109 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班乙組《化學反應工程》

核心觀念

本題考查**反應動力學機構推導（Reaction Mechanism & Rate Laws）與擬穩態假說（Pseudo-Steady-State Approximation, PSSA）**之應用，並在特定極限條件下簡化速率方程式。

1. 反應物生成與消耗速率表示法：依據基元反應（Elementary Reactions）質量作用定律（Law of Mass Action），各物種的淨生成速率等於該物種參與所有反應步驟之生成速率減去消耗速率。
2. 擬穩態假說（PSSA）：當反應活性中間物（Active Intermediate, 此處為 $Y$）反應性極高、濃度極低時，其累積速率可視為零，即： $$r_Y = \frac{dC_Y}{dt} \approx 0$$
3. 速率決定步驟（Rate-Determining Step, RDS）與預平衡假說（Pre-equilibrium Approximation）：當第一步為可逆且快速反應、第二步為慢反應時，第一步反應可視為已達熱力學化學平衡，整體反應速率由第二步主導。

---

解題方法

步驟一：寫出各基元反應步驟與整體反應

基元反應步驟如下：

• 反應 (1)：正向反應 $$A \xrightarrow{k_1} Y$$
• 反應 (-1)：逆向反應 $$Y \xrightarrow{k_{-1}} A$$
• 反應 (2)：產物生成反應 $$Y + B \xrightarrow{k_2} Z$$

總反應為：

$$A + B \rightarrow Y + Z$$

（註：產物中含 $Y$ 與 $Z$，其中中間物 $Y$ 經由反應產生，同時作為後續反應物）

步驟二：定義目標反應速率方程式

定義產物 $Z$ 的生成速率（或反應物 $B$ 的消耗速率）為總反應速率 $r$：

$$r = r_Z = -\frac{dC_B}{dt} = k_2 C_Y C_B$$

步驟三：應用擬穩態假說（PSSA）求活性中間物 $Y$ 的濃度

中間物 $Y$ 參與步驟 (1)、(-1) 與 (2)，其淨生成速率 $r_Y$ 為：

$$r_Y = \frac{dC_Y}{dt} = k_1 C_A - k_{-1} C_Y - k_2 C_Y C_B$$

根據穩態處理（Steady-state treatment），令 $r_Y \approx 0$：

$$k_1 C_A - k_{-1} C_Y - k_2 C_Y C_B = 0$$

整理並提出 $C_Y$：

$$C_Y (k_{-1} + k_2 C_B) = k_1 C_A$$

解出中間物濃度 $C_Y$：

$$C_Y = \frac{k_1 C_A}{k_{-1} + k_2 C_B}$$

步驟四：獲得一般反應速率方程式（General Rate Equation）

核心觀念

本題探討**非基元反應機構（Non-elementary Reaction Mechanism）**的動力學推導與簡化，主要考查以下觀念：

1. 擬穩態假說（Pseudo-Steady-State Approximation, PSSA）：活性中間產物（Intermediate）的生成速率極小且非常活潑，其淨生成速率可視為零（$\frac{d[Y]}{dt} \approx 0$）。
2. 總反應速率的表示法：依據產物 $Z$ 的生成速率定義總反應速率 $r = \frac{d[Z]}{dt} = -r_A$。
3. 速率決定步驟（Rate-Determining Step, RDS）與極限條件簡化：當第二個反應步驟的速率遠快於第一個可逆反應的雙向速率時，反應速率由第一步決定，速率式會簡化為特定級數。

---

解題方法

步驟一：寫出反應機構各基元步驟的速率

給定反應機構如下：

1. 正向反應 1：$A \xrightarrow{k_1} Y$，速率 $r_1 = k_1 [A]$
2. 逆向反應 -1：$Y \xrightarrow{k_{-1}} A$，速率 $r_{-1} = k_{-1} [Y]$
3. 反應 2：$Y + B \xrightarrow{k_2} Z$，速率 $r_2 = k_2 [Y][B]$

步驟二：利用擬穩態假說（PSSA）求解中間物 $[Y]$

中間物 $Y$ 的淨生成速率為：

$$\frac{d[Y]}{dt} = k_1 [A] - k_{-1} [Y] - k_2 [Y][B]$$

應用擬穩態假說，令 $\frac{d[Y]}{dt} \approx 0$：

$$k_1 [A] - k_{-1} [Y] - k_2 [Y][B] = 0$$

整理求得活性中間物 $[Y]$ 的濃度：

$$[Y] = \frac{k_1 [A]}{k_{-1} + k_2 [B]}$$

步驟三：列出一般總反應速率方程式（General Rate Equation）

反應整體的速率以最終產物 $Z$ 的生成速率表示：

$$r = \frac{d[Z]}{dt} = k_2 [Y][B]$$

將 $[Y]$ 代入上式，得到通用的速率方程式：

$$r = \frac{k_1 k_2 [A][B]}{k_{-1} + k_2 [B]}$$

核心觀念

本題考查化學動力學中經典的**阿瑞尼斯方程式（Arrhenius equation）**及其微觀物理意義：

$$k = A e^{-E_a / RT}$$

1. 碰撞理論（Collision Theory）與能量分布：
   化學反應發生的先決條件是反應物分子必須相互碰撞。波茲曼分布因子（Boltzmann factor）$e^{-E_a/RT}$ 代表在絕對溫度 $T$ 下，能量大於或等於活化能 $E_a$ 的「有效分子比例（碰撞分數）」。
2. 活化能（Activation Energy, $E_a$）的意義：
   化學反應物轉化為產物時，必須跨越的最低能壘（energy barrier），亦即反應物形成過渡態（activated complex）所需的最小能量。
3. 指前因子（Pre-exponential Factor, $A$）的意義：
   又稱為頻率因子（frequency factor）。在微觀碰撞理論中，$A$ 綜合了分子間的「碰撞頻率（collision frequency）」與分子碰撞時的「幾何方位因子（steric factor）」。

---

解題方法

從化學反應工程（微觀動力學）之物理意義、分子碰撞理論、熱力學/數學極限三個維度，分別深入剖析 $A$ 與 $E_a$：

1. 指前因子 $A$（Pre-exponential Factor / Frequency Factor）

• 微觀物理意義（碰撞理論）：
  在雙分子氣相反應的簡單碰撞理論中，$A$ 可表示為：

  $$A = Z_0 \cdot P$$

  其中：

  • $Z_0$ 為分子間的總碰撞頻率（Collision frequency），代表單位時間、單位體積內反應物分子互相碰撞的次數。
  • $P$ 為立體因子／方位因子（Steric factor），代表碰撞時分子幾何取向符合反應要求的機率（只有方向正確的碰撞才能促成鍵的斷裂與重組）。
  • 因此，$A$ 代表單位時間內具備正確空間幾何碰撞方位的碰撞頻率。

• 數學極限意涵：
  當系統溫度極高（$T \to \infty$）時，$\frac{E_a}{RT} \to 0$，$e^{-E_a/RT} \to 1$。此時 $k \to A$。這代表若所有分子的熱運動動能皆遠大於反應能壘時，反應速率常數的理論上限值即為 $A$。

• 單位特性：
  $A$ 的因次與單位恆與反應速率常數 $k$ 相同，由反應級數決定（例如零級為 $\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{s}^{-1}$、一級為 $\text{s}^{-1}$、二級為 $\text{L}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{s}^{-1}$）。

2. 活化能 $E_a$（Activation Energy）

• 微觀物理意義（能障觀點）：
  反應物分子必須吸收足夠能量，使其化學鍵發生形變、重組以達到能量最高的「活化複合體（Activated Complex / Transition State）」。基態反應物與活化複合體之間的位能差即為活化能 $E_a$。只有動能大於或等於 $E_a$ 的分子碰撞，才是「有效碰撞」。

核心觀念

本題旨在考查化學反應工程與化學動力學中反應速率常數對溫度的依存關係——**阿瑞尼斯方程式（Arrhenius equation）**及其線性化分析：

1. 阿瑞尼斯方程式形式：

   $$k = A \exp\left(-\frac{E_a}{RT}\right)$$

   式中：

   • $k$：反應速率常數（一級反應單位為 $\text{s}^{-1}$）。
   • $A$：指前因子（pre-exponential factor 或 frequency factor），單位與 $k$ 相同（$\text{s}^{-1}$）。
   • $E_a$：活化能（activation energy），單位為 $\text{J}\cdot\text{mol}^{-1}$ 或 $\text{kJ}\cdot\text{mol}^{-1}$。
   • $R$：理想氣體常數（$8.314\ \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$）。
   • $T$：絕對溫度（$\text{K}$）。

2. 線性化形式（Arrhenius Plot）：
   兩邊取自然對數得：

   $$\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T}\right)$$

   以 $\ln k$ 為縱軸（$y$）、$\frac{1}{T}$ 為橫軸（$x$）作圖，應呈現一條斜率為 $-\frac{E_a}{R}$、截距為 $\ln A$ 的直線。

---

解題方法

本題給定 6 組不同溫度下的反應速率常數數據。在研究所入學考試中，解題切入點可分為「完整最小平方法迴歸」與「考場兩點快速計算」，詳解均給予標準推導：

方法一：全數據線性迴歸（最小平方法，計算機 STAT 模式標準解）

先將各組實驗數據轉換為 $x = \frac{1}{T}\ (\text{K}^{-1})$ 與 $y = \ln k$：

$T\ (\text{K})$	$k\ (10^{-5}\ \text{s}^{-1})$	$k\ (\text{s}^{-1})$	$x = \frac{1}{T}\ (\text{K}^{-1})$	$y = \ln k$
273	0.0787	$7.87 \times 10^{-7}$	$3.6630 \times 10^{-3}$	$-14.055$
298	3.46	$3.46 \times 10^{-5}$	$3.3557 \times 10^{-3}$	$-10.272$
308	13.5	$1.35 \times 10^{-4}$	$3.2468 \times 10^{-3}$	$-8.910$
318	49.8	$4.98 \times 10^{-4}$	$3.1447 \times 10^{-3}$	$-7.605$
328	150	$1.50 \times 10^{-3}$	$3.0488 \times 10^{-3}$	$-6.502$
338	487	$4.87 \times 10^{-3}$	$2.9586 \times 10^{-3}$	$-5.325$

1. 計算直線斜率（Slope, $m$）：

   $$m = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} = -1.238 \times 10^4\ \text{K}$$

2. 計算活化能 $E_a$：
   由斜率定義 $m = -\frac{E_a}{R}$：

   $$E_a = -m \cdot R = -(-12376\ \text{K}) \times (8.314\ \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}) = 1.029 \times 10^5\ \text{J}\cdot\text{mol}^{-1} = 102.9\ \text{kJ}\cdot\text{mol}^{-1}$$

3. 計算截距與指前因子 $A$：
   數據中心點 $\bar{x} = 3.2363 \times 10^{-3}\ \text{K}^{-1}$，$\bar{y} = -8.778$。

   $$\ln A = \bar{y} - m\bar{x} = -8.778 - (-12376) \times (3.2363 \times 10^{-3}) = 31.27$$ $$A = e^{31.27} = 3.81 \times 10^{13}\ \text{s}^{-1}$$

---

方法二：考場兩點代入法（取跨距最大之首尾兩點 $T_1=273\ \text{K}$ 與 $T_6=338\ \text{K}$）

核心觀念

本題考查**米氏動力學（Michaelis-Menten Kinetics）**的基本動力學特徵與基質飽和曲線（Saturation Curve）的繪製。
米氏方程式（Michaelis-Menten equation）描述單一受質酵素催化反應中，反應初速率（$v$）與受質濃度（$[S]$）之雙曲線（rectangular hyperbola）關係：

$$v = \frac{V_{\max}[S]}{K_M + [S]}$$

式中：

1. $V_{\max}$（最大反應速率）：當所有酵素活性中心完全被受質飽和（$[ES] \approx [E]_0$）時的極限速率，$V_{\max} = k_{\text{cat}}[E]_0$。
2. $K_M$（米氏常數）：當反應速率達到最大反應速率一半（$v = \frac{1}{2}V_{\max}$）時所需的受質濃度，其單位與受質濃度相同（如 $\text{mM}$ 或 $\text{M}$）。

---

解題方法

本題要求繪製酵素反應的飽和曲線（$v$ 對 $[S]$ 圖），並清楚標示 $V_{\max}$ 與 $K_M$。解題與繪圖的關鍵切入點如下：

1. 軸線定義：
   • 橫軸（$x$ 軸）：受質濃度 $[S]$（Substrate concentration）。
   • 縱軸（$y$ 軸）：反應初速率 $v$（Reaction rate 或 Initial velocity $v_0$）。
2. 曲線特徵（雙曲線，Rectangular Hyperbola）：
   • 原點：當 $[S] = 0$ 時，$v = 0$。
   • 低受質濃度區（$[S] \ll K_M$）：分母 $K_M + [S] \approx K_M$，則 $v \approx \left(\frac{V_{\max}}{K_M}\right)[S]$，反應速率對 $[S]$ 呈線性關係（擬一級反應，Pseudo-first-order）。
   • 過渡區（$[S] = K_M$）：$v = \frac{V_{\max} K_M}{K_M + K_M} = \frac{1}{2}V_{\max}$。此點為定義 $K_M$ 之關鍵幾何位置。
   • 高受質濃度區（$[S] \gg K_M$）：分母 $K_M + [S] \approx [S]$，則 $v \approx V_{\max}$，反應速率趨於一水平漸近線，與 $[S]$ 無關（零級反應，Zero-order）。

---

曲線繪製與圖解

在試卷上作答時，應以座標圖清楚呈現以下元素：

核心觀念

本題旨在推導酵素動力學中最著名的米氏方程式（Michaelis-Menten Equation）：

$$v_0 = \frac{V_{\max}[S]}{K_M + [S]}$$

推導過程涉及以下化學反應工程與生化工程之關鍵觀念：

1. 反應機構與速率常數定義：酵素（$E$）與受質（$S$）可逆結合形成中間複合體（$ES$），再不可逆分解為酵素（$E$）與產物（$P$）：

$$E + S \underset{k_{-1}}{\overset{k_1}{\rightleftharpoons}} ES \overset{k_2}{\longrightarrow} E + P$$

2. 基質平衡（Mass Balance on Enzyme）：游離酵素濃度 $[E]$ 與複合體濃度 $[ES]$ 之和等於初始（總）酵素濃度 $[E]_0$，即 $[E]_0 = [E] + [ES]$。
3. 擬穩態假設（Pseudo-Steady-State Approximation, PSSA）：在反應初期受質過量時，活化中間物 $[ES]$ 的生成速率與消耗速率相等，即 $\frac{d[ES]}{dt} \approx 0$（由 Briggs 與 Haldane 提出）。
4. 初速率定義（Initial Reaction Rate, $v_0$）：產物生成速率由催化步驟主導，即 $v_0 = \frac{d[P]}{dt} = k_2[ES]$。

---

解題方法

採用 Briggs-Haldane 的擬穩態假設法（PSSA） 進行標準推導。推導步驟如下：

步驟一：設定反應機構與各步驟反應速率常數

反應式為：

$$E + S \underset{k_{-1}}{\overset{k_1}{\rightleftharpoons}} ES \overset{k_2}{\longrightarrow} E + P$$

各步驟速率定義為：

• $ES$ 生成速率：$r_{\text{formation}} = k_1 [E][S]$
• $ES$ 逆向解離回 $E + S$ 速率：$r_{\text{dissociation}} = k_{-1} [ES]$
• $ES$ 催化產生產物 $P$ 速率：$r_{\text{catalysis}} = k_2 [ES]$

步驟二：對活性中間物 $[ES]$ 應用擬穩態假設（PSSA）

在反應進行極短時間後，中間複合體 $[ES]$ 達到動態平衡，其淨生成速率為零：

$$\frac{d[ES]}{dt} = k_1 [E][S] - k_{-1} [ES] - k_2 [ES] = 0$$

移項整理得：

$$k_1 [E][S] = (k_{-1} + k_2) [ES]$$

步驟三：利用酵素總質量平衡消去無法直接量測的游離酵素濃度 $[E]$

系統中酵素總量守恆：

$$[E]_0 = [E] + [ES] \implies [E] = [E]_0 - [ES]$$

將 $[E]$ 代入步驟二之式子：

$$k_1 ([E]_0 - [ES]) [S] = (k_{-1} + k_2) [ES]$$

展開並整理含有 $[ES]$ 的項：

$$k_1 [E]_0 [S] - k_1 [ES][S] = (k_{-1} + k_2) [ES]$$ $$k_1 [E]_0 [S] = \left( k_{-1} + k_2 + k_1 [S] \right) [ES]$$

同除以 $k_1$：

$$[E]_0 [S] = \left( \frac{k_{-1} + k_2}{k_1} + [S] \right) [ES]$$

解出 $[ES]$ 濃度：

核心觀念

本題的核心觀念在於氣相反應中莫耳數變化對體積流率（Volumetric Flow Rate）、滯留時間（Residence Time）以及反應物濃度的影響。

對於氣相恆溫恆壓系統：

1. 體積流率與膨脹因子（Expansion Factor, $\varepsilon_A$）：
   體積流率可表示為轉化率 $X_A$ 的函數： $$v = v_0 (1 + \varepsilon_A X_A)$$ 其中 $\varepsilon_A = y_{A0} \delta$，$\delta$ 為反應的化學計量數淨變化量（$\sum \nu_i$）。
2. 反應物濃度（Concentration）： $$C_A = \frac{F_A}{v} = \frac{F_{A0}(1 - X_A)}{v_0(1 + \varepsilon_A X_A)} = C_{A0} \frac{1 - X_A}{1 + \varepsilon_A X_A}$$
3. 實質滯留時間（Space Time vs. True Residence Time）：
   流體在反應器內的局部線性流速 $u \propto v$。當氣體產物莫耳數增加時，流速加快，流體在管式反應器（PFR）內的實質停留時間縮短。

---

解題方法

題目明確限制「不需推導任何設計方程式（Without deriving any design equation）」，因此必須以**物理直觀（Physical Insight）**從「濃度效應」與「停留時間效應」兩大維度進行定性剖析：

1. 體積膨脹差異（Expansion Effect）：
   • 對於反應 (1) $A \rightarrow 2B$：每消耗 $1\text{ mol}$ 的 $A$ 會生成 $2\text{ mol}$ 的 $B$（莫耳數增加，$\delta = 2 - 1 = +1 > 0$），屬於體積膨脹反應（$\varepsilon_A > 0$）。

核心觀念

本題考查化學反應工程中最基礎的反應速率與化學計量係數關係（Relative Rates of Reaction / Stoichiometric Relationships）。

對於一均相反應系統，假設反應體積恆定，各成分之濃度變化率與反應速率之關係，遵循化學反應計量平衡。對於一般化學反應：
$aA + bB \rightarrow cC + dD$

定義反應進行的整體固有速率（Rate of reaction）為 $r$，則各反應物消耗速率與生成物生成速率符合以下比例關係：
$r = -\frac{1}{a}\frac{d[A]}{dt} = -\frac{1}{b}\frac{d[B]}{dt} = \frac{1}{c}\frac{d[C]}{dt} = \frac{1}{d}\frac{d[D]}{dt}$

其中：

• 反應物（$A, B$）之濃度隨時間遞減，前置負號使反應速率維持正值。
• 生成物（$C, D$）之濃度隨時間遞增，導數本身即為正值。
• 各項除以其相對應的化學計量係數（$a, b, c, d$）。

---

解題方法

給定反應式為：
$3A + B = 2C + D$

化學計量係數分別為：$a = 3$、$b = 1$、$c = 2$、$d = 1$。

依據反應速率與化學計量之通用關係式，各物種之濃度變化率關係為：
$-\frac{1}{3}\frac{d[A]}{dt} = -\frac{1}{1}\frac{d[B]}{dt} = \frac{1}{2}\frac{d[C]}{dt} = \frac{1}{1}\frac{d[D]}{dt}$

亦即：
$-\frac{1}{3}\frac{d[A]}{dt} = -\frac{d[B]}{dt} = \frac{1}{2}\frac{d[C]}{dt} = \frac{d[D]}{dt}$

透過兩兩相等的等式整理，即可檢驗題目中各項敘述之真偽。

---

選項分析

• (a) $-d[B]/dt = d[D]/dt$：正確
  由關係式可知：
  $-\frac{d[B]}{dt} = \frac{d[D]/dt}{1} = \frac{d[D]}{dt}$
  反應每消耗 $1\text{ mol}$ 的 $B$ 即生成 $1\text{ mol}$ 的 $D$，消耗速率等於生成速率，故此式成立。

核心觀念

本題考查等莫耳初濃度之二級反應（Second-Order Reaction）的積分動力學方程式與半生期（Half-life, $t_{1/2}$）。

1. 反應速率定律式（Rate Law）：
   對於反應 $A + B \rightarrow \text{Products}$，速率定律式為： $$r = -\frac{d[A]}{dt} = -\frac{d[B]}{dt} = k[A][B]$$
2. 等莫耳進料之簡化：
   當初始濃度等量且化學計量比為 $1:1$（即 $[A]_0 = [B]_0 = a$）時，任意時刻之反應物消耗量皆相等，因此 $[A] = [B]$。此時反應速率式可退化為單一反應物的二級速率形式： $$-\frac{d[A]}{dt} = k[A]^2$$
3. 二級反應積分式與半生期公式：
   經分離變數積分可得： $$\frac{1}{[A]} - \frac{1}{[A]_0} = kt$$ 當反應進行至一半，即 $[A] = \frac{1}{2}[A]_0 = \frac{a}{2}$ 時，所需時間即為半生期 $t_{1/2}$： $$t_{1/2} = \frac{1}{k[A]_0} = \frac{1}{ka}$$

---

解題方法

步驟一：建立微分速率方程式

已知反應式為 $A + B \rightarrow \text{Products}$，反應速率為 $r = k[A][B]$。
初始條件：$t = 0$ 時，$[A]_0 = [B]_0 = a$。
因為兩者計量係數皆為 1，在等初濃度條件下，隨時間消耗之量相同，故在任意時間 $t$：

$$[A] = [B]$$

因此反應速率方程式可寫為：

$$-\frac{d[A]}{dt} = k[A]^2$$

步驟二：分離變數進行定積分

將變數分離：

$$-\frac{d[A]}{[A]^2} = k \, dt$$

對時間從 $t = 0$（此時 $[A] = a$）積分至時間 $t$（此時濃度為 $[A]$）：

$$\int_{a}^{[A]} -\frac{1}{[A]^2} \, d[A] = \int_{0}^{t} k \, dt$$ $$\left[ \frac{1}{[A]} \right]_{a}^{[A]} = kt$$

整理得二級反應的積分動力學關係式：

核心觀念

本題考核非整數級數反應動力學（Fractional-order kinetics）之積分速率式推導與半生期計算，涉及的核心觀念包含：

1. 微分速率定律式（Differential Rate Law）：對於反應物 $A$ 進行之不可逆反應 $A \rightarrow \text{產物}$，在等容批次系統（Constant-volume batch reactor）中，消失速率定義為：
   $-r_A = -\frac{dC_A}{dt} = k C_A^n$
   本題反應級數 $n = \frac{1}{2}$。
2. 分離變數法（Separation of Variables）：將濃度項與時間項分離後進行定積分。
3. 半生期（Half-life, $t_{1/2}$）定義：反應物濃度消耗至初始濃度一半所需之時間，即當 $t = t_{1/2}$ 時，$C_A = \frac{1}{2}C_{A0}$。

---

解題方法

1. 推導半級反應之積分速率式（Integrated Rate Equation）

考慮等容系統下之不可逆半級反應：
$A \rightarrow \text{產物}$

其微分速率式為：
$-r_A = -\frac{dC_A}{dt} = k C_A^{1/2}$

其中：

• $C_A$：反應時間 $t$ 時之反應物濃度
• $C_{A0}$：初始時間 $t = 0$ 時之反應物濃度
• $k$：反應速率常數（單位為 $\text{mol}^{1/2} \cdot \text{L}^{-1/2} \cdot \text{s}^{-1}$）

利用分離變數法，將濃度變數與時間變數分開：
$C_A^{-1/2} \, dC_A = -k \, dt$

設定邊界條件並在兩端進行定積分：

• 當 $t = 0$ 時，$C_A = C_{A0}$
• 當時間為 $t$ 時，濃度為 $C_A$

$\int_{C_{A0}}^{C_A} C_A^{-1/2} \, dC_A = -\int_{0}^{t} k \, dt$

計算左邊積分：
$\left[ \frac{C_A^{1/2}}{1/2} \right]_{C_{A0}}^{C_A} = 2 \left( C_A^{1/2} - C_{A0}^{1/2} \right)$

計算右邊積分：
$-k \int_{0}^{t} dt = -kt$

兩側相等整理可得：
$2 \left( C_A^{1/2} - C_{A0}^{1/2} \right) = -kt$

整理成常見的標準線性形式或濃度顯式：
$C_{A0}^{1/2} - C_A^{1/2} = \frac{1}{2}kt$

或以 $C_A^{1/2}$ 為應變數之線性方程式：
$C_A^{1/2} = C_{A0}^{1/2} - \frac{1}{2}kt$

---

2. 計算反應之半生期（Half-life, $t_{1/2}$）

依半生期定義，當 $t = t_{1/2}$ 時，$C_A = \frac{C_{A0}}{2}$。代入推導出之積分速率式：
$C_{A0}^{1/2} - \left( \frac{C_{A0}}{2} \right)^{1/2} = \frac{1}{2}kt_{1/2}$

提出左式的 $C_{A0}^{1/2}$：
$C_{A0}^{1/2} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{2}kt_{1/2}$

將有理化係數整理後解出 $t_{1/2}$：