109 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班甲組《熱力學》

本題主要在測試對熱力學基本定律與重要概念的理解。

(1) Carnot 效率與等熵效率的差異

• Carnot 效率 ($\eta_{Carnot}$)：這是理想熱機在兩個固定溫度熱源 ($T_H$ 和 $T_L$) 之間所能達到的最高效率。Carnot 循環是可逆循環，其效率僅取決於熱源溫度，公式為 $\eta_{Carnot} = 1 - \frac{T_L}{T_H}$。它代表了在給定溫度條件下，熱機效率的理論上限，是衡量真實熱機效率的標竿。

• 等熵效率 ($\eta_{isentropic}$)：這通常用於評估實際的絕熱過程，例如渦輪機或壓縮機。它比較了實際絕熱過程的功（或熵變化）與相同進出口壓力條件下的可逆絕熱（等熵）過程的功（或熵變化）。

  • 對於渦輪機（作功設備）：$\eta_{isentropic} = \frac{W_{actual}}{W_{isentropic}} = \frac{h_{in} - h_{out, actual}}{h_{in} - h_{out, isentropic}}$。實際作功較少，故效率小於 1。
  • 對於壓縮機（耗功設備）：$\eta_{isentropic} = \frac{W_{isentropic}}{W_{actual}} = \frac{h_{out, isentropic} - h_{in}}{h_{out, actual} - h_{in}}$。實際耗功較多，故效率小於 1。
    等熵效率衡量的是設備在絕熱條件下的「接近可逆程度」，與 Carnot 效率衡量的是熱機在不同溫度熱源間的「最高可能效率」是不同的概念。

(2) 熱力學定律的數學敘述

• 熱力學第一定律 (First Law of Thermodynamics)：能量守恆定律。對於一個封閉系統，其內能的變化等於傳入系統的熱量減去系統對外作的功。
  數學敘述：$\Delta U = Q - W$
  其中 $\Delta U$ 是系統內能的變化，$Q$ 是系統獲得的熱量，$W$ 是系統對外作的功。

• 熱力學第二定律 (Second Law of Thermodynamics)：

  • 克勞修斯敘述 (Clausius Statement)：熱量不能自發地從低溫物體傳遞到高溫物體。
  • 凱爾文-普朗克敘述 (Kelvin-Planck Statement)：不可能製造出一個循環工作的熱機，它從單一熱源吸熱，並將其完全轉化為功。
  • 數學敘述 (熵的觀點)：對於任何一個孤立系統，其總熵永不減少，只會增加或保持不變（在可逆過程中）。
    $\Delta S_{isolated} \ge 0$
    其中 $\Delta S_{isolated}$ 是孤立系統的總熵變化。

• 熱力學第三定律 (Third Law of Thermodynamics)：當系統溫度趨近絕對零度 (0 K) 時，其熵趨近於最小值（通常為零）。
  數學敘述：$\lim_{T \to 0K} S = 0$ (對於純物質的完美晶體)。

(3) 由克勞修斯不等式推導不可逆過程的熵變化

核心觀念

本題考查「活塞—線性彈簧系統的機械平衡」。

活塞靜止時，氣體向上的作用力必須平衡：

• 大氣壓力作用力
• 活塞重量
• 彈簧力

活塞受力平衡式為

$$PA=P_{\mathrm{atm}}A+mg+F_s$$

其中：

• $A$：活塞截面積
• $P$：氣體壓力
• $P_{\mathrm{atm}}$：外界大氣壓力
• $m$：活塞質量
• $F_s=kx$：線性彈簧力
• $x$：彈簧相對於自然長度的伸長量

彈簧在汽缸底部不受力，因此可將汽缸底部作為 $x=0$ 的位置。

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解題方法

1. 計算活塞截面積

活塞直徑為 $200\ \mathrm{mm}=0.2\ \mathrm{m}$，半徑為 $0.1\ \mathrm{m}$，因此

$$A=\pi(0.1)^2 =0.031416\ \mathrm{m^2}$$

初始氣體體積為

$$V_1=0.5\ \mathrm{L} =0.0005\ \mathrm{m^3}$$

因此初始活塞高度為

$$x_1=\frac{V_1}{A} =\frac{0.0005}{0.031416} =0.015915\ \mathrm{m}$$

活塞上升 $3\ \mathrm{cm}=0.03\ \mathrm{m}$ 後，

$$x_2=x_1+0.03 =0.045915\ \mathrm{m}$$

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2. 由初始狀態求彈簧常數

初始壓力為

$$P_1=500\ \mathrm{kPa}$$

初始平衡時：

$$P_1A=P_{\mathrm{atm}}A+mg+kx_1$$

整理得

$$kx_1=(P_1-P_{\mathrm{atm}})A-mg$$

其中

$$mg=10(9.81)=98.1\ \mathrm{N}$$

所以

$$kx_1=(500-100)\times10^3(0.031416)-98.1$$ $$kx_1=12466.2\ \mathrm{N}$$

本題在考驗熱力學第二定律的應用，特別是關於熱機效率的理論上限。

核心觀念：

• 熱機效率的定義：$\eta = \frac{W}{Q_H} = \frac{Q_H - Q_L}{Q_H} = 1 - \frac{Q_L}{Q_H}$，其中 $W$ 是淨功， $Q_H$ 是從高溫熱源吸取的熱量，$Q_L$ 是向低溫熱源放出的熱量。
• 熱力學第二定律的數學敘述：對於任何一個循環過程， $\oint \frac{\delta Q}{T} \le 0$ (克勞修斯不等式)。對於可逆循環， $\oint \frac{\delta Q_{rev}}{T} = 0$。對於不可逆循環， $\oint \frac{\delta Q_{irr}}{T} < 0$。
• Carnot 循環是理想的可逆熱機循環，其效率是給定溫度熱源間的最高效率。

(1) 證明理想熱機的效率 $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$

一個「理想」的熱機是指一個「可逆」的熱機。Carnot 循環就是一個典型的可逆熱機循環。
對於任何一個可逆循環，根據克勞修斯定理，系統的熵變化為零：
$\oint dS = \oint \frac{\delta Q_{rev}}{T} = 0$

考慮一個在溫度 $T_H$ 和 $T_L$ 之間工作的可逆熱機。在一個循環中：

• 從高溫熱源 $T_H$ 吸熱 $Q_H$。
• 向低溫熱源 $T_L$ 放熱 $Q_L$。
• 對外作功 $W = Q_H - Q_L$。

根據克勞修斯定理，對於這個可逆循環：
$\oint \frac{\delta Q_{rev}}{T} = \int_{cycle} \frac{\delta Q_{rev}}{T} = \frac{Q_H}{T_H} + \frac{-Q_L}{T_L} = 0$
(注意：吸熱 $Q_H$ 的 $T$ 為 $T_H$，放熱 $Q_L$ 的 $T$ 為 $T_L$。我們將放熱視為負的 $\delta Q$)

從上述等式，我們得到：
$\frac{Q_H}{T_H} = \frac{Q_L}{T_L}$

我們可以將熱量的大小表示為：
$\frac{Q_L}{Q_H} = \frac{T_L}{T_H}$

現在，我們來計算熱機的效率 $\eta$。熱機的效率定義為：
$\eta = \frac{W}{Q_H}$
因為 $W = Q_H - Q_L$，所以：
$\eta = \frac{Q_H - Q_L}{Q_H} = 1 - \frac{Q_L}{Q_H}$

本題考驗對功率、力以及流體阻力的計算。

題目分析：

• 汽車的正面投影面積 $A = 4 \text{ m}^2$。
• 汽車速度 $V = 100 \text{ km/h}$。
• 空氣溫度 $T = 25 ^\circ\text{C}$。
• 空氣密度 $P_{air}$ (題目誤植為 $P_{air}$，應為 $\rho_{air}$，即空氣密度)。
• 阻力公式 $F_d = 0.225 \cdot A \cdot \rho_{air} \cdot V^2$。
• 要求：所需功率 (Power) 和牽引力 (Traction Force)。

解題步驟：

1. 單位換算：
   將速度從 km/h 換算為 m/s：
   $V = 100 \frac{\text{km}}{\text{h}} \times \frac{1000 \text{ m}}{1 \text{ km}} \times \frac{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = \frac{100000}{3600} \text{ m/s} = \frac{1000}{36} \text{ m/s} \approx 27.78 \text{ m/s}$。

2. 確定空氣密度 $\rho_{air}$：
   題目給的是溫度 $T = 25 ^\circ\text{C}$。我們需要計算或查表得到標準狀況下（或接近此溫度）空氣的密度。
   假設空氣為理想氣體，其狀態方程為 $PV = nRT$ 或 $P = \rho R T$。
   空氣的氣體常數 $R_{air} \approx 287 \text{ J/(kg} \cdot \text{K)}$。
   溫度 $T = 25 ^\circ\text{C} = 25 + 273.15 = 298.15 \text{ K}$。
   標準大氣壓力 $P_{atm} = 101.325 \text{ kPa} = 101325 \text{ Pa}$。
   空氣密度 $\rho_{air} = \frac{P_{atm}}{R_{air} T} = \frac{101325 \text{ Pa}}{287 \text{ J/(kg} \cdot \text{K)} \times 298.15 \text{ K}}$
   $\rho_{air} \approx \frac{101325}{85574.05} \text{ kg/m}^3 \approx 1.184 \text{ kg/m}^3$。
   (注意：題目中的 $P_{air}$ 應為 $\rho_{air}$，此處我將其理解為空氣密度 $\rho_{air}$。)

3. 計算阻力 $F_d$：
   使用阻力公式 $F_d = 0.225 \cdot A \cdot \rho_{air} \cdot V^2$。

本題考驗能量守恆在多個物體之間的應用，涉及熱傳導、理想氣體狀態方程和比熱容的概念。

題目分析：

• 系統：一個封閉系統，包含矽晶圓、不鏽鋼箱體和箱內的空氣。
• 初始狀態：
  • 矽晶圓：體積 $V_{Si} = 0.2$ L，初始溫度 $T_{Si, initial} = 200 ^\circ\text{C}$。
  • 空氣：體積 $V_{air} = 100$ L，初始溫度 $T_{air, initial} = 25 ^\circ\text{C}$，初始壓力 $P_{air, initial} = 101 \text{ kPa}$。
  • 不鏽鋼箱體：質量 $m_{steel} = 5$ kg，初始溫度 $T_{steel, initial} = 25 ^\circ\text{C}$ (與空氣相同)。
• 過程：系統達到熱平衡，所有物體溫度均勻，最終溫度為 $T_f$。假設無熱量與外界交換。
• 目標：求最終溫度 $T_f$ 和最終空氣壓力 $P_{air, final}$。
• 已知參數：$C_{steel}$, $C_{Si}$, $\rho_{Si}$, $C_{v,air}$, $R_{air}$。

解題步驟：

第一部分：計算最終溫度 $T_f$

由於系統與外界無熱量交換，根據能量守恆定律，系統內部的總熱量變化為零。
熱量變化可以表示為：$Q = m \cdot C \cdot \Delta T$。
系統由三部分組成：矽晶圓、不鏽鋼箱體和空氣。

1. 計算各組分的質量：

   • 不鏽鋼箱體： 質量已知 $m_{steel} = 5$ kg。
   • 矽晶圓：
     體積 $V_{Si} = 0.2$ L $= 0.2 \times 10^{-3} \text{ m}^3$。
     密度 $\rho_{Si} = 2330 \text{ kg/m}^3$。
     質量 $m_{Si} = \rho_{Si} \times V_{Si} = 2330 \text{ kg/m}^3 \times 0.2 \times 10^{-3} \text{ m}^3 = 0.466 \text{ kg}$。
   • 空氣：
     體積 $V_{air} = 100$ L $= 100 \times 10^{-3} \text{ m}^3 = 0.1 \text{ m}^3$。
     初始溫度 $T_{air, initial} = 25 ^\circ\text{C} = 298.15 \text{ K}$。
     初始壓力 $P_{air, initial} = 101 \text{ kPa} = 101000 \text{ Pa}$。
     空氣的氣體常數 $R_{air} = 0.287 \text{ kJ/kg} \cdot \text{K} = 287 \text{ J/kg} \cdot \text{K}$。
     使用理想氣體狀態方程 $P V = m R T$ 來計算空氣質量 $m_{air}$：
     $m_{air} = \frac{P_{air, initial} V_{air}}{R_{air} T_{air, initial}}$
     $m_{air} = \frac{101000 \text{ Pa} \times 0.1 \text{ m}^3}{287 \text{ J/(kg} \cdot \text{K)} \times 298.15 \text{ K}}$
     $m_{air} = \frac{10100}{85574.05} \text{ kg} \approx 0.1180 \text{ kg}$。

2. 轉換單位：
   將所有溫度從攝氏度換算為開爾文 (K)。
   $T_{Si, initial} = 200 ^\circ\text{C} = 200 + 273.15 = 473.15 \text{ K}$。
   $T_{air, initial} = T_{steel, initial} = 25 ^\circ\text{C} = 25 + 273.15 = 298.15 \text{ K}$。
   比熱容單位為 kJ/kg·K，最終溫度 $T_f$ 也應以 K 為單位計算，最後可換算回 °C。

3. 應用能量守恆：
   系統的總熱量變化為零：
   $Q_{Si} + Q_{steel} + Q_{air} = 0$

本題是熱力學基本微分關係式的推導，主要應用全微分與熱力學第一、第二定律。

核心觀念：

1. 熱力學第一定律 (封閉系統)： $dU = \delta Q - \delta W$。
2. 熱力學第二定律 (熵的定義)： $dS = \frac{\delta Q_{rev}}{T}$，因此 $\delta Q_{rev} = T dS$。
3. 功的微分形式： 對於一個簡單可壓縮系統，膨脹功 $\delta W = P dV$。
4. 內能 $u$ 的全微分： 如果 $u$ 是 $T$ 和 $v$ 的函數，則 $du = (\frac{\partial u}{\partial T})_v dT + (\frac{\partial u}{\partial v})_T dv$。
5. 定容比熱容 $C_v$ 的定義： $C_v = (\frac{\partial u}{\partial T})_v$。

推導步驟：

1. 從熱力學第一定律開始：
   對於一個封閉系統，內能的變化 $dU$ 等於傳入系統的熱量 $\delta Q$ 減去系統對外作的功 $\delta W$。
   $dU = \delta Q - \delta W$

2. 考慮可逆過程：
   為了方便推導，我們考慮一個可逆過程。在可逆過程中，熵的定義 $\delta Q_{rev} = T dS$ 成立，並且功的微分形式為 $\delta W = P dV$。
   因此，對於可逆過程，第一定律的微分形式為：
   $dU = T dS - P dV$

3. 將 $dS$ 用 $T$ 和 $v$ 表示：
   題目給定 $s = s(T,v)$，其全微分為：
   $ds = (\frac{\partial s}{\partial T})_v dT + (\frac{\partial s}{\partial v})_T dv$

   將此代入 $dU$ 的表達式：
   $dU = T \left[ (\frac{\partial s}{\partial T})_v dT + (\frac{\partial s}{\partial v})_T dv \right] - P dV$
   $dU = T (\frac{\partial s}{\partial T})_v dT + T (\frac{\partial s}{\partial v})_T dv - P dV$

4. 引入 $C_v$ 和 $C_p$ 的關係（或直接使用 Maxwell 關係式）：
   我們知道定容比熱容的定義是 $C_v = (\frac{\partial u}{\partial T})_v$。
   從 $dU = T dS - P dV$，我們可以將 $dU$ 表示為 $T$ 和 $v$ 的函數。
   $dU = T [ (\frac{\partial s}{\partial T})_v dT + (\frac{\partial s}{\partial v})_T dv ] - P dv$
   $dU = \left[ T (\frac{\partial s}{\partial T})_v \right] dT + \left[ T (\frac{\partial s}{\partial v})_T - P \right] dv$

   比較這個表達式與 $u = u(T,v)$ 的全微分形式 $du = (\frac{\partial u}{\partial T})_v dT + (\frac{\partial u}{\partial v})_T dv$，我們可以得到：
   $C_v = (\frac{\partial u}{\partial T})_v = T (\frac{\partial s}{\partial T})_v$ (這是一個重要的關係式)
   $(\frac{\partial u}{\partial v})_T = T (\frac{\partial s}{\partial v})_T - P$

5. 利用 Maxwell 關係式：
   Maxwell 關係式是基於熱力學勢函數的對稱性推導出來的。對於內能 $u$，我們有：
   $(\frac{\partial}{\partial v})_T \left( \frac{\partial u}{\partial T} \right)_v = (\frac{\partial}{\partial T})_v \left( \frac{\partial u}{\partial v} \right)_T$
   $(\frac{\partial C_v}{\partial v})_T = (\frac{\partial}{\partial T})_v \left( T (\frac{\partial s}{\partial v})_T - P \right)$

   一個更直接的 Maxwell 關係式是：
   $(\frac{\partial T}{\partial v})_s = -(\frac{\partial P}{\partial s})_v$
   以及
   $(\frac{\partial T}{\partial v})_s = -(\frac{\partial P}{\partial s})_v$

核心觀念

本題考查穩態流動能量方程、理想氣體的多方過程，以及熵平衡：

1. 氫氣視為理想氣體：

$$R_{\mathrm{H_2}}=\frac{R_u}{M_{\mathrm{H_2}}} =\frac{8.314}{2.016} \approx 4.124\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$$

2. 多方過程：
   $pv^n=\text{常數}$

   對理想氣體可得：

$$\frac{T_2}{T_1} =\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(n-1)/n}$$

3. 穩態流動能量方程，忽略動能與位能變化：
   $q-w=h_2-h_1$

   其中 $w$ 為系統對外輸出的功。

4. 穩態熵平衡：
   $s_2-s_1=\int\frac{\delta q}{T_b}+s_{\mathrm{gen}}$

   熵生成量必須知道熱傳邊界溫度 $T_b$；題目未提供此資訊，因此熵生成率需附加熱傳假設才能唯一決定。

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解題方法

1. 求出口溫度

入口溫度為

$T_1=600+273.15=873.15\ \mathrm{K}$

壓力比為

$\frac{p_2}{p_1}=\frac{400}{1200}=\frac13$

由多方過程關係：

$$T_2=T_1\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(n-1)/n}$$

代入 $n=1.5$：

$$T_2=873.15\left(\frac13\right)^{(1.5-1)/1.5}$$ $$T_2=873.15\left(\frac13\right)^{1/3} \approx 605.6\ \mathrm{K}$$

因此出口溫度約為

$T_2\approx 332.4^\circ\mathrm{C}$

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2. 求膨脹器輸出功

多方過程的單位質量功為

$$w=\int_1^2p\,dv$$

由 $pv^n=\text{常數}$ 可得：

$$w=\frac{p_2v_2-p_1v_1}{1-n}$$

又因為 $pv=RT$：

$$w=\frac{R(T_2-T_1)}{1-n} =\frac{nR(T_1-T_2)}{n-1}$$

代入數值：

$$w=\frac{1.5(4.124)(873.15-605.6)}{1.5-1}$$ $$w\approx 3311\ \mathrm{kJ/kg}$$

質量流率為 $\dot m=0.2\ \mathrm{kg/s}$，所以功率為

$$\dot W=\dot m w$$ $$\dot W=0.2(3311) \approx 662\ \mathrm{kW}$$

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3. 求熱傳

氫氣的焓變為

$$h_2-h_1=C_p(T_2-T_1)$$ $$h_2-h_1=14.21(605.6-873.15) \approx -3803\ \mathrm{kJ/kg}$$

穩態能量方程為

$$q-w=h_2-h_1$$

因此