114 年 國立成功大學生物醫學工程學系碩士班甲組《工程力學》

這題主要考驗對物體受力分析與判斷靜定性的基本觀念。

(a) 繪製自由體圖 (Free Body Diagram, FBD)

自由體圖是分析物體受力情況的第一步。我們需要將 rod 獨立出來，並標示出所有作用在它上面的外力及反作用力。

1. 外力：

   • 在點 D 處有一個力偶矩 $3 \, \text{kN} \cdot \text{m}$ 作用在 rod 上。根據圖示，此力偶矩是繞著 z 軸作用。

2. 支撐反作用力：

   • A, B, C 處為單一 journal bearing (軸頸軸承)。這種支承可以抵抗垂直於軸承表面的力，但通常無法抵抗沿著軸承軸線方向的力，也無法抵抗力偶矩。假設 journal bearing 的軸線是沿著 x, y, z 軸中的某一個方向（題目圖示的 z 軸似乎是 rod 的軸線方向，但 A, B, C 的支承點在 rod 的上方，且 A, C 點的支承看起來是固定的，B 點支承看起來是固定在某個方向，但 journal bearing 的定義比較模糊，我們採用最常見的假設：journal bearing 可以抵抗垂直於其旋轉軸的力，但無法抵抗軸向力及力偶矩）。

   • 然而，從圖示來看，A, B, C 似乎是將 rod 固定住，而不是僅僅支撐。如果 A, B, C 是簡單支承（simple support），則它們只能抵抗垂直於 rod 軸線方向的力。但圖示上的 journal bearing 符號通常表示它們可以提供兩個方向的反作用力（例如在 xy 平面上）。

   • 更常見的假設（也是本題圖示較為暗示的）： A, B, C 點的 journal bearing 能夠提供垂直於 rod 軸線（z 軸）的力反作用。由於 rod 處於空間中，我們需要考慮 x 和 y 方向的反作用力。

   • 假設 A, B, C 點的支承能夠提供 xy 平面上的反作用力。

     • 在 A 點：有 $A_x$ 和 $A_y$ 兩個反作用力。
     • 在 B 點：有 $B_x$ 和 $B_y$ 兩個反作用力。
     • 在 C 點：有 $C_x$ 和 $C_y$ 兩個反作用力。

   • 額外考慮： 圖示中的 A, B, C 符號旁有箭頭，且 A, C 點畫法較為特殊，暗示它們可能能提供更多限制。但若僅是 "single journal bearing"，一般假設是抵抗垂直於旋轉軸的力。如果 A, B, C 點是完全固定的（fixed support），則每個點可以提供三個反作用力（Fx, Fy, Fz）及三個反作用力偶。但題目明確寫 "single journal bearing"。

   • 最合理的解釋 (基於常見工程力學題目)： A, B, C 點的 journal bearing 能夠抵抗垂直於 rod 軸線（z 軸）的力，即在 xy 平面上提供反作用力。因此，我們假設 A, B, C 點分別提供 $A_x, A_y$; $B_x, B_y$; $C_x, C_y$ 的反作用力。

自由體圖繪製：

將 rod 畫成一個獨立的線段或簡單幾何體。
標示出：

• 力偶矩 $M = 3 \, \text{kN} \cdot \text{m}$ 作用在 D 點，方向為繞 z 軸。
• 在 A 點，標示出 $A_x$ 和 $A_y$ 的反作用力向量。
• 在 B 點，標示出 $B_x$ 和 $B_y$ 的反作用力向量。
• 在 C 點，標示出 $C_x$ 和 $C_y$ 的反作用力向量。

注意： 由於 A, B, C 點是 journal bearing，它們的確切方向需要根據實際安裝方式來判斷。但在此類題目中，通常假設它們可以提供 xy 平面上的任意方向的反作用力，或者，更簡化地，假設 A, B 點能提供垂直於 rod 軸線的兩個方向的反作用力，C 點也類似。圖示中的 A, C 點的支承看起來是固定的，B 點看起來是鉸支撐。如果 A, C 是固定端（fixed end），則除了反力外還會有反力偶。但題目是 journal bearing。

最簡潔的 FBD 描述：
將 rod 抽象化，標示點 A, B, C, D。
在 D 點，畫一個表示力偶矩的圓形箭頭，標示 $3 \, \text{kN} \cdot \text{m}$，方向為繞 z 軸。
在 A 點，畫兩個互相垂直的箭頭，標示 $A_x, A_y$。
在 B 點，畫兩個互相垂直的箭頭，標示 $B_x, B_y$。
在 C 點，畫兩個互相垂直的箭頭，標示 $C_x, C_y$。
（這裡我們暫時假設 A, B, C 點都可以提供 xy 平面上的兩個力反作用。如果 A, C 被視為固定端，則還會有反力偶。）

再次審視圖示： 圖示中的 A, C 點的支承符號看起來像固定端（fixed support），如果 A, C 是固定端，則在 A, C 點除了反力外，還會有反力偶。但題目寫 "single journal bearing"。這是一個混淆點。Journal bearing 的標準定義是允許軸旋轉，並提供徑向支撐。如果 rod 本身是靜止的，那麼 journal bearing 提供的反力應該是抵抗外力。
若嚴格按照 "single journal bearing" 的定義，且 rod 是靜止的：
A 點：可提供 $A_x, A_y$。
B 點：可提供 $B_x, B_y$。
C 點：可提供 $C_x, C_y$。
總共有 6 個未知反作用力。

核心觀念

本題考查：

• 平面桁架的零力桿判斷。
• 整體平衡方程式：
  $\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0$
• 節點法與截面法。
• 桁架桿件只承受軸力；計算結果為正表示拉力，為負表示壓力。

由圖可知，$A$ 為鉸支承，具有 $A_x,A_y$；$G$ 為滾輪支承，具有 $G_y$。各下弦節點間距均為 $6\ \text{m}$，上弦高度為 $9\ \text{m}$，中間節點高度為 $4.5\ \text{m}$。

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(a) 零力桿

判斷零力桿的兩個常用規則：

1. 節點上只有三根桿件，其中兩根共線，且節點沒有外力或支承反力，則第三根為零力桿。
2. 節點上只有兩根不共線桿件，且節點沒有外力或支承反力，則兩根皆為零力桿。

觀察圖中無外力作用的節點：

• 節點 $L$：$KL$ 與 $LM$ 共線，因此 $AL$、$LM$ 的受力關係可由節點平衡判斷。
• 節點 $M$、$N$、$O$、$P$：利用相鄰節點的平衡，可判得圖中沒有參與主要受力傳遞的短桿為零力桿。
• 節點 $Q$：右端無外力，依節點平衡判斷其相關零力桿。

依本圖桁架幾何與載重配置，零力桿為：

$$\boxed{LM,\ MN,\ NO,\ OP,\ PQ}$$

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(b) 支承反力

外力皆為鉛直向下，因此水平方向：

$$\sum F_x=0$$

得到

$$\boxed{A_x=0}$$

所有集中力如下：

• $B$ 點：$6\ \text{kN}$
• $C$ 點：$7.5\ \text{kN}$
• $D$ 點：$9\ \text{kN}$

$A$ 到 $G$ 的距離為：

$$AG=6(6)=36\ \text{m}$$

以 $A$ 點取力矩：

$$\sum M_A=0$$ $$G_y(36)-6(6)-7.5(12)-9(18)=0$$

因此

$$36G_y=36+90+162=288$$ $$\boxed{G_y=8\ \text{kN}}$$

再由鉛直力平衡：

$$\sum F_y=0$$ $$A_y+G_y-6-7.5-9=0$$ $$A_y+8-22.5=0$$ $$\boxed{A_y=14.5\ \text{kN}}$$

所以支承反力為：

$$\boxed{A_x=0,\qquad A_y=14.5\ \text{kN}\uparrow,\qquad G_y=8\ \text{kN}\uparrow}$$

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(c) 桿件 $KJ$ 與 $ND$ 的內力

1. 求 $KJ$

核心觀念

本題考查：

• 分布載重的等效集中力
• 力與力偶的等效合成
• 樑的支承反力
• 剪力圖與彎矩圖
• 最大彎矩與容許彎矩比較

圖中：

• $A$ 至 $C$ 長度為 $10\ \text{m}$
• $A$ 至 $B$ 長度為 $5\ \text{m}$
• 均布載重 $w=2\ \text{kN/m}$，作用於 $AB$
• $B$ 點施加順時針力偶 $M_0=50\ \text{kN}\cdot\text{m}$

以下將支承反力與外加載重分開處理。

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(a) 等效合力

均布載重可等效為集中力：

$$W=wL=(2)(5)=10\ \text{kN}$$

其作用位置在均布載重區段的中央，因此距離 $A$：

$$x_W=\frac{5}{2}=2.5\ \text{m}$$

外力系統對 $A$ 點的總力矩為順時針：

$$M_A=10(2.5)+50=75\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

因此，$10\ \text{kN}$ 向下的等效合力作用線應滿足：

$$10x_R=75$$ $$x_R=7.5\ \text{m}$$

因此，外加載重可等效為：

$$\boxed{R=10\ \text{kN}\ \text{向下}}$$

作用線通過距離 $A$ 點 $7.5\ \text{m}$ 的位置。

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(b) 等效合力作用線與樑的交點

由上題結果：

$$\boxed{x_R=7.5\ \text{m}\quad\text{自 }A\text{ 點量起}}$$

也就是位於 $B$ 與 $C$ 之間，且距離：

$$7.5-5=2.5\ \text{m}$$

所以交點位於 $B$ 點右方 $2.5\ \text{m}$。

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(c) 剪力圖與彎矩圖

1. 求支承反力

設 $A$ 點鉸鏈反力為 $A_y$，$C$ 點滾輪反力為 $C_y$。

垂直力平衡：

$$A_y+C_y-10=0$$

取 $A$ 點力矩，逆時針為正：

$$10C_y-10(2.5)-50=0$$

因此：

$$C_y=7.5\ \text{kN}$$ $$A_y=10-7.5=2.5\ \text{kN}$$

故：

$$\boxed{A_y=2.5\ \text{kN}\ \text{向上}}$$ $$\boxed{C_y=7.5\ \text{kN}\ \text{向上}}$$

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2. 剪力圖

在 $0\le x\le5$ 的區段：

$$V(x)=A_y-wx=2.5-2x$$

因此：

• $A$ 點右側：$V=+2.5\ \text{kN}$
• $B$ 點左側：

$$V(5^-)=2.5-2(5)=-7.5\ \text{kN}$$

• $B$ 至 $C$ 之間沒有垂直分布載重，因此剪力保持：

$$V=-7.5\ \text{kN}$$

• $C$ 點受到 $+7.5\ \text{kN}$ 反力後，剪力回到零。

剪力圖為：

$$\boxed{ V(x)= \begin{cases} 2.5-2x, & 0\le x\le5\\[4pt] -7.5, & 5\le x\le10 \end{cases} }$$

剪力於 $x=1.25\ \text{m}$ 處穿越零：

$$2.5-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.25\ \text{m}$$

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3. 彎矩圖

在 $0\le x\le5$：

$$M(x)=A_yx-\frac{wx^2}{2}$$ $$M(x)=2.5x-x^2$$

因此：

$$M_A=0$$ $$M_{B^-}=2.5(5)-5^2=-12.5\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

核心觀念

本題使用：

• 複合面形心：
  $\bar y=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}$
• Pappus–Guldinus 定理：
  $V=A(2\pi \bar x)$
  $S=L(2\pi \bar x)$
• 浮力平衡：
  $\rho_f gV=(\rho V+m)g$

圖中陰影由寬度為 $a$、高度為 $a$ 的矩形，以及底邊為 $a$、兩腰為 $a$ 的等腰三角形組成。取 $x$ 軸為矩形上緣，$y$ 軸為對稱軸。

三角形高為

$$h=\sqrt{a^2-\left(\frac a2\right)^2} =\frac{\sqrt3}{2}a$$

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（a）陰影面形心

由左右對稱性，

$$\boxed{\bar x=0}$$

矩形：

$$A_1=a^2,\qquad y_1=-\frac a2$$

三角形：

$$A_2=\frac12(a)\left(\frac{\sqrt3}{2}a\right) =\frac{\sqrt3}{4}a^2$$

其形心位於底邊上方 $h/3$，因此

$$y_2=\frac h3=\frac{\sqrt3}{6}a$$

故複合面形心為

$$\bar y = \frac{a^2\left(-\frac a2\right) +\frac{\sqrt3}{4}a^2\left(\frac{\sqrt3}{6}a\right)} {a^2+\frac{\sqrt3}{4}a^2}$$ $$\bar y = -\frac{3a}{2(4+\sqrt3)}$$

因此

$$\boxed{\left(\bar x,\bar y\right) = \left(0,-\frac{3a}{2(4+\sqrt3)}\right)}$$

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（b）旋轉 $180^\circ$ 後的表面積與體積

由於面形對 $y$ 軸對稱，取右半部旋轉 $180^\circ$，即可形成完整的旋轉體。

體積

右半部矩形：

$$A_1'=\frac{a^2}{2},\qquad x_1'=\frac a4$$

右半部三角形：

$$A_2'=\frac{\sqrt3}{8}a^2,\qquad x_2'=\frac a6$$

右半部面積形心到 $y$ 軸的距離為

$$\bar x' = \frac{\frac{a^2}{2}\cdot\frac a4 +\frac{\sqrt3 a^2}{8}\cdot\frac a6} {\frac{a^2}{2}+\frac{\sqrt3 a^2}{8}} = \frac{a(6+\sqrt3)}{6(4+\sqrt3)}$$

右半部面積為

$$A'=\frac{a^2}{2}+\frac{\sqrt3}{8}a^2 =\frac{4+\sqrt3}{8}a^2$$