109 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班甲組《流體力學》

核心觀念

本題考查圓管內「穩態、充分發展、軸對稱層流」的速度分布，以及由速度分布積分得到 Hagen–Poiseuille 定律。

主要觀念為：

• 管壁無滑移條件：$u_z(R)=0$
• 管中心線對稱：$\left.\dfrac{du_z}{dr}\right|_{r=0}=0$
• 圓管截面流量：
  $Q=\int_A u_z\,dA=2\pi\int_0^R u_z(r)\,r\,dr$
• 壓力差驅動下，圓管內速度分布為拋物線。

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（a）速度分布推導

1. 合理假設

考慮半徑為 $R$、長度為 $L$ 的直圓管，取 $z$ 軸沿管軸方向。採用下列假設：

1. 流體為牛頓流體，黏度 $\mu$ 為常數。
2. 流動為穩態：
   $\frac{\partial u_z}{\partial t}=0$
3. 流動為軸對稱：
   $\frac{\partial u_z}{\partial \theta}=0$
4. 為充分發展流，速度只隨徑向位置變化：
   $u_z=u_z(r),\qquad \frac{\partial u_z}{\partial z}=0$
5. 沒有徑向與周向流速：
   $u_r=0,\qquad u_\theta=0$
6. 忽略入口效應，管內壓力沿 $z$ 方向呈線性變化。
7. 管壁為固定剛性壁面，滿足無滑移條件：
   $u_z(R)=0$
8. 速度在管中心有限，且由軸對稱性：
   $\left.\frac{du_z}{dr}\right|_{r=0}=0$

代入題目給出的 Navier–Stokes 方程式後，慣性項與 $\theta,z$ 方向的速度微分項皆消失，得到

$$0=-\frac{dp}{dz} +\mu\frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left(r\frac{du_z}{dr}\right) +\rho g_z$$

整理為

$$\frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left(r\frac{du_z}{dr}\right) = \frac{1}{\mu} \left(\frac{dp}{dz}-\rho g_z\right)$$

定義有效壓力梯度

$$G=-\frac{dp}{dz}+\rho g_z$$

則控制方程式為

$$\frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left(r\frac{du_z}{dr}\right) =-\frac{G}{\mu}$$

2. 兩次積分

兩邊乘上 $r$：

$$\frac{d}{dr} \left(r\frac{du_z}{dr}\right) =-\frac{G}{\mu}r$$

第一次積分：

$$r\frac{du_z}{dr} =-\frac{G}{2\mu}r^2+C_1$$

由於 $r=0$ 時速度梯度必須有限，因此 $C_1=0$，故

$$\frac{du_z}{dr} =-\frac{G}{2\mu}r$$

再次積分：

$$u_z(r)=-\frac{G}{4\mu}r^2+C_2$$

利用管壁無滑移條件 $u_z(R)=0$：

$$0=-\frac{G}{4\mu}R^2+C_2$$

因此

$$C_2=\frac{G R^2}{4\mu}$$

所以圓管內的軸向速度分布為

$$\boxed{ u_z(r)=\frac{G}{4\mu}(R^2-r^2) }$$

若忽略重力影響，或管路為水平放置，則 $g_z=0$，且

$$G=-\frac{dp}{dz}$$

若入口與出口壓力分別為 $P_{\mathrm{in}}$ 與 $P_{\mathrm{out}}$，且壓力沿 $z$ 軸下降，則

$$-\frac{dp}{dz} = \frac{P_{\mathrm{in}}-P_{\mathrm{out}}}{L} = \frac{\Delta P}{L}$$

因此

$$\boxed{ u_z(r)=\frac{\Delta P}{4\mu L}(R^2-r^2) }$$

核心觀念

本題考查：

1. Bernoulli 方程式的適用條件。
2. 強制渦流與自由渦流的速度分布：
   • 強制渦流：$V=\omega r$
   • 自由渦流：$V=K/r$
3. 徑向壓力梯度關係：

$$\frac{dp}{dr}=\rho\frac{V^2}{r}$$

其中 $p$ 為壓力，$\rho$ 為流體密度。

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(a) Bernoulli 方程式的假設

Bernoulli 方程式為

$$p+\frac{1}{2}\rho V^2+\rho gz=\text{Constant}$$

其適用假設如下：

1. 穩態流動：流場中的速度、壓力不隨時間變化。
2. 不可壓縮流體：密度 $\rho$ 為常數。
3. 無黏性流動：忽略黏滯剪力與摩擦造成的能量損失。
4. 沿同一流線成立：一般情況下，Bernoulli 方程式沿同一流線使用；若流場為無旋流，則可適用於不同流線間。
5. 僅有保守體積力作用：例如重力，且可用位能項 $\rho gz$ 表示。
6. 無外加能量與能量損失：流體中沒有泵、渦輪等軸功輸入或輸出，也沒有熱傳與其他不可逆能量損失。

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(b) 中心點與遠處的壓力差

解題方法

龍捲風可分成兩個區域：

• 點 1 至點 2：強制渦流，$0\leq r\leq R$
• 點 2 至點 3：自由渦流，$R\leq r<\infty$

假設各點位於同一高度，因此 $z_1=z_3$，重力位能項彼此抵消。徑向平衡方程式為

$$\frac{dp}{dr}=\rho\frac{V^2}{r}$$

強制渦流區：點 1 至點 2

強制渦流速度為

$$V=\omega r$$

因此

$$\frac{dp}{dr} =\rho\frac{(\omega r)^2}{r} =\rho\omega^2r$$

由 $r=0$ 積分至 $r=R$：

$$p_2-p_1 =\int_0^R \rho\omega^2r\,dr =\frac{1}{2}\rho\omega^2R^2$$

所以

$$p_2=p_1+\frac{1}{2}\rho\omega^2R^2$$

自由渦流區：點 2 至點 3

自由渦流速度為

$$V=\frac{K}{r}$$

因此

$$\frac{dp}{dr} =\rho\frac{(K/r)^2}{r} =\rho\frac{K^2}{r^3}$$

由 $r=R$ 積分至 $r\to\infty$：

核心觀念

本題考查：

• 伯努力方程式與能量線（Energy Grade Line, EGL）
• 水力坡線（Hydraulic Grade Line, HGL）
• 管路沿程損失與局部損失
• 連續方程式
• 虹吸管高點的壓力判斷

定義為：

$$\mathrm{HGL}=z+\frac{p}{\gamma}$$ $$\mathrm{EGL}=z+\frac{p}{\gamma}+\frac{V^2}{2g} =\mathrm{HGL}+\frac{V^2}{2g}$$

因此，EGL 永遠比 HGL 高一個速度水頭 $\frac{V^2}{2g}$。

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(a) HGL 的繪製與三項關係

由水槽自由液面至管內各點，能量線會因入口損失、沿程損失及膨脹損失而沿流向逐漸下降。

繪圖時應標示：

$$\mathrm{EGL} = z+\frac{p}{\gamma}+\frac{V^2}{2g}$$ $$\mathrm{HGL} = z+\frac{p}{\gamma}$$ $$\mathrm{EGL}-\mathrm{HGL} = \frac{V^2}{2g}$$

具體走勢如下：

1. 水槽自由液面可視為基準能量線，因水槽截面很大，$V\approx0$。
2. 水流進入管口 A 後，因入口損失，EGL 先突然下降。
3. 在 A 到 B 的小管徑管段中，速度較大，因此 HGL 位於 EGL 下方較遠處。
4. 經過 B 突然擴大後，速度下降，速度水頭變小，因此 HGL 會相對上升；但 EGL 仍因膨脹損失而下降。
5. 後續沿程損失使 EGL 與 HGL 持續下降。
6. 在出口 C，因排入大氣，出口壓力為大氣壓，所以 HGL 通過出口高程 $z_C$；EGL 則比 HGL 高一個出口速度水頭。

圖形應呈現「EGL 沿流向下降，HGL 與 EGL 相差一個速度水頭」的關係。

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(b) H 點的水流方向判斷

在 H 點，若管內水壓為表壓，則：

$$\frac{p_H}{\gamma}= \mathrm{HGL}-z_H$$

由圖示的圖形伯努力線可知，H 點的管中心高程高於 HGL，因此：

$$\mathrm{HGL}<z_H$$

所以：

$$\frac{p_H}{\gamma}<0$$

表示 H 點為負表壓。當 H 點開孔時，外界大氣壓大於管內壓力，空氣會由孔 H 被吸入管內，水不會由 H 孔流出。

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(c) 出口自由射流速度

1. 連續方程式

由圖中管徑：

$$D_1=0.1\ \mathrm{m},\qquad D_2=0.2\ \mathrm{m}$$

截面積比為：

$$\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{D_2}{D_1}\right)^2 = \left(\frac{0.2}{0.1}\right)^2 =4$$

因此：

$$A_1V_1=A_2V_2$$ $$V_1=4V_2$$

其中 $V_1=V_A=V_B$，$V_2$ 為 B 至 C 管段及出口的速度。

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2. 各項損失

沿程損失公式為：

$$h_{\mathrm{major}} = f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$$

其中 $f=0.02$，且兩段管長皆為 $1\ \mathrm{m}$。

A 至 B 段：

核心觀念

本題考查控制體積動量方程、連續方程，以及 cart 的自由體圖（FBD）。

假設：

• 水為不可壓縮、穩態流動，密度為 $\rho$。
• 入口與出口噴流截面積相同，皆為 $A$。
• 入口、出口壓力皆為大氣壓，壓力力相互抵消。
• cart 在磅秤上瞬間停止，因此此刻 cart 速度為 $0$。
• 出口速度與水平線夾角為 $\theta$。

取控制體積包住 cart 上的彎管，入口速度為

$$\vec V_{\text{in}}=V_{\text{jet}}\hat i$$

出口速度為

$$\vec V_{\text{out}} =V_{\text{out}}\cos\theta\,\hat i +V_{\text{out}}\sin\theta\,\hat j$$

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(a) 出口噴流速度 $V_{\text{out}}$

由不可壓縮流體的連續方程：

$$\dot m_{\text{in}}=\dot m_{\text{out}}$$

因為 cart 在此瞬間停止，控制體積不移動，所以

$$\dot m=\rho A V$$

入口與出口截面積相同，故

$$\rho A V_{\text{jet}} = \rho A V_{\text{out}}$$

因此

$$\boxed{V_{\text{out}}=V_{\text{jet}}}$$

若入口、出口截面積不同，則一般式為

$$V_{\text{out}} = \frac{A_{\text{in}}}{A_{\text{out}}}V_{\text{jet}}.$$

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(b) 作用在 cart 上的摩擦力 $F$

對水流使用 $x$ 方向動量方程：

$$\sum F_x = \dot m \left( V_{\text{out}}\cos\theta - V_{\text{jet}} \right)$$

設彎管對流體的水平作用力為 $R_x$，則

$$R_x = \rho A V_{\text{jet}} \left( V_{\text{out}}\cos\theta - V_{\text{jet}} \right)$$

由牛頓第三定律，流體對 cart 的水平作用力大小為

$$F_{\text{jet},x} = \rho A V_{\text{jet}} \left( V_{\text{jet}} - V_{\text{out}}\cos\theta \right)$$

本題考驗學生對流場運動學概念的理解，包括流線、跡線、路徑線的定義與區別，以及如何根據速度場求解流線並繪製流場圖。

(a) 三種線重合的條件

流線 (Streamline)、跡線 (Streakline) 和路徑線 (Pathline) 是描述流體運動的三種不同方式。它們在一般情況下是不同的，但在特定條件下會重合。

重合的條件：穩態流 (Steady Flow)
這三種線在穩態流的條件下會重合。
穩態流的定義是：流場中的任何物理量（如速度、壓力）在空間中的任何一點都不隨時間變化。換句話說，對於流場中的任何點 $(x, y, z)$，速度向量 $\vec{U}(x, y, z, t)$ 不顯含對時間的依賴性，即 $\frac{\partial \vec{U}}{\partial t} = 0$。

原因解釋：

• 流線 (Streamline): 在任意時刻 $t$，與流體質點的瞬時速度向量 $\vec{U}$ 平行的曲線。數學上，沿著流線，$dy/dx = U_y/U_x$。
• 跡線 (Streakline): 在任意時刻 $t$，所有曾經經過某一點的流體質點在該時刻 $t$ 的位置連成的曲線。
• 路徑線 (Pathline): 單一流體質點在空間中隨時間運動的軌跡。

在穩態流中，經過某一點的流體質點的瞬時速度永遠是相同的，且流場的結構不隨時間改變。因此：

1. 對於任意質點，其瞬時速度方向總是指向同一方向（因為速度場不隨時間變化），所以路徑線與流線重合。
2. 所有經過某一點的質點，在任何時刻都具有相同的瞬時速度方向，且流場結構不變，所以跡線與流線重合。
   因此，在穩態流條件下，流線、跡線和路徑線三者重合。

(b) 流線、跡線和路徑線的定義

• 流線 (Streamline): 在流場的某一瞬間，與該瞬間所有質點的瞬時速度向量 $\vec{U}$ 平行的曲線。流線表示了流體在該瞬間的流動方向。數學上，對於二維流場，流線滿足 $\frac{dy}{dx} = \frac{U_y}{U_x}$。
• 跡線 (Streakline): 在某一固定時刻 $t$，所有曾經經過某一個特定空間點的所有流體質點在該時刻 $t$ 的位置所構成的曲線。跡線可以想像成在流場中注入染料（如煙霧或墨水）後，在某一時刻觀察到的染料分佈線。
• 路徑線 (Pathline): 單獨一個流體質點隨時間在空間中運動的軌跡。它描述了單一質點的運動歷史。

(c) 求解流線並繪製流場圖

給定的速度場為：

$$\vec{U}(x, y) = U_x \hat{i} + U_y \hat{j} = \frac{-V_0 y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{V_0 x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}$$

其中 $V_0$ 是常數。
這個速度場描述的是一個繞原點 $(0,0)$ 的旋轉流。

1. 求解流線 (Derive the streamlines)
流線的定義是滿足 $\frac{dy}{dx} = \frac{U_y}{U_x}$ 的曲線。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{V_0 x}{\sqrt{x^2 + y^2}}}{\frac{-V_0 y}{\sqrt{x^2 + y^2}}} = \frac{x}{-y}$$

整理得到：

$$-y \, dy = x \, dx$$

對兩邊積分：

$$\int -y \, dy = \int x \, dx$$ $$-\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C'$$

其中 $C'$ 是積分常數。

$$x^2 + y^2 = -2C'$$

令 $C = -2C'$，則流線方程為：

$$x^2 + y^2 = C$$

其中 $C$ 是一個非負常數（因為 $x^2+y^2$ 必須大於等於零）。
這個方程描述的是以原點 $(0,0)$ 為中心的圓。

注意：
當 $x=0, y=0$ (原點) 時，速度場中的分母 $\sqrt{x^2+y^2}$ 為零，速度是奇異的 (singularity)。在原點處，流線方程 $x^2+y^2=C$ 的 $C=0$，這意味著原點是一個奇異點。