109 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班乙組《計算機概論》

核心觀念

本題考查三種進位制轉換，以及 IEEE-754 單精度浮點數格式：

• 整數部分：可使用連續除以 2 取餘數。

• 小數部分：可使用連續乘以 2 取整數部分。

• 十六進位與二進位：每一個十六進位數字對應 4 個二進位位元。

• IEEE-32 格式包含：

  $\text{sign}\;|\;\text{exponent}\;|\;\text{fraction}$

  其中：

  • sign：1 位
  • exponent：8 位，採偏移值 $127$
  • fraction（mantissa）：23 位，不記錄正規化後最前面的隱藏位元 $1$

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解題方法

（a）將 $(30.25)_{10}$ 轉換為二進位

整數部分

將 $30$ 連續除以 $2$，記錄餘數：

$$\begin{array}{rcl} 30\div 2&=&15\text{ 餘 }0\\ 15\div 2&=&7\text{ 餘 }1\\ 7\div 2&=&3\text{ 餘 }1\\ 3\div 2&=&1\text{ 餘 }1\\ 1\div 2&=&0\text{ 餘 }1 \end{array}$$

由下往上讀取餘數：

$$(30)_{10}=(11110)_2$$

小數部分

將 $0.25$ 連續乘以 $2$，記錄每次的整數部分：

$$\begin{array}{rcl} 0.25\times 2&=&0.5\quad\rightarrow 0\\ 0.5\times 2&=&1.0\quad\rightarrow 1 \end{array}$$

因此：

$$(0.25)_{10}=(0.01)_2$$

合併整數部分與小數部分：

$$\boxed{(30.25)_{10}=(11110.01)_2}$$

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（b）將 $(\mathrm{F3A})_{16}$ 轉換為十進位、二進位與八進位

轉換為十進位

十六進位中：

$$\mathrm{F}=15,\qquad \mathrm{A}=10$$

因此：

$$\begin{aligned} (\mathrm{F3A})_{16} &=15\times 16^2+3\times 16^1+10\times 16^0\\ &=15\times 256+3\times 16+10\\ &=3840+48+10\\ &=\boxed{3898_{10}} \end{aligned}$$

轉換為二進位

每個十六進位數字對應 4 位二進位：

$$\begin{aligned} \mathrm{F}&\rightarrow 1111\\ 3&\rightarrow 0011\\ \mathrm{A}&\rightarrow 1010 \end{aligned}$$

所以：

$$\boxed{(\mathrm{F3A})_{16}=(111100111010)_2}$$

轉換為八進位

將二進位數由右至左每 3 位分組：

$$111100111010 \rightarrow 111\;100\;111\;010$$

各組轉為八進位：

$$111_2=7,\qquad 100_2=4,\qquad 111_2=7,\qquad 010_2=2$$

因此：

$$\boxed{(\mathrm{F3A})_{16}=(7472)_8}$$

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（c）將 $(-7.1875)_{10}$ 轉換為 IEEE-32

第一步：轉換為二進位

整數部分：

這題考查 TCP/IP 協定模型的層級結構及其功能。TCP/IP 模型通常被描述為四層或五層，這裡我們以常見的四層模型來解釋。

TCP/IP 模型層級：

1. 應用層 (Application Layer):
   提供應用程式與網路之間的介面，處理應用程式的特定協定，如 HTTP、FTP、SMTP、DNS 等。

2. 傳輸層 (Transport Layer):
   負責端對端 (end-to-end) 的資料傳輸，提供兩種主要的傳輸服務：TCP (Transmission Control Protocol) 提供可靠的、面向連接的服務，而 UDP (User Datagram Protocol) 提供不可靠的、無連接的服務。此層處理分段 (segmentation)、重組、流量控制和錯誤檢查。

3. 網路層 (Internet Layer / Network Layer):
   負責主機之間的封包傳輸，處理邏輯位址 (IP 位址) 和路由選擇 (routing)。IP (Internet Protocol) 是此層的核心協定。此層將傳輸層的資料單元 (segment/datagram) 封裝成封包 (packet)。

4. 網路介面層 (Network Interface Layer / Link Layer / Data Link Layer):
   負責在物理鏈路上傳輸資料框 (frame)，處理實體位址 (MAC 位址)、錯誤偵測，以及如何將資料傳送至物理媒介。它包含了傳統 OSI 模型中的資料鏈結層和實體層的功能。

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將下列功能匹配至 TCP/IP 模型中的一個或多個層級：

這題主要考查物件導向程式設計 (Object-Oriented Programming, OOP) 的核心概念及其應用。OOP 是一種程式設計範式，它將程式的資料與操作資料的方法封裝 (encapsulate) 在稱為「物件 (object)」的單元中。

物件導向程式設計 (OOP) 的主要特性：

1. 封裝 (Encapsulation):

   • 描述： 將資料 (屬性，attributes) 和操作資料的方法 (methods) 綁定在一起，形成一個獨立的單元（物件）。封裝也包括資訊隱藏 (information hiding)，即將物件的內部狀態對外部隱藏，只允許透過公開的介面 (public methods) 來存取和修改。這有助於保護資料的完整性，並簡化程式的使用。
   • 範例： 假設我們有一個 BankAccount 類別。帳戶餘額 (balance) 是其私有屬性 (private attribute)，外部程式無法直接存取或修改。但我們提供了公開的方法，如 deposit(amount) 和 withdraw(amount)，以及 getBalance() 來存取餘額。這樣，即使在 deposit 或 withdraw 方法中進行了額外的驗證（例如檢查存款金額是否為正），外部程式也不需要知道這些細節。

   class BankAccount {
       private double balance; // 私有屬性
   
       public void deposit(double amount) { // 公開方法
           if (amount > 0) {
               this.balance += amount;
               System.out.println("Deposit successful.");
           } else {
               System.out.println("Deposit amount must be positive.");
           }
       }
   
       public double getBalance() { // 公開方法
           return this.balance;
       }
   }
   

2. 繼承 (Inheritance):

   • 描述： 允許一個類別 (子類別，subclass 或 derived class) 繼承另一個類別 (父類別，superclass 或 base class) 的屬性和方法。這促進了程式碼的重用，並建立類別之間的「is-a」關係。子類別可以擴充或修改父類別的功能。
   • 範例： 假設我們有一個父類別 Vehicle，它有 speed 屬性和 move() 方法。我們可以創建一個子類別 Car，它繼承 Vehicle 的屬性和方法，並且可以添加自己特有的屬性（如 numberOfDoors）和方法（如 openTrunk()）。

   class Vehicle { // 父類別
       protected int speed;
       public void move() {
           System.out.println("Vehicle is moving.");
       }
   }
   
   class Car extends Vehicle { // 子類別，繼承 Vehicle
       private int numberOfDoors;
       public void openTrunk() {
           System.out.println("Trunk is opened.");
       }
   }
   

3. 多型 (Polymorphism):

   • 描述： 意為「多種形態」。在 OOP 中，多型允許我們使用父類別的參考變數來指向子類別的物件，並且在執行時根據物件的實際類型來決定呼叫哪個方法。這通常透過方法重載 (method overloading) 和方法重寫 (method overriding) 實現。方法重寫是實現運行時多型的關鍵。
   • 範例： 考慮一個 Shape 父類別，它有一個 draw() 方法。然後有兩個子類別 Circle 和 Square，它們各自重寫了 draw() 方法來繪製自己的形狀。

這題要求使用 UML 圖（例如流程圖）或文字描述，來設計一個將十進位數轉換為二進位的程式，並要求使用模組化函數和堆疊 (stack) 資料結構。最後需要提供偽碼或任一程式語言的實作。

核心概念：

• 十進位轉二進位： 傳統方法是持續除以 2 取餘數，直到商為 0。餘數依倒序排列即為二進位表示。
• 堆疊 (Stack)： 一種後進先出 (LIFO, Last-In, First-Out) 的資料結構。適合用來暫存除以 2 取餘數的結果，因為我們需要倒序讀取這些餘數。
• 模組化函數： 將程式分解成獨立的、可重用的函數，例如一個負責轉換的函數，以及可能用於堆疊操作的函數。

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UML 流程圖 (Flowchart) 概念描述：

1. 主程式 (Main Program):

   • 開始 (Start)
   • 提示使用者輸入一個十進位整數 decimalNumber。
   • 讀取 decimalNumber。
   • 呼叫 decimalToBinary(decimalNumber) 函數。
   • 顯示轉換後的二進位字串。
   • 結束 (End)

2. decimalToBinary(decimalNumber) 函數：

   • 開始 (Start)
   • 宣告一個空堆疊 binaryStack (用於存放二進位數字)。
   • 宣告一個空字串 binaryString (用於儲存最終結果)。
   • 迴圈 (While decimalNumber > 0)：
     • 計算餘數：remainder = decimalNumber % 2
     • 將餘數 remainder 壓入堆疊 binaryStack.push(remainder)。
     • 更新 decimalNumber：decimalNumber = decimalNumber / 2 (整數除法)。
   • 迴圈 (While binaryStack is not empty)：
     • 從堆疊彈出一個元素：digit = binaryStack.pop()
     • 將彈出的數字 digit 轉換為字串，並附加到 binaryString 後面：binaryString = binaryString + toString(digit)。
   • 如果原始輸入 decimalNumber 為 0，則 binaryString 應為 "0"。 (這個情況需要特別處理，例如在迴圈前判斷，或在迴圈後檢查 binaryString 是否為空)
   • 返回 binaryString。
   • 結束 (End)

偽碼 (Pseudocode)：

這題考查對 ECG (心電圖) 波形的理解，以及如何從數位訊號中提取資訊（峰值、間隔），並進一步計算心率。題目要求使用程式碼或偽碼來實現，並繪製流程圖。

核心概念：

• ECG 波形： 代表心臟電活動的圖形。常見的波形有 P 波、QRS 波群、T 波等。題目中標示的 t 和 x 指的是特定的時間點或振幅。
• 峰值到峰值振幅 (Peak-to-Peak Amplitude)： 在一個週期內，訊號的最大值與最小值之間的差值。題目中的 x 標示可能代表 QRS 波群的最高點和最低點。
• 峰值到峰值間隔 (Peak-to-Peak Interval)： 在一個週期內，兩個連續相同特徵點之間的時間差。題目中的 t 標示代表了兩個 QRS 波群之間的時間間隔。
• 取樣率 (Sampling Rate)： 每秒鐘採集的資料點數。題目給定為 200 Hz，表示每秒有 200 個數據點。
• 心率 (Heart Rate)： 每分鐘心跳的次數 (Beats Per Minute, BPM)。

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假設與圖形解讀：

• 圖中 t 代表兩個連續的 QRS 波群（或心跳週期）之間的時間間隔。
• 圖中的 x 標示，從圖形上看，似乎是指 QRS 波群的最高點和最低點。因此，峰值到峰值振幅是這兩個點之間的垂直距離。
• 我們需要找到圖中一個完整的 QRS 波群（或一個心跳的關鍵特徵點）的起始和結束，或兩個連續關鍵點之間的時間。從圖示看，t 標示的兩個箭頭指向了兩個連續的波峰（或波谷，這裡看起來是 QRS 波群的頂端）。

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(a) 程式碼/偽碼來偵測峰值到峰值振幅和間隔

為了偵測峰值，我們需要遍歷 ECG 數據點。通常，QRS 波群是 ECG 中最顯著的波形，其振幅也最大。我們可以通過尋找局部最大值和最小值來近似。

偽碼 (Pseudocode)：

// 假設 ECG 數據以一個數值陣列 (ecg_data) 表示，
// 陣列索引代表時間點，實際時間由索引和取樣率計算。
// sampling_rate = 200 Hz (200 data points per second)

FUNCTION detect_peak_to_peak(ecg_data, sampling_rate):
    
    // 尋找峰值到峰值振幅 (Peak-to-Peak Amplitude)
    // 這裡我們假設 QRS 波群是主要振盪，尋找局部極大值和極小值
    // 簡單起見，直接找整個訊號的最大值和最小值
    // 更精確的做法需要尋找 QRS 波群的起始和結束點，並在其中找極值
    
    min_amplitude = ecg_data[0]
    max_amplitude = ecg_data[0]
    
    FOR i FROM 1 TO length(ecg_data) - 1 DO
        IF ecg_data[i] < min_amplitude THEN
            min_amplitude = ecg_data[i]
        END IF
        IF ecg_data[i] > max_amplitude THEN
            max_amplitude = ecg_data[i]
        END IF
    END FOR
    
    peak_to_peak_amplitude = max_amplitude - min_amplitude

    // 尋找峰值到峰值間隔 (Peak-to-Peak Interval)
    // 這需要識別連續的 QRS 波群。一個簡單的方法是尋找連續的局部最大值。
    // 實際應用中，會使用更複雜的演算法（如 R-peak detection）。
    // 這裡我們模擬圖中的 't'，假設找到兩個連續的顯著峰值。
    
    // 尋找第一個峰值 (例如，第一個顯著的局部最大值)
    // 這裡我們假設找到第一個 R 波峰的時間點 (index_peak1)
    // 為了簡化，假設我們已經知道第一個峰值的位置，例如 index_peak1
    // 例如，在圖中，第一個 'x' 似乎在 t=0.25s 附近，第二個在 t=0.75s 附近。
    // 實際程式需要演算法來偵測。
    
    // 假設我們有一個 R-peak 偵測函數，返回所有 R 波峰的時間點 (以秒為單位)
    // r_peak_times = detect_r_peaks(ecg_data, sampling_rate) 
    
    // 這裡我們用一個簡化的方法，尋找一個局部最大值作為一個心跳的標誌
    // 找到第一個局部最大值 (R-peak) 的索引
    peak1_index = find_first_local_maximum(ecg_data) 
    
    // 找到下一個局部最大值 (R-peak) 的索引
    peak2_index = find_next_local_maximum(ecg_data, peak1_index) 

    // 計算兩個峰值之間的樣本數
    num_samples_interval = peak2_index - peak1_index
    
    // 計算間隔時間 (秒)
    peak_to_peak_interval_sec = num_samples_interval / sampling_rate
    
    // 如果需要，可以找到所有峰值，然後計算平均間隔
    // For simplicity, we use the first two detected peaks.

    RETURN peak_to_peak_amplitude, peak_to_peak_interval_sec

END FUNCTION

// 輔助函數 (簡化版本，實際需要更複雜的演算法)
FUNCTION find_first_local_maximum(data):
    // 尋找第一個局部最大值點的索引
    // 例如，遍歷數據，找到一個點，其值大於其前後鄰居
    // 這裡僅為示意，實際需要處理邊界條件和雜訊
    FOR i FROM 1 TO length(data) - 2 DO
        IF data[i] > data[i-1] AND data[i] > data[i+1] THEN
            RETURN i // 返回索引
        END IF
    END FOR
    RETURN 0 // 找不到，返回預設值

FUNCTION find_next_local_maximum(data, start_index):
    // 從 start_index 開始，尋找下一個局部最大值點的索引
    FOR i FROM start_index + 1 TO length(data) - 2 DO
        IF data[i] > data[i-1] AND data[i] > data[i+1] THEN
            RETURN i // 返回索引
        END IF
    END FOR
    RETURN length(data) - 1 // 找不到，返回結尾

Python 實作範例 (簡化)：