115 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班丁組《流體力學》

此題主要考驗流體力學基本概念的定義與影響因素。

(a)

• 雷諾數 (Reynolds Number, Re)：無因次參數，用來描述流體運動時慣性力與黏滯力之比。其定義為：
  $Re = \frac{\rho V L}{\mu} = \frac{V L}{\nu}$
  其中 $\rho$ 為流體密度， $V$ 為流體特徵速度， $L$ 為特徵長度， $\mu$ 為流體動力黏度， $\nu = \mu/\rho$ 為流體運動黏度。雷諾數的大小能判斷流體是層流 (低 Re) 還是紊流 (高 Re)。

• 裴克萊數 (Peclet Number, Pe)：無因次參數，用來描述流體對流傳輸率與擴散傳輸率之比，主要用於物質傳輸或熱傳輸問題。其定義為：
  $Pe = \frac{V L}{D_{AB}}$
  其中 $V$ 為流體速度， $L$ 為特徵長度， $D_{AB}$ 為擴散係數（或熱擴散係數）。當 $Pe \gg 1$ 時，對流效應遠大於擴散效應；當 $Pe \ll 1$ 時，擴散效應主導。

• 馬赫數 (Mach Number, M)：無因次參數，用來描述流體速度與聲速之比。其定義為：
  $M = \frac{V}{c}$
  其中 $V$ 為流體速度， $c$ 為流體中的聲速。馬赫數的大小用於判斷流體壓縮性效應的重要性：$M \ll 1$ (亞音速)，壓縮性效應可忽略；$M \approx 1$ (跨音速)；$M > 1$ (超音速)。

核心觀念

本題考查圓管內的穩態、完全發展層流。在這些假設下，軸向速度只隨半徑改變，壓力沿管軸方向的梯度與黏性剪應力平衡；積分速度分布後，再對管截面積分即可得到體積流率。

題目寫 $u_z=u_z(r,t)$，但穩態代表 $\partial u_z/\partial t=0$，因此速度實際上不隨時間改變，可寫成 $u_z=u_z(r)$。

（a）化簡為常微分方程

完全發展表示軸向速度沿 $z$ 方向不變，即 $\partial u_z/\partial z=0$；只有軸向速度則 $u_r=u_\theta=0$。穩態使 $\partial u_z/\partial t=0$，無體積力則 $g_z=0$。速度也不依賴角度，因此 $\partial^2u_z/\partial\theta^2=0$。代入軸向 Navier–Stokes 方程後，得到

$$0=-\frac{dp}{dz}+\mu\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{du_z}{dr}\right)$$

這就是所求的常微分方程。此處壓力只沿管軸方向改變，故 $\frac{dp}{dz}$ 對半徑而言為常數。

邊界條件為：

• 管壁無滑移：$u_z(R)=0$。
• 中心線速度達最大值：$\left.\frac{du_z}{dr}\right|_{r=0}=0$。

中心線條件也反映了速度分布在 $r=0$ 處對稱且平滑。

（b）速度分布與流率

先將常微分方程乘以 $r$：

$$\frac{d}{dr}\left(r\frac{du_z}{dr}\right)=\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}r$$

對 $r$ 積分：

$$r\frac{du_z}{dr}=\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dz}r^2+C_1$$

為使中心線 $r=0$ 處的速度梯度有限，必須有 $C_1=0$。因此

$$\frac{du_z}{dr}=\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dz}r$$

再積分一次：

$$u_z(r)=\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dz}r^2+C_2$$

套用管壁無滑移條件 $u_z(R)=0$，可得 $C_2=-\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dz}R^2$。速度分布為

此題考驗對流體旋轉性 (rotationality) 的理解，以及流線形狀與流動類型（旋轉流或無旋流）的關係，並結合流函數判斷流動性質。

核心觀念：渦度 (Vorticity) $\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V}$ 是衡量流體微觀旋轉的指標。無旋流 (irrotational flow) 指的是 $\vec{\omega} = 0$。對於二維流，渦度在 z 方向的分量為 $\omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}$。

(a) 直線流線 (Straight Streamlines)

• 有旋流 (Rotational Flow)：
  在直線流線的情況下，如果流體質點本身在運動過程中發生了宏觀的旋轉，則為有旋流。例如，一個在管內做直線運動的圓柱形流體質點，如果它自身也在繞著其中心軸旋轉，那麼它就是有旋的。在速度場的描述上，這意味著渦度 $\vec{\omega} \neq 0$。
  在速度場中，如果流線是直線，但速度剖面是非對稱的（例如，速度梯度在垂直於流線的方向上不為零且滿足特定條件），則可能導致非零的渦度。一個簡單的例子是 Couette flow (平行板間的剪切流)，如果速度變化是線性的，則存在剪切應力，這意味著渦度。

• 無旋流 (Irrotational Flow)：
  如果流體質點在做直線運動時，沒有發生自身繞軸的旋轉，則為無旋流。此時，渦度 $\vec{\omega} = 0$。
  在速度場中，如果流線是直線，並且速度場滿足無旋條件（例如，速度只沿一個方向變化，且沒有剪切），則為無旋流。一個簡單的例子是均勻流 $u=U, v=0$，其渦度為零。

(b) 同心圓流線 (Concentric Streamlines)

• 有旋流 (Rotational Flow)：
  如果流體質點沿同心圓流線運動，並且這些質點本身也在繞著圓心旋轉，或者說速度剖面導致了非零的渦度，則為有旋流。
  在速度場中，對於同心圓流線，最典型的有旋流是圓盤旋轉或圓管內的渦旋流。例如，在圓管內，如果速度剖面是 $v_\theta(r) = \frac{C}{r}$ 的形式（如理想渦旋），那麼其渦度 $\omega_z = \frac{1}{r}\frac{\partial(rv_\theta)}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial(C)}{\partial r} = 0$。但如果速度剖面是 $v_\theta(r) = \omega r$ 的形式（如固體剛體旋轉），那麼 $\omega_z = \frac{1}{r}\frac{\partial(r \omega r)}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial(\omega r^2)}{\partial r} = \frac{1}{r}(2\omega r) = 2\omega \neq 0$。所以 $v_\theta(r) = \omega r$ 是有旋流。

• 無旋流 (Irrotational Flow)：
  如果流體質點沿同心圓流線運動，但它們本身沒有發生旋轉（即渦度為零），則為無旋流。
  對於同心圓流線，如果速度分量只有角向速度 $v_\theta$，且滿足無旋條件 $\nabla \times \vec{V} = 0$。在二維情況下，對於純粹的角向速度 $v_\theta(r)$，則 $\omega_z = \frac{1}{r}\frac{\partial(rv_\theta)}{\partial r}$。若要 $\omega_z = 0$，則必須 $rv_\theta$ 是常數，即 $v_\theta \propto 1/r$。這種流動稱為自由渦旋 (free vortex)，它實際上是無旋的。

(c) 判斷流動的理性 (Rationality of the Flow)

核心觀念

本題使用：

1. 伯努力方程式：求噴嘴出口速度 $V_1$ 與葉片出口速度 $V_2$。
2. 線性動量方程式：分析水流對兩台推車的反作用力，求繩張力。
3. 水槽與噴流皆受大氣壓，流體不可壓且無黏性，因此可忽略壓力差與能量損失。

示意圖與控制體如下：

       水槽推車                         葉片推車
    ┌─────────┐                    ┌─────────┐
水面│         │                     │  葉片   │────→ V₂
    └────┬────┘                     └─────────┘
         │ 噴嘴 A₁=0.01 m²
         └──────────────→ 噴流 V₁
          ↓ 高差 4 m

       ← 水流反作用力       T_A →      ← 流體作用力       T_B →

由圖可知：

• 水面至噴嘴高差：$2\ \mathrm{m}$
• 噴嘴至葉片出口高差：$4\ \mathrm{m}$
• 噴嘴面積：$A_1=0.01\ \mathrm{m^2}$

---

解題方法

(a) 求水離開水槽的速度 $V_1$

在自由液面與噴嘴出口間套用伯努力方程式：

$$\frac{p_0}{\rho g}+z_0+\frac{V_0^2}{2g} = \frac{p_1}{\rho g}+z_1+\frac{V_1^2}{2g}$$

水槽截面積遠大於噴嘴，因此 $V_0\approx 0$；兩處皆為大氣壓，故：

$$V_1=\sqrt{2g(z_0-z_1)}$$ $$V_1=\sqrt{2(9.81)(2)} =6.26\ \mathrm{m/s}$$

流量為：

$$Q=A_1V_1 =(0.01)(6.26) =0.0626\ \mathrm{m^3/s}$$

質量流率：

$$\dot m=\rho Q =(1000)(0.0626) =62.6\ \mathrm{kg/s}$$

---

(b) 求水離開葉片推車的速度 $V_2$

噴流由噴嘴流至葉片出口，垂直下降 $4\ \mathrm{m}$。由伯努力方程式：

$$\frac{V_1^2}{2g}+z_1 = \frac{V_2^2}{2g}+z_2$$

因此：

$$V_2^2=V_1^2+2g(z_1-z_2)$$

核心觀念

本題考查：

• 伯努力方程式求噴嘴出口速度。
• 自由噴流受重力作用後的速度變化。
• 控制體積的線動量方程式。
• 噴流對噴嘴及葉片車的反作用力。
• 無摩擦車輪使繩張力平衡水平方向的力。

採用假設：

1. 水箱很大，液面速度可忽略。
2. 液面、噴嘴出口及噴流出口皆為大氣壓。
3. 流體無黏性、穩態且無能量損失。
4. 兩台車均由繩子固定而靜止。
5. 噴嘴與葉片出口截面積皆為 $A=0.01\ \mathrm{m^2}$。

---

(a) 控制體積與速度分析

依原圖，液面至噴嘴出口的高差為 $2\ \mathrm{m}$，噴嘴出口至葉片出口的垂直落差為 $4\ \mathrm{m}$。

控制體積可分成兩部分：

1. 水箱與噴嘴控制體積：用來求噴流對水箱車的反作用力，進而求繩 $A$ 張力。
2. 葉片與通過葉片的噴流控制體積：用來求噴流對葉片車的作用力，進而求繩 $B$ 張力。

示意如下：

             水箱液面
        ───────────────
              ↓ 2 m
             噴嘴
              → V₁
              ─────────→
                         ↓ 4 m
                    葉片控制體積
              噴流 →  ╲      → V₂
                         ╲______
                       葉片車

控制體積邊界應包住噴嘴或葉片，以及流體通過的入口、出口截面；截面上的速度與壓力作為動量方程式的通量項。

由伯努力方程式，液面至噴嘴出口：

$$\frac{V_1^2}{2g}=2$$

因此

$$V_1=\sqrt{2g(2)} =\sqrt{39.24} =6.26\ \mathrm{m/s}$$

噴流離開噴嘴後自由落下 $4\ \mathrm{m}$，其垂直速度分量為

$$V_y=\sqrt{2g(4)} =8.86\ \mathrm{m/s}$$

噴流撞擊葉片前的速度大小為

$$V_{\text{in}} =\sqrt{V_1^2+V_y^2} =\sqrt{2g(2+4)} =10.85\ \mathrm{m/s}$$

由於流體無黏性，且葉片出口仍為大氣壓，出口高度與撞擊位置的速度能量關係使出口水平速度大小為

$$V_2=\sqrt{V_1^2+V_y^2} =10.85\ \mathrm{m/s}$$

質量流率為

核心觀念

本題考查白金漢 $\Pi$ 定理：若物理問題包含 $n$ 個變數，且這些變數由 $k$ 個基本量綱組成，則可形成 $n-k$ 個獨立無因次群。

題目指定阻力 $\mathcal{D}$ 受球體直徑 $d$、管徑 $D$、流速 $V$ 與流體密度 $\rho$ 影響。這五個變數共涉及質量、長度、時間三個基本量綱，因此可組成 $5-3=2$ 個無因次群。

解題方法

圖 2 顯示球體位於管內，流體以速度 $V$ 流動；球體直徑標為 $d$，管徑標為 $D$。第 (b) 小題的實驗與待估條件使用相同流體（水），並要求維持一個與幾何相似性相關的 $\Pi$ 項。

先列出各變數的量綱：

$$[\mathcal{D}]=MLT^{-2},\qquad [d]=[D]=L,\qquad [V]=LT^{-1},\qquad [\rho]=ML^{-3}$$

選取 $\rho$、$V$、$d$ 作為重複變數，可得兩個無因次群：

$$\Pi_1=\frac{\mathcal{D}}{\rho V^2d^2}, \qquad \Pi_2=\frac{D}{d}$$

其中 $\Pi_1$ 是阻力的無因次形式，$\Pi_2$ 是管徑與球徑的幾何比例。因此，白金漢 $\Pi$ 定理可寫為：

$$\frac{\mathcal{D}}{\rho V^2d^2} = f\!\left(\frac{D}{d}\right)$$

(a) 無因次項

答案為：

$$\boxed{\Pi_1=\frac{\mathcal{D}}{\rho V^2d^2}, \qquad \Pi_2=\frac{D}{d}}$$

(b) 阻力估算

題目指定幾何相似性相關的 $\Pi$ 項維持不變，也就是兩種情況的 $D/d$ 相同。由於使用相同流體，$\rho$ 也相同；因此相同的幾何比例下，$\Pi_1$ 相同：