108 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班甲組《流體力學》

本題為基本觀念題，旨在測驗考生對流體力學基本名詞的理解。

(a) Control volume (控制體積)：
控制體積是一個在空間中預先定義好的、固定的虛擬區域，用來分析流體系統的流動行為。系統的質量、動量、能量等可以透過控制體積的進出流來計算其變化量。控制體積的邊界稱為控制表面 (control surface)。

(b) Stokes flow (史托克流)：
史托克流，又稱層流或低雷諾數流，是指流體流動時慣性力相較於黏滯力可忽略不計的狀態。其特徵是雷諾數 (Reynolds number, Re) 非常小（通常 Re < 1）。在這類流動中，流動行為主要由黏滯力主導，流體運動是平滑且可逆的。常見於微小尺度流動，如微流道、生物體內微血管流動，或高黏滯流體。

(c) Lagrangian perspective (拉格朗日觀點)：
拉格朗日觀點是一種描述流體運動的方法，其追蹤單一個獨立的流體質點 (fluid particle) 在空間中的運動軌跡。

核心觀念

本題考查：

• 阿基米德原理：浸沒物體所受浮力為
  $F_B=\rho gV$
• 靜力平衡：物體浮在瓶頂時，鉛直方向合力為零。
• 笛卡兒潛水夫原理：外力使瓶內壓力增加，壓縮管內空氣，使排水體積減少，浮力下降而下沉。

設水的密度為 $\rho$，忽略管內空氣質量，且 $V_1$ 為管子所造成的有效排水體積，$V_2$ 為未知質量完全浸沒時的排水體積。

(a) 連接管子與未知質量的纜線張力

對未知質量 $m_2$ 取受力分析：

• 向上：纜線張力 $T$
• 向上：浮力 $\rho gV_2$
• 向下：重量 $m_2g$

由靜力平衡：

$$T+\rho gV_2=m_2g$$

因此纜線張力為

$$\boxed{T=(m_2-\rho V_2)g}$$

當 $m_2>\rho V_2$ 時，未知質量的重量大於浮力，必須由纜線提供額外向上拉力。

(b) 管子能承受的最大質量

將管子與未知質量視為一個整體：

• 總浮力：
  $F_B=\rho g(V_1+V_2)$
• 總重量：
  $W=(m_1+m_2)g$

在瓶頂恰能漂浮的臨界狀態下：

$$\rho g(V_1+V_2)=(m_1+m_2)g$$

約去 $g$，得

$$m_2=\rho(V_1+V_2)-m_1$$

所以最大質量為

$$\boxed{m_{2,\max}=\rho(V_1+V_2)-m_1}$$

也可由管子的受力平衡得到相同結果。對管子而言：

核心觀念

本題考查：

1. Bernoulli 方程式的適用條件。
2. 連續方程式與管道截面縮小造成的速度變化。
3. 黏性流動中的拋物線速度分布、渦度與能量損失。

圖 2 可視為二維管道，管道寬度固定，因此截面積可用高度 $H$、$h$ 表示。令流體密度為 $\rho$。

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(a) Bernoulli 方程式的四個必要假設

Bernoulli 方程式為

$$\frac{p}{\rho}+\frac{V^2}{2}+gz=\text{constant}.$$

其必要條件可列為：

1. 穩態流動：流場性質不隨時間改變。
2. 不可壓縮流體：密度 $\rho$ 為常數。
3. 無黏性流動：忽略黏性摩擦與機械能耗散。
4. 沿同一條流線使用：若要在不同流線間使用同一個常數，還必須是無旋流，即 $\boldsymbol{\omega}=0$。

本題另給定位能差可忽略，因此 $z_A\approx z_B$。

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(b) 求 B 點壓力

解題方法

先用連續方程式求 B 點速度，再代入 A、B 兩點間的 Bernoulli 方程式。

A、B 截面寬度相同，因此

$$A_A\propto H,\qquad A_B\propto h.$$

由連續方程式，

$$A_A U_A=A_B U_B.$$

題目給定 A 處流速為 $U$，所以

$$HU=hU_B,$$

得到

$$U_B=\frac{H}{h}U.$$

A、B 兩點間使用 Bernoulli 方程式：

$$P_0+\frac{1}{2}\rho U^2+\rho gz_A = P_B+\frac{1}{2}\rho U_B^2+\rho gz_B.$$

因為 $z_A\approx z_B$，故

$$P_0+\frac{1}{2}\rho U^2 = P_B+\frac{1}{2}\rho\left(\frac{H}{h}U\right)^2.$$

因此

$$\boxed{ P_B = P_0+\frac{1}{2}\rho U^2 \left(1-\frac{H^2}{h^2}\right) }$$

若管道縮小，即 $h<H$，則

$$P_B<P_0,$$

表示流速增加時，靜壓降低。

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(c) 拋物線速度分布下 Bernoulli 方程式失效

題目給定速度分布

$$u_x(y)=U\left[1-\left(\frac{2y}{H}\right)^2\right], \qquad -\frac{H}{2}\le y\le \frac{H}{2}.$$

方法一：由渦度判斷

此流動中 $u_y=0$，且 $u_x$ 只隨 $y$ 改變，因此旋度的 $z$ 分量為

$$\omega_z = \frac{\partial u_y}{\partial x} - \frac{\partial u_x}{\partial y}.$$

計算得

本題考驗質量守恆定律在控制體積分析中的應用。

題幹說明：在均勻流 (uniform flow) 中，繪製了一個控制體積 (control volume)，如圖三所示。圖三顯示一個扇形區域，其邊界由兩條直線（代表流線）和一條圓弧組成。A 和 B 是控制體積的兩個表面，A 似乎是入口，B 似乎是出口。流動方向由左向右，速度為 $V$。

(a) Show the mass fluxes through surface A and surface B are identical (by conservation of mass).
質量守恆定律指出，在一個封閉系統中，質量既不會被創造也不會被毀滅。對於一個控制體積 (CV)，質量守恆可以表述為：
$\frac{dM_{CV}}{dt} = \sum_{in} \dot{m}_{in} - \sum_{out} \dot{m}_{out}$
其中 $M_{CV}$ 是控制體積內的總質量，$\frac{dM_{CV}}{dt}$ 是其隨時間的變化率，$\dot{m}_{in}$ 是進入控制體積的質量流率，$\dot{m}_{out}$ 是離開控制體積的質量流率。

題目提到「uniform flow」，這意味著流體以恆定的速度 $V$ 流動，並且在整個流場中速度向量是相同的。這也意味著流場是穩定的 (steady flow)，即任何一點的流體性質不隨時間變化。
對於穩定流，控制體積內的總質量 $M_{CV}$ 是恆定的，因此 $\frac{dM_{CV}}{dt} = 0$。
質量守恆定律簡化為：
$\sum_{in} \dot{m}_{in} = \sum_{out} \dot{m}_{out}$

控制體積的邊界由兩個開口表面 A 和 B，以及一條封閉的曲線邊界（圖中未標示為 A 或 B 的部分）組成。由於是均勻流，流體沿著速度 $V$ 流動，並且假設沒有流體從封閉曲線邊界進出（例如，這些邊界是流線，流體不會穿過流線）。因此，我們只需要考慮 A 和 B 這兩個表面的質量流率。
假設 A 是入口，B 是出口。
進入控制體積的總質量流率為 $\dot{m}_A$。
離開控制體積的總質量流率為 $\dot{m}_B$。
根據質量守恆定律（對於穩定流）：
$\dot{m}_A = \dot{m}_B$

質量流率 $\dot{m}$ 的計算公式為 $\dot{m} = \rho A V_{normal}$，其中 $\rho$ 是流體密度，A 是通過的截面積，$V_{normal}$ 是垂直於截面的流體速度。
如果 A 和 B 是兩個截面，那麼：
$\dot{m}_A = \rho_A A_A V_{normal, A}$
$\dot{m}_B = \rho_B A_B V_{normal, B}$
題目提到「uniform flow」，這意味著流體密度 $\rho$ 是恆定的，並且速度 $V$ 在整個流場中也是恆定的（大小和方向）。
假設 A 和 B 是垂直於流動方向的兩個截面，那麼 $V_{normal, A} = V$ 且 $V_{normal, B} = V$。
因此，$\dot{m}_A = \rho A_A V$ 且 $\dot{m}_B = \rho A_B V$。
為了證明 $\dot{m}_A = \dot{m}_B$，我們需要知道 $A_A = A_B$。
圖三顯示 A 和 B 是控制體積的兩個表面。它們都是垂直於流動方向的。從圖形上看，A 和 B 的大小（截面積）似乎是相同的。如果 A 和 B 的截面積相同，那麼 $\dot{m}_A = \dot{m}_B$。

然而，題目所指的「uniform flow」可能意味著速度 $V$ 在流場中是恆定的，並且流體是不可壓縮的 ($\rho$ 恆定)。
在這種情況下，質量守恆定律 $\frac{dM_{CV}}{dt} = \int_{CV} \frac{\partial \rho}{\partial t} dV + \oint_{CS} \rho (\vec{V} \cdot \vec{n}) dA = 0$。
對於穩定流，$\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$。
對於一個由流線構成的控制體積，我們只考慮入口 A 和出口 B 的流量。
$\dot{m}_A = \int_{A} \rho (\vec{V} \cdot \vec{n}_A) dA$
$\dot{m}_B = \int_{B} \rho (\vec{V} \cdot \vec{n}_B) dA$

本題考驗在圓柱座標系下，利用連續性方程式和 Navier-Stokes 方程式來求解兩個同心圓柱間隙中的黏滯流速度分佈。這是一個典型的 Couette flow 問題。

問題設定：

• 流體：不可壓縮 (incompressible)，牛頓流體 (Newtonian)，密度 $\rho$，動態黏度 $\mu$。
• 幾何：兩個同心圓柱，內半徑 $R_i$，外半徑 $R_o$。
• 運動：內圓柱以恆定角速度 $\omega$ 旋轉，外圓柱固定。
• 邊界條件：無滑動條件 (no-slip condition)。
• 重力：垂直於紙面（即 $\theta$ 方向，或與 $z$ 軸平行，取決於座標系統定義，但通常在這種情況下，重力影響很小或不影響切向速度）。
• 目標：求解速度分佈 $u_\theta(r)$。
• 給定方程式：連續性方程式和 Navier-Stokes 方程式（圓柱座標系）。

給定的方程式：
連續性方程式（不可壓縮）：
$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r u_r) + \frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} = 0$

Navier-Stokes 方程式（圓柱座標系，黏度 $\mu$，密度 $\rho$，壓力 $P$）：
$\rho (\frac{\partial u_r}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_r}{\partial r} + \frac{u_\theta}{r} \frac{\partial u_r}{\partial \theta} - \frac{u_\theta^2}{r} + u_z \frac{\partial u_r}{\partial z}) = -\frac{\partial P}{\partial r} + \mu [\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial u_r}{\partial r}) - \frac{u_r}{r^2} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u_r}{\partial \theta^2} - \frac{2}{r^2}\frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial^2 u_r}{\partial z^2}] + \rho g_r$

$\rho (\frac{\partial u_\theta}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_\theta}{\partial r} + \frac{u_\theta}{r} \frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + \frac{u_r u_\theta}{r} + u_z \frac{\partial u_\theta}{\partial z}) = -\frac{1}{r}\frac{\partial P}{\partial \theta} + \mu [\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial u_\theta}{\partial r}) - \frac{u_\theta}{r^2} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u_\theta}{\partial \theta^2} + \frac{2}{r^2}\frac{\partial u_r}{\partial \theta} + \frac{\partial^2 u_\theta}{\partial z^2}] + \rho g_\theta$

$\rho (\frac{\partial u_z}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_z}{\partial r} + \frac{u_\theta}{r} \frac{\partial u_z}{\partial \theta} + u_z \frac{\partial u_z}{\partial z}) = -\frac{\partial P}{\partial z} + \mu [\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial u_z}{\partial r}) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u_z}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 u_z}{\partial z^2}] + \rho g_z$

簡化步驟：

1. 確定流動模式：

   • 由於圓柱是同心的，且內圓柱旋轉，流體主要在 $\theta$ 方向流動。
   • 「gravity is perpendicular to the paper」通常意味著重力方向與圓柱軸線垂直，或者與紙面垂直。如果重力是沿著圓柱軸線方向（z方向），則 $g_z \neq 0$。如果重力是徑向（r方向），則 $g_r \neq 0$。但在這種旋轉流問題中，重力通常不影響切向速度 $u_\theta$ 的求解，除非有特殊說明。我們假設重力方向對 $u_\theta$ 的求解無影響，或者 $g_r=g_\theta=g_z=0$。
   • 流動是穩定的 (steady flow)，所以所有時間導數項都為零：$\frac{\partial}{\partial t}(\cdot) = 0$。
   • 流體是不可壓縮的。
   • 流動是對稱的，不隨 $\theta$ 和 $z$ 變化。因此，所有對 $\theta$ 和 $z$ 的偏導數都為零：$\frac{\partial}{\partial \theta}(\cdot) = 0$ 和 $\frac{\partial}{\partial z}(\cdot) = 0$。
   • 由於是對稱的旋轉流，沒有徑向速度 $u_r = 0$ 且沒有軸向速度 $u_z = 0$。

2. 應用簡化到連續性方程式：
   由 $u_r=0, u_z=0, \frac{\partial}{\partial \theta}=0, \frac{\partial}{\partial z}=0$，連續性方程式 $\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r u_r) + \frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} = 0$ 變為：
   $\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r \cdot 0) + \frac{1}{r} \cdot 0 + 0 = 0$
   $0 = 0$。
   這表示 $u_r=0, u_z=0$ 且對 $\theta, z$ 的偏導數為零是連續性方程式的解。

3. 應用簡化到 Navier-Stokes 方程式：
   我們主要關心的是 $\theta$ 方向的速度分佈 $u_\theta$。因此，我們需要考慮 Navier-Stokes 方程式的 $\theta$ 分量。
   $\rho (\frac{\partial u_\theta}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_\theta}{\partial r} + \frac{u_\theta}{r} \frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + \frac{u_r u_\theta}{r} + u_z \frac{\partial u_\theta}{\partial z}) = -\frac{1}{r}\frac{\partial P}{\partial \theta} + \mu [\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial u_\theta}{\partial r}) - \frac{u_\theta}{r^2} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u_\theta}{\partial \theta^2} + \frac{2}{r^2}\frac{\partial u_r}{\partial \theta} + \frac{\partial^2 u_\theta}{\partial z^2}] + \rho g_\theta$

   套用簡化條件：

   • $\frac{\partial u_\theta}{\partial t} = 0$ (穩定流)
   • $u_r = 0$ (無徑向速度)
   • $\frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} = 0$ (對稱性)
   • $\frac{u_r u_\theta}{r} = \frac{0 \cdot u_\theta}{r} = 0$
   • $u_z = 0$ (無軸向速度)
   • $\frac{\partial^2 u_\theta}{\partial \theta^2} = 0$ (對稱性)
   • $\frac{2}{r^2}\frac{\partial u_r}{\partial \theta} = \frac{2}{r^2} \cdot 0 = 0$
   • $\frac{\partial^2 u_\theta}{\partial z^2} = 0$ (對稱性)
   • 假設 $g_\theta = 0$ (重力不影響 $\theta$ 方向的運動)。
   • 壓力項：由於流動是對稱的且僅在 $\theta$ 方向有速度，壓力 $P$ 僅可能隨 $r$ 和 $z$ 變化，而不會隨 $\theta$ 變化。因此，$\frac{\partial P}{\partial \theta} = 0$。

   簡化後的 Navier-Stokes 方程式 $\theta$ 分量變為：
   $0 = 0 + \mu [\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial u_\theta}{\partial r}) - \frac{u_\theta}{r^2}] + 0$
   $\mu [\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial u_\theta}{\partial r}) - \frac{u_\theta}{r^2}] = 0$