115 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班丁組《電子學》

核心觀念

本題考查類比電子學中五個重要術語：

• 電阻熱雜訊的物理來源與功率頻譜密度
• Class-B 輸出級的交越失真與消除方法
• MOS 差動放大器的輸入偏移電壓及製程失配
• 差模放大器的共模抑制能力與 CMRR
• 運算放大器的 Slew Rate 與小訊號頻寬限制

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(a) 熱雜訊（Thermal Noise／Johnson Noise）

核心觀念

熱雜訊是由導體內部載子受到熱能激發而產生的隨機電壓或電流擾動。即使外部沒有施加訊號，電阻內的電子仍因溫度高於絕對零度而持續進行無規則運動，形成可量測的雜訊。

其特性包括：

• 平均值為零：$\overline{v_n}=0$
• 雜訊功率與絕對溫度 $T$ 成正比
• 雜訊功率與電阻值 $R$ 成正比
• 在一般電子電路頻率範圍內，可近似為白雜訊

功率頻譜密度

對電阻 $R$ 而言，熱雜訊的電壓功率頻譜密度為

$$S_v(f)=4kTR\quad \text{V}^2/\text{Hz}$$

其中：

• $k$：波茲曼常數，$1.38\times 10^{-23}\ \text{J/K}$
• $T$：絕對溫度，單位為 K
• $R$：電阻值，單位為 $\Omega$

等效的電流功率頻譜密度為

$$S_i(f)=\frac{4kT}{R}\quad \text{A}^2/\text{Hz}$$

若量測頻寬為 $B$，則電阻兩端的均方根熱雜訊電壓為

$$v_{n,\mathrm{rms}} =\sqrt{\int_0^B 4kTR\,df} =\sqrt{4kTRB}$$

解題技巧與常見陷阱

題目若問「功率頻譜密度」，答案應寫 $4kTR$，不要直接寫 $\sqrt{4kTRB}$；後者是有限頻寬下的均方根雜訊電壓。

若採用雙邊頻譜定義，頻率範圍為 $-\infty<f<\infty$，常寫成

$$S_v(f)=2kTR$$

但類比電路與考試中通常採用單邊頻譜，因此標準答案為

$$\boxed{S_v(f)=4kTR}$$

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(b) 交越失真（Crossover Distortion）

核心觀念

Class-B 推挽輸出級通常由一個 NPN 與一個 PNP 電晶體組成：

• 正半週由上方電晶體導通
• 負半週由下方電晶體導通

理想情況下，兩個電晶體應在輸入電壓通過零點附近立即交接。然而，BJT 需要約 $0.7\ \text{V}$ 的 $V_{BE}$ 才能導通，MOSFET 也需要超過臨界電壓 $V_{TH}$ 才能產生明顯電流。

因此，在輸入訊號接近零點時，可能出現一小段時間：

$$Q_N\ \text{關閉},\qquad Q_P\ \text{也關閉}$$

輸出電壓無法跟隨輸入，造成零點附近的缺口，稱為交越失真。

波形概念

理想輸出：

$$v_o\approx v_i$$

實際 Class-B 輸出在零點附近會呈現類似下列關係：

$$v_o\approx \begin{cases} v_i-V_{BE}, & v_i>V_{BE}\\ 0, & |v_i|<V_{BE}\\ v_i+V_{BE}, & v_i<-V_{BE} \end{cases}$$

因此輸出波形在零交越處不平滑，且會產生額外的諧波失真。

消除方法

最常用的方法是將輸出級由 Class-B 改為 Class-AB，使上下兩個輸出電晶體在零輸出電流附近保持少量導通電流。

以 BJT 為例，可在兩個基極之間加入約

$$2V_{BE}$$

的偏壓電壓，例如：

• 二極體偏壓
• VBE multiplier
• 電流鏡偏壓
• 適當的靜態偏壓電路

此時兩個電晶體在交越區域具有重疊導通狀態，便能填補零點附近的缺口。

負回授也能大幅降低殘留的交越失真，但根本方法仍是加入適當靜態偏壓，使輸出級工作於 Class-AB。

解題技巧

看到「Class-B 的零點附近缺口」就應聯想到：

$$\text{基極—射極導通門檻} \Rightarrow \text{兩管同時截止} \Rightarrow \text{交越失真}$$

標準消除方式為「加入偏壓改成 Class-AB」，而非單純提高訊號振幅。

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(c) 輸入偏移電壓（Input Offset Voltage，$V_{OS}$）

核心觀念

理想差動放大器在兩個輸入端電壓相等時，輸出應為零。然而實際電路受到元件不匹配影響，即使

$$v_{+}=v_{-}$$

輸出仍可能不為零。

輸入偏移電壓 $V_{OS}$ 定義為：為了使差動放大器輸出回到零，必須在兩個輸入端之間外加的等效差動電壓。

若輸入差動電壓定義為

$$v_{id}=v_{+}-v_{-}$$

則 $V_{OS}$ 可視為使輸出為零的等效輸入誤差：

$$v_o=A_d(v_{id}+V_{OS})$$

在輸出為零時，

$$v_{id}=-V_{OS}$$

實際量測時，$V_{OS}$ 通常以微伏或毫伏表示。

MOS 製程中的兩大主要原因

1. 臨界電壓 $V_{TH}$ 不匹配

差動對兩顆 MOSFET 的臨界電壓若不同，即

$$\Delta V_{TH}=V_{TH1}-V_{TH2}\neq 0$$

在相同閘極電壓下，兩支路電流便不同。為了使兩支路電流重新相等，輸入端必須施加一個補償電壓，因此形成輸入偏移。

2. 元件尺寸或跨導不匹配

MOSFET 的汲極電流近似為

$$I_D=\frac{1}{2}\mu_n C_{\mathrm{ox}}\frac{W}{L}V_{OV}^2$$

其中 $W/L$、載子遷移率 $\mu_n$ 或氧化層電容 $C_{\mathrm{ox}}$ 的製程差異，都會造成兩支 MOSFET 的電流或跨導不一致。

常見表現包括：

• $W/L$ 不匹配
• 載子遷移率不匹配
• 氧化層厚度差異
• 源極或汲極串聯電阻差異

其他可能來源還包括氧化層固定電荷、封裝應力與溫度梯度。

解題技巧

題目要求「MOS fabrication 的兩個主要原因」時，最穩妥的答案是：

核心觀念

本題考查「望遠鏡式疊接放大器（telescopic cascode amplifier）」的兩項小訊號參數：

1. 輸出端電阻 $R_{out}$：由上下兩組疊接晶體管的輸出電阻並聯而成。
2. 短路跨導 $G_m$：將輸出端交流短路至地，求輸入電壓對輸出短路電流的轉換比例。

電壓增益定義為

$$A_v=\frac{v_o}{v_i}$$

利用小訊號等效關係，可寫成

$$A_v=-G_mR_{out}$$

負號代表此電路為反相放大器。

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電路架構

令 $M_1$、$M_2$ 為 NMOS 驅動級，$M_3$、$M_4$ 為 PMOS 疊接電流源負載。各晶體管皆工作於飽和區，忽略本體效應。

                         VDD
                          │
                    S ┌───┴───┐
                  M3  │ PMOS  │
             VBP ───G │       │ D
                        └───┬───┘
                            │ xP
                    S ┌─────┴─────┐
                  M4  │   PMOS    │
             VBP ───G │           │ D
                        └─────┬─────┘
                              │
                              vo
                              │
                        ┌─────┴─────┐
                  M2  │   NMOS    │
             VBN ───G │           │ D
                        └─────┬─────┘
                              │ xN
                        ┌─────┴─────┐
                  M1  │   NMOS    │
                  vi ─G │           │ D
                        └─────┬─────┘
                              │
                             GND

其中：

• $M_1$：輸入 NMOS，將輸入電壓轉換為小訊號電流。
• $M_2$：NMOS 疊接晶體管，提高下方分支的輸出電阻。
• $M_3$：PMOS 電流源負載的上方晶體管。
• $M_4$：PMOS 疊接晶體管，提高上方負載的輸出電阻。
• $V_{BN}$、$V_{BP}$：偏壓電壓，對交流訊號而言視為接地。
• $x_N$：$M_1$ 與 $M_2$ 之間的內部節點。
• $x_P$：$M_3$ 與 $M_4$ 之間的內部節點。

以下令各晶體管的參數為

$$g_{mi}=g_m(M_i),\qquad r_{oi}=r_o(M_i)$$

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解題方法

先將輸入端與輸出端分別用小訊號測試方法處理：

1. 求 $R_{out}$ 時，令 $v_i=0$，在輸出端施加測試電壓 $v_x$，計算測試電流 $i_x$。
2. 求 $G_m$ 時，將輸出端短路至交流地，計算由輸入訊號產生的短路電流。
3. 最後使用

$$A_v=-G_mR_{out}$$

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輸出電阻 $R_{out}$ 的推導

下方 NMOS 疊接分支

令輸出端施加測試電壓 $v_x$，並令輸入電壓 $v_i=0$。由於 $M_2$ 的閘極接交流地，因此 $M_2$ 的閘源小訊號電壓為

$$v_{gs2}=0-v_{x_N}=-v_{x_N}$$

對內部節點 $x_N$ 寫 KCL：

$$\frac{v_{x_N}}{r_{o1}} + \frac{v_{x_N}-v_x}{r_{o2}} + g_{m2}v_{x_N} =0$$

整理得

$$v_{x_N} = \frac{v_x} {1+\dfrac{r_{o2}}{r_{o1}}+g_{m2}r_{o2}}$$

輸出端流入 NMOS 分支的測試電流為

$$i_{x,N} = \frac{v_x-v_{x_N}}{r_{o2}} -g_{m2}v_{x_N}$$

代入 $v_{x_N}$ 並整理，可得

$$R_N = \frac{v_x}{i_{x,N}} = r_{o1}+r_{o2}+g_{m2}r_{o1}r_{o2}$$

因此，下方 NMOS 疊接分支的輸出電阻為

$$\boxed{ R_N=r_{o1}+r_{o2}+g_{m2}r_{o1}r_{o2} }$$

若兩顆 NMOS 的參數近似相同，即 $r_{o1}=r_{o2}=r_o$、$g_{m2}=g_m$，則

$$R_N=2r_o+g_mr_o^2$$

當 $g_mr_o\gg 1$ 時，

$$R_N\approx g_mr_o^2$$

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上方 PMOS 疊接分支

以相同方式分析 PMOS 負載。由於偏壓 $V_{BP}$ 對交流而言為接地，PMOS 疊接晶體管 $M_4$ 也會產生疊接增阻效果。

上方分支的輸出電阻為

$$\boxed{ R_P=r_{o3}+r_{o4}+g_{m4}r_{o3}r_{o4} }$$

若兩顆 PMOS 參數相同，即 $r_{o3}=r_{o4}=r_{oP}$、$g_{m4}=g_{mP}$，則

$$R_P=2r_{oP}+g_{mP}r_{oP}^2$$

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總輸出電阻

輸出端同時看到上方 PMOS 分支與下方 NMOS 分支，因此兩者並聯：

$$\boxed{ R_{out}=R_N\parallel R_P }$$

完整寫成

$$\boxed{ R_{out} = \left( r_{o1}+r_{o2}+g_{m2}r_{o1}r_{o2} \right) \parallel \left( r_{o3}+r_{o4}+g_{m4}r_{o3}r_{o4} \right) }$$

核心觀念

本題考查：

1. Twin-T 雙 T 型帶阻濾波器的電路結構。
2. 中心陷波頻率 $f_0$ 的設計公式。
3. 運算放大器的緩衝（buffering）與自舉（bootstrapping）作用。
4. 品質因數 $Q$ 對濾波器選頻性的影響。

Twin-T 網路由兩個互補的 T 型網路並聯組成：

• 電阻 T：兩個串聯電阻 $R$，中點接一個對地電容 $2C$。
• 電容 T：兩個串聯電容 $C$，中點接一個對地電阻 $R/2$。

理想對稱條件下，其中心頻率為

$$f_0=\frac{1}{2\pi RC}$$

在中心頻率附近，兩個 T 型網路的訊號互相抵消，因此輸出形成陷波。

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（a）Twin-T Notch Filter 結合 Op-Amp

基本 Twin-T 網路如下：

                         R                 R
Vin o------------------/\/\------o------/\/\----------------o Vx
                                  |
                                  | 2C
                                  |
                                 GND


Vin o-------------------||-------o-------||------------------o Vx
                         C        |        C
                                  |
                                  | R/2
                                  |
                                 GND

                         Vx
                          o───────────────(+)
                                           │\
                                           │ \
                                           │  \──────o Vout
                                           │ /
                               ┌───────────│/
                               │            (−)
                               └────────────┘
                              電壓追隨器

其中：

• $V_{\text{in}}$ 為輸入訊號。
• $V_x$ 為 Twin-T 網路輸出節點。
• 運算放大器接成電壓追隨器，負端直接接回輸出端。
• $V_{\text{out}}$ 為濾波器輸出。

實際的主動式 Twin-T 濾波器會將 Twin-T 網路放入運算放大器的回授架構中，並由輸出端提供正回授自舉，使 Twin-T 的中點電壓隨輸出變化：

                 ┌──────── Twin-T 網路 ────────┐
Vin ─────────────┤                              ├── Vx ──► Op-Amp ── Vout
                 └──── 中點受輸出正回授自舉 ────┘
                                         ▲
                                         └──── 正回授／Bootstrapping

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（b）Op-Amp 的功能與 $Q$ 因數

1. 緩衝與隔離

運算放大器具有：

• 高輸入阻抗；
• 低輸出阻抗；
• 高開迴路增益。

因此，運算放大器可避免後級負載直接接在 Twin-T 網路上。若後級負載過重，Twin-T 的電阻與電容比例會被改變，使中心頻率偏移、陷波深度降低。

接成電壓追隨器時，

$$V_{\text{out}}\approx V_x$$

核心觀念

本題考查三個重點：

1. MOS 差動對的輸入偏移電壓 $V_{OS}$。
2. 臨界電壓不匹配 $\Delta V_{th}$ 對偏移的影響。
3. 尾電流源有限輸出電阻 $R_{SS}$ 時，共模訊號造成的輸出響應。

假設兩支 MOS 管匹配時的跨導皆為 $g_m$，負載電阻為 $R_D$，並忽略晶體管輸出電阻 $r_o$。

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(a) 臨界電壓不匹配造成的輸入偏移電壓

已知

$$V_{th1}=V_{th},\qquad V_{th2}=V_{th}+\Delta V_{th}.$$

當兩輸入電壓相等時，若兩支電晶體的過驅電壓分別為

$$V_{OV1}=V_{GS1}-V_{th1},$$ $$V_{OV2}=V_{GS2}-V_{th2},$$

由於 $V_{th2}$ 增加了 $\Delta V_{th}$，即使 $V_{G1}=V_{G2}$，兩支電晶體的汲極電流也不相等。

小訊號下，臨界電壓不匹配造成的電流差可表示為

$$\Delta I_D \approx g_m\Delta V_{th}.$$

若在輸入端施加差動電壓 $V_{id}$，其造成的電流差為

$$\Delta I_D \approx g_m V_{id}.$$

為了抵消臨界電壓不匹配，兩者大小必須相等：

$$g_m V_{OS}=g_m\Delta V_{th}.$$

因此

$$\boxed{|V_{OS}|=|\Delta V_{th}|}.$$

若定義

$$V_{OS}=V_{G1}-V_{G2},$$

並要求兩支電晶體恢復相同電流，則

$$V_{GS1}-V_{th1}=V_{GS2}-V_{th2}.$$

整理得

$$V_{G1}-V_{G2}=V_{th1}-V_{th2} =-\Delta V_{th}.$$

所以依照此極性定義，

$$\boxed{V_{OS}=-\Delta V_{th}},$$

其偏移量大小為

$$\boxed{|V_{OS}|=|\Delta V_{th}|}.$$

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(b) $V_{OV}$ 與輸入偏移電壓的設計取捨

MOS 管的跨導為

$$g_m=\frac{2I_D}{V_{OV}}.$$

臨界電壓不匹配所造成的電流誤差為

$$\Delta I_D=g_m\Delta V_{th}.$$

要以輸入差動電壓抵消此電流誤差，所需的輸入偏移為

$$V_{OS}=\frac{\Delta I_D}{g_m} =\frac{g_m\Delta V_{th}}{g_m} =\Delta V_{th}.$$

可見 $g_m$ 在計算中相互抵消，因此：

$$\boxed{V_{OS}\text{ 不依賴 }V_{OV}}$$

在本題只考慮 $\Delta V_{th}$ 的條件下，增大或減小 $V_{OV}$ 都不會降低此項偏移電壓。

核心觀念

本題考查共源極放大器的頻率響應：

• 低頻響應由外接耦合與旁路電容決定：$C_{C1}$、$C_{C2}$、$C_S$。
• 高頻響應由 MOSFET 內部寄生電容決定：$C_{gs}$、$C_{gd}$。
• 低頻截止頻率可利用短路時間常數法（Short-Circuit Time Constant, SCTC）近似求得：

$$\omega_L \approx \frac{1}{\tau_1}+\frac{1}{\tau_2}+\frac{1}{\tau_3}$$

其中每個時間常數為

$$\tau_i=R_{Ci}C_i$$

$R_{Ci}$ 是該電容所看到的等效電阻。

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(a) 低頻與高頻的決定因素

低頻響應

低頻時，電容阻抗

$$|Z_C|=\frac{1}{\omega C}$$

會變大，因此外接電容的影響不可忽略：

• 輸入耦合電容 $C_{C1}$：造成輸入端低頻衰減。
• 輸出耦合電容 $C_{C2}$：造成輸出端低頻衰減。
• 源極旁路電容 $C_S$：低頻時無法有效旁路 $R_S$，使增益下降。

因此低頻響應由

$$C_{C1},\quad C_{C2},\quad C_S$$

共同決定。

高頻響應

高頻時，外接電容通常可視為短路，但 MOSFET 的寄生電容阻抗變小，開始造成增益衰減，主要包括：

$$C_{gs},\quad C_{gd}$$

其中 $C_{gd}$ 會受到 Miller 效應放大，通常是影響高頻截止頻率的重要因素。

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(b) 利用 SCTC 求低頻截止頻率

求每一個低頻電容的時間常數時，將其他低頻電容視為短路，並將獨立電壓源設為零。

1. 輸入耦合電容 $C_{C1}$

將其他電容短路，輸入訊號源 $v_{sig}$ 歸零後，$R_{sig}$ 的左端接地。從 $C_{C1}$ 兩端看入：

• 左側看到 $R_{sig}$
• 右側看到 $R_G$

由於兩者是經由電容相連的串聯路徑，因此

$$R_{C1}=R_{sig}+R_G$$

所以

$$\tau_1=(R_{sig}+R_G)C_{C1}$$

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2. 輸出耦合電容 $C_{C2}$

將其他電容短路後，源極因 $C_S$ 短路而接交流地。忽略 $r_o$ 時，汲極端主要看到：

• 放大器側的 $R_D$
• 負載側的 $R_L$

對串聯於兩者之間的 $C_{C2}$ 而言，等效電阻為

$$R_{C2}=R_D+R_L$$

因此

$$\tau_2=(R_D+R_L)C_{C2}$$

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3. 源極旁路電容 $C_S$