115 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班丁組《材料科學》

本題為材料科學基本名詞定義題，共 20 個名詞，每個名詞佔 2 分，總計 40 分。考生需針對每個名詞給出簡潔精確的定義。以下為各名詞的詳解：

1. Bragg's law: 描述 X 光或其他晶體結構分析技術，在晶體中發生繞射（diffraction）的條件。當入射 X 光波長為 $\lambda$，晶面間距為 $d$，且繞射角為 $\theta$ 時，若要發生建設性干涉（constructive interference），則必須滿足 $n\lambda = 2d \sin\theta$，其中 $n$ 為一正整數，代表繞射級數。

2. Crystal vs glass:

   • Crystal (晶體): 具有長程有序（long-range order）的原子排列結構，原子在三維空間中規則性地重複排列，形成晶格。
   • Glass (玻璃): 是一種非晶質固體（amorphous solid）或過冷液體（supercooled liquid），其原子排列呈現短程有序（short-range order）但缺乏長程有序。

3. Draw edge vs. screw dislocation: 這是兩種基本類型的晶體缺陷——線缺陷（line defects）——的位錯（dislocation）。

   • Edge dislocation (刃位錯): 在晶體中，多餘的半原子平面（extra half-plane）插入晶格中，其刃位錯線（dislocation line）垂直於滑移方向（slip direction）。
   • Screw dislocation (螺位錯): 晶格結構沿著位錯線呈現螺旋狀的階梯。螺位錯線與滑移方向平行。

4. Frenkel and Schottky defects: 這是晶體中常見的點缺陷（point defects）。

   • Schottky defect (肖特基缺陷): 在離子晶體中，陽離子和陰離子同時從晶格中移除，形成空位（vacancy），以維持電荷平衡。
   • Frenkel defect (弗蘭克爾缺陷): 在離子晶體中，一個陽離子（通常是較小的離子）離開其正常晶格位置，移動到相鄰的間隙位置（interstitial site），形成一個空位和一個間隙離子對。

5. FCC vs BCC for structure of material: 這是兩種常見的金屬晶體結構。

   • FCC (Face-Centered Cubic, 面心立方): 單位晶胞（unit cell）的八個頂點各有一個原子，以及每個面的中心各有一個原子。例如：鋁 (Al)、銅 (Cu)、鎳 (Ni)、金 (Au)。
   • BCC (Body-Centered Cubic, 體心立方): 單位晶胞的八個頂點各有一個原子，以及單位晶胞的中心有一個原子。例如：鐵 (Fe) 在常溫下、鉻 (Cr)、鎢 (W)。

6. Interdiffusion vs. Interstitial diffusion: 這是兩種原子擴散（diffusion）的機制。

   • Interdiffusion (交互擴散): 指的是在兩種或多種不同材料接觸時，各成分原子相互擴散的現象。例如，在焊接或合金化過程中，不同金屬原子會互相擴散。
   • Interstitial diffusion (間隙擴散): 指的是較小的原子（如碳、氫）擴散通過晶格中原子之間的空隙（間隙位置）。這種擴散方式通常比自擴散（vacancy diffusion）快。

7. Crain and Cls structure: 這似乎是筆誤。常見的金屬結構有 FCC、BCC、HCP (Hexagonal Close-Packed)。如果是指 Crain 和 Cls，則可能與特定材料或研究領域的命名有關，但非普遍性金屬結構術語。

本題為材料科學的計算與繪圖題，總計 60 分。

1. (6 points) Sketch the repeat unit for each of the following alternating polymers:

這題要求繪製四種常見聚合物的重複單元（repeat unit）。重複單元是聚合物鏈中重複出現的最小結構單元。

(a) poly(tetrafluoroethylene): 俗稱 Teflon。其重複單元為 $-[CF_2-CF_2]-$。
* 繪製: 一個碳原子與兩個氟原子鍵結，然後與下一個碳原子鍵結，如此重複。

(b) poly(methyl methacrylate) (PMMA): 俗稱壓克力。其重複單元為 $-[CH_2-C(CH_3)(COOCH_3)]-$.
* 繪製: 一個碳原子與兩個氫原子鍵結，並與另一個碳原子鍵結。這個碳原子上同時連接一個甲基 ($-CH_3$) 和一個甲氧羰基 ($-COOCH_3$)。

(c) polystyrene: 俗稱聚苯乙烯。其重複單元為 $-[CH_2-CH(C_6H_5)]-$.
* 繪製: 一個碳原子與兩個氫原子鍵結，並與另一個碳原子鍵結。這個碳原子上同時連接一個苯環 ($C_6H_5$)。

(d) poly(vinyl chloride) (PVC): 俗稱聚氯乙烯。其重複單元為 $-[CH_2-CHCl]-$.
* 繪製: 一個碳原子與兩個氫原子鍵結，並與另一個碳原子鍵結。這個碳原子上連接一個氯原子 ($-Cl$)。

2. (4 points) Within a cubic unit cell, sketch the following directions:

本題要求在立方單位晶胞中繪製特定方向。方向通常用指數 [uvw] 表示，表示從原點 (0,0,0) 到點 (u,v,w) 的向量。

(a) [101]: 從原點 (0,0,0) 到點 (1,0,1)。這是一個從單位晶胞的一個頂點指向對面棱的中點的方向。

(b) [111]: 從原點 (0,0,0) 到點 (1,1,1)。這是一個通過單位晶胞體對角線（body diagonal）的方向，連接兩個相對的頂點。

(c) [722]: 由於指數可以簡化，[722] 方向與 [100] 方向相同，因為 7, 2, 2 的最大公因數是 1。若指數沒有簡化，則表示從原點 (0,0,0) 到點 (7,2,2)。在單位晶胞內，我們通常關注方向，所以 [722] 等同於 [100]。（註：此處的 [722] 可能是筆誤，通常不會出現如此大的指數。若題目確實如此，則應理解為簡化後的方向。如果題目是希望表達一個較長的方向向量，則在單位晶胞內，其方向性與 [100] 相同。若題目意圖是該方向向量的具體端點，則需考慮超過單位晶胞範圍的點。但通常在單位晶胞內繪製方向，會使用簡化後的小整數指數。假設題目意圖是簡化後的方向，則為 [100]）

*   **更正與補充**: 在晶體學中，方向指數是最小的整數比。因此，[722] 並不簡化為 [100]。它表示從原點到 (7,2,2) 的向量。然而，在繪製單位晶胞中的方向時，我們通常尋找在單位晶胞內或通過晶胞的向量。如果我們考慮一個更大的晶格，例如 7x7x7 的晶格，則 (7,2,2) 是一個有效點。在單位晶胞的上下文中，[722] 指的是與向量 (7,2,2) 平行的方向。若要繪製，可以想像一個坐標軸，然後找到 (7,2,2) 這個點，連接原點和該點。在單位晶胞內，這會是一個很長的向量，指向右上前方。
*   **標準繪圖**: 在單位晶胞中繪製方向 [uvw]，是從原點 (0,0,0) 到點 (u,v,w) 的向量。如果 u, v, w 超出 1，則表示在延伸的晶格中。但若題目要求在「單位晶胞內」繪製，則通常是指向量在單位晶胞中的投影或與其平行的方向。這裡的 [722] 是一個較為特殊的例子，可能意在考驗對方向指數的理解。若只考慮方向性，則它就是一個指向 (7,2,2) 方向的向量。

(d) [123]: 從原點 (0,0,0) 到點 (1,2,3)。這是一個指向單位晶胞內斜後方的方向。

3. (6 points) Magnesium oxide has the rock salt crystal structure and a density of 3.58 g/cm³.

本題涉及晶體結構、密度與晶格參數的計算，屬於材料科學的基礎計算。

(a) Determine the unit cell edge length.
* Rock salt structure: NaCl 型結構，其離子配位數為 6:6。單位晶胞包含 4 個 MgO 離子對 (4 個 Mg²⁺ 和 4 個 O²⁻)。
* 密度公式: $\rho = \frac{nA}{V_C N_A}$，其中 $\rho$ 是密度，$n$ 是單位晶胞中的原子（或離子）數，$A$ 是分子量，$V_C$ 是單位晶胞體積 ($a^3$)，$N_A$ 是亞佛加厥數 ($6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}$)。
* 已知: $\rho = 3.58 \text{ g/cm}^3$，分子量 $A(\text{MgO}) = A(\text{Mg}) + A(\text{O}) = 24 \text{ g/mol} + 16 \text{ g/mol} = 40 \text{ g/mol}$。單位晶胞中離子數 $n=4$。
* 計算: $V_C = a^3 = \frac{nA}{\rho N_A}$
$a^3 = \frac{(4 \text{ mol})(40 \text{ g/mol})}{(3.58 \text{ g/cm}^3)(6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1})}$
$a^3 = \frac{160 \text{ g}}{(3.58 \text{ g/cm}^3)(6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1})} \approx \frac{160}{2.155 \times 10^{24}} \text{ cm}^3 \approx 7.425 \times 10^{-23} \text{ cm}^3$

本題為材料科學的計算題，主要考查晶體結構、密度與離子半徑的關係。

題旨核心: 運用密度公式計算單位晶胞尺寸，並與基於離子半徑的幾何模型進行比較。

3. (6 points) Magnesium oxide has the rock salt crystal structure and a density of 3.58 g/cm³.

(a) Determine the unit cell edge length.

• Rock salt crystal structure: 氯化鈉 (NaCl) 型結構。在這種結構中，單位晶胞含有 4 個 MgO 化學式單元。

• 密度公式: 晶體密度 $\rho$ 可以表示為：
  $\rho = \frac{nA}{V_C N_A}$
  其中：

  • $n$ 是單位晶胞中的原子（或離子）數（對於 NaCl 型結構，MgO 為 4）。
  • $A$ 是化學式的分子量。
  • $V_C$ 是單位晶胞的體積，對於立方晶胞，$V_C = a^3$，其中 $a$ 是晶胞邊長。
  • $N_A$ 是亞佛加厥數 ($6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}$)。

• 已知條件:

  • 密度 $\rho = 3.58 \text{ g/cm}^3$。
  • Mg 的原子量 $A(\text{Mg}) = 24 \text{ g/mol}$。
  • O 的原子量 $A(\text{O}) = 16 \text{ g/mol}$。
  • MgO 的分子量 $A(\text{MgO}) = 24 + 16 = 40 \text{ g/mol}$。
  • 單位晶胞中的離子數 $n = 4$。

• 計算步驟:

  1. 重新排列密度公式以求解 $V_C$:
     $V_C = \frac{nA}{\rho N_A}$
  2. 代入已知數值：
     $V_C = \frac{(4 \text{ mol})(40 \text{ g/mol})}{(3.58 \text{ g/cm}^3)(6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1})}$
     $V_C = \frac{160 \text{ g}}{(3.58)(6.022 \times 10^{23}) \text{ g/cm}^3}$
     $V_C \approx \frac{160}{2.1558 \times 10^{24}} \text{ cm}^3$
     $V_C \approx 7.421 \times 10^{-23} \text{ cm}^3$
  3. 計算晶胞邊長 $a$ ($V_C = a^3$):

本題為材料科學的計算題，主要考查熱膨脹應力的概念。

題旨核心: 理解材料在受約束的熱膨脹或熱收縮時產生的熱應力。

4. (6 points) (a) If a rod of 1025 steel 1.0 m long is heated from 20°C to 100°C while its ends are maintained rigid, determine the type and magnitude of stress that develops. Assume that at 20°C the rod is stress free.

• 情境分析: 材料在受熱時會發生膨脹。如果材料的膨脹受到約束（例如，兩端被固定，無法自由伸長），則會產生一種抵抗這種膨脹的應力。由於膨脹被阻止，材料內部會產生壓縮應力。

• 相關公式: 熱應力 $\sigma$ 的計算公式為：
  $\sigma = E \alpha \Delta T$
  其中：

  • $E$ 是材料的楊氏模數（Young's modulus）。
  • $\alpha$ 是材料的線熱膨脹係數（coefficient of linear thermal expansion）。
  • $\Delta T$ 是溫度變化，定義為最終溫度減去初始溫度 ($T_{final} - T_{initial}$)。

• 已知條件:

  • 材料：1025 鋼。
  • 初始溫度 $T_{initial} = 20^\circ\text{C}$。
  • 最終溫度 $T_{final} = 100^\circ\text{C}$。
  • 溫度變化 $\Delta T = 100^\circ\text{C} - 20^\circ\text{C} = 80^\circ\text{C}$。
  • 熱膨脹係數 $\alpha = 12.0 \times 10^{-6} \text{ (°C)}^{-1}$。
  • 楊氏模數：對於鋼，通常取 $E \approx 200 \text{ GPa} = 200 \times 10^9 \text{ Pa} = 200 \times 10^3 \text{ MPa}$。

• 計算步驟:

  1. 代入公式計算應力：
     $\sigma = E \alpha \Delta T$
     $\sigma = (200 \times 10^9 \text{ Pa}) \times (12.0 \times 10^{-6} \text{ (°C)}^{-1}) \times (80^\circ\text{C})$
     $\sigma = 200 \times 12.0 \times 80 \times 10^{(9-6)} \text{ Pa}$
     $\sigma = 192000 \times 10^3 \text{ Pa}$
     $\sigma = 192 \times 10^6 \text{ Pa}$

本題為材料力學應用題，考查材料在彎曲載荷下的應力分析，並與材料的彎曲強度進行比較。

題旨核心: 計算三點彎曲測試中，施加載荷時所產生的最大彎曲應力，並與材料的彎曲強度進行比較，判斷是否會斷裂。

5. (6 points) A three-point transverse bending test is conducted on a cylindrical specimen of aluminum oxide having a reported flexural strength of 300 MPa. If the specimen radius is 2.0 mm and the support point separation distance is 28 mm, would you expect the specimen to fracture when a load of 500 N is applied? where $\sigma = My/I; M=FL/4; I=\pi R^4/4$

• 情境分析: 題目描述了一個三點彎曲測試。在此測試中，圓柱形試樣放置在兩個支點上，並在試樣跨度的中間施加一個載荷 $F$。試樣的彎曲強度（flexural strength）為 300 MPa。我們需要計算在施加 500 N 載荷時，試樣所承受的最大彎曲應力，並與其強度比較。

• 已知條件:

  • 材料：氧化鋁 (aluminum oxide)。
  • 彎曲強度 (Flexural Strength) $\sigma_{flexural} = 300 \text{ MPa}$。
  • 試樣半徑 $R = 2.0 \text{ mm} = 0.002 \text{ m}$。
  • 支點間距（跨度）$L = 28 \text{ mm} = 0.028 \text{ m}$。
  • 施加的載荷 $F = 500 \text{ N}$。
  • 應力公式：$\sigma = My/I$。
  • 彎矩公式：$M = FL/4$（這是三點彎曲測試中，跨度中間的最大彎矩）。
  • 截面二次慣性矩公式：$I = \pi R^4/4$（對於圓形截面）。

• 計算步驟:

  1. 計算彎矩 $M$:
     三點彎曲測試中，最大彎矩發生在載荷施加點，其大小為 $M = FL/4$。

核心觀念

本題考查「以比強度進行材料選擇」的概念。構件承受軸向拉力時，必須滿足：

$$\sigma=\frac{P}{A}$$

其中：

• $\sigma$：所受正應力
• $P$：外加負載
• $A$：構件截面積

題目要求「without fracture（不發生破壞）」；未提供安全係數，因此採用抗拉強度 $S_{\mathrm{TS}}$ 作為允許承載應力：

$$A_{\min}=\frac{P}{S_{\mathrm{TS}}}$$

所需質量為：

$$m=\rho V=\rho AL$$

若以重量表示，則：

$$W=mg$$

其中 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$。

題目表格列出的是球墨鑄鐵（Ductile Iron），並非鋼，因此依表中數據計算。

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解題方法

已知：

$$P=60{,}000\ \mathrm{N},\qquad L=150\ \mathrm{mm}$$

由於 $1\ \mathrm{MPa}=1\ \mathrm{N/mm^2}$，可直接使用表中的抗拉強度計算截面積：

$$A=\frac{60{,}000}{S_{\mathrm{TS}}}$$

接著計算體積：

$$V=AL$$

若 $A$ 與 $L$ 使用 $\mathrm{mm^2}$、$\mathrm{mm}$，則 $V$ 的單位為 $\mathrm{mm^3}$。由於：

$$1\ \mathrm{cm^3}=1000\ \mathrm{mm^3}$$

因此：

$$V(\mathrm{cm^3})=\frac{A(\mathrm{mm^2})L(\mathrm{mm})}{1000}$$

最後：

$$m(\mathrm{g})=\rho(\mathrm{g/cm^3})V(\mathrm{cm^3})$$

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Brass（黃銅）

黃銅的抗拉強度為：

$$S_{\mathrm{TS}}=520\ \mathrm{MPa}$$

所需截面積：

$$A=\frac{60{,}000}{520} =115.38\ \mathrm{mm^2}$$

構件體積：

$$V=115.38\times150 =17{,}307.7\ \mathrm{mm^3} =17.3077\ \mathrm{cm^3}$$

所需質量：

$$m=8.5\times17.3077 =147.12\ \mathrm{g} =0.14712\ \mathrm{kg}$$

所需重量：

$$W=0.14712\times9.81 =1.44\ \mathrm{N}$$

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Ductile Iron（球墨鑄鐵）

球墨鑄鐵的抗拉強度為：

$$S_{\mathrm{TS}}=310\ \mathrm{MPa}$$

所需截面積：

$$A=\frac{60{,}000}{310} =193.55\ \mathrm{mm^2}$$

構件體積：

$$V=193.55\times150 =29{,}032.3\ \mathrm{mm^3} =29.0323\ \mathrm{cm^3}$$

所需質量：

$$m=7.1\times29.0323 =206.13\ \mathrm{g} =0.20613\ \mathrm{kg}$$

所需重量：

$$W=0.20613\times9.81 =2.02\ \mathrm{N}$$

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Aluminum（鋁）

鋁的抗拉強度為：

$$S_{\mathrm{TS}}=389\ \mathrm{MPa}$$

所需截面積：

$$A=\frac{60{,}000}{389} =154.24\ \mathrm{mm^2}$$

構件體積：

$$V=154.24\times150 =23{,}136.2\ \mathrm{mm^3} =23.1362\ \mathrm{cm^3}$$

所需質量：

本題為材料科學的總結性問答題，考查對金屬材料強化機制的理解。

題旨核心: 闡述並簡要解釋金屬材料常用的強化方法。

7. (6 points) What are main metal materials strengthening methods with brief explanation?

金屬材料的強化主要目的是提高其強度（strength）和硬度（hardness），同時通常會伴隨韌性（toughness）的下降。主要的強化方法包括以下幾種：

1. 加工硬化 (Work Hardening / Strain Hardening):

   • 原理: 通過機械加工（如鍛造、軋製、拉伸等）使金屬產生塑性變形，從而增加位錯（dislocations）的密度。大量的位錯線相互纏結，形成位錯牆（dislocation tangles）或細胞結構（cell structure），阻礙了位錯的運動，進而提高材料的強度和硬度。
   • 簡述: 塑性變形引入並纏結位錯，阻礙位錯滑移。

2. 固溶強化 (Solid Solution Strengthening):

   • 原理: 將一種或多種溶質原子（solute atoms）添加到金屬基體（solvent atoms）中，形成固溶體。由於溶質原子的尺寸、電子結構與基體原子不同，它們會進入晶格產生局部畸變（lattice distortion），形成應力場。這些應力場會與基體材料的位錯應力場相互作用，阻礙位錯的滑移，從而提高強度。
   • 簡述: 溶質原子引入晶格畸變，阻礙位錯運動。

本題為材料力學的經典圖表繪製與名詞解釋題，總計 12 分。

題旨核心: 繪製並標示工程應力-應變曲線與真實應力-應變曲線，並定義關鍵參數。

8. (12 points) Please draw a classic stress-strain curve of a ductile metal under tension, then draw another curve for true stress stain curve on it. Please define and point out on this curve for the following terms:

首先，我們需要繪製工程應力-應變曲線（Engineering Stress-Strain Curve）和真實應力-應變曲線（True Stress-Strain Curve），然後在圖上標示出各個名詞。

繪圖說明:

• 工程應力-應變曲線: 橫軸為工程應變（Engineering Strain, $\epsilon = \Delta L / L_0$），縱軸為工程應力（Engineering Stress, $\sigma = F / A_0$）。其中 $L_0$ 是初始長度，$A_0$ 是初始截面積。
• 真實應力-應變曲線: 橫軸為真實應變（True Strain, $\varepsilon = \ln(L/L_0) = \ln(1+\epsilon)$），縱軸為真實應力（True Stress, $\sigma_t = F / A$）。其中 $A$ 是當前截面積。

通常，真實應力-應變曲線會比工程應力-應變曲線更高，尤其是在發生頸縮（necking）之後，因為真實應力考慮了截面積的減小。

繪製圖形:
（由於無法在此處直接繪圖，我將描述圖形並標示各點。考生需要在考卷上親自繪製。）

步驟 1: 繪製工程應力-應變曲線

1. 彈性區 (Elastic Region): 從原點開始，一條直線段，斜率為楊氏模數 $E$。
2. 屈服點 (Yield Point): 應力略微增加後，開始進入塑性變形。有些材料（如低碳鋼）會有一個明顯的屈服點，有些材料（如鋁）則是逐漸屈服（規定屈服強度）。
3. 加工硬化區 (Strain Hardening Region): 應力持續增加，但斜率減小，材料發生塑性變形。
4. 極限強度點 (Ultimate Tensile Strength, UTS): 應力達到最大值。
5. 頸縮區 (Necking Region): 應力開始下降，因為截面積顯著減小。
6. 斷裂點 (Fracture Point): 材料斷裂。

步驟 2: 繪製真實應力-應變曲線
真實應力-應變曲線從彈性區開始與工程曲線重合。在塑性變形區，由於截面積減小，真實應力會高於工程應力。在發生頸縮後，真實應力繼續升高，而工程應力下降。真實應力-應變曲線在斷裂點結束，但其值會比工程曲線的斷裂點應力高。

標示名詞:

(a) stress (include unit), true stress

• Stress (應力): 材料內部抵抗外力作用的內力密度。工程應力 $\sigma$ 的單位是壓力單位，如帕斯卡 (Pa) 或兆帕 (MPa)。$\sigma = F / A_0$。
• True Stress (真實應力): 在塑性變形過程中，材料實際承受的應力，定義為外力 $F$ 除以當前瞬時截面積 $A$。$\sigma_t = F / A$。真實應力在斷裂前持續增加。

核心觀念

本題考查半無限長固體中，表面濃度固定時的一維非穩態擴散。

由於合金表面持續接觸幾乎不含碳的氧氣，表面碳濃度可視為固定為

$$C_s=0\ \text{wt\% C}$$

合金初始碳濃度均勻為

$$C_0=0.30\ \text{wt\% C}$$

固定表面濃度的擴散公式為

$$\frac{C_x-C_0}{C_s-C_0} = 1-\operatorname{erf}\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)$$

其中：

• $C_x$：距離表面 $x$ 處的碳濃度
• $D$：碳在 FCC 鐵中的擴散係數
• $t$：處理時間
• $\operatorname{erf}$：誤差函數

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解題方法

目標濃度為

$$C_x=0.15\ \text{wt\% C}$$

代入濃度關係式：

$$\frac{0.15-0.30}{0-0.30} = 1-\operatorname{erf}\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)$$

左側為

$$\frac{-0.15}{-0.30}=0.50$$

因此

$$0.50=1-\operatorname{erf}\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)$$

得到

$$\operatorname{erf}\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)=0.50$$

查誤差函數表：

$$\operatorname{erf}^{-1}(0.50)\approx 0.4769$$

所以

$$\frac{x}{2\sqrt{Dt}}=0.4769$$

題目給定：

$$D=6.9\times10^{-11}\ \text{m}^2/\text{s}$$ $$t=10\ \text{h}=10(3600)=3.60\times10^4\ \text{s}$$

因此