115 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班丁組《熱力學》

本題考查熱力學基本關係式與焓的定義。我們需要利用焓的定義以及全微分的概念來推導。

焓的定義為 $h = u + Pv$，其中 $u$ 為內能，$P$ 為壓力，$v$ 為比體積。
對焓進行全微分，得到：
$dh = du + Pdv + vdP$

根據熱力學第一定律，對於一個閉系統，微小的熱量變化 $du$ 可以表示為：
$du = \delta q - \delta w$
在這裡，我們考慮一個準靜態過程，微小的功 $\delta w = Pdv$。
所以，$du = \delta q - Pdv$。

將 $du$ 的表達式代入 $dh$ 的微分式：
$dh = (\delta q - Pdv) + Pdv + vdP$
$dh = \delta q + vdP$

現在我們需要將 $\delta q$ 表示成與溫度和壓力相關的項。
對於一個準靜態過程，熱量變化 $\delta q$ 可以表示為 $Tds$。
$dh = Tds + vdP$

我們知道熵 $s$ 是溫度的函數 $T$ 和壓力 $P$ 的函數，即 $s = s(T, P)$。
對熵進行全微分：

本題考查熱力學第一定律、能量平衡以及可用性 (Availability) 的概念。

核心觀念：

• 能量平衡： 系統與環境之間的能量交換（熱、功、質量傳遞）。
• 可用性： 系統能夠對周圍環境做功的最大潛力。

(1) 淨熱傳交互作用的計算 (15 pts)

步驟分析：
此問題涉及一個有質點流入且與外界進行熱交換的系統。由於瓶子是剛性的，所以體積 $V$ 不變。由於瓶頸閥門保持開啟，系統最終會與大氣達到熱平衡和機械平衡。

我們將瓶子內的氣體視為系統。在整個填充過程中，系統的狀態發生變化。由於瓶壁導熱良好，系統內部的氣體與大氣最終達到熱平衡，這意味著最終溫度 $T_f = T_0$。由於閥門保持開啟，最終壓力 $P_f = P_0$。

應用熱力學第一定律於系統（瓶內氣體）：
$\Delta U = Q - W + m_{in}h_{in}$
其中：

• $\Delta U$ 是系統內能的變化。
• $Q$ 是系統與環境之間的淨熱傳。
• $W$ 是系統對外界所做的淨功。
• $m_{in}$ 是流入系統的氣體質量。
• $h_{in}$ 是流入氣體的焓。

由於瓶子是剛性的，其體積 $V$ 不變，所以瓶內氣體不對外做體積功，即 $W=0$。
另外，由於瓶壁與大氣熱交換，最終達到熱平衡，所以系統的最終溫度 $T_f = T_0$。

我們假設瓶內氣體為理想氣體。
初始狀態：系統為真空，內能為 0。
最終狀態：瓶內氣體溫度為 $T_0$，壓力為 $P_0$。設瓶內氣體為單位質量，初始內能為 0。
流入的氣體來自大氣，其狀態為 $T_0, P_0$。

讓 $m_{in}$ 為流入瓶內的總質量。
瓶內氣體的內能變化： $\Delta U = U_f - U_i = m_f u_f - m_i u_i$
初始時，瓶內為真空，所以 $m_i = 0$, $U_i = 0$。
最終，瓶內氣體的質量為 $m_f = m_{in}$。
所以 $\Delta U = m_{in} u_f$。

熱力學第一定律變成：$m_{in} u_f = Q + m_{in}h_{in}$。
由於流入的氣體來自大氣，其焓為 $h_{in} = h(T_0, P_0)$。
所以 $Q = m_{in} u_f - m_{in} h_{in}$。

我們需要知道 $m_{in}$ 和 $u_f$。
瓶子的體積為 $V$。
大氣的狀態為 $T_0, P_0$。
單位質量的氣體，其比體積為 $v_0 = \frac{R T_0}{P_0}$。
所以，瓶子被充滿後，其內部的氣體質量為 $m_{in} = \frac{V}{v_0} = \frac{V P_0}{R T_0}$。

對於理想氣體，內能 $u$ 僅是溫度的函數： $u(T) = C_v T$。
所以，最終氣體的內能為 $u_f = u(T_0) = C_v T_0$。
流入氣體的焓為 $h_{in} = u(T_0) + P_0 v_0 = C_v T_0 + R T_0 = C_p T_0$。

將這些代入 $Q$ 的表達式：
$Q = m_{in} (C_v T_0) - m_{in} (C_p T_0)$
$Q = m_{in} T_0 (C_v - C_p)$
$Q = m_{in} T_0 (-R)$
$Q = -\frac{V P_0}{R T_0} T_0 R$
$Q = -V P_0$

這個結果表示，在整個填充過程中，系統（瓶內氣體）向外傳遞了 $V P_0$ 的熱量。題目問的是「淨熱傳交互作用」，通常是指系統獲得的熱量。所以，淨熱傳交互作用為 $-VP_0$。

驗證：
這個結果的物理意義是，由於瓶子最終被大氣充滿，且與大氣溫度相同，但由於最初是真空，所以大氣進入瓶子後，其熵增加了。為了達到熱平衡，系統必須向外散熱。

重要說明： 題目要求「in terms of $T_0, P_0$ or that take place through the wall of the bottle」。我們計算的是系統獲得的熱量 $Q$。

核心觀念

本題考查：

• 絕熱封閉系統的能量守恆。

• 熱平衡時，銅塊與水的最終溫度相同。

• 熵變定義：

  $\Delta S=mC\ln\frac{T_2}{T_1}$

其中溫度計算熵變時必須使用絕對溫度 K。水的比熱題目未給，採用常用值：

$C_{\text{water}}=4.18\ \text{kJ/(kg·K)}$

水的密度取 $1\ \text{kg/L}$，因此 $200\ \text{L}$ 水的質量為 $200\ \text{kg}$。

銅塊密度可用來計算體積：

$V_{\text{copper}}=\frac{100}{8930}=0.0112\ \text{m}^3$

但本題未涉及浮力、液面變化或體積功，因此密度不影響最後溫度與熵變。

解題方法：求最終平衡溫度

將「銅塊＋水」視為整體。儲槽絕熱，且忽略容器熱容量，因此整體與外界沒有熱交換：

$Q_{\text{銅}}+Q_{\text{水}}=0$

銅塊由 $95^\circ\text{C}$ 冷卻至最終溫度 $T_f$，水由 $25^\circ\text{C}$ 加熱至 $T_f$。因此：

$m_cC_c(95-T_f)=m_wC_w(T_f-25)$

代入數據：

$100(0.385)(95-T_f)=200(4.18)(T_f-25)$

整理得：

$38.5(95-T_f)=836(T_f-25)$

$3657.5-38.5T_f=836T_f-20900$

$24557.5=874.5T_f$

$T_f=28.08^\circ\text{C}$

因此最終平衡溫度為：

$\boxed{T_f\approx28.1^\circ\text{C}}$

此結果位於 $25^\circ\text{C}$ 與 $95^\circ\text{C}$ 之間，符合物理意義；由於水的熱容量遠大於銅塊，水的溫度只會小幅上升。

解題方法：計算總熵變

熵是狀態函數，可選擇一條可逆路徑計算。銅塊與水皆視為定比熱物質：

$$\Delta S_{\text{銅}} =m_cC_c\ln\frac{T_f}{T_{c,i}}$$ $$\Delta S_{\text{水}} =m_wC_w\ln\frac{T_f}{T_{w,i}}$$

核心觀念

本題將氫氣視為理想氣體，膨脹過程符合多方過程

$$pv^n=\text{constant},\qquad n=1.5$$

採用穩定流動、忽略動能與位能變化，並以「膨脹器輸出功為正、流入膨脹器的熱量為正」作為符號約定。

使用公式：

$$pv=RT$$ $$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(n-1)/n}$$

穩定流動能量方程式：

$$q-w_s=h_2-h_1=c_p(T_2-T_1)$$

其中 $w_s$ 為單位質量的軸功輸出。

對可逆、準平衡的多方膨脹過程：

$$w_s=-\int_1^2 v\,dp = \frac{nR(T_1-T_2)}{n-1}$$

氫氣的比氣體常數取

$$R_{\mathrm{H_2}} = \frac{8.314}{2.016} = 4.124\ \text{kJ/(kg·K)}$$

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解題方法與狀態二溫度

已知

$$\dot m=0.5\ \text{kg/s}$$ $$p_1=1200\ \text{kPa},\qquad p_2=400\ \text{kPa}$$ $$T_1=600^\circ\text{C}=873.15\ \text{K}$$

由多方關係：

$$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{400}{1200}\right)^{(1.5-1)/1.5} = \left(\frac13\right)^{1/3}$$

因此

$$T_2 = 873.15\left(\frac13\right)^{1/3} = 605.4\ \text{K}$$

所以

$$\Delta T=T_2-T_1 = 605.4-873.15 = -267.7\ \text{K}$$

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（1）功與熱傳

膨脹器輸出功

穩定流動膨脹器的單位質量軸功為

$$w_s = \frac{nR(T_1-T_2)}{n-1}$$

代入數值：

$$w_s = \frac{(1.5)(4.124)(873.15-605.4)}{1.5-1}$$ $$w_s = 3314\ \text{kJ/kg}$$

功率為

$$\dot W_s=\dot m w_s$$ $$\dot W_s = (0.5)(3314) = 1657\ \text{kW}$$

因此膨脹器輸出功為

$$\boxed{\dot W_s=1.66\ \text{MW}}$$

熱傳率

穩定流動能量方程式為

$$q-w_s=c_p(T_2-T_1)$$

故

$$q=c_p(T_2-T_1)+w_s$$

代入：

$$q = (14.21)(605.4-873.15)+3314$$ $$q = -492\ \text{kJ/kg}$$

熱傳率：

$$\dot Q=\dot m q$$ $$\dot Q = (0.5)(-492) = -246\ \text{kW}$$

負號表示熱量由氫氣流向外界，亦即膨脹器在膨脹過程中放熱。

核心觀念

本題要求證明理想氣體的莫耳定壓熱容與莫耳定容熱容之差：

$$C_p-C_v=R$$

其中：

• $C_p$：定壓莫耳熱容
• $C_v$：定容莫耳熱容
• $R$：理想氣體常數

證明會用到下列熱力學關係：

$$dU=\delta Q-P\,dV$$

以及焓的定義：

$$H=U+PV$$

定壓熱容與定容熱容分別定義為：

$$C_v=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V$$ $$C_p=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P$$

理想氣體另具有：

$$PV=RT$$

且理想氣體的內能只與溫度有關，因此：

$$U=U(T)$$

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解題方法

採用焓的定義，先將 $C_p$ 與 $C_v$ 的差寫成微分形式，再利用理想氣體方程式化簡。

由

$$H=U+PV$$

微分得：

$$dH=dU+P\,dV+V\,dP$$

對理想氣體而言，內能只與溫度有關，所以：

$$dU=C_v\,dT$$

代入上式：

$$dH=C_v\,dT+P\,dV+V\,dP$$

在定壓條件下 $dP=0$，因此：

$$dH=C_v\,dT+P\,dV$$

另一方面，定壓熱容的定義為：

$$dH=C_p\,dT$$

故有：

$$C_p\,dT=C_v\,dT+P\,dV$$

整理為：

$$C_p-C_v=P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P$$

對一莫耳理想氣體：

$$PV=RT$$

在定壓下微分：

$$P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P=R$$

因此：

$$\boxed{C_p-C_v=R}$$

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另一種熱力學關係的推導

由基本熱力學關係：

$$dU=T\,dS-P\,dV$$

將 $U$ 視為 $T,V$ 的函數：

$$dU=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_VdT+ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_TdV$$

比較兩式可得：

$$\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V=C_v$$

且由熱力學恆等式：

$$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V-P$$

因此：

$$dU=C_v\,dT+ \left[ T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V-P \right]dV$$

焓的微分為：

$$dH=dU+P\,dV+V\,dP$$

代入上式：

核心觀念

本題考查穩定流動能量方程、熵平衡與 Gouy–Stodola 定理。血液視為定比熱不可壓縮流體，忽略動能與位能變化，且比熱在溫度範圍內為常數。

計算熵變時，溫度必須使用絕對溫標。環境溫度為 $T_0=25+273.15=298.15\ \mathrm{K}$。

解題方法

（1）傳給血液的熱傳率

穩定流動能量方程中，忽略動能與位能變化，血液的焓升由熱量提供：

$$\dot Q=\dot m C_p(T_2-T_1)$$

代入 $\dot m=0.25\ \mathrm{kg/s}$、$C_p=4.0\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$，以及 $\Delta T=36-20=16\ \mathrm{K}$：

$$\dot Q=(0.25)(4.0)(16)=16\ \mathrm{kW}$$

因此，傳給血液的熱傳率為 $16\ \mathrm{kW}$。

（2）血液的熵變率

定比熱不可壓縮流體的比熵變為：

$$s_2-s_1=C_p\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)$$

將入口、出口溫度換算為絕對溫度：$T_1=293.15\ \mathrm{K}$、$T_2=309.15\ \mathrm{K}$。血液流動造成的熵變率為：

$$\dot m(s_2-s_1) =\dot m C_p\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)$$