），但通常在計算過程中，如果出現負截距，可以通過將該平面平移來獲得正截距。

圖示分析：

圖 10 顯示了一個單位晶胞，並標示了三個平面。假設 x, y, z 軸分別沿著晶胞的三條邊。

平面 1 (位於前方頂面)：

1. 晶軸：x, y, z 軸。
2. 截距：
   • 與 x 軸的截距：1 (假設截距點在 x=1 的位置)。
   • 與 y 軸的截距：1 (位於 y=1 的位置)。

本題要求根據 Pb-Mg 二元相圖 (Fig.11)，繪製在不同溫度下的微觀結構示意圖。合金成分為 85 wt% Pb (鉛) 和 15 wt% Mg (鎂)。

步驟：

1. 分析相圖：首先，我們需要理解 Pb-Mg 相圖的特點，特別是與 15 wt% Mg 這一成分線相關的相區。
2. 確定各溫度點的相：在相圖上找到 15 wt% Mg 的成分線，並根據給定的溫度，確定該溫度下的相或相的組合。
3. 繪製微結構示意圖：根據確定的相，繪製相的形態和分佈，並標示相的名稱、近似成分和比例。

相圖分析 (假設)：
由於圖 11 並未提供，我們需要根據典型的 Pb-Mg 相圖的知識來進行推測。Pb-Mg 體系存在形成化合物 $\text{Mg}_2\text{Pb}$，並且有固溶體區。共晶點通常在 Mg 含量較低處。

根據常見的 Pb-Mg 相圖（通常共晶點在 Mg 含量約 3-5 wt% 左右，形成 $\text{Mg}_2\text{Pb}$ 化合物，熔點約 460-500°C 左右，相圖形狀類似於 Al-Pb 或 Sn-Pb）：

• Pb (鉛)：熔點約 327°C。
• Mg (鎂)：熔點約 650°C。
• $\text{Mg}_2\text{Pb}$ 化合物：熔點約 500-550°C 左右。
• 共晶點：通常在 Mg 含量較低處，約 3-5 wt% Mg，溫度約 460-500°C。

給定合金成分：85 wt% Pb, 15 wt% Mg。
這個成分相對較高 Mg 含量，並且高於典型的共晶點 Mg 含量。

根據此成分和溫度點分析：

1. 600°C

• 溫度位置：高於 Mg 的熔點 (650°C) 和 $\text{Mg}_2\text{Pb}$ 的熔點，但可能低於純 Pb 的熔點。
• 相：在此溫度下，根據相圖，85 wt% Pb, 15 wt% Mg 合金很可能處於液相 (Liquid, L) 區域。
• 微結構：均勻的液體。
• 成分：L (85% Pb, 15% Mg)。
• 比例：100% 液相。

2. 500°C

• 溫度位置：這個溫度點可能在共晶點附近，或者在液相線和固相線之間。如果 500°C 是共晶溫度，那麼它將是液相 L 和兩種固相（如 Pb-rich 固溶體和 $\text{Mg}_2\text{Pb}$）的共存。如果低於共晶溫度，則可能是兩種固相。
• 假設：假設 500°C 是一個重要的相變溫度，例如共晶點溫度或 $\text{Mg}_2\text{Pb}$ 的熔點。
  • 情況 A：如果 500°C 是共晶溫度：那麼在 500°C 時，合金將處於共晶點，發生 L $\rightarrow$ $\alpha$ + $\beta$ 的反應。假設 $\alpha$ 是 Pb-rich 固溶體，$\beta$ 是 $\text{Mg}_2\text{Pb}$。
    • 微結構：液相 L 正在轉變為固相。在 500°C 時，如果剛好在共晶點，則主要為 L。如果略低於共晶點，則為 $\alpha$ + $\beta$。
  • 情況 B：如果 500°C 是 $\text{Mg}_2\text{Pb}$ 的熔點：那麼在 500°C 時，合金可能由 Pb 固溶體和 $\text{Mg}_2\text{Pb}$ 固相組成。
• 更常見的 Pb-Mg 相圖：在 Mg 含量 15 wt% 處，500°C 處於液相線和固相線之間，即 L + 固相 (可能是 $\text{Mg}_2\text{Pb}$ 或 Pb-rich 固溶體)。
  • 假設：在 500°C，該成分處於 L + $\text{Mg}_2\text{Pb}$ 兩相區。
    • 微結構：液滴狀的液相 (L) 分散在固相 $\text{Mg}_2\text{Pb}$ 中，或者反之。根據成分，15 wt% Mg 較接近 $\text{Mg}_2\text{Pb}$ 的理論成分（約 35 wt% Mg）。所以可能是 $\text{Mg}_2\text{Pb}$ 為基體，少量液相。
    • 相：$\text{Mg}_2\text{Pb}$ 固相，液相 L。
    • 成分：$\text{Mg}_2\text{Pb}$ (約 65% Pb, 35% Mg), L (約 85% Pb, 15% Mg)。
    • 比例：通過 Lever Rule 計算。

3. 270°C

• 溫度位置：低於 Pb 的熔點 (327°C) 和共晶溫度。
• 相：合金已完全凝固。在 270°C，由於 15 wt% Mg 遠高於共晶點的 Mg 含量，且低於 Pb 的熔點，合金很可能處於Pb-rich 固溶體 ($\alpha$) 和 $\text{Mg}_2\text{Pb}$ 化合物的兩相區。
• 微結構：$\text{Mg}_2\text{Pb}$ 相（可能呈塊狀或顆粒狀）分散在 Pb-rich 固溶體基體中。
• 成分：$\alpha$ (Pb-rich, 少量 Mg 固溶), $\text{Mg}_2\text{Pb}$ (約 65% Pb, 35% Mg)。
• 比例：通過 Lever Rule 在 270°C, 15% Mg 處，在 $\alpha$ 和 $\text{Mg}_2\text{Pb}$ 之間的 Lever Rule 計算。

4. 200°C

• 溫度位置：低於 Pb 的熔點和共晶溫度，且遠低於 $\text{Mg}_2\text{Pb}$ 的熔點。
• 相：合金已完全凝固，相組成與 270°C 時相似，但固溶度可能進一步降低。主要還是 Pb-rich 固溶體 ($\alpha$) 和 $\text{Mg}_2\text{Pb}$ 化合物。
• 微結構：與 270°C 時類似，$\text{Mg}_2\text{Pb}$ 相分散在 Pb-rich 固溶體基體中。由於溫度降低，Pb-rich 固溶體的 Mg 溶解度會降低，可能導致析出更多的 $\text{Mg}_2\text{Pb}$ 或形成團簇。
• 成分：$\alpha$ (Pb-rich, Mg 含量低), $\text{Mg}_2\text{Pb}$ (約 65% Pb, 35% Mg)。
• 比例：通過 Lever Rule 在 200°C, 15% Mg 處計算。

為了繪製示意圖，我們需要對相圖的具體形態有更準確的了解。以下是基於常見 Pb-Mg 相圖的推測性繪製和說明。

假設的 Pb-Mg 相圖結構：

• 存在 Pb-rich 固溶體 ($\alpha$) 和 Mg-rich 固溶體。
• 形成化合物 $\text{Mg}_2\text{Pb}$ (約 35 wt% Mg)。
• 存在一個共晶點，液相 L 轉變為 $\alpha$ + $\text{Mg}_2\text{Pb}$。
• Pb 熔點 327°C。
• Mg 熔點 650°C。
• $\text{Mg}_2\text{Pb}$ 熔點約 550°C。
• 共晶溫度約 460-500°C。

本題考查熱應力 (thermal stress) 的計算。當材料由於溫度變化而試圖膨脹或收縮，但其自由變形受到約束時，就會產生熱應力。

基本公式：

• 熱應變 (Thermal strain)：$\epsilon_{thermal} = \alpha \Delta T$，其中 $\alpha$ 是熱膨脹係數，$\Delta T$ 是溫度變化。
• 熱應力 (Thermal stress)：如果變形被完全約束，則熱應力 $\sigma_{thermal} = E \epsilon_{thermal} = E \alpha \Delta T$，其中 $E$ 是楊氏模數。

已知條件：

• 材料：1025 steel (鋼)
• 彈性模數 $E = 200 \text{ GPa} = 200 \times 10^9 \text{ Pa}$
• 熱膨脹係數 $\alpha = 12.0 \times 10^{-6} \text{ (°C)⁻¹}$

a) rod 1.0 m long, heated from 20°C to 100°C, ends rigid

• 溫度變化 $\Delta T$：$100^\circ\text{C} - 20^\circ\text{C} = 80^\circ\text{C}$。
• 應力類型：由於材料試圖膨脹但被約束，將產生壓應力 (compressive stress)。
• 應力大小：
  $\sigma_{thermal} = E \alpha \Delta T$
  $\sigma_{thermal} = (200 \times 10^9 \text{ Pa}) \times (12.0 \times 10^{-6} \text{ (°C)⁻¹}) \times (80^\circ\text{C})$
  $\sigma_{thermal} = 200 \times 12.0 \times 80 \times 10^3 \text{ Pa}$
  $\sigma_{thermal} = 192000 \times 10^3 \text{ Pa} = 192 \times 10^6 \text{ Pa} = 192 \text{ MPa}$

本題考查單晶材料的滑移，需要計算使滑移發生的外加應力。這涉及到 Schmid 因子 (Schmid factor) 的概念。

Schmid 因子 (m) 定義為滑移系上剪切應力與外加拉伸應力 ($\sigma$) 的比值。
$m = \cos\phi \cos\lambda$
其中：

• $\phi$ 是外加應力方向與滑移面法線方向的夾角。
• $\lambda$ 是外加應力方向與滑移方向的夾角。

滑移發生的條件是：
$\tau_{resolved} = m \sigma \ge \tau_{CRSS}$
其中：

• $\tau_{resolved}$ 是滑移系上的分解剪切應力。
• $\tau_{CRSS}$ 是臨界分解剪切應力 (Critical Resolved Shear Stress)。

題目給定：

• 晶體結構：FCC
• 外加拉伸應力方向：[110]
• 滑移面：(111) 族
• 滑移方向：[110], [101], [011]
• $\tau_{CRSS} = 1.75 \text{ MPa}$
• $E = 200 \text{ GPa}$ (此值在本題中未使用)

步驟：

1. 確定滑移系：

   • 滑移面：(111)
   • 滑移方向：[110], [101], [011] (這三個方向都在 (111) 晶面上)

2. 計算外加應力方向與滑移面法線的夾角 ($\phi$)：

   • 外加應力方向：$\vec{V} = [110]$
   • 滑移面法線方向：$\vec{n} = [111]$ (對於 (111) 晶面，法線方向為 <111>)
   • 夾角 $\phi$ 的餘弦值由向量點積計算：
     $\cos\phi = \frac{\vec{V} \cdot \vec{n}}{|\vec{V}| |\vec{n}|}$
     $\vec{V} \cdot \vec{n} = (1)(1) + (1)(1) + (0)(1) = 1 + 1 + 0 = 2$
     $|\vec{V}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$
     $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$
     $\cos\phi = \frac{2}{\sqrt{2} \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

3. 計算外加應力方向與滑移方向的夾角 ($\lambda$)：

   • 外加應力方向：$\vec{V} = [110]$

   • 滑移方向 1：$\vec{d}_1 = [110]$

   • 滑移方向 2：$\vec{d}_2 = [101]$

   • 滑移方向 3：$\vec{d}_3 = [011]$

   • 對於滑移方向 [110]：
     外加應力方向與滑移方向相同，所以夾角 $\lambda = 0^\circ$。
     $\cos\lambda_1 = \cos(0^\circ) = 1$

   • 對於滑移方向 [101]：
     $\vec{V} \cdot \vec{d}_2 = (1)(1) + (1)(0) + (0)(1) = 1$
     $|\vec{V}| = \sqrt{2}$
     $|\vec{d}_2| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
     $\cos\lambda_2 = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

   • 對於滑移方向 [011]：
     $\vec{V} \cdot \vec{d}_3 = (1)(0) + (1)(1) + (0)(1) = 1$
     $|\vec{V}| = \sqrt{2}$