112 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班乙組《電子學》

核心觀念

本題考查半導體元件、BJT 邏輯電路與放大器頻率特性的基本術語。作答時應掌握每個名詞的：

1. 物理意義或電路結構。
2. 主要特性。
3. 常用公式。
4. 對電路性能的影響。

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a) Depletion Region（空乏區）

核心觀念

空乏區是指在 $p$ 型與 $n$ 型半導體接面附近，因載子擴散與復合而形成的「自由載子濃度很低」的區域。

以 $p$-$n$ 接面為例：

• $n$ 區的電子向 $p$ 區擴散。
• $p$ 區的電洞向 $n$ 區擴散。
• 電子與電洞在接面附近復合。
• 接面附近留下固定不動的離化施體與離化受體。
• 這些固定電荷形成內建電場與內建電位。

因此，空乏區不是完全沒有電荷，而是幾乎沒有可自由移動的電子與電洞。

重要特性

空乏區中的內建電場方向會阻礙多數載子繼續擴散，最後使擴散作用與電場造成的漂移作用達到平衡。

外加偏壓會改變空乏區寬度：

• 順向偏壓：降低接面位障，使空乏區變窄，電流容易通過。
• 逆向偏壓：提高接面位障，使空乏區變寬，僅有少量逆向飽和電流通過。

對突變接面，空乏區寬度可表示為

$$W \approx \sqrt{\frac{2\varepsilon_s}{q} \left(\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D}\right) (V_{bi}+V_R)}$$

其中 $\varepsilon_s$ 為半導體介電常數，$q$ 為基本電荷量，$N_A$、$N_D$ 分別為受體與施體濃度。

解題技巧

回答此名詞時，必須同時寫出三個關鍵字：

自由載子稀少、固定離化雜質、內建電場。

只寫「接面附近沒有電子」並不完整，因為空乏區仍含有固定不動的離化雜質電荷。

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b) Emitter-Coupled Logic, ECL（射極耦合邏輯）

核心觀念

ECL 是一種以 BJT 為基礎的高速邏輯電路。其主要結構為差動對，並利用尾電流源控制兩個電晶體之間的電流分配。

ECL 的重要特徵是：

BJT 在正常操作時不進入飽和區。

由於電晶體不進入飽和區，因此不會累積大量基極電荷，切換時不必花時間清除儲存電荷，能夠獲得很高的操作速度。

工作原理

ECL 差動對的兩個輸入電晶體共用射極電流。當輸入電壓改變時，尾電流會集中流向其中一支電晶體，另一支則關閉或僅流過很小的電流。

輸出端通常使用射極跟隨器，因此具有：

• 低輸出阻抗。
• 良好的驅動能力。
• 高速訊號傳遞能力。

ECL 通常使用負電源，例如 $V_{EE}$，使各級訊號電壓維持在適當範圍，並避免 BJT 飽和。

優點與缺點

優點：

• 延遲時間短。
• 切換速度快。
• 不受 BJT 飽和儲存時間限制。
• 輸入、輸出波形切換較平順。

缺點：

• 靜態功率消耗較高。
• 邏輯擺幅小，雜訊容限通常較低。
• 電路偏壓與電源設計較複雜。

解題技巧

ECL 的得分重點是：

1. 差動對結構。
2. 電流轉向式邏輯。
3. BJT 不進入飽和區。
4. 速度快但功率消耗高。

若只寫「ECL 是高速邏輯」而未指出「避免飽和」，通常無法取得完整分數。

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c) Emitter Resistance（射極電阻）

核心觀念

「射極電阻」在類比電子學中有兩種常見意義，必須依題目脈絡區分：

1. BJT 的小訊號內部射極電阻 $r_e$。
2. 電路外接於射極端的偏壓電阻 $R_E$。

1. BJT 內部小訊號射極電阻 $r_e$

BJT 的射極電流與基極—射極電壓近似呈指數關係：

$$I_E \approx I_S e^{V_{BE}/V_T}$$

在工作點附近微分可得

$$r_e=\frac{dV_{BE}}{dI_E} \approx \frac{V_T}{I_E}$$

在室溫下，$V_T\approx 25\text{ mV}$，因此

$$r_e\approx \frac{25\text{ mV}}{I_E}$$

例如 $I_E=1\text{ mA}$ 時，

$$r_e\approx \frac{25\text{ mV}}{1\text{ mA}} =25\ \Omega$$

它代表 BJT 在射極端呈現的內部小訊號電阻。

2. 外接射極電阻 $R_E$

若射極串接外部電阻 $R_E$，則射極電壓約為

$$V_E=I_E R_E$$

射極電阻提供負回授：

• $I_E$ 增加時，$V_E$ 增加。
• $V_{BE}=V_B-V_E$ 減少。
• 電流增加受到抑制。

因此，$R_E$ 可改善：

• 偏壓穩定度。
• 對電晶體 $\beta$ 與溫度變化的敏感度。
• 線性度。
• 可容許的輸入訊號範圍。

在未旁路的共射極放大器中，若忽略集極負載，電壓增益近似為

$$A_v\approx -\frac{R_C}{r_e+R_E}$$

若以電容旁路 $R_E$，交流分析時主要只剩 $r_e$，增益可提高，但射極負回授與線性改善效果會減弱。

解題技巧

題目只寫 emitter resistance 時，標準答法應先指出：

內部小訊號射極電阻為 $r_e\approx V_T/I_E$；外接射極電阻通常記為 $R_E$。

如此可避免把元件內部參數與電路外接電阻混為一談。

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d) Frequency Response of Amplifiers（放大器的頻率響應）

核心觀念

放大器的頻率響應描述其增益與相位如何隨輸入訊號頻率改變。放大器增益一般表示為複數函數：

$$A_v(j\omega)=\frac{V_o(j\omega)}{V_i(j\omega)}$$

核心觀念

本題考查電阻分壓偏壓之 BJT 共射極放大器，在三個頻率範圍的分析：

1. 中頻增益：$C_{C1}$、$C_{C2}$、$C_E$ 視為短路。
2. 低頻響應：考慮輸入耦合電容 $C_{C1}$、輸出耦合電容 $C_{C2}$ 與射極旁路電容 $C_E$。
3. 高頻截止頻率：考慮 BJT 內部電容 $C_{\pi}$ 與 $C_{\mu}$，並使用 Miller 定理。

以下採用常見小訊號模型，並令

$$R_B=R_{B1}\parallel R_{B2}$$

若忽略晶體管的 $r_o$，則

$$R_C'=R_C$$

若考慮 Early effect，則可將 $R_C$ 替換為 $R_C\parallel r_o$。

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(a) 中頻增益

1. 中頻等效電路

在中頻時：

• $C_{C1}$ 視為短路；
• $C_{C2}$ 視為短路；
• $C_E$ 視為短路，因此射極為交流接地；
• $V_{CC}$ 為交流接地。

因此，負載 $R_L$ 直接接在集極端，集極等效負載為

$$R_{C,L}=R_C\parallel R_L$$

若考慮 $r_o$，則

$$R_{C,L}=R_C\parallel R_L\parallel r_o$$

2. 輸入電阻

由於射極交流接地，BJT 從基極看入的電阻為 $r_{\pi}$，所以放大器輸入電阻為

$$R_{\mathrm{in}}=R_B\parallel r_{\pi}$$

基極小訊號電壓為

$$v_b=v_{\mathrm{sig}} \frac{R_{\mathrm{in}}}{R_{\mathrm{sig}}+R_{\mathrm{in}}}$$

3. 電壓增益

共射極放大器的基極至輸出電壓增益為

$$\frac{v_o}{v_b} =-g_mR_{C,L}$$

因此，從訊號源至輸出的總增益為

$$A_{vM} =\frac{v_o}{v_{\mathrm{sig}}} =-g_mR_{C,L} \frac{R_{\mathrm{in}}}{R_{\mathrm{sig}}+R_{\mathrm{in}}}$$

代入 $R_{\mathrm{in}}$ 可得

$$\boxed{ A_{vM} =-g_m(R_C\parallel R_L) \frac{R_B\parallel r_{\pi}} {R_{\mathrm{sig}}+(R_B\parallel r_{\pi})} }$$

若考慮 $r_o$，則改寫為

$$\boxed{ A_{vM} =-g_m(R_C\parallel R_L\parallel r_o) \frac{R_B\parallel r_{\pi}} {R_{\mathrm{sig}}+(R_B\parallel r_{\pi})} }$$

負號表示共射極放大器具有 $180^\circ$ 相位反轉。

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(b) 低頻轉移函數

低頻時，三個外接電容的阻抗不可忽略：

• 輸入耦合電容：$C_{C1}$
• 輸出耦合電容：$C_{C2}$
• 射極旁路電容：$C_E$

令

$$Z_{C1}=\frac{1}{sC_{C1}}, \qquad Z_{C2}=\frac{1}{sC_{C2}}$$

射極旁路網路的等效阻抗為

$$Z_E=R_E\parallel \frac{1}{sC_E} =\frac{R_E}{1+sR_EC_E}$$

1. 基極輸入阻抗

由基極看入 BJT，射極阻抗會被放大約 $(\beta+1)$ 倍，因此

$$Z_b(s)=r_{\pi}+(\beta+1)Z_E$$

整個放大器的輸入阻抗為

$$Z_{\mathrm{in}}(s)=R_B\parallel Z_b(s)$$

輸入耦合電容造成的分壓為

$$\frac{v_b}{v_{\mathrm{sig}}} = \frac{Z_{\mathrm{in}}(s)} {R_{\mathrm{sig}}+Z_{C1}+Z_{\mathrm{in}}(s)}$$

2. 晶體管電流與集極電壓

基極電流為

$$i_b=\frac{v_b}{r_{\pi}+(\beta+1)Z_E}$$

集極電流為

$$i_c=\beta i_b$$

輸出耦合電容右側的負載阻抗為

$$Z_L(s)=R_L+\frac{1}{sC_{C2}}$$

集極端看到的等效阻抗為

$$Z_C(s)=R_C\parallel Z_L(s)$$

因此

$$v_c=-\beta i_b Z_C(s)$$

輸出電壓為

$$v_o=v_c\frac{R_L}{Z_L(s)}$$

3. 完整低頻轉移函數

綜合上述關係：

$$\boxed{ \frac{v_o}{v_{\mathrm{sig}}} = -\frac{\beta Z_C(s)} {r_{\pi}+(\beta+1)Z_E} \cdot \frac{Z_{\mathrm{in}}(s)} {R_{\mathrm{sig}}+\dfrac{1}{sC_{C1}}+Z_{\mathrm{in}}(s)} \cdot \frac{R_L}{Z_L(s)} }$$

其中

$$Z_E=\frac{R_E}{1+sR_EC_E}$$ $$Z_{\mathrm{in}}(s) = R_B\parallel \left[ r_{\pi}+(\beta+1)Z_E \right]$$ $$Z_L(s)=R_L+\frac{1}{sC_{C2}}$$ $$Z_C(s)=R_C\parallel Z_L(s)$$

這就是考慮三個低頻電容後的轉移函數。若使用常見的極點分離近似，則可寫成

$$\frac{v_o}{v_{\mathrm{sig}}} \approx A_{vM} \left( \frac{s}{s+\omega_{L1}} \right) \left( \frac{s}{s+\omega_{L2}} \right) \left( \frac{s+\omega_{LE}} {s+\omega_{HE}} \right)$$

其中前兩項分別代表輸入、輸出耦合電容形成的高通效應，第三項代表射極旁路電容由低頻未旁路逐漸轉為高頻旁路。

4. 各低頻轉折頻率

輸入耦合電容的轉折頻率近似為

$$\omega_{L1} = \frac{1} {C_{C1}(R_{\mathrm{sig}}+R_B\parallel r_{\pi})}$$

輸出耦合電容的轉折頻率近似為

$$\omega_{L2} = \frac{1} {C_{C2}(R_C\parallel r_o+R_L)}$$

若忽略 $r_o$，則

$$\omega_{L2} = \frac{1} {C_{C2}(R_C+R_L)}$$

射極旁路電容所對應的時間常數，從 $C_E$ 兩端看入的等效電阻約為

核心觀念

圖二為三顆 NMOS 串接的疊接放大器：

• $Q_1$：共源極輸入級，閘極接輸入 $v_i$。
• $Q_2、Q_3$：閘極接固定偏壓，因此在小訊號下為交流接地，形成兩級共閘極疊接。
• 上方理想電流源在小訊號等效為開路。
• MOS 閘極電流近似為零，因此輸入電阻由 $Q_1$ 的閘極決定。
• 需保留 $r_{o1},r_{o2},r_{o3}$，否則理想電流源與理想 MOS 模型會導致輸出電阻趨於無限大。

令

$$g_{oi}=\frac{1}{r_{oi}},\qquad i=1,2,3$$

並以 $v_x$ 表示 $Q_1$ 汲極、$Q_2$ 源極的節點電壓；以 $v_y$ 表示 $Q_2$ 汲極、$Q_3$ 源極的節點電壓。

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解題方法

先將 $Q_2,Q_3$ 的閘極視為交流接地，再分別求：

1. 輸入電阻；
2. $v_o/v_i$；
3. 從輸出端看入的等效電阻。

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1. 輸入電阻 $R_{\mathrm{in}}$

輸入端接在 $Q_1$ 的閘極。由於 MOS 閘極沒有閘極電流，

$$i_{\mathrm{in}}\approx 0$$

因此

$$\boxed{R_{\mathrm{in}}=\frac{v_i}{i_{\mathrm{in}}}\approx\infty}$$

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2. 電壓增益 $A_v=v_o/v_i$

$Q_1$ 的小訊號關係

由於 $Q_1$ 源極接交流地，

$$v_{gs1}=v_i$$

$Q_1$ 所產生的汲極小訊號電流為 $g_{m1}v_i$。

由於上方為理想電流源，在交流下為開路，輸出端沒有外接小訊號電流。對 $Q_3$ 汲極節點寫 KCL：

$$g_{o3}v_o-(g_{m3}+g_{o3})v_y=0$$

因此

$$v_o=(1+g_{m3}r_{o3})v_y$$

同理，對 $Q_2$ 與 $Q_3$ 之間的節點分析，可得

$$v_y=(1+g_{m2}r_{o2})v_x$$

因此兩級共閘極疊接所造成的電壓放大倍率為

$$\frac{v_o}{v_x} = (1+g_{m2}r_{o2})(1+g_{m3}r_{o3})$$

再對 $Q_1$ 汲極節點分析，因為上方串接電晶體在輸出開路條件下不吸收額外交流電流，$Q_1$ 的輸出電阻造成

$$v_x=-g_{m1}r_{o1}v_i$$

所以總電壓增益為

$$\boxed{ A_v=\frac{v_o}{v_i} = -g_{m1}r_{o1} (1+g_{m2}r_{o2}) (1+g_{m3}r_{o3}) }$$

負號表示此電路為反相放大器。

若 $g_{mi}r_{oi}\gg 1$，可近似為

核心觀念

本題考查單相全波橋式整流器的二極體峰值反向電壓（Peak Inverse Voltage, PIV）。

橋式整流器中，每半週有兩顆二極體導通、另外兩顆截止。截止二極體所承受的最大反向電壓，等於變壓器次級電壓的峰值：

$$\mathrm{PIV}=V_{s,\mathrm{peak}}$$

若次級電壓以有效值 $V_{s,\mathrm{rms}}$ 表示，則：

$$V_{s,\mathrm{peak}}=\sqrt{2}V_{s,\mathrm{rms}}$$

解題方法

設變壓器次級端的瞬時電壓為 $v_s$，其峰值為 $V_{s,\mathrm{peak}}$。

當次級上端電位高於下端時，電流路徑為：

$$\text{次級上端}\rightarrow D_1\rightarrow R\rightarrow D_2\rightarrow\text{次級下端}$$

此時 $D_1、D_2$ 導通，$D_3、D_4$ 截止。以 $D_3$ 為例，其反向電壓大小等於輸入次級電壓的瞬時值，因此最大值為：

核心觀念

本題考查 NMOS 共源極放大器的：

• 直流偏壓分析
• 跨導 $g_m$ 與輸出電阻 $r_o$
• 中頻小訊號等效電路
• 電壓增益與輸入電阻

直流分析時，耦合電容與旁路電容視為開路；交流小訊號分析時，這些電容視為短路，且直流電源 $+15\text{ V}$ 為交流接地。

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(a) 驗證直流偏壓

由圖中閘極分壓電阻：

$$R_1=10\text{ M}\Omega,\qquad R_2=5\text{ M}\Omega$$

閘極電壓為

$$V_G=15\left(\frac{5}{10+5}\right)=5\text{ V}$$

直流時源極旁路電容開路，因此源極電壓為

$$V_S=I_D R_S =(0.5\text{ mA})(7\text{ k}\Omega) =3.5\text{ V}$$

所以

$$V_{GS}=V_G-V_S=5-3.5=1.5\text{ V}$$

已知 $V_t=1\text{ V}$，故過驅電壓為

$$V_{OV}=V_{GS}-V_t=1.5-1=0.5\text{ V}$$

採用

$$I_D=\frac{1}{2}k_nV_{OV}^2$$

得到

$$I_D=\frac{1}{2}(4\text{ mA/V}^2)(0.5)^2 =0.5\text{ mA}$$

再由汲極電阻 $R_D=16\text{ k}\Omega$：

$$V_D=15-I_DR_D$$ $$V_D=15-(0.5\text{ mA})(16\text{ k}\Omega) =15-8=7\text{ V}$$

因此圖中實際標示的 $V_D$ 為 $+7.0\text{ V}$；題目文字中的 $+0.7\text{ V}$應視為辨識誤植。

檢查 NMOS 是否工作於飽和區：

$$V_{DS}=V_D-V_S=7-3.5=3.5\text{ V}$$

而

$$V_{DS}>V_{OV} \quad\Longrightarrow\quad 3.5>0.5$$

故確實處於飽和區，以上偏壓值彼此一致。

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(b) 求 $g_m$ 與 $r_o$

跨導 $g_m$

飽和區 NMOS 的跨導為

$$g_m=k_nV_{OV}$$

因此

$$g_m=(4\text{ mA/V}^2)(0.5\text{ V}) =2\text{ mA/V} =2\text{ mS}$$

輸出電阻 $r_o$

考慮通道長度調變時：

$$r_o=\frac{V_A}{I_D}$$

代入 $V_A=100\text{ V}$ 與 $I_D=0.5\text{ mA}$：

$$r_o=\frac{100}{0.5\text{ mA}} =200\text{ k}\Omega$$

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(c) 小訊號等效電路

交流分析時：

1. 所有電容視為短路。
2. $+15\text{ V}$ 電源為交流接地。
3. 源極因旁路電容短路而接交流地。
4. 閘極沒有小訊號電流。
5. NMOS 以 $g_mv_{gs}$ 受控電流源及 $r_o$ 表示。

等效電路各元件如下：

• $v_{sig}$ 經過 $R_{sig}=200\text{ k}\Omega$ 接到閘極。
• 閘極接有 $10\text{ M}\Omega$ 與 $5\text{ M}\Omega$ 至交流地。
• 源極接交流地。
• 汲極接有 $R_D=16\text{ k}\Omega$ 至交流地。
• 負載 $R_L=16\text{ k}\Omega$ 透過輸出耦合電容接至汲極；因電容為短路，等效為汲極直接接 $R_L$ 至地。
• 汲極與源極之間有 $r_o=200\text{ k}\Omega$。
• 汲極至源極有方向由汲極流向源極的受控電流源 $g_mv_{gs}$。

汲極端的等效負載為