111 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班甲組《熱力學》

核心觀念

這題考察雙金屬片受熱後，兩種金屬的熱膨脹量不同所造成的彎曲。

金屬自由熱膨脹的應變為

$$\varepsilon=\alpha\Delta T$$

其中 $\alpha$ 為線膨脹係數。由於 $a_1>a_2$，金屬 1 的熱膨脹量較大，因此加熱後金屬 1 位於彎曲條帶的外側，金屬 2 位於內側。

雙金屬片總厚度為 $x$，每層厚度為 $x/2$，兩層金屬的中性位置相距

$$\frac{x}{2}$$

利用彎曲幾何關係，即可求出曲率半徑。

解題方法

設雙金屬片原本長度為 $L$，加熱後彎曲所對應的圓心角為 $\theta$。因為 $x\ll R$，可以將各層視為沿著半徑相差 $x/2$ 的圓弧。

金屬 1 的自由膨脹長度為

$$L_1=L(1+a_1\Delta T)$$

金屬 2 的自由膨脹長度為

$$L_2=L(1+a_2\Delta T)$$

因此兩者的長度差為

$$L_1-L_2 =L(a_1-a_2)\Delta T$$

加熱後，兩層金屬因為彼此黏結，必須具有相同的圓心角 $\theta$。若 $R$ 表示條帶中線附近的曲率半徑，兩層金屬中線的半徑相差為 $x/2$，因此它們的弧長差為

$$L_1-L_2 = \left(\frac{x}{2}\right)\theta$$

而條帶的平均弧長可近似寫成

此題主要考驗化學熱力學中的熵變概念，特別是混合熵。

(a) 混合熵的計算：
混合熵 ($\Delta S_{mix}$) 是指將兩種或多種物質混合時，系統熵的增加量。對於理想溶液，混合熵可以根據組分的 mole 數和 mole 分數來計算。
在本題中，鹽溶液由 $N'$ 莫耳的水和 $n$ 莫耳的鹽組成。假設這是一個稀薄溶液，我們可以將其視為理想溶液來計算混合熵。

混合熵的公式為：
$\Delta S_{mix} = -R \sum_{i} n_i \ln x_i$
其中：

• $R$ 是理想氣體常數。
• $n_i$ 是組分 $i$ 的莫耳數。
• $x_i$ 是組分 $i$ 的莫耳分數。

在這個鹽溶液中，我們有兩種組分：水 (H₂O) 和鹽 (NaCl)。
水的莫耳數為 $N'$。
鹽的莫耳數為 $n$。
溶液的總莫耳數為 $N_{total} = N' + n$。

水的莫耳分數 $x_{H_2O}$ 為：
$x_{H_2O} = \frac{N'}{N' + n}$
鹽的莫耳分數 $x_{NaCl}$ 為：
$x_{NaCl} = \frac{n}{N' + n}$

核心觀念

此題考察半透膜造成的滲透壓及其所需的可逆功。

半透膜只允許水通過，因此水由純水側移入鹽溶液側時，必須克服鹽溶液的滲透壓。對稀 NaCl 溶液，若 NaCl 完全解離，滲透壓遵守 van’t Hoff 定律：

$$\Pi V_s=i nRT$$

其中：

• $V_s$ 為鹽溶液體積；
• $n$ 為 NaCl 的莫耳數；
• $i=2$ 為 NaCl 完全解離成 $Na^+$ 與 $Cl^-$ 的 van’t Hoff 因子。

解題方法

鹽的莫耳數固定為 $n$，而水的量由 $N'$ 增加至 $2N'$。稀溶液中可視為溶液體積與水量成正比，因此鹽溶液體積也由 $V'$ 變為 $2V'$。

水每增加微小體積 $dV_s$，外界需對系統所做的可逆功為

$$dW_{\text{on}}=\Pi\,dV_s$$

由 van’t Hoff 定律，

$$\Pi=\frac{i nRT}{V_s}$$

因此總功為

$$W_{\text{on}} =\int_{V'}^{2V'}\frac{i nRT}{V_s}\,dV_s$$

此題考驗的是滲透壓的表達式，以及其與溶液體積的關係。

(c) 滲透壓的表達式：
壓力差（滲透壓）是通過半透膜的溶質（鹽）引起的。它是由於溶液側的水的化學勢低於純水側的水的化學勢，為了達到平衡，需要施加一個壓力來提高溶液側的水的化學勢。
在恆溫恆壓下，半透膜兩側的水的化學勢相等時達到平衡。

純水側的水的化學勢（假設壓力為 $P_{pure}$）：
$\mu_{H_2O}^{pure} = \mu_{H_2O}^{\circ} + V_{m,H_2O} P_{pure}$
其中 $\mu_{H_2O}^{\circ}$ 是標準狀態下的化學勢，$V_{m,H_2O}$ 是水的莫耳體積。

鹽水側的水的化學勢（假設壓力為 $P_{solution}$）：
$\mu_{H_2O}^{solution} = \mu_{H_2O}^{\circ} + RT \ln x_{H_2O}^{solution} + V_{m,H_2O} P_{solution}$
其中 $x_{H_2O}^{solution}$ 是鹽溶液中水的莫耳分數。

達到平衡的條件是 $\mu_{H_2O}^{pure} = \mu_{H_2O}^{solution}$。
$\mu_{H_2O}^{\circ} + V_{m,H_2O} P_{pure} = \mu_{H_2O}^{\circ} + RT \ln x_{H_2O}^{solution} + V_{m,H_2O} P_{solution}$
$V_{m,H_2O} (P_{solution} - P_{pure}) = RT \ln x_{H_2O}^{solution}$
滲透壓 $\Pi$ 被定義為純水側需要施加的壓力，以阻止溶劑從純溶劑流向溶液。通常定義為 $P_{solution} - P_{pure}$。
$\Pi = P_{solution} - P_{pure} = \frac{RT}{V_{m,H_2O}} \ln x_{H_2O}^{solution}$
由於 $x_{H_2O}^{solution} < 1$，$\ln x_{H_2O}^{solution}$ 是負值，所以滲透壓 $\Pi$ 是正值。

對於稀溶液，我們可以做近似。
水的莫耳分數 $x_{H_2O}^{solution} = \frac{N'}{N' + n}$。
鹽的莫耳分數 $x_{NaCl} = \frac{n}{N' + n}$。
對於稀溶液，$x_{H_2O}^{solution} = 1 - x_{NaCl}$。
$\ln x_{H_2O}^{solution} = \ln (1 - x_{NaCl}) \approx -x_{NaCl}$
因此，
$\Pi \approx \frac{RT}{V_{m,H_2O}} (-x_{NaCl}) = -\frac{RT}{V_{m,H_2O}} \frac{n}{N' + n}$
這個結果是負的，這與滲透壓的定義（通常是正值）不符。

修正滲透壓的定義和近似：
滲透壓 $\Pi$ 是阻止滲透所需的額外壓力。
平衡時，$P_{solution} - P_{pure} = \frac{RT}{V_{m,H_2O}} \ln x_{H_2O}^{solution}$。
由於 $\ln x_{H_2O}^{solution}$ 是負的，所以 $P_{solution} < P_{pure}$。
這意味著在沒有額外壓力時，水會從純水流向鹽水。
滲透壓 $\Pi$ 通常定義為 $\Pi = P_{pure} - P_{solution} = -\frac{RT}{V_{m,H_2O}} \ln x_{H_2O}^{solution}$。
對於稀溶液，$\ln x_{H_2O}^{solution} \approx -x_{NaCl}$。
$\Pi \approx -\frac{RT}{V_{m,H_2O}} (-x_{NaCl}) = \frac{RT}{V_{m,H_2O}} x_{NaCl}$
$\Pi \approx \frac{RT}{V_{m,H_2O}} \frac{n}{N' + n}$

題目要求滲透壓作為鹽溶液體積的函數。
鹽溶液的體積 $V'$。
對於稀溶液，我們可以近似認為 $V' \approx N' V_{m,H_2O} + n V_{m,NaCl}$。
如果鹽的體積可以忽略，$V' \approx N' V_{m,H_2O}$。
那麼 $V_{m,H_2O} \approx \frac{V'}{N'}$。
代入滲透壓公式：
$\Pi \approx \frac{RT}{(V'/N')} \frac{n}{N'} = \frac{RT n}{V'}$
這裡的 $N'$ 是鹽溶液中的水的莫耳數，而不是總莫耳數。

更精確的表達：
鹽溶液的體積 $V'$ 包含 $N'$ 莫耳的水和 $n$ 莫耳的鹽。
水的莫耳分數 $x_{H_2O}^{solution} = \frac{N'}{N' + n}$。
滲透壓 $\Pi = \frac{RT}{V_{m,H_2O}} \ln \left(\frac{N'}{N' + n}\right)$。
這個公式是錯誤的，因為 $\ln$ 後面的值小於 1。

此題要求估計海王星的表面溫度，這是一個典型的天體熱平衡問題。需要基於能量守恆和輻射定律進行計算，並做出合理的假設。

核心觀念：
天體的表面溫度由接收到的來自恆星的輻射能量與其自身向外輻射的能量達到平衡來決定。

假設：

1. 海王星為黑體輻射體： 假設海王星的表面能夠完全吸收入射的太陽輻射，並且其自身也像黑體一樣輻射能量。
2. 海王星為球體： 假設海王星是一個完美的球體，並且其表面是均勻的。
3. 忽略大氣層效應： 題目要求「Neglect any possible internal sources of heat」，同時也暗示我們可以忽略大氣層的溫室效應，假設其表面溫度僅由太陽輻射決定。
4. 忽略海王星的自轉和軌道變化： 假設海王星的表面溫度是穩定的，並且平均了其軌道上的輻射。
5. 太陽輻射在軌道上的均勻性： 假設太陽輻射在海王星軌道上是均勻分佈的。
6. 太陽的輻射功率： 太陽是一個輻射源，其總輻射功率（光度）可以通過其表面溫度和半徑計算。

已知數據：

• 太陽半徑 $R_{sun} = 7 \times 10^5$ km $= 7 \times 10^8$ m
• 海王星半徑 $R_{Neptune} = 2.2 \times 10^4$ km $= 2.2 \times 10^7$ m
• 日地平均距離 $d_{E} = 1.5 \times 10^8$ km $= 1.5 \times 10^{11}$ m
• 日海平均距離 $d_{N} = 4.5 \times 10^9$ km $= 4.5 \times 10^{12}$ m
• 太陽輻射強度（日地距離） $I_{E} = 1.4$ kW/m² $= 1.4 \times 10^3$ W/m²
• 太陽表面溫度 $T_{sun} = 6000$ K

計算步驟：

第一步：計算太陽的總輻射功率（光度 L）。
太陽的輻射功率可以通過其表面溫度和半徑計算，利用斯特藩-玻爾茲曼定律：
$L = \sigma A T_{sun}^4$，其中 $\sigma$ 是斯特藩-玻爾茲曼常數 ($\approx 5.67 \times 10^{-8}$ W/m²/K⁴)，$A$ 是太陽的表面積 ($4 \pi R_{sun}^2$)。
或者，我們可以直接利用日地距離的輻射強度來計算太陽的光度。
輻射強度 $I$ 在距離 $d$ 處為 $I = \frac{L}{4 \pi d^2}$。
因此，$L = I \times 4 \pi d^2$。
使用地球的數據：
$L = (1.4 \times 10^3 \text{ W/m}^2) \times 4 \pi (1.5 \times 10^{11} \text{ m})^2$
$L = 1.4 \times 10^3 \times 4 \pi \times 2.25 \times 10^{22}$ W
$L = 1.4 \times 9 \pi \times 10^{25}$ W
$L \approx 3.96 \times 10^{26}$ W

第二步：計算到達海王星的太陽輻射強度 $I_N$。
太陽輻射強度隨距離平方衰減。
$I_N = \frac{L}{4 \pi d_N^2}$
$I_N = \frac{3.96 \times 10^{26} \text{ W}}{4 \pi (4.5 \times 10^{12} \text{ m})^2}$
$I_N = \frac{3.96 \times 10^{26}}{4 \pi (20.25 \times 10^{24})}$ W/m²
$I_N = \frac{3.96 \times 10^{26}}{254.47 \times 10^{24}}$ W/m²
$I_N \approx \frac{3.96}{2.5447} \times 10^{-2}$ W/m²
$I_N \approx 1.556 \times 10^{-2}$ W/m²

第三步：計算海王星吸收的太陽輻射功率。
海王星作為一個球體，其接收太陽輻射的截面積為 $\pi R_{Neptune}^2$。
吸收的功率 $P_{abs} = I_N \times (\pi R_{Neptune}^2)$。
$P_{abs} = (1.556 \times 10^{-2} \text{ W/m}^2) \times \pi (2.2 \times 10^7 \text{ m})^2$
$P_{abs} = 1.556 \times 10^{-2} \times \pi \times 4.84 \times 10^{14}$ W
$P_{abs} \approx 1.556 \times 3.1416 \times 4.84 \times 10^{12}$ W
$P_{abs} \approx 23.78 \times 10^{12}$ W $= 2.378 \times 10^{13}$ W

第四步：計算海王星輻射出去的功率。
假設海王星的表面溫度為 $T_{Neptune}$，並且它像黑體一樣輻射。
海王星的總輻射功率 $P_{rad} = \sigma A_{surface} T_{Neptune}^4$。
海王星的表面積 $A_{surface} = 4 \pi R_{Neptune}^2$。
$P_{rad} = \sigma (4 \pi R_{Neptune}^2) T_{Neptune}^4$。

第五步：建立熱平衡方程。
在熱平衡狀態下，吸收的功率等於輻射出去的功率。
$P_{abs} = P_{rad}$
$I_N \times (\pi R_{Neptune}^2) = \sigma (4 \pi R_{Neptune}^2) T_{Neptune}^4$
注意：這裡的輻射面積應該是海王星的表面積 $4 \pi R_{Neptune}^2$，而不是接收輻射的截面積 $\pi R_{Neptune}^2$。
所以，
$I_N \times (\pi R_{Neptune}^2) = \sigma (4 \pi R_{Neptune}^2) T_{Neptune}^4$
$I_N = 4 \sigma T_{Neptune}^4$

求解 $T_{Neptune}$：
$T_{Neptune}^4 = \frac{I_N}{4 \sigma}$
$T_{Neptune} = \left(\frac{I_N}{4 \sigma}\right)^{1/4}$
$T_{Neptune} = \left(\frac{1.556 \times 10^{-2} \text{ W/m}^2}{4 \times 5.67 \times 10^{-8} \text{ W/m}^2/\text{K}^4}\right)^{1/4}$
$T_{Neptune} = \left(\frac{1.556 \times 10^{-2}}{22.68 \times 10^{-8}}\right)^{1/4}$ K
$T_{Neptune} = \left(\frac{1.556}{2.268} \times 10^5\right)^{1/4}$ K
$T_{Neptune} = (0.686 \times 10^5)^{1/4}$ K
$T_{Neptune} = (68600)^{1/4}$ K

計算 $(68600)^{1/4}$:
$80^4 = (8 \times 10)^4 = 8^4 \times 10^4 = 4096 \times 10^4 = 4.096 \times 10^7$ (太大)
$50^4 = (5 \times 10)^4 = 5^4 \times 10^4 = 625 \times 10^4 = 6.25 \times 10^6$ (太大)
$30^4 = (3 \times 10)^4 = 3^4 \times 10^4 = 81 \times 10^4 = 8.1 \times 10^5$ (太大)
$10^4 = 10000$
$20^4 = 160000$
所以結果在 10 和 20 之間。
$15^4 = (1.5 \times 10)^4 = 1.5^4 \times 10^4 = 5.0625 \times 10^4 = 50625$
$16^4 = (1.6 \times 10)^4 = 1.6^4 \times 10^4 = 6.5536 \times 10^4 = 65536$
$17^4 = (1.7 \times 10)^4 = 1.7^4 \times 10^4 = 8.3521 \times 10^4 = 83521$

所以， $T_{Neptune}$ 接近 16 K。
$T_{Neptune} \approx 16.09$ K。

另一種計算方法：
直接使用日地距離的輻射強度和日海距離來計算輻射強度的比例。

此題考驗熱泵、能量平衡和穩態熱傳的概念。

核心觀念：
建築物的溫度達到穩態時，其吸收的熱量等於散失的熱量。在這個問題中，建築物吸收的熱量來自於熱泵提供的加熱功率，而散失的熱量則與建築物和外部環境的溫差有關。

假設：

1. 理想熱泵： 熱泵的工作效率最高，但其提供加熱功率的公式通常與其性能係數 (COP) 有關。題目直接給了熱泵消耗的功率 $W$ 和其作為熱源的溫度 $T_0$，以及輸出的加熱功率。

2. 熱泵的加熱功率： 題目描述熱泵「uses the atmosphere at $T_0$(K) as heat source」並且「consumes power W」。一般來說，熱泵從低溫熱源吸熱，然後通過消耗功 $W$ 將熱量輸送到高溫物體。其提供的加熱功率 $Q_{hot}$ 與消耗的功 $W$ 和從低溫熱源吸取的功 $Q_{cold}$ 之間滿足能量守恆。對於理想熱泵，其 COP (Coefficient of Performance) 通常定義為 $COP = \frac{Q_{hot}}{W}$。對於 Carnot 熱泵，$COP = \frac{T_{hot}}{T_{hot}-T_{cold}}$。
   題目中，熱泵的「heat source」是溫度為 $T_0$ 的大氣，而「heated」的對象是溫度為 $T$ 的建築物。所以 $T_{hot} = T$ 和 $T_{cold} = T_0$。
   然而，題目直接說「The pump consumes power W」，並且建築物「loses heat at a rate a(T-To)」。這句話暗示了熱泵提供的「加熱功率」並未直接給出，而是通過其消耗的功率 $W$ 來間接影響。
   一個常見的理解是，熱泵從大氣中吸取熱量 $Q_{cold}$，然後消耗功 $W$，將熱量 $Q_{hot}$ 傳遞給建築物。根據能量守恆，$Q_{hot} = Q_{cold} + W$。
   題目中，建築物「heated by an ideal heat pump which uses the atmosphere at $T_0$(K) as heat source」。這句話可以理解為熱泵從 $T_0$ 吸熱，然後提供加熱功率給建築物。
   最直接的理解是，熱泵的「輸出」功率（提供給建築物的加熱功率）是 $W$。但這與熱泵從低溫熱源吸熱並消耗功的物理過程不符。
   更合理的解釋是，熱泵從大氣中吸取熱量，並消耗功率 $W$，將淨熱量傳遞給建築物。
   如果我們假設熱泵的「淨加熱功率」就是其消耗的功率 $W$（即 $Q_{hot} - Q_{cold} = W$），這是一種簡化。
   或者，更常見的熱泵模型是，熱泵的 COP 是基於溫度的，例如 $COP = \frac{T}{T-T_0}$。那麼，從大氣吸取的熱量 $Q_{cold}$ 與輸送到建築物的熱量 $Q_{hot}$ 和消耗的功 $W$ 之間的關係是 $Q_{hot} = W + Q_{cold}$。
   如果我們假設題目中的 $W$ 指的是熱泵輸送到建築物的「淨加熱功率」，那麼建築物吸收的熱量就是 $W$。

   讓我們採用最直接的解釋：熱泵提供的「加熱功率」就是 $W$。

3. 建築物的熱損失： 建築物散失熱量的速率與建築物溫度 $T$ 和外部環境溫度 $T_0$ 的差值成正比，比例係數為 $a$。這符合牛頓冷卻定律。

4. 穩態條件： 建築物的溫度達到平衡時，其溫度不再隨時間變化，即吸收的熱量速率等於散失的熱量速率。

建立能量平衡方程：
建築物在穩態時，吸收的熱量速率等於散失的熱量速率。
吸收的熱量速率 = 熱泵提供的加熱功率。
散失的熱量速率 = $a(T - T_0)$。

假設熱泵提供的淨加熱功率為 $P_{heat}$。
則在穩態時： $P_{heat} = a(T - T_0)$。

現在關鍵在於如何理解「The pump consumes power W」。

• 解釋一： $W$ 是熱泵從電網消耗的功率。熱泵從 $T_0$ 吸熱 $Q_{cold}$，消耗功率 $W$，然後將熱量 $Q_{hot} = Q_{cold} + W$ 傳遞給建築物。